Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları

Transkript

1 Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları 1.) 1, 1, 1,., 1 sayıları tahtaya yazılıyor. Burak x ve y gibi iki sayı seçip bunları siliyor ve x+y+xy sayısını yazıyor. Burak bu işleme tahtada tek sayı kalana kadar devam ediyor. Buna göre tahtada kalan son sayı kaç olur?, Bu şekilde devam ettirdiğimizde sonuç 2010 olarak karşımıza çıkar. 2.) İki asal sayının farkı veya iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilen tüm asal sayları bulunuz. Asal sayılardan biri çift olmazsa iki tek asal sayının toplamı veya farkı çift olacağından istenen şart sağlanmamış olur. 2 ise iki asal sayının toplamı şeklinde yazılmaz.o halde p-2,p,p+2 sayıları mod 3 te incelendiğinde p-2=3 olmalı p=5 sağlayan tek değerdir. 3.) x 2 px 580p = 0 denkleminin iki tam sayı kökü olmasını sağlayan tüm p asal sayılarını bulunuz. Denklemin kökleri a ve b olsun vieta dan a+b=p ve a.b=-580p = p olur. pia veya pib olur. Aynı zamanda pia+b olduğundan p asal sayısı hem a yı hem de b yi böler.dolayısıyla p asal sayısı 2,5 veya 29 olabilir. Bu sayılar denendiğinde p=29 olması gerektiği görülür. 4.) n 4 + 5n ifadesinin 5 ile tam bölünmesini sağlayan 2013 ten küçük kaç tane n pozitif tam sayısı vardır? ise n 4 + 5n ifadesi 5 in katı olur. Dolayısıyla 2013 ten küçük 5 in katı olan sayılar hariç tüm pozitif tam sayılar istenen şartı sağlar =1610 cevabımız olur.

2 5.) 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamlarından oluşan,rakamları tekrarsız 3 ün katı olan üç basamaklı kaç sayı vardır? 0 kalanını veren sayılar {0,3,6} 1 kalanını veren sayılar {1,4,7} 2 kalanını veren sayılar {2,5 } Aynı kalanı veren sayılardan oluşuyorsa 6+4= 10 tane Farklı kalanlardan oluşuyorsa ve 0 kullanılmayacaksa =72 tane Farklı kalanlardan oluşuyorsa ve 0 kullanılıyorsa =24 tane olur. Toplamda 106 sayı yazılabilir. 6.) 2007 özdeş bilye N kutuya eşit sayıda dağıtıldığında 5 bilye artıyor. N sayısı 200 ile 300 arasında olduğuna göre N kaçtır? = 2002 = 2 x 7 x 11 x 13 olur. Soruda verilen aralığa uygun tek sayı 2 x 11 x 13 = 286 dır. 7.) Herhangi bir rakamı silindiğinde kalan 7 basamaklı sayının 7 ile bölünmesini sağlayan kaç tane 8 basamaklı doğal sayı vardır? Sayımız olsun Örneğin d ve e rakamları silindiğinde elde edilen sayılar için ve olur. Buradan elde edilir. olabilir. olur. olduğundan a,b,c,..,h sayıları 0 veya 7 a= 0 olamayacağından diğer rakamlarlar için 2 şer seçenek olduğundan toplam 64 sayı yazılabilir. 8.) 5n 5n 4 < 0,01 eşitsizliğini sağlayan en küçük n pozitif tam sayısı kaçtır? olduğundan soru eşitsizliğini sağlayan en küçük n pozitif tam sayısını bulmaya dönüşür. Cevabımız 8001 olur eşitliğini sağlayan yaklaşık değer 8000 olur.. ve. Olur

3 9.) ifadesinin değerini bulunuz. özdeşliğini kullanırsak sonucuna ulaşılır. 10.) Konveks ABCD dörtgeninde,,, dir. ve nin uzantıları noktasında kesişiyorlar. ve nin uzantıları noktasında kesişiyorlar. Buna göre değeri kaçtır? ve olsun. O zaman olur Bu yüzden. Sonuç olarak elde edilir. Açıortay teoreminden elde edilir.

4 11.) ve, denklemlerini sağlayan p değerleri ile aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri aynıdır? İkinci denklemden ifadesi ilk denklemde yerine yazılırsa p değerlerinin 3 ve -2 olduğu görülür. (A) (B) (C) (D) (E) 12.) 1ababababab on bir basamaklı sayı 99 ile tam bölünüyor. Buna göre a + b kaçtır? ise olduğundan a+b=7 veya 16 olur. elde edilir. Benzer şekilde ise olur. olduğundan veya Fakat b-a=-9 için a+b=9 olur ki bu da yanlış olur. O halde a ve b nin arasındaki fark 2 olur. Dolayısıyla a+b =16 olmak zorunda 13.) ABC eşkenar üçgeninde AB=30 dur. ABC üçgeni AB ve AC kenarlarından geçen bir t doğrusu boyunca katlanıyor öyle ki A köşesi BC kenarı üzerindeki bir X noktasına düşüyor. BX=6 ve şekildeki doğru parçasının uzunluğu k ise k kaçtır?

5 ve üçgenlerinde kosinüs teoremi uygulanırsa ve. Elde edilir. üçgeninde kosinüs uygulanırsa k=343 bulunur. 14.) İfadesinin değeri kaçtır? ve, eşitlikleri kullanılırsa bulunur. 15.) a 1, a 2,, a 30 pozitif tam sayılar olmak üzere a 1 + a a 30 = 2002 eşitliğini sağlanıyor. a 1, a 2,, a 30 saylarının en büyük ortak böleni d ise d nin en büyük değeri kaçtır? olduğundan olduğunu söyleyebiliriz. elde edilir. Ayrıca en büyük d değeri o0lduğunu söyleyebiliriz. için ve alınırsa istenen sayılar elde edilmiş olur.