Matrisler Elementer Satır İşlemleri Gauss Eliminasyon

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Matrisler Elementer Satır İşlemleri Gauss Eliminasyon"

Eren Meric
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Mtrisler Elementer Stır İşlemleri Guss Eliminson

2 Mtrisler ve Stır İşlemleri Bir mtris dikdörtgen sılr tblosudur. Alt indisler girdilerin erini belirler. stır mn stır A m m m n n n mn Mtrisler boutlrı ile tnımlnır.

4 Stır ve sütun sılrı nı oln mtrislere kre mtris denir. A

5 7 7 A Amç: Bir lineer denklem sisteminin çöümünü bulmk Ktsı Mtrisi

6 7 Ktsı mtrisine sistemin sğ trfındki sbitlerin eklenmesi ile elde edilen mtrise ilveli (rttırılmış) mtris denir. 7 A İlveli Mtris

7 . İki stırın erlerini değiştirme. Bir stırı sıfırdn frklı bir sbit ile çrpm. Bir stırın sbit bir ktını diğer bir stır ekleme

8 Smbol R i kr j R i (r i kr j r i ) kr i (kr i ) R i R j (r i r j ) Tnım Bir stırın sbit bir ktını diğer bir stır ekleme Bir stırı sıfırdn frklı bir sbit ile çrpm İki stırın erlerini değiştirme

9 Elementer stır işlemleri kullnrk, ilveli mtrisi şğıdki gibi bir mtris formun getirebiliri. işreti sdece sılrı ifde etmektedir --- Ne olduğunun bir önemi oktur. Mtrisi, ukrdki form getirdikten sonr, değişkenleri erine rk, ve gerie erine kom metodu ile sistem çöülür.

10 Stır işlemlerini kullnrk eşelon formu elde etme: İlveli mtris Zten Stır i lıp, sıfır elde etmek için, - ile çrpıp ikinci stır ile toplcğı. Bunun için notson: r r -> r

11 r r r 6 r Şimdi,.stır ı - ile çrpıp. stır eklenirse, sıfır elde edilmiş olur. r r r r 6 7 Birinci sütun için mc ulşılmıştır.

12 r r r r r li stır i kullnrk, in ltını sıfır () pmk için, ikinci stırı - ile çrpıp. stır ile topllım. Şimdi ikinci sütun ilerleerek ukrıd belirtilen mç mtrisini bulcğı. İkinci stırd e ihticımı olduğundn, - ile çrpılır. Şimdi ikinci sütun, mçlndığı gibidir.

13 column column column. Sütun istediğimi formd olduğundn, elementer stır işlemlerini durdurup, gerie erine kom metodu ile çöüme geçilir. ( ) ( ) işreti ( ) İkinci denklemde - ılrk, bulunur. Birinci denklemde ve - ılrk, bulunur. Solution is: (,, )

14 Solution is: (,, ) 7 6 Sistemin tek çöümü budur. Sonucu doğrulmk için sistemde erine lım. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 6 Hepsi doğru! Geometrik olrk, üç dülemin bir noktd kesiştiğini gösterir.

15 Bu metod gerie erine kom metodu gerektirme. Sdece değişkenler erine ılrk çöüm bulunur. Stırc indirgenmiş eşelon formu elde etmek için, elementer stır işlemlerine şğıdki mtris formu buln kdr devm edilir.

16 Eşelon Formlr Stırc eşelon formu Stırc indirgenmiş eşelon form 6 İlk 'ler rdışık stırlrd sğ kdırılmıştır. İlk 'lerin ltındki ve üstündekiler dır.

17 Önceki örnekteki sistemi stırc indirgenmiş eşelon form kullnrk plım: 7 6 r r r r r r,,

18 İlveli mtrisi, eşelon form getirmek için tnımldığımı bu metod (ve lgoritm) Guss Eliminson (ok etme) denir. İlveli mtrisi, stırc indirgenmiş eşelon form getirmek için tnımldığımı metod (ve lgoritm) Guss-Jordn Yöntemi denir.

19 Örnek: 7 6 İlveli mtris: 7 6 r r r r r r 6 8 6

20 7 6 /r r r Olm! Eğer değişkenleri erine rsk, 9 çelişkisine ulşılır! TUTARSIZ SİSTEM ÇÖZÜM YOK!!!

21 6 6 Bir örnek dh : r r r r r r /r r r Son stır hep sıfır.

22 İkinci sütund, in ukrısındki elemnı sıfır pmk için, bir dım dh gidelim. r r herhngi bir reel sı ise, sonsu çöüm!!! üerinde bir kısıtlm ok. & için çö

23 herhngi bir reel sı ise, sonsu çöüm. 6 Bunun nlmı, için herhngi bir değer lınıp, ve, cinsinden bulunbilir. Sonsu çöüm. burd serbest değişken. için ve ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 için ve ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 The solution cn be written: (,, )

24 Örnek: denklem sistemini Guss-Jordn ok etme metodu (stırc indirgenmiş eşelon form) ile çöünü.

25 Arttırılmış mtris formu - R R R - R R R

26 Önce - R R sonr R - R R ve R - R R Önce R R ve sonr (/6) R R Son olrk, - R R R

27 Bölece krşılık gelen sistem, ve serbest değişkenler olup, sonsu çöüm

28 Homojen Lineer Sistemler Homojen lineer bir denklem sistemi formunddır.

29 Her homojen lineer denklem sistemi tutrlıdır çünkü bölesi sistemler çöümüne shiptir. Bun şikr çöüm denir. Eğer bundn bşk çöüm vrs, şikr olmn çöüm vrdır, denir. Bu durumd sonsu çöüm vrdır. Geometrik olrk,

30 Örnek: homojen denklem sistemini Guss-Jordn ok etme metodu (stırc indirgenmiş eşelon form) ile çöünü.

31 Homojen sistemin rttırılmış mtris formu Anı elementer stır işlemleri ugulnırs

32 Bölece krşılık gelen sistem, ve serbest değişkenler olup, sonsu çöüm NOT: r s t için şikr çöüm elde edilir.

33 More Emples -Sstem with No Solution Solve the sstem. We trnsform the sstem into row-echelon form.

34 R R R R R R 8 R R R R 8 8 The lst mtri is in row-echelon form. So, we cn stop the Gussin elimintion process.

35 Now, if we trnslte this lst row bck into eqution form, we get, or, which is flse. No mtter wht vlues we pick for,, nd, the lst eqution will never be true sttement. This mens the sstem hs no solution.

36 Emple - Sstem with Infinitel Mn Solutions Find the complete solution of the sstem. 6 7 We trnsform the sstem into reduced row-echelon form.

37 6 R R R R R R R R R R R 6 7 RR R

38 7 The third row corresponds to the eqution. This eqution is lws true, no mtter wht vlues re used for,, nd. Since the eqution dds no new informtion bout the vribles, we cn drop it from the sstem.

39 So, the lst mtri corresponds to the sstem 7 Now, we solve for the leding vribles nd in terms of the nonleding vrible : 7

40 To obtin the complete solution, we let t represent n rel number, nd we epress,, nd in terms of t: 7t t t We cn lso write the solution s the ordered triple (7t, t, t), where t is n rel number.

41 In this emple, to get specific solutions we give specific vlue to t. For emple, if t, then 7() ()

42 Here re some other solutions of the sstem obtined b substituting other vlues for the prmeter t.

43 Emple -Sstem with Infinitel Mn Solutions Find the complete solution of the sstem. w w 6 8w We trnsform the sstem into reduced row-echelon form.

44 R R R R R R 6 8 R R R RR R Since the lst row represents the eqution, we m discrd it.

45 So, the lst mtri corresponds to the sstem w To obtin the complete solution, we solve for the leding vribles nd in terms of the nonleding vribles nd w, nd we let nd w be n rel numbers.

46 Thus, the complete solution is: s t s w t where s nd t re n rel numbers. We cn lso epress the nswer s the ordered qudruple (s t,, s, t).

47 Note tht s nd t do not hve to be the sme rel number in the solution for Emple. We cn choose rbitrr vlues for ech if we wish to construct specific solution to the sstem.

Benzer belgeler

Metropol Yayınları YÖS 2009 Metropol Publications

Metropol Yayınları YÖS 2009 Metropol Publications > > etropol Yınlrı YÖS 009 etropol Pulictions. ve. sorulrd, gruptki kümelerin şekilleri irer rkml gösterilerek I gruptki sılr elde edilmiştir. Soru işretile elirtilen kümenin hngi sıl gösterildiğini ulunuz.