BÖLÜM 2: METASEZGİSELLERE GİRİŞ. Bölüm Hedefi

Transkript

1 BÖLÜM 2: METASEZGİSELLERE GİRİŞ Bölüm Hedefi İterasyona dayanan bütün metasezgisellerle ilgili iki temel tasarım sorunu vardır. Birincisi algoritmadan elde edilen çözümlerin tasviri, sunumu, kodlaması (encoding), ikincisi ise aramaya yön verecek amaç fonksiyonunun tanımlanması. Bu bölümde; Temel metasezgisel yapısı ve kodlama, Bütün metasezgisellerde bulunan üç önemli başlık: kısıt yönetimi, parametre ayarlama ve performans iyileştirme konuları ele alınacaktır Kodlama Herhangi bir iteratif metasezgisel dikkate alınan problemin bir çözümünü tasvir eden bir kodlama yapısına ihtiyaç duyar. Örneğin evrimsel algoritmalarda kodlama uzayı (genotype) bir çözümün tasvirini, çözüm uzayı (phenotype) bir çözümü tanımlamaktadır. Bu metasezgisellerin geliştirilmesinde karşılaşılan en temel tasarım problemidir. Kodlama metasezgiselin etkinliğini ve verimliliğini etkilemektedir ve üzerinde çalışılan optimizasyon problemiyle ilişkili ve uygun olmalıdır. Dahası kodlama yapısı metasezgiselin komşuluk yapısı (neighborhood) gibi arama prosedürlerini de etkilemektedir. Dolayısıyla algoritma tasarlanırken kodlama yapısının oluşturulması aşamasında çözümlerin nasıl üretileceğinin ve arama operatörlerinin nasıl işleyeceğinin hesaba katılması gerekmektedir. Herhangi bir problem için çok sayıda kodlama yapılabilir fakat kodlama yapısı mutlaka aşağıdaki karakteristik özellikleri taşımalıdır: Tamlık (completeness): Kodlamanın en temel özelliklerinden birisi olan tamlık problemin bütün çözümlerinin kodlama yapısı ile kapsanmasını ifade etmektedir. Diğer bir deyişle kodlama çözüm uzayındaki bütün çözümleri temsil edebilmelidir. Böylece arama prosedürleri esnasında gözden kaçırılmış herhangi bir çözüm olmayacaktır. 33

2 Bağlantılılık (connexity): Bir arama algoritmasının tasarımında dikkat edilmesi gereken en önemli özelliktir. Arama uzayında, herhangi iki çözümü birbirine bağlayacak mutlaka bir arama yolu (search path) olmalıdır. Böylece arama uzayında özellikle global optimum noktalara ulaşım sağlanabilecektir. Verimlilik (efficiency): Kodlama yapısının arama operatörleri tarafından kullanılması kolay olmalıdır. Böylece arama operatörlerinin zaman ve alan karmaşıklıkları azaltılmış olacak ve çözümlerin elde edilmesi daha rahat olabilecektir. Şekil 2.1 de ikili (binary), kesikli, sürekli ve permütasyon yapısı gibi bazı optimizasyon problemleri için kullanılabilecek kodlama yapıları yer almaktadır. Bu yapılar uygulamada yaygın olarak kullanılmaktadır. Tabi ki kodlama sadece bu dört yapı ile sınırlı olmamakla birlikte bunların hibrit kullanılmalarıyla çeşitli yeni kodlama kombinasyonları da oluşturulabilir. Sırtçantası problemi 0-1 TP problemleri f(x,y,z)=2x+3y-z x,y,z 0 Sürekli optimizasyon Global optimizasyon Sürekli İkili Temel kodlama yapıları Kesikli Yerleşim problemi Atama problemi Gezgin satıcı problemi Sıralama problemleri Permütasyon Şekil 2.1. Bazı klasik kodlama yapıları Bazı optimizasyon problemlerinde karar değişkenleri var/yok değerleri alabilirler veya sadece evet/hayır ifadeleri kullanılabilir. Bu durumda ikili kodlama (binary encoding) kullanılabilir, 0-1 TP problemleri gibi. Problem tanımı. 0-1 Sırt çantası problemi (0-1 Knapsack problem): Her birinin belirli bir ağırlığı (w i ) ve değeri (u i ) olan n adet i=1, 2,, n nesne arasından seçim yapılarak bir sırt 34

3 çantasına yerleştirilmek istenmektedir. Verilen bir ağırlık kapasitesi (w) kısıtı altında toplam değeri maksimize eden en uygun nesne kombinasyonun seçilmesi problemidir. s, n boyutlu ikili karar değişkenleri olmak üzere 0-1 Sırt çantası problemi için kullanılabilecek bir ikili kodlama yapısı aşağıdaki gibi oluşturulabilir; 1 eğer nesnesi çantaya konmak için seçildi ise = 0 aksihalde =1,2,, İkili kodlama yapısı sadece iki farklı sembol kullanır. İkiden fazla sembolün kullanılmasıyla kesikli kodlama (discrete values based encoding) elde edilir. Karar değişkenlerinin değerleri kesikli sonsuz değerler alabilen problemlerde kullanılabilir. Problem tanımı. Genel atama problemleri (generalized assignment problems): Kaynak tahsisi (işçi, makine, malzeme gibi) problemleri atama problemlerindendir. Varsayalım ki k adet kaynak toplam karlılığı maksimize edecek şekilde m adet birime atanacaktır. Herhangi bir i kaynağı herhangi bir j birimine atabilir. s, k boyutlu kesikli bir vektör olmak üzere genel atama problemleri için kullanılabilecek bir kesikli kodlama yapısı söyle oluşturulabilir; s[i]=j eğer j birimine i kaynağı atanmış ise. Sıralama, planlama ve rotalama problemleri birer permutasyon problemleridir. Bir gezgin satıcı problemi veya permutasyon atölye tipi çizelgeleme (permutation flow-shop scheduling) problemi gibi problemlerin çözümleri permutasyon kodlama π=(π 1, π 2,, π n ) ile ifade edilebilir. Gezgin satıcı probleminde şehirler veya permutasyon atölye tipi çizelgeleme probleminde işler gibi problemin her öğesi kodlama yapısında yer almalıdır. Gezgin satıcı probleminde n şehir için yapılacak turda n boyutlu bir permutasyon kodlaması kullanılabilir. Her bir permutasyon kodlamasında sadece tek bir çözüm vardır. Bu durumda çözüm uzayında (n-1)! adet çözüm vardır. 35

4 Sürekli optimizasyon problemleri için en iyi kodlama yapısı gerçek sayılar ile oluşturulan yapıdır. Örneğin bu kodlama yapısı çoğunlukla doğrusal olmayan sürekli optimizasyon problemlerinde kullanılmaktadır. Problemin çözümünü tasvir eden kodlama gerçekleştirilirken problemin gerçek çözüm uzayı ile kodlama yapısıyla oluşan çözüm uzayı arasında Şekil 2.2 de verilen durumlardan birisi ortaya çıkmaktadır. Bunlar; Bire bir (one-to-one): Kodlamanın geleneksel yapısıdır. Bir çözüm sadece bir kodlama ile tasvir edilir ve her bir kodlama sadece tek bir çözüme karşılık gelir. Gerçek çözüm uzayında azalma veya artış yoktur. Bire çok (one-to-many): Bir çözüm birden fazla kodlama ile tasvir edilmektedir. Bu durum arama uzayı arttırmaktadır ve metasezgiselin etkinliğini düşürmektedir. Çoğa bir (Many-to-one): Burada da çok sayıda problem çözümü aynı kodlamaya karşılık gelmektedir. Kodlamanın detay yapısının yetersizliğinden kaynaklanır. Gerçek çözüm uzayının küçülmesine neden olmaktadır. Bu kodlama yapısına dolaylı kodlama da denilmektedir. Çözüm uzayı Problem çözümünün tasviri, kodlaması Kodlama uzayı bire bir bire çok çoğa bir Şekil 2.2. Kodlama uzayı ile çözüm uzayı arasındaki eşleşmeler 36

5 Dolaylı kodlama yapıları kullanıldığında problemin çözümünün tam olarak temsili sağlanamamaktadır. Böyle durumlarda çözümü görebilmek için kodlamanın şifrelerini çözebilecek çözücüler (decoder) kullanılır. Bir gezgin satıcı probleminde elde edilen permütasyon kodlama yapısı problemin bir çözümünü doğrudan temsil eder. Örneğin A-C-B- A şeklindeki bir kodlamadan çözüm okunabilir, şöyle ki; şehir A dan tur başlar ve şehir C ye geçilir, oradan şehir B ye ve son olarak başlangıç noktası şehir A ya dönülür. Fakat bu 1 şehrinden şehrine geçiliyorsa problem için s(i,j)= gibi ikili kodlama yapısı kullanılarak 0 aksihalde Şekil 2.3 deki gibi matris yapısında bir kodlama kullanılsaydı bunu çözebilmek için bir çözücü kullanılması gerekirdi. Şehir A B C A B 1-0 C Şekil 2.3. Örnek dolaylı kodlama Problem tanımı. İş çizelgeleme problemi (job-shop scheduling problem): J (j=1, 2,, J) adet iş M (m=1, 2,, M) farklı makineden M (i=1, 2,, M) adet operasyona uğrayarak tamamlanmaktadır. Her bir j işinin i. operasyonu sadece bir m makinesi tarafından yapılabilir, bu operasyon için herhangi bir m makinesi kullanılabilir. Bir makinede operasyon için geçen süre t jim şeklinde ifade edilir. Amaç toplam tamamlanma zamanının (makespan, total completion time) minimizasyonudur. E m (x), verilen bir x çizelgesine (çözümüne) göre m makinesinde yapılan en son operasyonun tamamlanma zamanını ifade etsin. Bu durumda amaç fonksiyonu =max şeklinde ifade edilir. Problemin kısıtları; aynı anda bir makinede sadece bir operasyon yapılabilir, bir işi tamamlamak için gerekli operasyonlar daha önce belirlenen bir sırada yapılmalıdır, herhangi bir operasyonu gerçekleştirmek için sadece bir makine kullanılabilir. Problemin direkt tasviri Şekil 2.4(a) daki gibi yapılabilir. Bu kodlama ile problemin çözümü rahatlıkla okunabilmektedir. Örneğin i işi sırasıyla Op7 ve Op3 operasyonlarından geçmektedir. Op7 operasyonu m2 makinesinde 1-3 zaman aralığında görülmektedir. Op3 37

6 operasyonu m3 makinesinde zaman aralığında yapılmaktadır, gibi. Şekil 2.4(b) de problemin bir dolaylı kodlaması görülmektedir. Kodlama j adet işin basit permutasyonlarını içermektedir. Dolayısıyla arama uzayında j! Adet çözümü ifade etmektedir. Bir başka dolaylı kodlama yapısı Şekil 2.4(c) deki gibidir. JXM boyutlu bir dizi şeklindedir. Görüldüğü gibi dolaylı kodlama yapılarında problemin tam çözümü elde edilemese bile veya bazı çözücüler kullanılmasını gerektirse bile etkin bir şekilde tasarlandıklarında arama uzayının araştırılmasında büyük kolaylıklar sağlayabilecek özelliktedirler. JxM boyutlu matris 1 2 M İş 1 İş j Op7 m2 1-3 Op6 m2 4-9 Op3 m Op4 m (a) Direkt kodlama Op5 m Op9 m İşlerin permutasyonu İşlerin dizisi 1 J 1 JxM İş 1 İş k (c) Dolaylı kodlama (b) Dolaylı kodlama Şekil 2.4. İş çizelgeleme problemi için bazı kodlama yapıları 2.2. Amaç fonksiyonu Amaç fonksiyonu (objective function) genellikle f simgesiyle ifade edilir ve ulaşılmak istenen hedef anlamına gelir. Aynı zamanda maliyet fonksiyonu (cost function), değerlendirme fonksiyonu (evaluation function) ve değer fonksiyonu (utility function) olarak da adlandırılır. Çözüm uzayında yer alan herhangi bir çözümün değerinin, kalitesinin ve uygunluğunun ölçütüdür, f:s R. Bir metasezgiselin tasarlanmasında önemli faktördür. Arama uzayındaki elde edilen çözümlerin birbirleriyle kıyaslanmalarında kullanılır ve iyi çözümlerin elde edilebilmesi için arama prosedürüne yön tayin eder. Aşağıda gezgin satıcı problemi için toplam katedilen mesafeyi minimize eden bir amaç fonksiyonu örneği bulunmaktadır. Burada π permutasyon kodlama yapısında n şehir için bir turu temsil etmektedir. d ij i şehri ile j şehri arasındaki mesafedir. 38

7 =, +, 2.3. Kısıt yönetimi Metasezgisellerin etkin tasarımında önemli faktörler arasında yer alan bir diğer kavram kısıtlardır. Sürekli veya kesikli bir çok optimizasyon problemi kısıtlıdır. Problemlerin arama uzayının sınırlarını belirleyen kısıtlar doğrusal/doğrusal olmayan ve/veya eşitlik/eşitsizlik yapılarında olabilir. Metasezgisellerde kısıt yönetimi gerek kodlama yapısında gerekse amaç fonksiyonunda rol oynamaktadır. Kısıt yönetimi stratejileri şöyle sıralanabilir; reddetme (reject), ceza (penalizing), tamir (repairing), çözümleme (decoding) ve koruma (preserving) stratejileri. Reddetme stratejisi çok basit bir yaklaşımdır. Arama esnasında karşılaşılan uygun çözümler (feasible solutions) tutulurken, uygun olmayan çözümler (infeasible solutions) reddedilir. Çözüm uzayında uygun olmayan çözümlerin oranı düşük ise kullanılması akla uygundur. Ceza stratejisinde uygun olmayan çözümler arama prosedürü sırasında dikkate alınır. Uygun olmayan çözümlerin amaç fonksiyonunu kötüleştirecek ceza verilir. c(s) bir kısıtı ihlal etmenin maliyeti ve λ ağırlık olmak üzere; = + şeklinde ifade edilir. Tamir stratejisinde, elde edilen uygun olmayan bir çözüm, uygun çözüme dönüştürülür. Bunun için bir tamir prosedürü işletilir. Örnek olarak 0-1 sırt çantası problemi ele alınsın. w ağırlık kapasitesi, w i i nesnesinin ağırlığı, u i i nesnesinin değeri i=1, 2,, n ve karar değişkeni 1 eğer nesnesi çantaya konmak için seçildi ise = 0 aksihalde problemin matematiksel modeli aşağıdaki gibidir; =1,2,, olmak üzere, Amaç fonksiyonu: = 39

8 Kısıtlar: 0,1 Aşağıda çanta ağırlığı kapasitesi kısıtını ihlal eden uygun olmayan bir çözüm için tamir algoritması yer almaktadır; Algoritma. 0-1 Sırt çantası problemi için tamir algoritması Input: uygun olamayan çözüm s s = s ; While s uygun olmayan çözüm ( ) Do Çantadan e i gibi bir nesneyi çıkar: e i öğesi u i /w i oranını maksimize eder; s = s \e i ; Endo Output: uygun çözüm s elde edilir. Tamir prosedürü üzerinde çalışılan probleme özgü tasarlanır. Çoğu açgözlü sezgiseldir. Çözümleme stratejisi, arama uzayındaki s S uygun çözümünün bir kodlaması olan p P nin P S bir fonksiyonu gibi görülebilir. Bu stratejide daha önce ele alınan dolaylı kodlama yapısındaki ifadeler problemi tasvir edecek şekilde çözülür. Diğer bir deyişle dolaylı kodlama yapılarıyla oluşturulan arama uzayının topolojisi çözümleme fonksiyonlarıyla dönüştürülür. Bir çözümleme fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahip olmalıdır: Her p P uygun bir çözüm s S e karşılık gelir. Her s S i ifade eden bir p P vardır. Çözümleyici algoritmanın karmaşıklığı indirgenebilir. Uygun çözüm uzayı S ile kodlama uzayı P de yer alan çözümler aynı olmalıdır. Uygun çözüm uzayı S deki iki çözüm arası mesafe ile bu çözümlere karşılık gelen kodlama uzayı P deki çözümlerin arasındaki uzaklık aynı olmalıdır. 40

9 Koruma stratejisinde kodlama yapıları ve arama operatörleri daima uygun çözümler üretirler. Probleme özgü tecrübeye dayanan bilgilerin kodlama yapıları oluşturulurken dikkate alınmasıyla ilgilidir, böylelikle arama operatörlerinin ürettiği her çözüm uygun çözüm olacak ve çözümlerin uygunluğu korunmuş olacaktır. Bu stratejiler probleme özgüdür ve diğer optimizasyon problemleri için genelleştirilemez Parametre optimizasyonu Metasezgiseller tabiattan esinlenilerek geliştirilen genel optimizasyon araçlarıdır ve her bir metasezgiselin kendine özgü yanları vardır. Bunlardan birisi de parametrelerdir. Parametreler metasezgiselin arama uzayında nasıl yol alacağını, aramanın yönünü ve uzunluğunu belirlemede yardımcı olan özel yapılardır. Arama süresini doğrudan etkilemektedirler. Bir metasezgisel farklı parametre setlerinde aynı problemi çözümünü yapsa bile farklı sonuçlar elde edebilir. Bununla birlikte aynı parametre seti, aynı problemin farklı örneklerinde kullanıldığında bir örnekte optimal sonuç bulunurken diğerlerinde bulunamayabilir. Bu yüzden parametrelerin ayarlanması metasezgiselin başarımı açısından önemlidir. Maalesef herhangi bir metasezgisel için ortak bir parametre seti yoktur, her bir problem için ayrı ayrı belirlenmelidir. Parametre optimizasyonunda (parameter optimization) Şekil 2.5 de verildiği gibi iki genel strateji vardır; off-line parametre optimizasyonu (endogenous strategy parameters) ve online parametre optimizasyonu (exogenous strategy parameters). Off-line optimizasyonda metasezgisel çalıştırılmadan önce parametrelerin değerleri sabitlenirken, online optimizasyonda parametreler koşum esnasında dinamik ve adaptiv olarak güncellenir ve kontrol edilir. 41

10 Parametre optimizasyonu Off-line optimizasyon Online optimizasyon Deney tasarımı Dinamik Adaptiv Meta-optimizasyon Self-adaptiv Şekil 2.5. Parametre optimizasyonu stratejileri Off-line parametre optimizasyonu Karşılaşılan bir optimizasyon problemini çözmek için tasarlanan bir metasezgiselin tasarımında karşılaşılan en büyük sorunlardan birisi parametre ayarlamasıdır ve bu kolay bir iş değildir. Bu parametreler nümerik değerler olabileceği gibi çözüm arama yapılarının özelliklerini belirleyen özel yapılar da olabilir. Genellikle metasezgiselin tasarımı sırasında deneysel olarak sadece bir parametrenin optimal değeri belirlenip sonra diğer parametreler sırasıyla teker teker ele alınmaktadır. Buna sıralı optimizasyon stratejisi (sequential optimization strategy) adı verilmektedir. Bu durumda parametreler arasındaki etkileşim gözden kaçabilmektedir, dolayısıyla optimum parametre setinin elde edilmesi güçleşmektedir. Bu sorunun üstesinden gelebilmek için deney tasarımı (experimental design/design of experiments) yapılır. Parametre değerlerinin belirlenmesi için yapılacak deney tasarımı öncesinde aşağıda verilen kavramların mutlaka belirlenmesi gerekmektedir; Deneylerde kullanılacak parametreleri kapsayan faktörler (tasarım değişkenleri (design variables), ön değişkenler (predictor variables) ve girdi değişkenleri (input variables) olarak da bilinir). Deneylerde kullanmak için parametrelerin farklı değerlerini kapsayan ölçülebilir/karşılaştırılabilir (quantitative) veya komşuluk yapısını belirlemek gibi nitel (qualitative) parametre seviyeleri. 42

11 Deney tasarımında n faktörün k seviyesi araştırılmak istendiğinde tümüyle faktöriyel tasarım (full factorial design) yapılır ve n k adet deney yapılır. Her deneyde en az üç olmak koşuluyla metasezgisel daha önce belirlenen deneme sayısı kadar çalıştırılır. Dolayısıyla deneme sayısı* n k adet deney sonucu elde edilir. Bu deney sonuçları analiz edilerek en iyi parametre seviyeleri elde edilir. Deney tasarımının en büyük dezavantajı çok fazla deneye gereksinim duymasıdır ve faktör seviyeleri arttıkça bunun maliyeti de artmaktadır. Deney tasarımı kapsamına girebilecek fakat daha az maliyetli Latin hiperküp tasarım (Latin hypercube design), sıralı tasarım veya fraksiyonel tasarım (fractional design) gibi farklı stratejiler de kullanılabilir. Off-line parametre optimizasyonu kapsamında ele alınabilecek bir başka yapı metaoptimizasyon dur. Bir metasezgiselin parametre değerleri bir başka metasezgisel tarafından optimize edilmektedir. Temel düzeyde yer alan metasezgiselden elde edilen parametre değerleri meta düzeyde yer alan metasezgisele girdi sağlamakta ve asıl problemin amaç fonksiyonuna göre bu parametrelere değer biçilmektedir Online parametre optimizasyonu Yüksek hesaplama maliyetlerinden dolayı off-line parametre optimizasyonunun olumsuz yönleri bulunmaktadır, bununla birlikte optimal parametre seti değerlerinin elde edilmesi oldukça güçtür çünkü her problem örneğinin kendine has optimal parametre setleri farklı olabilir. Off-line optimizasyonun bir başka dezavantajı, arama esnasında faktör seviyeleri değerlerinin değişmemesidir. Online parametre optimizasyonunda parametrelerin değerleri arama sırasında değişebilmektedir. Böylelikle aramanın farklı anlarında farklı parametre sevilerinde optimal çözüme ulaşılmak istenmektedir. Online optimizasyon iki sınıfa ayrılmaktadır: Dinamik parametre güncellemesi (dynamic update): Parametre değerlerinin değişiminde arama süreci dikkate alınmadan rastgele veya periyodik güncellemeler yapılır. Adaptiv parametre güncellemesi (adaptive update): Parametre değerlerinin değişiminde arama süreci, arama hafızası kullanıldığından dolayı etkin rol oynar. Bir 43

12 alt sınıfı self-adaptiv (self-adaptive) yaklaşımdır ve arama sırasında parametrelerin değişmesini, iyileşmesini kapsamaktadır Metasezgisellerin performans analizi Tasarlanan bir metasezgiselin performansını test ederek gelecekte çözülecek problemlerin sonuçlarının başarımı hakkında ön bilgi edinilebilir. Metasezgisellerin performans testlerinde ele alınması gereken hususlar aşağıda sıralanmıştır: Deney tasarımı: İlk adımda amaçlar, seçilen problem örnekleri, faktörler ve faktör seviyeleri tanımlanmalıdır. Amaç olarak; arama süresi, çözümlerin kalitesi, büyük boyutlu problemleri çözebilme, uygulama kolaylığı, başka algoritmalarla entegrasyon, diğer problemleri çözebilme esnekliği gibi kriterler dikkate alınabilir. Hem gerçek hayat problemleriyle hem de literatürde daha önce çalışılmış test problemleriyle metasezgiselin performansına bakılabilir. Fakat gerçek hayat problemlerini hem oluşturmak zor hem de karşılaştırılacak başka bir algoritma olmayabilir. Bu nedenle genellikle literatürdeki test problemleri tercih edilmektedir. Bu test problemleri iki parçaya bölünür. İlk parçasıyla parametre değerleri belirlenir, diğer parçayla performans testi yapılır. Ölçüt: İkinci adımda performans ölçütleri belirlenmelidir. Deneyler tamamlandıktan sonra elde edilen sonuçlar istatistiksel metotlarla (ANOVA gibi) değerlendirilmelidir. Şekil 2.7 de verildiği gibi eğer daha önce yapılmış çalışmalar varsa karşılaştırmalı analizler yapılmalıdır, yoksa problemin bir alt sınırı (amaç minimizasyon ise) veya üst sınırı (amaç maksimizasyon ise) hesaplanarak bu değerlerle karşılaştırılmalıdır. Çözümlerin iyileştirilmesinde sapmalar örneğin şöyle hesaplanabilir; f(s) f(s ) veya f(s) f(s ) /f(s ). Bununla birlikte metasezgisellerin arama süreleri de (CPU time) performans ölçütü olarak alınabilir. Raporlama: Son olarak sonuçlar amaçları gerçekleştirme derecelerine göre değerlendirilmelidir. Bunu yaparken kutu diyagramları gibi görsel araçlar kullanılabilir. 44

13 Deney tasarımı -Amaçları belirle -Problem örneklerini belirle -Faktörleri belirle -Faktör seviyelerini belirle Ölçüt -Karşılaştırma metriklerini belirle -İstatistiksel analizleri yap Raporlama -Sonuçları raporla -Görsel raporlama -Veri analizi Şekil 2.6. Metasezgisellerin performans analizi Sapmalar Amaç fonksiyonu Alt sınır Optimal çözüm Bilinen en iyi çözüm Bulunan çözüm Şekil 2.7. Çözüm kalitesi açısından performans analizi 45