DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE

Transkript

1 Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKRUMLARI ÜZERİNE Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü, Ankara. Özet A değişmeli, güvenilir (without order) bir Banach cebiri; ( A), A cebirinin Gelfand spektrumu, ise A üzerinde bir çarpan operatörü ve ˆ, operatörünün Gelfand dönüşümü olsun. Bu makalede ele aldığımız problem ( A) ile ( ) kümeleri arasındaki ilişkinin ne olabileceğidir. Araştırma sonucu bu ilişkinin ( A) ( ( A)) Hull( ( A)) ( ˆ) ˆ ( ) bağıntısı ile verilebileceği ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler:, Banach Cebiri, Gelfand dönüşümü, Çarpan operatör, Gelfand spektrumu ON HE GELFAND SPECRUM OF COMMUAIVE BANACH ALGEBRAS Abstract Let A be a commutative Banach algebra with without order, ( A) its Gelfand spectrum; be a multiplier on A and ˆ its Gelfand transform. he problem handling in this paper is what the relationships are between the sets ( A) and ( ). We find out that this relation is given by the equalities ( A) ( ( A)) Hull( ( A)) ( ˆ) ˆ ( ). Key words:, Banach algebra without order, Gelfand transform, Multiplier, Gelfand spectrum. Giriş ve Notasyonlar A değişmeli güvenilir bir Banach cebiri, operatörü A üzerinde (ab)(a)ba(b) ( a, b A ) ile tanımlı çarpan operatörü ve M(A) da bu tür operatörlerin cebirini göstersin. ( A) ile A cebirinin Gelfand spektrumunu ve ˆ dönüşümünü göstereceğiz. ( A) ile operatörünün Gelfand spektrumunun elemanları A üzerindeki çarpımsal fonksiyoneller olarak tanımlanmaktadır.(). October 25 Vol:3 No:2 Kastamonu Education Journal

2 548 Hayri AKAY, Ziya ARGÜN ( M( A)) kümesi, M(A) nın Gelfand spektrumu, A cebirinin Gelfand spektrumu ( A) ile Hull(A) nın birleşimi olarak yazılabilmektedir(5). Burada A ile L : a A a kümesi arasında bir izomorfizma olduğu için A cebiri M(A) nın bir ideali olarak düşünülmektedir()., nin adjoint operatörü olmak üzere operatörünün Gelfand dönüşümü ˆ ( f ) ˆ ( f ) f şeklinde tanımlanmaktadır. : ( M( A)) C, Herhangi bir X Banach uzayı için X, X in dual uzayı olmak üzere; ( x) xˆ kanonik gömmesi vardır. x X, : X X f X için xˆ( f ) xˆ, f f, x f ( x) şeklindedir. x, f yada f, x ile X ve arasındaki dualite ilişkisi gösterilmektedir. x A ise ( A) üzerinde xˆ( h) h( x) şeklinde bir dönüşümdür. ( A) üzerindeki topoloji noktasal yakınsak topoloji olduğundan ˆx, ( A) üzerinde süreklidir. x xˆ dönüşümü A dan C( ( A)) içine Gelfand dönüşümü olarak adlandırılır. Bu dönüşüm yada ile gösterilir. Yani; : A C( ( A)) A x xˆ : ( A) C h xˆ( h) h( x) biçiminde verilmektedir. Eğer A üzerinde tanımlanan Gelfand dönüşümü bire bir ise A cebirine yarı basit(semi simple) Banach cebiri denir. A Banach cebirinin ikinci duali A üzerinde A daki çarpma işleminin iki tane genişlemesi vardır. Bunlar literatürde birinci ve ikinci Arens çarpımı olarak bilinmektedirler. Bu çalışmada A yı tanımı aşağıda verilen birinci Arens çarpımı ile donatılan Banach cebiri olarak göz önüne alacağız. Bu işlemler A uzayının f a ve n f elemanı a, b A, f A olmak üzere; f a, b f, ab n f, a n, f a A uzayının mn elemanı mn, f m, n f A ın kapalı bir alt cebiridir. A cebiri genelde değişmeli değildir fakat a A ve n A biçiminde tanımlanmaktadırlar. Bu durumda A, m, n A ve mn, f n, f m, f sağlanır.ayrıca; eşitliği sağlanır. E ( A) A ın çarpımsal f elemanı için kümesi için ker(e) ideali; X için anna eşitliği Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi

3 Değişmeli Banach Cebirlerinin Gelfand Spektrumları Üzerine 549 ker( E) f () : f E ker( f ) : f E şeklinde I, A cebirinin bir ideali olmak üzere; I nın hull ü hull( I) f ( A) : I f () f ( A) : I ker( f ) f ( A) : f ( I) biçiminde tanımlanmaktadırlar(2). A dual uzayı A cebiri sınırlı yaklaşık birime sahip olduğunda ( A) kümesi ( ˆ) f ( A) : ˆ( f ) ve üzerindeki zayıf topolojiye göre kapalıdır.(4). ( ˆ) f ( A): ˆ( f ) olmak üzere; A cebiri içindeki (A) idealinin ˆ Hull ü ( ) kümesidir ve (A) ideali A içinde kapalı olduğu zaman, (A) idealinin ( ˆ ) kümesidir. ( A) Gelfand spektrumu topolojisidir.detaylar için(3) e bakınız. uzayı üzerindeki topoloji Gelfand a A olmak üzere; La: A A, La( x) ax dönüşümü A üzerinde bir çarpan operatör tanımlar. A ile La : a A kümesi birbirine izomorf olduğu için ve La : a A kümesi M(A) uzayının bir ideali olmasından dolayı A cebirini M(A) nın bir ideali olarak düşünebiliriz ve genelde A, M(A) içinde kapalı değildir.() de ( M( A)) ( A) Hull( A) eşitliği gösterilmiştir. A La : a A izomorfizması olduğu için gerektiğinde A yerine La : a A ideali kullanılmaktadır. ( A), ( M( A)) içinde açıktır fakat bu ( A)' nın ( M( A)) içinde yoğun olmasından uzaktır.(5) M ( A) için : A A sınırlı lineer bir çarpan ve, operatörünün ikinci eşleniği(adjointi) olmak üzere, : A A operatörü bir çarpan operatördür. ˆ dönüşümünün ( A) ya kısıtlaması olsun. Dolaysıyla ˆ / A ( ) olmak üzere; f ( A) için ( ) ˆ f ( f ) ve Sonuç.4.3). ( f ) ( f ) f ˆ eşitlikleri mevcuttur.(, October 25 Vol:3 No:2 Kastamonu Education Journal

4 55 Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Eğer yazabiliriz. süreklidir.(5) u, A cebirinin sağ birimi ise; f ( A) için ( f ) ( u), f f ( u), f dönüşümü A nın Gelfand spektrumu üzerinde için xa olduğunda Son olarak, A bir Banach cebiri olmak üzere; her x A x ise (Yada Ax iken x ise) A cebirine güvenilir (without order) Banach cebiri denir. A birimli bir cebir ise güvenilir olduğu açıktır. A güvenilir Banach cebiri olduğunda her çarpan operatörü lineer olur. Bu durumda M(A), A üzerindeki sürekli lineer operatörlerin cebiri olan L(A) nın birimli bir alt cebiridir.(, heorem..). Makalenin bundan sonraki kısımlarında aksi söylenmedikçe A cebiri güvenilir olduğu kabul edilecektir. 2. Sonuçlar Lemma 2.. A bir değişmeli Banach cebiri ve, A üzerinde çarpan operatör olmak ( ˆ ) kümesine eşittir. üzere A cebirinin bir ideali olan ( A ) nın hull ü İspat: hull( ( A)) f ( A): ( A) f () olmak üzere; f hull( ( A)) için ( A) f () dır. Buna göre her a A için a ( ) f () f ( ( a)) ˆ f ( a) f ( a) ( ˆ ( f ) f )( a) ( f ( A) ise f( a) ) ˆ( f ). f ( a) ˆ( f) f ( ˆ ) elde edilir.böylece hull( ( A)) ( ) eşitliği elde edilir.bu ise ispatı tamamlar. ( ˆ ) Lemmma 2.2. A bir değişmeli Banach cebiri olmak üzere kümesi, A nın (A) kapalı idealinin Gelfand spektrumunun bir alt kümesidir. Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi

5 Değişmeli Banach Cebirlerinin Gelfand Spektrumları Üzerine 55 İspat: a, b A için; f ( ˆ ) ise ( ˆ ) nın tanımı gereği ˆ( f) olur. f / ( A ) f olsun. ve f, ( a) f, ( a) f, a ˆ( f ) f, a ˆ( f ) f ( a) f, ( a) ( b) f, ( a b) ˆ( f ) f ( a b) ˆ( f )( f ( a) f ( b)) ˆ ( f ) f ( a) ˆ ( f ) f ( b) f, ( a) f, ( b) eşitlikleri sağlandığından f, ( A ) üzerinde lineerdir. Diğer taraftan, f, ( a) f, ( b) ˆ( f ) f ( a) ˆ( f ) f ( b) ˆ ( f ) ˆ ( f ) f ( a) f ( b) ˆ ( f ) ˆ ( f ) f ( ab) ˆ( ) ( f ( ab )) f ˆ( f ) ( f ( ( ab)) ˆ( f ) ( f ( ( ab)) ˆ( f ) ( f ( a ( b)) f ( ( a( b ))) f ( ( a) ( b )) f, ( a) ( b) October 25 Vol:3 No:2 Kastamonu Education Journal

6 552 Hayri AKAY, Ziya ARGÜN eşitlikleri f nin, ( A ) üzerinde çarpımsal lineer fonksiyonel olduğunu gösterir. f keyfi seçildiğinden ( ˆ ) ( ( A)) olur. Şimdi makalenin özgün olduğunu düşündüğümüz ana Lemmasını verebiliriz. Lemma 2.3. A değişmeli bir Banach cebiri, A üzerinde bir çarpan operatörü ve A ideali A nın kapalı alt uzayı ise B üzerinde tanımlanan sıfırdan farklı f B : ( ) çarpımsal lineer fonksiyonelinin A ya genişlemesi olan f bir tektir. Bu genişleme ( x), f şartını sağlayan x A için a, f a( x), f seklinde tanımlanmıştır. İspat: f, B üzerinde sıfırdan farklı çarpımsal fonksiyonel olduğundan için ( x), f olacak şekilde ( x) B alalım. a A a ( x), f a, f ( x), f bağıntısının (x) in seçiminden bağımsız olduğunu gösterelim. Bunun için ( y), f olacak şekilde bir başka ( y) B alalım. Buna göre, a ( x), f a, f ( y), f ( y), f ( x), f a ( x) ( y), f ( x), f ( x), f a( y), f ( x), f a( y), f a ( y), f a, f ( y), f elde edilir. Böylece yukarıda tanımlanan bağıntı bir fonksiyon olur. Her, ( a b) ( x), f a b, f ( x), f a ( x) b ( x), f ( x), f a ( x), f b ( x), f ( x), f a, f b, f a b A için; Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi

7 Değişmeli Banach Cebirlerinin Gelfand Spektrumları Üzerine 553 olduğundan f, A üzerinde lineerdir.ayrıca; f çarpımsal olduğundan f dır ve ( ab) ( x), f ( x), f ab, f ( x), f ( x), f ab ( x) ( x), f ( x), f ( x), f a ( x) b ( x), f ( x), f ( x), f a ( x), f b ( x), f ( x), f ( x), f a, f b, f olmasından dolayı f, A üzerinde çarpımsaldır. Şimdi de f nın tek olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki f nin bir başka genişlemesi f olsun. a, f ( x), f a, f ( x), f a( x), f, a( x) ( A) a( x), f a, f ( x), f a, f a, f olur. Böylece f f eşitlikleri sağlandığı için her a A için edilir. Dolayısıyla genişleme bir tek olur ve bu ispatı tamamlar. ise elde eorem 2.4. A değişmeli Banach cebiri ve (A) A cebirinin kapalı bir ideali olmak ( ( A)) ( ˆ ) eşitliği vardır. İspat: Lemma 2.2 den ( ˆ ) ( ( A)) olduğunu söyleyebiliriz. ersine; f ( ( A)) olsun.lemma 2.3 den f nin A cebirine bir tek f genişlemesi vardır ve f ( ˆ ) dır. Eğer f ( ˆ ) olsaydı ˆ( f) olurdu, oysaki f ( ( A)) olduğundan her a A için f ( ( a)) f ( ( a)) f ( a) ( f ) f ( a) f ( a) eşitliği f ( ( A)) olduğunu söyler ki bu çelişkidir. Bundan dolayı ( ( A)) ( ˆ ) ( ( A)) ( ˆ ) eşitliğine ulaşılır. ˆ elde edilir. Kapsama iki taraflı olduğundan beklenilen October 25 Vol:3 No:2 Kastamonu Education Journal

8 554 Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Şimdi bu çalışmanın asıl amacı olan ve ( A) ile ( ) ilişkiyi net olarak ifade eden aşağıdaki teoremi verebiliriz. kümeleri arasındaki eorem 2.5. A değişmeli bir Banach cebiri ve (A) A cebirinin kapalı bir ideali ( A) ( ˆ) ( ˆ) eşitliği sağlanır. olmak ise İspat: f ( A) ise Lemma 2.3 gereğince (A) üzerindeki çarpımsal lineer fonksiyonellerin genişlemeleri tek olduğundan ya f ( ( A)) dır yada f, (A) üzerinde sıfır değerini alır;yani f Hull( ( A)) dır. Böylece, Lemma 2. ve ( A) ( ( A)) Hull( ( A)) ( ˆ) ( ˆ) eorem2.4 in ışığı altında eşitliği elde edilir. Kaynaklar. Larsen, R.An Introduction to the heory of Multipliers, Springer-Verlag, Berlin, (97). 2. Larsen, R. Banach Algebras, Morcel Dekker, Inc.New York, (973) 3. Laursen, K.B and Neuman, M. An Introduction to Local Spectral heory, Clanderon Pres, Oxford, (2). 4. Ülger, A. Some Results About he Spectrum of Commutative Banach Algebras Under he Weak opology and Aplications, Monaths.Für Math., 2, , (996). 5. Ülger, A. Multipliers With Closed Range on Commutative Semisimple Banach Algebras. Studia Math. 53, (22) Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi