ÖRNEK: 10-9 nano- n 10-6 micro milli- m 10-2 centi- c 10-1 deci- d 10 3 kilo- k 10 6 mega- M 10 9 giga- G

Transkript

1 Fizikteki büyüklükler a) Temel büyüklükler Örnek. Uzunluk, zaman, kütle b) Türetilmiş büyüklükler Örnek. Sürat, ivme, yoğunluk Ölçme -->Karşılaştırma veya kıyaslama Örnek. Boyum 1.70 m dir. Bir standart bir büyüklüğün birimini belirler. Örnek. Metre --> uzunluk, saniye --> zaman Fizikteki temel büyüklükler ve bunların Uluslararası Birim Sistemindeki (SI) (1960 dan önce metrik sistem) birimleri: Kütle; birimi Kilogram, Uzunluk; birimi Metre, Zaman; birimi Saniyedir, Sıcaklık; birimi Kelvin, Elektrik akımı; birimi Amper, Işık şiddeti; birimi Kandil, Madde miktarı; birimi Mol Temel büyüklükler için standartlar seçilir. Bu standartlarda bulunması gereken özellikler; Kararlı olma yani zamanla değişmeme, Dünyanın farklı yerlerinde kolayca ve büyük bir hassasiyetle kopyalanabilme, Tekrar elde edilme ve yok edilememe SI kütle standardı kilogram (kg); Fransa'nın Sevres kentinde Uluslararası Ağırlık ve Ölçümler Bürosunda saklanan özel bir platin-iridyum alaşımından yapılmış bir silindir. Sezyum-133 atomunun en düşük iki enerji düzeyi arasında geçiş yapması sonucunda yayımlanan yada soğurulan mikrodalganın

2 periyodu için gerekli olan zaman bir saniye olarak tanımlanmaktadır. Günümüzde kabul edilen uzunluk standardı, ışığın, boşlukta 1/ saniyede aldığı yoldur. BİRİM ÖNEKLERİ Önce temel birimler Sonra daha büyük ve daha küçük birimler SI birim sisteminde temel birimlerden daha büyük ve daha küçük birimleri tanımlamak için önekler kullanılır. Her bir önek 10 un belli bir üssünü (kuvvetini) temsil eder ve çarpım faktörü olarak kullanılır. Örnek. kilo --> 10 3, centi --> 10 -, nano--> 10-9, Bir SI birimine bir önek eklemek, o birimi önekin temsil ettiği 10 un kuvvetiyle çarpmak demektir. Örnek. 1 kilometre =1km = 10 3 metre = 10 3 m 1 kilowatt = 1 kw = 10 3 Watt = 10 3 W 1 milisaniye = 1 ms = 10-3 saniye = 10-3 s 1 mikrogram = 1 µg = 10-6 gram = 10-6 g ÖRNEK: 10-9 nano- n 10-6 micro milli- m 10 - centi- c 10-1 deci- d 10 3 kilo- k 10 6 mega- M 10 9 giga- G

3 BOYUT VE BİRİM ANALİZİ Boyut, genellikle bir niceliğin fiziksel doğasını gösterir. Bir mesafeyi metre, kilometre, feet gibi hangi birimle ölçerseniz ölçün, mesafenin boyutu uzunluktur. Uzunluk, kütle ve zaman, sırasıyla L, M ve T sembolleri ile Genellikle bir fiziksel büyüklüğün boyutu[ ] parantezi kullanılarak gösterilir. Örnek: Hız, [v] = L/T, m/s Alan, [A] = L, m İvme, [a]= L/T, m/s Boyut analizinde, boyutlar birer cebirsel nicelikler olarak ele alınır. Fiziksel nicelikler sadece aynı boyuta sahipseler toplanabilir ve çıkarılabilirler. Bir eşitliğin iki tarafındaki ifadeler aynı boyuta sahip olmak zorundadırlar. Örnek 1. Durgun halden harekete başlayan ve sabit a ivmesi ile hareket eden bir arabanın t zamanda aldığı yol x= ½ at ile verilir. Bu bağıntının doğruluğunu boyut analizi ile kontrol ediniz. Örnek. r yarıçaplı dairesel bir yörüngede sabit v sürati ile hareket eden bir cismin ivmesinin, yarıçapın (rn) ve süratin (vm) bir üssü ile orantılı olduğu deneysel olarak tespit ediliyor. Acaba boyut analizini kullanarak r ve v nin üslerini bulabilir miyiz? Boyutlar yerine birimler kullanılarak yapılan analize birim analizi adı verilir. Örnek 3. v= v 0 + at ve v= v 0 +(1/) at bağıntılarının boyutsal olarak doğru olup olmadıklarını birim analizi yaparak kontrol ediniz. BİRİM DÖNÜŞTÜRME Zincir halkası kuralı Orijinal ölçüm, bir çevirme (dönüştürme) faktörü ile çarpılır. Çevirme faktörü, değeri 1 e eşit olan birimlerin oranıdır.

4 Örnek. 1 dk = 60 s olduğundan (1dk/60s) veya (60s/1dk) çevirme faktörleridir. Çarpma işlemi sonucunda istenmeyen birimler birbirini götürür. İngiliz birim sisteminde uzunluk birimleri, İnch, foot ve mile 1mile=1609 m = km, 1 ft = m = cm 1 m = in. = 3.81 ft, 1 in. = m =.54 cm Kuvvet birimi, Pound 1 pound = 1 Libre = N Zaman birimi, Saniye Örnek 1. Dünya hız rekoru mi/h ile Andy Green e aittir. Green bu rekoru jet motorlu otomobili ile 1997 yılında kırmıştır. Bu hız m/s cinsinden nedir? (ses hızı= 340 m/s) Örnek. Dünyanın işlenmiş en büyük elmasının hacmi 1.84 inc 3 tür. Bu hacmi cm 3 ve m 3 cinsinden yazınız. Örnek 3. Şehirler arası yollarda 110 km/sa olan hız limitini m/s cinsinden ifade ediniz. VİZE SORUSU Yarıçapı R, uzunluğu L olan bir borudan, birim zamanda akan sıvının hacmi Q, L 3 T boyutuna sahiptir ve Q = π Rn (P P 1 ) ile verilmektedir. Borunun 8 η L uçlarındaki basınçları gösteren P 1 ve P, M L T boyutuna sahiptirler. Sıvının viskozluğunu gösteren η, M L T boyutundadır. Boyut analizi yaparak, üstel değer n nin değerini hesaplayınız?

5 Vektörel ve skaler büyüklükler Bir skaler nicelik, bir sayı ve uygun bir birimle tam olarak anlatılabilir. Bir skalerin sadece büyüklüğü olup yönü yoktur. Örnek. Sıcaklık, hacım, kütle ve zaman Skaler nicelikler ile işlem yapmak için bilinen aritmetik kurallar kullanılırlar. Vektörel bir büyüklük, büyüklüğünün yanında yönünün de belirtilmesi gereken fiziksel bir niceliktir. Örnek. Yerdeğiştirme, kuvvet, hız ve ivme Vektörel büyüklüklerle yapılan işlemler(toplama, çıkarma ve çarpma) geometrik işlemlerdir, ancak aritmetik işlemler değildir. Vektörlerin toplanması (grafik yöntemler) toplamanın değişme özelliği A+B=B+A

6 toplamanın birleşme özelliği A+(B+C)=(A+B)+C

7 Bileşkenin hesaplanması A=3 m ve B= m ise C=5 midir? C < A+B Vektörel toplama aritmetik bir işlem midir? Yoksa geometrik bir işlem midir?

8 A R α β Kosinüs teoremi R = A + B AB cosβ Eğer β yerine α yı kullanırsak. α+β=180 dir. cosα=-cos(180- α) olduğu için cosα=-cos β olur. Bileşkenin büyüklüğü R = A + B +AB cosα şeklinde yazılır. Vektörler aynı yönde iseler, α=0 cos0=1 R = A + B +AB cosα R = (A + B) ve R = (A + B) Yani A=3m ve B=m ise C=3+=5 m dir. Bileşke,vektörlerle aynı yönde ve büyüklüğü vektörlerin büyüklüklerinin toplamına eşittir. Vektörler zıt yönde iseler, α=180 vecos180=-1 R = A + B +AB cosα R = A + B -AB R = (A - B) ve R = (A - B) B A Yani A=3m ve B=m ise R=3-=1m olur. R

9 Bileşke büyük vektörün yönünde ve büyüklüğü büyük vektör ile küçük vektörün büyüklüklerinin farkına eşittir. R B A Sonuç: Vektörlerin doğrultuları birbirine paralel olduğunda, oldukça zor olan vektörel işlemler, skaler büyüklüklerle yapılan basit aritmetik işlemlere dönüşmektedir. Vektörel toplama ve çıkarma yapılırken dik bileşenler metodunun tercih edilmesinin nedeni budur.

10 Bir vektörün bileşenleri

11 Örnek 1. Birim Vektörler

12 Soru: A ve B vektörlerinin büyüklükleri sırasıyla 1 ve 8 birimdir. Bu iki vektörün farkının (A-B) büyüklüğü aşağıdaki değerlerden hangisi olabilir? 1. 6 br. 8 br 3. 5 br 4. 4 br 5. 1 br 6. 0 br 7. 0 br a)1,,5 ve 6 b) 1,,4,5 ve 7 c) 1 ve 7 d) ve 5 e), 3 ve 4 Soru: A, B ve C vektörlerinin büyüklükleri sırasıyla 8, 6 ve 5 birimdir. Bu üç vektörün bileşkesinin büyüklüğünün maksimum ve minimum değerleri aşağıdakilerden hangisidir? a) 19 ve 9 b) 19 ve 0 c) 19 ve 3 d) 19 ve 7 e) 19 ve 5

13 Soru:Aşağıdaki vektörlerden hangisinin yada hangilerinin büyüklüğü bileşenlerinden birinin büyüklüğüne eşittir? A = i + 5j B = -3j C= +5k a) A b) B ve C c) A ve C d) B e) A, B ve C Skaler Çarpım

14

15 Bileşenlerle skaler çarpım hesabı

16 Soru: Örnek: a=3i-4j ve b=-i+3k ile verilen a ve b vektörlerinin arasındaki açı kaç derecedir?

17 Soru: Aşağıdaki ifadelerden hangisi yada hangileri doğrudur? 1. A.B daima AB den büyüktür.. A.B daima AB den küçüktür. 3. Vektörlerin arasındaki açıya bağlı olarak, A.B, AB den büyük veya küçük olabilir. 4. A.B, AB ye eşit olabilir. a) 4 b) 1 ve 3 c) 3 ve 4 d) 1 e) Soru: C ve D vektörlerinin büyüklükleri sırasıyla 3 ve 4 birimdir. C ile D nin skaler çarpımı (C.D), 0, 1 ve -1 ye eşit olduğu durumlarda, C ile D nin arasındaki açılar sırasıyla nedir? a) 180 o, 0 o ve 90 o b) 70 o, 360 o ve 180 o c) 90 o, 0 o ve 180 o d) 0 o, 90 o ve 180 o e) 90 o, 180 o ve 0 o Vektörel Çarpım

18

19 Soru: Aşağıdaki ifadelerden hangisi yada hangileri doğrudur? 1. AxB daima AB den büyüktür.. AxB daima AB den küçüktür. 3. Vektörlerin arasındaki açıya bağlı olarak, AxB, AB den büyük veya küçük olabilir. 4. AxB, AB ye eşit olabilir. a) b) 1 ve 3 c) 3 ve 4 d) 1 e) 4 Soru 8: C ve D vektörlerinin büyüklükleri sırasıyla 3 ve 4 birimdir. C ile D nin vektörel çarpımının büyüklüğü ( CxD ), 0 ve 1 ye eşit olduğu durumlarda, C ile D nin arasındaki açılar sırasıyla nedir? a) 180 o ve 90 o b) 360 o ve 70 o c) 0 o ve 90 o, d) 90 ve o 0 o veya 180 o e) 0 o veya 180 ve 90 o

20 Bileşenlerle vektörel çarpım hesabı

21 Örnek: a=3i-4j ve b=-i+3k ile verilen a ve b vektörlerinin vektörel çarpımına eşit olan c (c=axb) vektörünü ve c vektörünün büyüklüğünü ( c veya c) bulunuz.

22 Tek Boyutlu Hareket Mekanik: Kuvvet, madde (kütle) ve hareket Kinematik: Hareket Dinamik: Hareket ve hareketin sebepleri Kinematik Bir yolcu uçağı havalanma süratine ulaşmadan önce ne kadar mesafe kat etmelidir? Bir beysbol topunu düşey olarak yukarı fırlattığımızda ne kadar yükseğe çıkar? Bir bardağı elimizden düşürdüğümüzde, yere çarpmadan önce onu yakalayabilmemiz için ne kadar zamana sahibiz? gibi soruların cevabını bu bölümde bulabilirsiniz. Öncelikle, Konum, yerdeğiştirme, sürat, hız ve ivme gibi büyüklükler Tek boyutlu hareket yada doğrusal hareket En basit hareket Vektörel işlemlere ihtiyaç duymayacağız Sabit ivmeli doğrusal harekete ait hareket denklemleri. Örnek: Serbest düşme İvmenin değişken olduğu tek boyutlu hareket. İntegral hesap Konum, yerdeğiştirme, ortalama hız ve ortalama sürat Doğrusal bir yol boyunca hareket eden bir yarış arabası

23 x > x1 ise Δx > 0 ve vort > 0, cisim +x yönünde hareket etmektedir. Ortalama hız= Yerdeğiştirme/zaman v ort x t x t Δt > 0 olduğundan, V ile Δx vektörlerinin yönleri aynıdır. Tek boyutlu (doğrusal) hareket için, v ort x t x t Δt > 0 olduğundan, V ile Δx in işaretleri aynıdır. Ortalama sürat = Yol/zaman (m/s) x t 1 1 x t 1 1 m s

24 x < x1 ise Δx < 0 ve vort < 0, cisim -x yönünde hareket etmektedir. Soru: x ekseni boyunca hareket eden bir parçacığın ilk ve son konumu aşağıdaki gibi verilmektedir. Hangi durum yada durumlarda parçacığın yerdeğiştirmesi negatiftir? 1. x i = -3 m, x s = +5 m. x i = -3 m, x s = -7 m 3. x i = 7 m, x s = -3 m a) 1, ve 3 b) c) 3 d) ve 3 e) 1 ve 3 Soru: Bir koşucu yandaki şekilde gösterilen ve bir kenarı 50 m olan kare şeklindeki bir koşu pistinin A noktasından harekete başlıyor ve 00 s sonra başladığı noktaya geri dönüyor. Koşucunun ortalama hızı ve ortalama sürati sırasıyla kaç m/s dir? a) 5 ve 5 b) 0 ve 5 c) 0 ve 0 d) 0 ve.5 e) 5 ve 0

25 Soru: Şekilde dört farklı yol gösterilmektedir. Cisimler bu dört yolu eşit sürelerde almaktadırlar. Düşey çizgiler arasındaki mesafe eşit olduğuna göre yolları, cisimlerin ortalama hızına göre büyükten küçüğe doğru sıralayınız. a) 4>1=>3 b) 3>1=>4 c) 1==3=4 d) 4>1>>3 e) 1>4=> Soru: Yukarıdaki soruda, yolları, cisimlerin ortalama süratine göre büyükten küçüğe doğru sıralayınız. a) 4>1=>3 b) 3>1=>4 c) 1==3=4 d) 4>1>>3 e) 1>4=>3 Soru: Aşağıdaki durumların hangisinde bir boyutta hareket eden bir parçacığın belirli bir zaman aralığındaki ortalama hızı, ortalama süratinden daha küçüktür. a) Parçacık +x yönünde hareket ederse b) Parçacık -x yönünde hareket ederse c) Parçacık +x yönünde hareket ettikten sonra hareket yönünü değiştirip x yönünde hareket ederse d) Hiçbir durumda parçacığın ortalama hızı, ortalama süratinden küçük olamaz Ani Hız Yarış arabasının P 1 noktasındaki ani hızını bulmak için P noktasını P 1 noktasına oldukça çok yaklaştırarak ortalama hız hesaplamalıyız. Ani hız, Δt sıfıra giderken ortalama hızın limit değerine eşittir. Bu limit x in t ye göre türevine eşittir.

26 x V x lim t 0 t dx dt V x > o ise cisim +x yönünde hareket etmektedir. V x < o ise cisim -x yönünde hareket etmektedir. Soru: Aşağıdaki denklemler dört farklı durum için x ekseni boyunca hareket eden bir parçacığın, t (s, saniye) zamanının fonksiyonu olarak x (m, metre) konumunu göstermektedir. Hangi durum yada durumlar için parçacığın hızı sabittir. 1. x = 3t. x = -4t - 3. x = /t 4. x = - a) 1 ve 4 b) 1 c) 3 ve4 d), 3 ve 4 e) 4 Soru: Yukarıdaki soruda hangi durum yada durumlar için parçacığın hızı x yönündedir? 1. x = 3t. x = -4t - 3. x = /t 4. x = - a) 1 ve 3 b) ve 3 c) d) ve 4 e) 3 x, cismin nerede olduğunu, V ise hangi yönde hareket ettiğini gösterir. x negatif iken V pozitif veya x pozitif iken V negatif olabilir. Ani hız, cismin ne kadar hızlı ve hangi yönde hareket ettiğini, ani hızın büyüklüğü olan ani sürat ise cismin ne kadar hızlı hareket ettiğini gösterir. Örnek. V x = 5 m/s hızıyla +x yönünde hareket eden bir cisimle, V x = -5 m/s hızla -x yönünde hareket eden her iki cismin sürati de 5 m/s dir. Soru: Aşağıdaki ifadelerden hangisi veya hangileri doğrudur. 1. Bir cismin ani sürati onun ani hızının büyüklüğüne eşittir.

27 . Bir cismin ortalama sürati daima onun ani hızının büyüklüğüne eşittir. 3. Hız kontrolü yapan bir radar, arabaların ortalama süratini değil ani süratini ölçer. 4. Bir arabanın hız göstergesi onun ani süratini değil ani hızını gösterir. 5. Hız ve süratin her ikisi de vektörel bir büyüklüktür. a) 1 ve 5 b) ve 4 c) 3 ve 5 d) ve 3 e) 1 ve 3 Konum-zaman grafiğinden hızı bulmak Yarış arabasının yörüngesi üzerindeki P noktası P 1 noktasına yaklaştırıldıkça, konum zaman grafiği üzerindeki p noktası p 1 noktasına yaklaşır. Herhangi bir noktadaki ani hız konum zaman grafiğine o noktadan çizilen teğetin eğimine eşittir.

28 Soru: Şekilde bir cismin konum zaman grafiği gösterilmektedir. Cismin P, Q, R ve S noktalarındaki hızlarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız. a) P>Q=S>R b) R>Q=S>P c) P>Q>S>R d) P=R>Q=S e) P=Q=S=R Ortalama ve ani ivme Ortalama ivme a ort, x vx t v t x v t 1x 1 Tek boyutlu hareket için ortalama ivme a ort, x vx vx v1 x m t t t s 1 Hız-zaman veya konum zaman grafiğinden ivmeyi bulmak

29 P1 noktasındaki ani ivme; a x lim t0 v t dv dt d x dt Soru: Aşağıdaki denklemler dört farklı durum için x ekseni boyunca hareket eden bir parçacığın, t (s, saniye) zamanının fonksiyonu olarak, x (m, metre) konumunu göstermektedir. Hangi durum yada durumlar için parçacığın ivmesi sabittir. 1. x = 3t 4. x = -5t 3 + 4t x = (/t ) (4/t) 4. x = 5t - 3 a) 3 ve 4 b) 1 c) 1, 3 ve4 d) 1 ve 4 e) 4 Hareket Diyagramı: Hareket diyagramları: Cisimlerin eşit zaman arlıkları için ardışık konumları belirlenerek, her bir konum için hız ve ivme vektörleri çizilmek suretiyle elde edilir. Hız ve ivme zaman zaman birbirleriyle karıştırılır. Hareket diyagramları bu karışıklığı gidermek için çizilmektedir. Bir hareket diyagramı, hareket eden cismin stroboskopik fotoğraflarından elde edilen görüntüye benzer. Stroboskop hızlı cisimlerin fotoğraflarını çekmek amacıyla eşit zaman aralıklarıyla çok sayıda, kısa süreli ışık üreten (flaş yakan) bir lambadır. Stroboskop un flaşının her yanışında cismin bir görüntüsü kaydedilir. Bu şekilde elde edilen görüntüler çoklu flaş görüntüleri olarak da adlandırılır.

30 x-t grafiği yukarı doğru bükülmüş (yukarı konkav veya yukarı çukur) ise a x >0 dır ve V x hızı artar. x-t grafiği aşağı doğru bükülmüş (aşağı konkav veya aşağı çukur) ise a x <0 dır ve V x hızı azalır. x-t grafiğinin eğrilmediği ( büküm noktasında veya eğrinin yön değiştirdiği) noktada a x =0 dır ve V x değişmez. x-t grafiğinin eğriliği ne kadar büyükse ivme de o kadar büyüktür. Soru: Şekilde bir cismin konum zaman grafiği gösterilmektedir. Cismin P, Q, R ve S noktalarının hangisinde veya hangilerinde ivmesi pozitiftir.

31 a) P ve R b) Q ve S c) S d) P, Q ve S e) Hiçbir şey söylenemez Sabit İvmeli Hareket Hız eşit zaman aralıklarında eşit miktarlarda değişir. Konum eşit zaman aralıklarında farklı miktarlarda değişir. Yani cisim eşit zaman arlıklarında eşit yerdeğiştirmeler yapmaz. Örnek. Hava direnci önemsiz ise, serbest düşen bir cisim, bir eğik yada yatay bir düzlem üzerinde kayan bir cisim İvme sabit olduğu için ortalama ivme ani ivmeye eşittir. t 1 =0, t =t, v 1 =v 0 ve v = v alınırsa,

32 a ort a v t v t 1 1 v v 0 at İvme zaman grafiğinin altında kalan alan hızdaki değişimi verir. Bu durum, ivme sabit olmasa da geçerlidir. Ortalama hız için genel ifade, t 1 =0 için x 1 =x 0, t =t için x =x x x t v ort 0 Sabit ivmeli hareket için ortalama hız, t 1 =0 için v 1 =v 0, t =t için v =v v ort x x v 0 v 0 v t 0 1 at Hız zaman grafiği altında kalan alan cismin konumundaki değişime yani yer değiştirmesine eşittir. Bu durum, ivme sabit olmasa da geçerlidir.

33 Konum zaman fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerini alarak kontrol edelim. x v x 0 v 0 t 1 at dx v0 at dt dv dt a

34 Konum, hız ve ivme arasındaki ilişki (zamanı içermeyen) v v a t 0 x x 0 v 0 v v a 0 1 v v a a 0 v v 0 a( x x0) Konum için ivmeyi içermeyen bir bağıntı v v0 x x0 t v Sabit ivmeli doğrusal hareket denklemleri v 0 at x x v 0 v 1 v 0 t at 0 a( x x0) x x 0 v v 0 t Soru: 15 m/s lik sabit bir hızla hareket eden bir araba, tam bir kontrol noktasından geçtiği anda, hız limitini aştığı için, motosikletli bir polis sabit 3 m/s lik ivmeyle arabayı kovalamaya başlıyor. Belirli bir süre sonra motosikletli polis, arabayı yakaladığına göre, aşağıdakilerden hangisi motosiklet ve arabanın hız zaman grafiği olabilir?

35 Serbest düşme Aristo, MÖ 4. yüzyılda, Ağırlıkları ile orantılı olarak, ağır cisimler hafif cisimlerden daha hızlı düşerler. Galileo, MS 15. yüzyılda, Bütün cisimler, hava direncinin önemsiz olduğu durumlarda, ağırlıklarından ve büyüklüklerinden bağımsız sabit bir ivme ile düşerler. Hava direncinin önemsiz olduğu durumlarda, aynı yükseklikten bırakılan cisimler, boyutlarından ve ağırlıklarından bağımsız olarak aynı ivme ile düşerler. Düşme yüksekliği dünyanın yarıçapı yanında çok küçük olduğunda ve dünyanın kendi ekseni etrafında dönmesinden kaynaklanan küçük etkiler ihmal edildiğinde, düşme yüksekliği ne olursa olsun cisimler aynı ivme ile düşerler. Yerçekimi kuvvetinin etkisinde yukarıda belirttiğimiz özel koşullar altında gerçekleşen bu ideal hareket serbest düşme olarak adlandırılır. Yerçekimi ivmesi aslında cismin bulunduğu konuma göre değişir.

36 Yerçekimi ivmesinin yeryüzündeki ve yeryüzüne yakın yerlerdeki değeri g = 9.8 m/s dir. Ay yüzeyindeki ivme gay = 1.6 m/s Güneş yüzeyindeki ivme ggüneş = 70 m/s Örnek. Bir demir para pissa kulesinin tepesinden bırakılıyor. Demir paranın 1, ve 3 s sonraki konumunu ve hızını bulunuz. Örnek. Bir top bir binanın tepesinden yukarıya doğru düşey doğrultuda 15 m/s lik bir hızla fırlatılıyor. a) t=1 ve 4 s sonraki y=? ve V y =? b) Atıldığı noktanın 5 m üstünde iken hızını c) Ulaştığı maksimum yüksekliği ve bu yüksekliğe ulaşması için geçen zamanı d) Maksimum yükseklikteyken topun ivmesini bulunuz. e) Top ne kadar sürede atıldığı noktanın 5 m aşağısına gelir?

37 Soru: Bir top yukarı doğru düşey doğrultuda belirli bir ilk hızla fırlatıldıktan sonra, maksimum h yüksekliğine t sürede ulaşıyor. Topun yukarı doğru fırlatılma hızı iki katına çıkarılacak olursa maksimum yüksekliği kaç h olur? a) h b) h c) 4h d) 8h e) 16h Soru: Bir top yukarı doğru düşey doğrultuda belirli bir ilk hızla fırlatıldıktan sonra, maksimum h yüksekliğine t sürede ulaşıyor. Topun yukarı doğru fırlatılma hızı iki katına çıkarılacak olursa maksimum yüksekliğe çıkış süresi kaç t olur? Soru: Yukarıdaki şekilde, yatay bir zemin üzerinde sağa doğru hareket eden bir cismin eşit zaman aralıklarında fotoğrafları çekilmek suretiyle elde edilen çoklu flaş yada stroboskopik görüntü diyagramı görülmektedir.. İlk ve son görüntülerde cisim durmaktadır. Aşağıdaki grafikte gösterilen renklerden hangisi cismin konum zaman grafiğini en iyi şekilde temsil etmektedir. a) Kırmızı b) Mavi c) Yeşil d) Hiçbiri

38 İki veya Üç Boyutlu Hareket Konum, yerdeğiştirme ve hız vektörleri Şekilde P noktasında bulunan bir cismin konum vektörü r = xi + yj + zk Parçacık Δt kadar zaman aralığında P1 noktasından P noktasına geliyor. Bu zaman aralığında parçacığın yerdeğiştirmesi Δr= r-r1= (x-x1) i+ (y-y1) j+ (z-z1) k Bu zaman aralığında parçacığın ortalama hızı Ortalama hız vektörü, yerdeğiştirme vektörü ile aynı doğrultu ve yöne sahiptir.

39 Parçacığın ani hızı, Parçacığın ani hızının büyüklüğü onun ani süratine eşittir. Ani hız vektörü, dr vektörü ile aynı yön ve doğrultuya sahiptir. Yani ani hızın yönü, parçacığın o andaki hareket yönüyle aynıdır. Δt sıfıra giderken, P1, p ye oldukça çok yaklaşır ve Δr vektörünün doğrultusu, o noktadan yola çizilen teğetin doğrultusuna yaklaşır. Yörüngenin herhangi bir noktasındaki hız vektörü, o noktada yörüngeye teğettir Δr nin, x, y ve z eksenleri üzerindeki bileşenleri, Δx, Δy ve Δz dir. Δx=x-x1, Δy=y-y1 ve Δz=z-z1 Ani v hızının dik koordinat sistemindeki bileşenleri, v x dx dt, v y dy dt ve v z dz dt Birim vektörler cinsinden ani hız vektörü, dr v dt İvme vektörü dx dt iˆ dy dt ˆj dz dt kˆ

40 v1+δv=v Δv= v-v1 İvme, hızın büyüklüğündeki yani süratteki değişimi ve hızın yönündeki yani hareket yönündeki değişimi ifade eder. Ortalama ivme, a ort v t v t 1 1 aort, Δv vektörü ile aynı yön ve doğrultuya sahiptir.

41 Ani ivme Hızın zamanla ani değişme hızıdır. a lim t 0 v t dv dt Ani ivme cismin izlediği yolun çukur tarafına doğrudur. Yani parçacık tarafından yapılan dönmenin iç tarafına doğrudur. Üç boyutta, dvx a x, dt dvy a y, dt dvz a z dt Birim vektörler cinsinden ani ivme, a dv dt x iˆ dv dt y ˆj dv dt z kˆ a Konumun ikinci türevi olarak ani ivme d dt x iˆ d dt y ˆj d dt z kˆ

42 İvmenin yörüngeye dik ve paralel bileşenleri Hıza paralel ivme hızın büyüklüğünü yani sürati değiştirir. Hıza dik ivme hızın yada hareketin yönünü değiştirir fakat sürati değiştirmez. Δt küçüldükçe Δv nin doğrultusu v1 nin doğrultusuna dik doğrultuya yaklaşır. Δt sıfıra yaklaştıkça φ açısı sıfıra yaklaşır ( v1 ve v birbirine paralel hale gelir) ve Δv, hem v1 hem de v ye dik olur. v1 ve v nin büyüklükleri birbirine yaklaşır ve eşit olur.

43 Soru: Aşağıdaki durumların hangisi veya hangilerinde cismin ortalama hızı, zaman aralığının sonundaki ani hızına eşit olur. 1. Eğri bir yol boyunca sabit süratle hareket eden bir cismin. Eğri bir yol boyunca hızlanarak hareket eden bir cismin 3. Doğrusal bir yol boyunca sabit süratle hareket eden bir cismin 4. Doğrusal bir yol boyunca hızlanarak hareket eden bir cismin a) ve 3 b) ve 4 c) 1 ve 3 d) 3 ve 4 e) 3 Soru: Aşağıdakilerden hangisi bir arabanın ivmelenmesine neden olur 1. Gaz pedalı. Fren 3. Direksiyon a) 1, ve 3 b) 1 ve c) d) 1 e) 3 Soru: Aşağıdaki cisimlerden hangisi veya hangileri kesinlikle bir ivmeye sahip olamaz. 1. Sabit süratle hareket eden bir cisim. Sabit hızla hareket eden bir cisim 3. Eğri bir yol boyunca hareket eden bir cisim a) 1, ve 3 b) 1 ve c) 1 ve 3 d) ve 3 e)

44 Soru. Bir kayakçı atlama rampası boyunca şekilde gösterildiği gibi hareket ediyor. Rampa A ile C arasında düz, C den sonra ise eğimlidir. Kayakçı A dan E ye kadar hız kazanmaktadır ve E noktasında hızı maksimumdur. Kayakçı E noktasından sonra yavaşlamaktadır. Bütün sürtünmeler ihmal edildiğine göre kayakçının B, D, E ve F noktalarındaki ivmelerini çiziniz. Soru. Bir kızak karla kaplı bir tepenin üzerinde hareket ediyor. Kızak tepeye çıkarken hız kaybediyor, tepeden aşağı doğru inerken hız kazanmaktadır. Bütün sürtünmeler ihmal edildiğine göre vektörlerden hangisi tam tepedeyken kızağın ivmesinin yönünü göstermektedir? a) 1 b) 3 c) 7 d) 8 e) İvme sıfırdır Eğik atış Bir ilk hızla fırlatılan bir cismin, yerçekimi ve havanın direnç kuvveti etkisinde yapmış olduğu hareket. Örnek. Sopayla vurulan beysbol topunun, vurulan bir futbol topunun, bir uçaktan bırakılan bir paketin, bir tüfekten ateşlenen bir merminin hareketi

45 Eğik atış hareketi için idealleştirilmiş model, Eğik atılan cisim bir parçacık olarak ele alınır Yerçekimi ivmesi sabit ( hem yön hem de büyüklük olarak) kabul edilir. Hava direnci, dünyanın eğriliği ve kendi ekseni etrafında dönüşü ihmal edilir. Modelin sınırları mevcuttur. Örnek. Uzun menzilli füzelerin hareketinde dünyanın eğriliği ve hava sürtünmesi önemlidir. Bir rampadan atlayan kayakçı için hava sürtünmesi önemlidir. Eğik atış hareketi, ilk hız vektörünü kapsayan düşey düzlemde gerçekleşen iki boyutlu bir harekettir. Eğik atış hareketi yatayda sabit hızlı, düşey de ise sabit ivmeli olan iki hareketin bileşimidir. İvmenin bileşenleri, a x =0, a y =-g v x v cos x v cos t y v0 sin 0 t gt v v sin t gt y 0 0

46 Eğik atış hareketinde maksimum yükseklik ve menzil 1) α0=90 ise sinα0=1 (maksimum), h=hmaks (yükseklik maksimum) ) α0=90 yani α0=45 ise sinα0=1 (maksimum), R=Rmaks (menzil maksimum) 3) Birbirini 90 0 ye tamamlayan açılar için (α0 ve 90 - α0 ) menziller aynıdır. Soru: Yukarıdaki şekilde aynı ilk sürat ile beş farklı açıda atılan bir cismin izlediği yollar gösterilmektedir. Atılma açılarını uçuş zamanına göre büyükten küçüğe doğru sıralayınız. a) 75 > 60 > 45 > 30 > 15 b) 15 > 30 > 45 > 60 >75 c) 45 > 60 >75 > 30 > 15 d) 45 > 30 > 15 > 60 > 75 e) 45 > 75 = 15 > 60= 30

47