Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü

Transkript

1 Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END 2303 İstatistik-I Bölüm 1: İstatistiğe Giriş: Temel kavramlar ve Olasılık Teorisi Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN

2 İstatistik, geçmişi anlamanın, bugünü yönetmenin ve geleceği planlamanın anahtarıdır. Türkiye İstatistik Kurumu Endüstri Mühendisi, etkin ve efektif kararlar verebilmek için bilgiye; bilgi üretmek için ise bir veri bilimi olan İstatistiğe ihtiyaç duyar. Dr. Kemal SUBULAN

3 Değerlendirme 1. Ara sınav %35 Proje %15 Final %50 Derse devam zorunludur (%70 Devam Zorunluluğu; En Fazla 4 Hafta)

4 Ana Kaynaklar, Ders Kitapları

5 Ders Notları ve Proje Hazırlama Kılavuzu Dönem Projesi, adresinden seçilecek TÜİK istatistikleri ile tanımlayıcı istatistik çalışmasını kapsamaktadır. Bu proje, bireysel olarak yapılacak ve veri analizleri için MINITAB yazılımı kullanılacaktır.

6 Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) Farklı alanlarda sunulan istatistiksel veriler

7 İstatistik (Statistics) Nedir? İstatistik; belirsizlik altında (Rassallık türünden) bir konuda karar verebilmek amacıyla, ilgilenilen konuya ilişkin verilerin toplanması, işlenmesi, düzenlenmesi, sınıflandırılması, özetlenmesi, çözümlenmesi (Verilerin anlamlı bilgiler haline dönüştürülmesi) ve sonuçlarının yorumlanmasına yönelik olarak kullanılan yöntemler bütünüdür. İstatistik, etkin ve efektif kararlar verebilmek amacıyla, sayıları, karar vericiler için faydalı bilgilere dönüştüren bir matematik dalıdır.

8 İstatistik (Statistics) Nedir? İstatistik, sayısal verileri değerlendiren bir bilim dalıdır (Veri bilimi) veya verilerin dilidir. Veri hamdır, işlenmemiştir ve analiz edilmemiştir; veriler işlenip analiz edilince bilgiye dönüşür. Bilgisayarların ve istatistik biliminin veriye ihtiyacı vardır; İnsanların ise karar verebilmek için bilgiye ihtiyacı vardır.

9 İstatistiksel Yöntemler Tanımlayıcı (Descriptive) istatistik: Verilerin özetlenmesi, sınıflandırılması, tablo ve grafikler ile sunulmasını sağlar. Veri setinin merkezi eğilimi (Ortalama, tepe değer, ortanca değer), yayılımı (Değişkenlik ölçütleri: Varyans, standart sapma, değişim aralığı ve değişkenlik katsayısı) ve dağılımının şekli (Simetrik, çarpıklık ve basıklık) hakkında bilgiler sunar. Çıkarsamalı (Inferential) istatistik: Popülasyon (Ana kitle, yığın) adı verilen büyük gruplardan alınan örneklere dayanarak, örnekleme sonucunda popülasyonun tümü hakkında yorumlar ve kabuller yapılmasını sağlar (Hipotezler test edilir ve karara varılır).

10 İstatistiksel Yöntemler Model kurma (Model Building): Deney sonuçlarından elde edilen verilerden yola çıkarak, tahmin edici denklemlerin geliştirilmesidir. Bu denklemler, istatistiksel modeller olarak adlandırılır ve bir sistemin davranışının önceden tahmin edilmesini ve hata olasılığının belirlenmesini sağlar.

11 Olasılık (Probability) Nedir? Populasyon (Örneklem) hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bir başka deyişle, alınan örnekler, popülasyon hakkında kesin bir bilgi sağlamayabilir. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılmasıdır. Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkta karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir.

12 Olasılık (Probability) Nedir? Olasılık, bir olayın meydana gelme (ortaya çıkma) şansının sayısal ifadesidir. Olasılık, uygulamalı matematiğin önemli bir dalıdır ve istatistiksel yorumlamada önemli bir uygulama alanı bulmuştur. Örnekler: Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın, en az birinin papaz olma olasılığı, Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı gibi.

13 Temel Olasılık Kuralları Tüm olayların ortaya çıkma olasılıkları, 0 ile 1 arasında sayılardır. Hiçbir olayın olasılığı 1 den büyük olamaz. 0 P(A) 1 1 e yakın olasılıklar olayın ortaya çıkma şansının yüksek olduğunu gösterir ancak mutlaka gerçekleşeceğini göstermez. Olayın her zaman rastlanan bir olay olduğu anlaşılmalıdır. 0 a yakın olasılıklar, olayın ortaya çıkmasının pek muhtemel olmadığını gösterir ancak gerçekleşmeyeceği anlamına da gelmez. Olayın nadir görüldüğü anlaşılmalıdır. ½ ye yakın olasılıklar, olayın ortaya çıkma şansının çıkmama şansı kadar olduğunu gösterir.

14 Temel Kavramlar & Tanımlar Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir. Örnek: Madeni para atılması, İçinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi. Basit Olay: Tek bir deneyde tek bir sonuç olarak gerçekleşen olaylardır. Bir başka deyişle, Bir deneyin çıktısı daha basit bir çıktı olarak ayrıştırılamıyorsa basit olaydır. Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi, Bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça ası olması. Olay (Event): Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur. Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi, İçinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan, 2 top birinin sarı birinin lacivert olması. çekildiğinde

15 Temel Kavramlar & Tanımlar Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı, P(A) şeklinde gösterilir. P A = n N n, A olayının ortaya çıkma sayısı (Frekans), N, gerçekleştirilen deneme sayısıdır. Olasılık için Notasyon P olasılığa karşılık gelir. A, B, ve C spesifik olayları tanımlar. P (A) - A olayının meydana gelmesi olasılığını ifade eder.

16 Temel Kavramlar & Tanımlar Bileşik Olay: İki veya daha çok olayın birlikte veya birbiri ardına meydana gelmesine denir. P(A 1 ve A 2 ) Örnek: İki zar atıldığında, ikisinin de 4 gelmesi, Bir zar arka arkaya iki defa atılır. Her iki atışta da 4 gelmesi. 52 lik desteden as ve aynı zamanda karo çekilmesi. Ayrık (bağdaşmaz) Olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık (birbirini engelleyen) olaylar denir. Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi ayrık olaylardır. Bir dersten ya geçilir veya kalınır.

17 Temel Kavramlar & Tanımlar Birbirini Bütünleyen (Tümleyen) Olaylar: A ve olaylarıdır. Tüm basit olaylar, A veya A içerisinde yer alırlar. Tümleyen olaylar ile ilgili kurallar: A ayrık P A + P A = 1 P A = 1 P A P A = 1 P A

18 Örnek Uzayı (Sample Space) Bir deneyin sonucunda elde edilen tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır. Bu kümede, denemenin her bir muhtemel sonucu, örnek uzayında tam olarak bir elamana karşılık gelir. Örnek uzayın her bir elamanı, örnek nokta olarak adlandırılır. Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu elde edilen örnek uzayı; x: zarın üst yüzünde gelen sayı S = { x; x = 1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek uzayının herhangi bir alt kümesi, E ile gösterilir ve olay olarak adlandırılır. E = {3}, zarın 3 gelmesi. Önemli Olasılık Kuralı: Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1 e eşittir.

19 Farklı Örnek Uzayı Türleri 1. Sonlu elemanlı kesikli örnek uzayı (sayılabilir sonlu): x: herhangi bir gün içinde yağmur yağması x = 0 (yağmur yağmaz) x = 1 (yağmur yağar) Örnek Uzayı; S = { x / 0, 1 } veya S = { x / Yağmursuz, Yağmurlu } 2. Genel kesikli örnek uzayı (sayılabilir sonsuz): x: bir zar için 6 gelinceye kadar yapılan atış sayısı Örnek Uzayı; S = { x / 1,2,3,.. } olarak belirlenir ve sayılabilir sonsuz bir örnek uzayıdır. (Kesikli şans/rastgele değişkeni)

20 Farklı Örnek Uzayı Türleri 3. Sürekli örnek uzayı (sayılamaz sonsuz): x : öğrencilerin boyları (cm cinsinden) Örnek Uzayı; S = { x / 150 < x < 200 } olarak belirlenir ve sayılamaz sonsuz bir örnek uzayıdır. (sürekli şans değişkeni)

21 Temel Kavramlar & Tanımlar Bağdaşır Olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını engellemiyorsa; bir başka deyişle, iki veya daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa bağdaşır olaydır. Örnek: Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi. Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler. 52 lik desteden çekilen kartın maça olması kız olmasını engellemez. Eşit Olasılıklı Olaylar: Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise bu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir. Örnek: Bir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt çekilmesi. Bir zarın atılması sonucu elde edilen sayılara ait olasılıklar eşittir.

22 Temel Kavramlar & Tanımlar Bağımsız Olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise, bağımsız olaylardır. Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesinin olasılığı, diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara, bağımsız olaylar denir. P (A B) = P (A / B). P (B) = P (B / A). P (A) A ve B olayları bağımsız ise bir başka ifadeyle B olayının meydana gelme olasılığı A olayının meydana gelme olasılığına bağlı değil ise ve iki olay aynı anda meydana gelebiliyor ise; P (A / B) = P (A) ve P (B / A) = P (B) olur.

23 Temel Kavramlar & Tanımlar Sonuç olarak A ve B olayları bağımsız iseler; P ( A B ) = P ( A ). P ( B ) eşitliği elde edilir. Aynı şekilde P (A B) = P (A). P (B) ise A ve B olayları bağımsızdır denir. Bağımsız olaylara örnek olarak; bir ailede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de erkek olacağı anlamına gelmez. Bağımlı Olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa bu olaylar bağımlı olaylardır. Örnek: 52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor iade edilirse bağımsız, iade edilmezse bağımlı olaydır.

24 Özet: Bağımlı & Bağımsız Olaylar A ve B olayları, eğer birisinin meydana gelmiş olması diğerinin meydana gelmesi olasılığını etkilemiyorsa bağımsızdırlar. A ve B olayları bağımsızdır. P(B \ A) = P(B) veya P(A ve B) = P(A). P(B) A ve B olayları bağımlıdır. P(B \ A) P(B) veya P(A ve B) P(A). P(B)

25 Örnek 1 Ali ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 0.65 ve 0.40 olarak verilmiştir. İki avcı hedefe birlikte ateş ettiğinde hedefin vurulma olasılığını hesaplayınız? Örnek 2 Bir elektrik kontrol panelinde 3 anahtar bulunmaktadır. Bu anahtarlar herhangi bir anda on veya off durumunda olabilmektedir. a) örnek uzayın elemanlarını listeleyiniz. b) Aşağıdaki olayları oluşturan örnek noktalarını yazınız. 1. En az bir anahtar on, 2. 1 no lu anahtar on, 3. on durumunda anahtar yok, 4. 4 anahtar on durumunda.

26 c) Bir önceki soruda tanımlanan 1-2; 1-3 ve 1-4 olayları karşılıklı dış olaylar mıdır? d) 4 gibi bir olaya verilen isim nedir? e) Eğer herhangi bir anda bir anahtarın on durumunda olma olasılığı ile off durumunda olma olasılığı eşitse, 3. olayın ( on durumunda anahtar olmaması) olasılığı nedir? Karşılıklı Dış Olaylar (Mutually Exclusive Events): Eğer bir A olayının ortaya çıkması, başka bir B olayının ortaya çıkmasını engelliyorsa, böyle olaylara karşılıklı dış olay denir. Böyle iki olayın hiçbir ortak noktası yoktur. Bir başka deyişle, aynı anda ikisi beraber gerçekleşememektedir. A B =

27 Örnek 3 Bir zar ile bir madeni para arka arkaya atılıyor. a) Örnek uzayın elemanlarını listeleyiniz. b) A olayı: Zarın 1 veya 2 gelmesi B olayı: Paranın tura gelmesi A ve B olayları birbirinden bağımsız olaylar mıdır? Zarın 1 veya 2 gelmesi ve paranın da tura gelmesi olasılığını bulunuz.

28 Olasılığın Gelişim Aşamaları (Olaylara Belirli Olasılıklar Atamak için Kullanılan Yaklaşımlar) A. Klasik (A Priori) Olasılık B. Frekans (A Posteriori) Olasılığı C. Aksiyom Olasılığı Bu sıralama, olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır. Tüm bunlara ek olarak, olaylara olasılık atarken kişisel (subjektif) yaklaşımdan da faydalanılabilir.

29 1. Klasik Olasılık (Classical Approach) Eğer bir örnek uzayı n(s) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(a) adedi A olayının özelliğine sahip ise A nın olasılığı: P(A) = n(a) / n(s) n(s): Örnek uzayı eleman sayısı n(a): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı hesaplamaktadır. Bir denemenin muhtemel tüm sonuçları eşit olasılığa sahipse kullanılabilir. Örnek 4 Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil n( A) 5 1 bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin P( A) sarı olma olasılığı nedir? n( S) 15 3

30 Klasik Olasılığın Yetersiz Kaldığı Durumlar 1. Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğu durumlarda, 2. Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığı durumlarda, klasik olasılık ile hesaplama yapılamayacağından dolayı yetersizdir. 2. Frekans Olasılığı (Relative Frequency) Araştırılan anakütle (yığın veya popülasyon) üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(a) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı): P(A) = n(a) / n olarak bulunur. A olayının görülme sayısı (Sıklığı/frekansı), deneme sayısına bölünerek elde edilir. Frekans olasılığı, deneme birçok kez tekrarlanabildiğinde ve sonuçlar gözlenebildiğinde kullanılır (Gözlemlere dayanarak).

31 Frekans Olasılığı Örnek Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların kusurlu/hatalı olma olasılığı p nedir? Öncelikle örnek uzayı oluşturulur: S={sağlam, hatalı} Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p = 0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir. Yapılması gereken örneklem alarak P(H) = n(h) / n olasılığını hesaplamaktır.

32 Frekans Olasılığı ve Büyük Sayılar Kanunu (Law of Large Numbers) Bu kanuna göre; bir prosedür (deney) tekrarlandıkça, frekans olasılığı gerçek olasılığa yaklaşma eğilimi gösterir. Bir başka deyişle, deneme sayısı arttıkça, yaklaşık olasılıklardaki değişkenlik azalacak ve giderek bir sabit değere yaklaşacaktır. Bu duruma, frekans olasılığının kararlılık özelliği adı verilir. Böylece, çok sayıda deneme için, göreli frekans kullanılarak elde edilen yaklaşık olasılık, genellikle tam doğruya yakındır. Örneklem hacmi arttıkça, kusurlu televizyon üretme olasılığı daha doğru tahmin edilebilmektedir.

33 Frekans Olasılığının Yetersiz Kaldığı Durumlar Olasılığın kararlılık değerine ulaştığı deneme sayısı kaçtır? Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir. Aynı deney, iki defa aynı tekrar sayısı ile gerçekleştirildiğinde, elde edilen olasılıklardan hangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir? 3. Aksiyom Olasılığı Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar. Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımız dünyanın problemlerini çözmede kullanılır. Olasılığın iki genel tipinin (Klasik ve Frekans) sahip olduğu önemli ortak nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda (teorik olarak aynı koşullarda) uygulanan deneylere gereksinim duymasıdır.

34 3. Aksiyom Olasılığı Benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlarda, olasılıkların hesaplanmasında AKSİYOM OLASILIĞI kullanılır. Benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlara örnek olarak: Türkiye nin bir hafta içerisinde Kuzey Irak a sınır ötesi operasyon düzenleme olasılığı nedir? Bir sonraki Fenerbahçe Galatasaray maçının 6 0 bitmesi olasılığı nedir?

35 4. Kişisel (Subjektif) Olasılık (Personal Approach) A olayının meydana gelme olasılığı P(A), konu ile ilgili kişilerin kişisel bilgileri (tecrübeleri) ve inanışlarına bağlı olarak belirlenir. Bu yaklaşım ile belirlenen olasılığın doğruluğu, mevcut bilginin doğruluğuna ve mevcut bilgiye sahip kişilerin yeteneklerine bağlıdır. Örneğin; kişisel yatırımcıların hiçbiri borsanın gelecekteki davranışı konusunda aynı görüşü paylaşmaz. Bu kişilerin subjektif olasılıkları, ulaşabildikleri bilgiye ve onu yorumlama biçimlerine bağlıdır.

36 Bazı Temel Olasılık Aksiyomları Aksiyomlar, doğru olduğu varsayılan ve ispatlanmasına gerek duyulmayan ifadelerdir. Aksiyom 1: P(A) örnek uzayı S deki her A olayı için P(A) 0 olan bir gerçel sayıdır (Olasılıklar negatif olamaz). Aksiyom 2: P(S) = 1 örnek uzayın olasılığı 1 dir. Aksiyom 3: P( )=0 boş kümenin olasılığı sıfırdır. Aksiyom 4: A ve B herhangi iki olay olmak üzere; Toplama Kuralı, P(A U B) = P (A)+ P (B) P (A B)

37 Bazı Temel Olasılık Aksiyomları Aksiyom 5: A ve B ayrık iki olay ise (Karşılıklı dış olay); P(A U B) = P (A) + P (B) Örnek uzayındaki örnek noktaları eşit şansa sahip olmadığında, bir olayın olasılığını hesaplamaya yarar. Aksiyom 6: Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. Örneğin, İki para atılma olayında örnek uzayı: s ( YY ),( TT),( TY),( YT ) Her sonucun gelme olasılığı ¼ dür. 4 sonuç olduğuna göre, 1/4+1/4+1/4+1/4=1

38 Kaynakça D. C. Montgomery and G.C. Runger, (1999). Applied Statistics and Probability for Engineers, 2nd Edition. John Wiley and Sons, USA. R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers, (1998). Probability and Statistics for Engineers and Scientists, 6th Edition. Prentice Hall, USA. F. Akdeniz. (2010). Olasılık ve İstatistik, 15.Baskı. Nobel Yayın Dağıtım, Adana. Prof. Dr. G. Miraç Bayhan, ders notları. Dr. Öğr. Üyesi Seren Özmehmet Taşan, ders notları. Prof. Dr. Ali Kemal Şehirlioğlu ders notları,