İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ

Transkript

1 Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:,Syı:,,3-4/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:,No:,,3-4 İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ İmdt İŞCAN *, Selim NUMAN, Kerim BEKAR Giresun Üniversitesi, Fen Edeiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Giresun - TÜRKİYE ÖZET Bu mklede, Hermite-Hdmrd tili eşitsizliklerin sğ trfı ile ilgili zı thminleri ikinci türevlerinin mutlk değerleri reusiinveks oln fonksiyonlr için C koşulu ltınd genişlettik. Anhtr Kelimeler: Hermite-Hdmrd eşitsizliği, inveks küme, C koşulu, reusiinveks fonksiyonlr. HERMITE-HADAMARD TYPE INTEGRAL INEQUALITIES FOR FUNCTIONS WHOSE SECOND DERIVATIVE ARE PREQUASICONVEX ABSTRACT In this er, we extend some estimtes of the right hnd side of Hermite- Hdmrd tye ineulity under the condition C for functions whose second derivtives solute vlues re reusiinvex. Keywords: Hermite-Hdmrd s ineulity, invex set, condition C, reusiinvex functions.. GİRİŞ,,, I, ve f : I konveks ir fonksiyon ise f ( ) f ( ) f () eşitsizliği litertürde Hermite-Hdmrd eşitsizliği olrk ilinir. Bu eşitsizliğin son yıllrd irçok genelleştirilmesi yılmıştır, örnek olrk [], [3], [4] ve onlrın kynklrı verileilir. Aşğıdki lemm ikinci merteeden türevleneilir fonksiyonlr için istlndı [4]: * Sorumlu Yzr: imdt.iscn@giresun.edu.tr 3

2 İ. İşcn, S. Numn, K. Bekr Lemm f : I, I ( I nın içi) üzerinde ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon,, I, olmk üzere f L ise,, t tf ( t t) dt, () f ( ) f ( ) eşitliği sğlnır. Lemm i kullnrk [] de usikonveks fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd tili eşitsizliklerle ilgili şğıdki teoremleri istldı: Teorem. f : I, I üzerinde ikinci merteeden türevleneilir ir o fonksiyon,, I,, üzerinde integrlleneilir olsun. Eğer f,, üzerinde usikonveks ise olmk üzere f, f ( ) f ( ) mx f ( ), f ( ) (3) dir. Teorem. f : I, I üzerinde ikinci merteeden türevleneilir ir o fonksiyon,, I,, üzerinde integrlleneilir ve olsun. Eğer f,, üzerinde usikonveks ise olmk üzere f ( ) f ( ) olmk üzere f, mx f ( ), f ( ) 8 3 dir. Teorem 3. f : I, I üzerinde ikinci merteeden türevleneilir ir o fonksiyon,, I,, üzerinde integrlleneilir ve olsun. Eğer f,, üzerinde usikonveks ise olmk üzere f, f ( ) f ( ) mx f ( ), f ( ) (5) (4) 33

3 İkinci Türevi Preusiinveks Oln Fonksiyonlr İçin Hermıte-Hdmrd Tili İntegrl Eşitsizlikleri dir. Bu mklede, giriş kısmınd hsedilen (3), (4) ve (5) numrlı eşitsizlikler reusiinveks fonksiyonlr için elde edildi.. MATERYAL VE METOD Öncelikle inveks küme tnımını verelim: Tnım. n K ve : KK sürekli fonksiyon olsun. Eğer x, y K ve t, için x t ( y, x) K ise K y y göre inveks ir küme denir [8]. Her konveks kümenin ( y, x) y x fonksiyonun göre invex olduğu çıktır. Fkt unun tersi genelde doğru değildir, yni konveks olmyn inveks kümeler mevcuttur []. Preinveks fonksiyonlr ilk kez Pini trfındn şğıdki şekilde tnımlndı [7]: n Tnım. K inveks ir küme, f : K sürekli ir fonksiyon olsun. Eğer x, y K ve t, için (, ) mx ( ), ( ) f x t y x f x f y eşitsizliği sğlnıyors f ye y göre reusiinveks fonksiyon denir. Her usikonveks fonksiyonun ( y, x) y x fonksiyonun göre reusiinveks olduğu çıktır. Fkt unun tersi genelde doğru değildir, yni usikonveks olmyn reusiinveks fonksiyonlr mevcuttur [9]. fonksiyonu üzerine şğıdki koşul Mohn ve Neogy trfındn konulmuştur [5]. C Koşulu: ve t, için n K, : K K y, y t ( x, y) t ( x, y) x, y t ( x, y) t ( x, y) y göre inveks ir küme olsun. x, y K C koşulundn x, y K ve t, t, için y t ( x, y), y t( x, y) t t ( x, y) eşitliği elde edilir. [6] d Noor reinveks fonksiyonlr için şğıdki Hermite-Hdmrd eşitsizliğini istldı: (6) 34

4 İ. İşcn, S. Numn, K. Bekr Teorem 4. f :, (, ),,, K, (, ), K deki reel syılrın ir rlığı üzerinde reinveks fonsiyon olsun. Bu tkdirde şğıdki eşitsizlik sğlnır: (, ) (, ) f ( ) f ( (, )) f ( ) f ( ) f (, ) 3. BULGULAR VE SONUÇLAR Lemm. K, : KK y göre inveks ve çık ir küme,, K, (, ), f : K ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon ve f,, (, ) rlığı üzerinde integrlleneilir ise şğıdki eşitlik sğlnır: f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) t( t) f t (, ) dt İst., K ve K, : KK y göre inveks olduğundn t, için t (, ) K dir. İst lemm deki gii olu, (7) eşitliğinin sğ trfındki integrle iki kez kısmi integrsyon uygulndığınd eşitlik kolyc görülür. (7) Teorem 5. K, : KK y göre inveks ve çık ir küme,, K, (, ), f : K ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon, f, rlığınd integrlleneilir olsun. f,, (, ), (, ) üzerinde reusiinveks ve : KK fonksiyonu C koşulunu sğlıyors şğıdki eşitsizlik sğlnır. f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) mx f, f (, ) İst. : K K fonksiyonunun C koşulunu sğlmsı durumund (6) eşitliği kullnılrk; (8) 35

5 İkinci Türevi Preusiinveks Oln Fonksiyonlr İçin Hermıte-Hdmrd Tili İntegrl Eşitsizlikleri (, ) (, ) ( ) (, (, )) f t f t mx f, f (, ) (9) elde edilir. Bu eşitsizlik (7) eşitliği ve f nin reusiinveksliği kullnılırs, f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) t( t) f t (, ) dt (, ) t( t) mx f, f (, ) dt (, ) mx f, f (, ) t( t) dt (, ) mx f, f (, ) elde edilir ve öylece ist tmmlnır. Uyrı. ) (8) eşitsizliğinde (, ) lınırs (3) eşitsizliği elde edilir. ) (8) eşitsizliğinde f nin reusiinveksliği kullnılırs (, ) f f olduğundn (8) eşitsizliğinden ynı zmnd (, ) f ( ) f (, ) (, ) mx f, f (, ) () eşitsizliği elde edilir. c) Teorem 5 de, : KK fonksiyonu üzerine C koşulu konulmdığı tkdirde, yöntemiyle yine () eşitsizliği elde edilir. f nin reusiinveksliği kullnılrk enzer ist Teorem 6. K, : KK y göre inveks ve çık ir küme,, K, (, ), f : K ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon, f,, (, ) rlığınd integrlleneilir ve olsun. f,, (, ) 36

6 İ. İşcn, S. Numn, K. Bekr üzerinde reusiinveks ve : KK fonksiyonu C koşulunu sğlıyors şğıdki eşitsizlik sğlnır. f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) mx f, f (, ) () İst. (7) eşitliği, f için (9) eşitsizliği, f nin reusiinveksliği ve Hölder eşitsizliği kullnılırs, olmk üzere f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) t( t) f t (, ) dt (, ) t( t) dt t( t) mx f, f (, ) dt (, ) mx f, f (, ) t( t) dt.6 (, ) mx f, f (, ) 6.6 (, ) mx f, f (, ) elde edilir ve öylece ist tmmlnır. Uyrı. ) () eşitsizliğinde (, ) lınırs (5) eşitsizliği elde edilir. ) () eşitsizliğinde f nin reusiinveksliği kullnılırs (, ) f f 37

7 İkinci Türevi Preusiinveks Oln Fonksiyonlr İçin Hermıte-Hdmrd Tili İntegrl Eşitsizlikleri olduğundn () eşitsizliğinden ynı zmnd f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) mx f, f eşitsizliği elde edilir. () c.) Teorem 6 d, : KK fonksiyonu üzerine C koşulu konulmdığı tktirde, yöntemiyle yine () eşitsizliği elde edilir. f nin reusiinveksliği kullnılrk enzer ist Teorem 7. K, : KK y göre inveks ve çık ir küme,, K, (, ), f : K ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon, f,, (, ) rlığınd integrlleneilir ve olsun. f,, (, ) üzerinde reusiinveks ve : KK fonksiyonu C koşulunu sğlıyors şğıdki eşitsizlik sğlnır. f ( ) f (, ) (, ) (, ) ( ) 8 3 ( ) (, ) (3) mx f, f (, ) İst. (7) eşitliği, f için (9) eşitsizliği, f nin reinveksliği ve Hölder eşitsizliği kullnılırs, olmk üzere f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) t( t) f t (, ) dt (, ) t ( t) dt mx f, f (, ) dt 38

8 İ. İşcn, S. Numn, K. Bekr (, ) ( ) 3 ( ) (, ) ( ) 3 ( ) (, ) 8 mx f, f (, ) mx f, f (, ) mx f, f (, ) elde edilir. Burd ( ) ( t t ) dt 3 ve ( ) u ( ) e u Gmm fonksiyonudur. Böylece ist tmmlnır. Uyrı 3. ) (3) eşitsizliğinde (, ) lınırs (4) eşitsizliği elde edilir. ) (3) eşitsizliğinde f nin reusiinveksliği kullnılırs (, ) f f olduğundn (3) eşitsizliğinden ynı zmnd f ( ) f (, ) (, ) (, ) ( ) 8 3 ( ) eşitsizliği elde edilir. (, ) du mx f, f (4) c.) Teorem 7 de, : KK fonksiyonu üzerine C koşulu konulmdığı tkdirde, yöntemiyle yine (4) eşitsizliği elde edilir. f nin reusiinveksliği kullnılrk enzer ist 39

9 İkinci Türevi Preusiinveks Oln Fonksiyonlr İçin Hermıte-Hdmrd Tili İntegrl Eşitsizlikleri KAYNAKLAR []Alomri M, Drus M., Drgomir S.S., (), Tmk. J. Mth., 4, []Antczk T., (5), Nonliner Anlysis, 6, [3]Drgomir S.S., Agrwl R.P., (998), Al. Mth. Lett., (5), [4]Drgomir S.S., Perce C.E.M., Selected Toics nd Alictions, (), RGMIA Monogrhs, Victori University, Austrli,.349. [5]Mohn S.R., Neogy S.K., (995), J. Mth. Anl. Al., 89, [6]Noor M.A., (7), J. Mth. Anl. Arox. Theory,,.6-3. [7]Pini R., (99), Otimiztion,, [8]Weir T., Mond B., (988), Journl of Mth. Anlysis nd Al,. 36, [9]Yng X.M.,Yng X.Q., Teo K.L., (), J. Otim. Theo. Al.,,