Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
|
|
- Hazan Togan
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen örneklerin Ģansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karģılaģılmasıdır. Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir. 1
2 Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur. Örnekler: Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı, Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.??? 2
3 Temel Tanımlar ve Kavramlar-I Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (Ģans değiģkeni oluģturan eylem, gözlem ya da süreçtir. Örnek: madeni para atılması, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi. Basit Olay Tek bir deneyde tek bir sonuç veren olaylara basit olay denir. Örneğin 52 lik bir desteden as çekilmesi Madeni bir para ile atış yapıldığında tura gelmesi 3
4 BileĢik Olay İki veya daha fazla olayın birlikte veya birbiri ardınca meydana gelmesine denir. İki zarın birlikte atılması durumunda 4 görülmesi 52 lik bir desteden çekilen asın aynı zamanda karo olması 4
5 Örnek Uzayı: Bir deneyin sonucunda elde edilen tüm mümkün basit olaylarının oluģturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır. Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu elde edilen örnek uzayı; x: zarın üst yüzünde gelen sayı S = { x; x = 1,2,3,4,5,6 } 5
6 Eşit Olasılıklı Olaylar: Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eģit ise bu olaylara eģit olasılıklı olaylar denir. Örnek: Bir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt çekilmesi. 6
7 BağdaĢmaz Olay Bir olayın ortaya çıkması diğer bir olayın ortaya çıkmasını engelliyorsa yani iki olay birlikte meydana gelemiyorsa bağdaşmaz olaydır. Örneğin bir sınavdan ya geçilir ya da kalınır. BağdaĢır olay:bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını engellemiyorsa iki veya daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa bağdaşır olaydır. Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi. Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler. 52 lik desteden çekilen kartın maça olması kız olmasını engellemez. 7
8 Bağımsız olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise P( B P(. P( B ilede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de erkek olacağı anlamına gelmez. Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa 52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor İade edilirse bağımsız, iade edilmezse bağımlı olaydır. 8
9 Olasılığın Ġki Temel Kuralı; 1 Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır. 2 Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1 e eģittir. DĠKKT!!!! Hiç bir olayın OLSILIĞI 1 den büyük olamaz!!!! Bir olayın ortaya çıkma olasılığı; P( şeklinde gösterilir. 9
10 Olasılığın Limitleri Ġmkansız bir olayın olasılığı 0 dır. Kesin bir olayın olasılığı 1 dir. Bir olayı için 0 P( 1. 10
11 Tanımlar ve B olayları, eğer birlikte meydana gelemiyorlarsa, ayrıktır (birbirini engelleyen olaylardır. 11
12 Birbirini Bütünleyen (Tümleyen Olaylar ve ayrık olaylardır. Tüm basit olaylar veya içerisinde yer alır. Olayının Venn Diyagramı Gösterimi 12
13 Olasılığın GeliĢim Ģamaları Klasik ( Priori Olasılık Frekans ( Posteriori Olasılığı ksiyom Olasılığı NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır. 13
14 Klasik Olasılık Bir olayın aynı şartlar altında meydana gelebilecek bütün olanaklı sonuçlarını elverişli ve elverişsiz şeklinde iki gruba ayırıp birinci gruptakilerin sayısını a ve ikinci gruptakilerin sayısını b ile gösterelim. Bütün bu sonuçlar aynı derecede olası olup karşılıklı olarak birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini imkansız kılarsa elverişli sonucun ortaya çıkması olasılığı a/a+b dir. Elverişsiz sonucun ortaya çıkması olasılığı b/a+b dir. 14
15 Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur. Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? : Çekilen bir bilyenin sarı olması n(s: Örnek uzayı eleman sayısı = 15 n(: Örnek uzayındaki elemanı sayısı = 5 n( 5 P( n( S
16 Klasik Olasılık Niçin Yetersizdir? Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğu durumlarda, Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığı durumlarda, Tümdengelim çıkarımları yapılamadığında klasik olasılık ile hesaplama yapılamayacağından yetersizdir. 16
17 Ne Yapılabilir? raştırılan anakütle üzerinde tekrarlı deneyler gerçekleştirilerek sonuçlar analiz edilmek üzere kayıt edilmelidir. 17
18 Frekans Olasılığı raştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen olayı n( defa gözlenmiş ise olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı: P( = n( / n olarak bulunur. 18
19 Örnek: Kusursuz ve dengeli bir parayı 100 defa havaya fırlattığımız zaman 50 defa yazı gelmesi beklenir. Oysa bir deneme yapıldığında 50 defa yazı gelmesi zordur. ncak örnek sayısı giderek arttırıldığında elde edilen yazı sayısının deney sayısına oranının 0.50 ye yaklaştığı görülür. Büyük Sayılar Kanunu: Bir prosedür (deney tekrarlandıkça, frekans olasılığı gerçek olasılığa yaklaşma eğilimi gösterir. 19
20 Frekans Olasılığının Kararlılık Özelliği Gerçekleştirilen deney sayısı arttıkça P( olasılık değerindeki değişkenlik azalacak ve giderek bir sabit değere yaklaşacaktır. Bu duruma kararlılık özelliği adı verilir. Bir olayın olasılığı deneyin tekrarlama sayısı sonsuza yaklaşırken o olayın göreli frekansının alacağı limit değer olarak tanımlanır. p = P( = lim n( / n n 20
21 Frekans Olasılığı Niçin Yetersizdir? Olasılığın kararlılık değerine ulaştığı deneme sayısı kaçtır? Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir. ynı deney iki defa aynı tekrar sayısı ile gerçekleştirildiğinde elde edilen olasılıklardan hangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir? 21
22 ksiyom Olasılığı Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar. Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımız dünyanın problemlerini çözmede kullanılır. Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortak nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda (teorik olarak aynı koşullarda uygulanan deneylere gereksinim duymasıdır. Bununla birlikte benzer koģullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlarda olasılıkların hesaplanmasında KSĠYOM OLSILIĞI yardımcı 22 olur.
23 Benzer KoĢullarda Tekrarlı Olarak Uygulanamayan Durumlara Örnekler: Türkiye nin 1 hafta içinde Kuzay Irağa sınır ötesi operasyon düzenleme olasılığı nedir? Çok hoşlandığınız bir arkadaşınızla çıkma olasılığı nedir? Fenerbahçe - Galatasaray maçının 6-0 bitmesi olasılığı nedir? 23
24 ksiyomlar Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 dir. Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. 24
25 ksiyom 1: P( örnek uzayı S deki her olayı için P(0 olan bir gerçel sayıdır. ksiyom 2: P(S=1 { P(=0 } ksiyom 3: Eğer S 1,S 2,...Olaylarının her biri S deki ayrık olaylar ise,diğer bir deyişle S i S j = tüm ij için ise, P(S 1 S 2...=P(S 1 +P(S
26 Sadece ksiyomlar Yeterli mi? HYIR Bu aksiyomların ve onlara bağlı teoremlerin faydalı bir model geliştirilmesinde bize yardımcı olabilmesi için, S örnek uzayındaki her bir olayı için olasılığın hesaplanmasında kullanılacak bir FONKSİYON ya da bir KURL gereksinim vardır. 26
27 Bu fonksiyonlar İlgilenilen anakütlenin tanımladığı ÖRNEK UZYIN Göre farklılık Gösterir. Sık karşılaşılan üç farklı örnek uzayı; Sonlu elemanlı kesikli örnek uzayı (sayılabilir sonlu Genel kesikli örnek uzayı (sayılabilir sonsuz Sürekli örnek uzayı (sayılamaz sonsuz olarak ifade edilir. 27
28 x : herhangi bir gün içinde yağmur yağması x = 0 ( yağmur yağmaz x = 1 ( yağmur yağar Örnek Uzayı; S = { x / 0, 1 } veya S = { x / Yağmursuz, Yağmurlu } olarak belirlenir ve sayılabilir sonlu bir örnek uzayıdır. 28
29 x : bir zar için 6 gelinceye kadar yapılan atış sayısı Örnek Uzayı; S = { x / 1,2,3,.. } olarak belirlenir ve sayılabilir sonsuz bir örnek uzayıdır. (kesikli Ģans değiģkeni x : öğrencilerin boyları Örnek Uzayı; S = { x / 150 < x < 200 } olarak belirlenir ve sayılamaz sonsuz bir örnek uzayıdır. (sürekli Ģans değiģkeni 29
30 Bazı Temel Olasılık ksiyomları 1. P ( S = 1 2. P ( = 0 3. olayının tümleyeni olarak gösterilir. P( 1 P( 30
31 Örnek Uzayı ve Olay Sayısının Büyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri; Permütasyon Kombinasyon 31
32 Permütasyon Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir? n n-1 n n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı: n(n-1(n-2...(2(1=n! np n = n! 32
33 n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı..olarak ifade edilir. n P x Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır: n! n P x n x! Kullanıldığı durumlar Ġadesiz örnekleme Örneğe çıkıģ sırası önemli 33
34 Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarıģmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı Ģekilde belirlenir? 8! 8 P3 8*7*6 (8 3! 336 Örnek: 2,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur? 6! 6 P4 6*5*4*3 (6 4! =360 34
35 Kombinasyon n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı nc x ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır: n! n C x n x! x! Kullanıldığı durumlar; Ġadesiz örnekleme Örneğe çıkıģ sırası önemsiz 35
36 Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir? 5! (5 3!3! 5*4*3*2 2*3*2 5C3 10 Örnek: 10 erkek ve 5 kadın arasından 2 erkek ve 1 kadın üye içeren bir kurul kaç farklı şekilde oluşturulur? 10! (10 2!2! 10*9 2 10C2 5! (5 1!1! 5C1 5 ( 10 erkek arasından 2 erkek ( 5 kadın arasından 1 kadın Çarpım kuralı uygulanarak 45 * 5 =225 farklı şekilde oluşturulur
37 Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir? 5 işletme 0 iktisat, 4 işletme 1 iktisat, 3 işletme 2 iktisat C C C C C 18 5 C C C C 0,62
38 Örnek: li ve Veli isimli iki arkadaş zar atarak oyun oynuyorlar. Oyuna li başlıyor. Zar 1 veya 2 gelirse oyunu kazanıyor. 3,4 veya 5 gelirse oyuna devam etme hakkını kazanıyor. 6 gelirse zar atma sırası Veliye geçiyor. li nin bu oyunu kazanma olasılığı bulunuz. li nin oyunu kazanma olasılığı p olsun, atista kazanma ucuncu ikinciatista kazanma atista kazanma ilk i i p
39 Örnek Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen Sayma Yöntemleri Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda: Örnek uzayının eleman sayısı, İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip; 1 Toplama Yöntemi 2 Çarpma Yöntemi 39
40 Toplama Yöntemi Bir olayı m farklı Ģekilde, baģka bir B olayı da n farklı Ģekilde oluģabilen ayrık olaylar ise; veya B olayı n + m farklı şekilde oluşabilir. Örnek: İstanbul dan İzmir e 2 farklı tren seferi, 4 farklı havayolu firması, 40 farklı otobüs firması ve 1 adet denizyolu firması ile gidilebildiğine göre İstanbul dan İzmir e kaç farklı şekilde gidilir? = 47 40
41 Çarpma Yöntemi Bir olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklı şekilde oluşabilen ve aynı anda oluģmaları mümkün olaylar ise; ve B olayı n * m farklı şekilde oluşabilir. Örnek: Bir iskambil destesinden çekilen iki kartın birinin Kupa diğerinin Maça olması kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? 13 * 13 =169 NOT: Çarpma yöntemi bağımsız olaylar için kullanılır. 41
42 k farklı sonuç veren bir deney r kez tekrar edilirse ortaya çıkan tüm durumların sayısı; olarak hesaplanır. k r Örnek: Bir zarı 3 kez attığımızda ortaya çıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı; 6 3 = 216 adettir. Örnek uzayının eleman sayısı 216 dır. 42
43 Bağımlı olayda çarpma kuralı: Bağımlı iki olaydan 2 olayı 1 olayından sonra ortaya çıktığında olayların birlikte gerçekleşme olasılığıdır. P( ve P(. P( nin şartlı olasılığı 8 boş 2 ikramiyeli bilet var. Bir kişi 2 bilet almış her iki biletinde ikramiye kazanma olasılığı nedir? 1.bilet: P( 1 =2/10 Geriye 8 boş ve 1 ikramiyeli bilet kaldı. P( P( ve 1 2 P( 1. P(
44 Örnek P( ve P(. P( Bir işyerinde görev almak üzere aynı nitelikleri taşıyan 10 kişi başvurmuştur. dayların 6sı erkek 4 ü kadın olup bunlar arasından iadesiz çekimle 2 memur alınacaktır. a. Her ikisinin de kadın olma olasılığı: P( K ve E= b.her ikisinin de erkek olması: P( K ve E= c.birincisinin erkek ikincisinin kadın olma olasılığı: 44
45 P( ve P(. P( PE ( ve K= d.birincisinin kadın ikincisinin erkek olma olasılığı: PK ( ve E= Çekim iadesiz olduğundan ikinci memur 9 aday arasından çekilmektedir. 45
46 Bağımsız olayda çarpma kuralı: Birbirinden bağımsız 1 ve 2 olaylarının birlikte gerçekleşmesi olasılığı bu olayların basit olasılıklarının çarpımına eşittir. P( ve P(. P( P ( B = P (. P ( B ynı anda atılan iki zarın ikisinin de 2 gelmesi P( ve 1 2 P( 1. P( linin 25 yıl sonra hayatta olması olasılığının 0.60, kardeşli Hasan ın 25 yıl sonra hayatta olması olması olasılığının 0.50 olduğunu varsayarsak 25 yıl sonra ikisinin de hayatta olma olasılığı nedir. P( ve P(. P( 0.60.(
47 BağdaĢır olayda toplama kuralı: İki olay bağdaşır olduğunda 1 olayının veya 2 olayının ortaya çıkması, ya 1 olayının ya 2 olayının ya da 1 ve 2 olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi anlamına gelir. P( veya P( P( P( ve P(1 U 2 P( 1 P( 2-P( lik bir desteden bir kız veya bir maça çekme olasılığı nedir? P(1 U 2 P( 1 P( 2-P( P( veya 1 2 P( 1 P( 2 P( ve
48 Örnek nın 20 yıl daha yaşaması olasılığının 0.65 ve kardeşi B nin 20 yıl daha yaşamsı olasılığının 0.80 olduğunu varsayıldığında bu iki kardeşten birinin veya diğerinin 20 yıl daha yaşaması olasılığı nedir? P(=0.65 P(B=0.80 P ( B = P (. P ( B Bu durumda P( ve B=(0.65.(0.80=0.52. P( veya B=P(+P(B-P( ve B= = =
49 BağdaĢmaz olaylarda toplama kuralı: 1 ve 2 bağdaşmaz olaylar ise 1 veya 2 olayının ortaya çıkması olasılığı P( veya P( P( Bir zarın 2 veya 6 gelmesi olasılığı nedir? P( veya P( P(
50 Örnek: li ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 0,65 ve 0,40 olarak verilmiştir. İki avcı hedefe birlikte ateş ettiğinde hedefin vurulma olasılığı nedir? = li nin hedefi vurması P ( = 0,65 C = Can ın hedefi vurması P ( C = 0,40 P ( U C =? P( U C = P ( + P ( C P ( C li ile Can nın hedefi vurmaları birbirinden bağımsız olduğundan önce ; P ( C = P (. P ( C = 0,65 * 0,40 = 0,26 bulunur. P( U C = 0,65 + 0,40 0,26 = 0,79 50
51 ğaç Diyagramı Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır. 51
52 Örnek: li ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz. Olası Durumlar;,CCC C,CCC C,CCC CCC,C CC,CCC CC,CCC CCC,CC CCC,CC CC,CCC CCC,CC 2 0 D E T C C C C C C C C C C C C C C C C C C 52 C
53 53 ġartlı(koģullu Olasılık ve B gibi iki olaydan B olayının gerçekleģtiği bilindiği durumda olayının gerçekleģmesi olasılığına olayının Ģartlı olasılığı denir. P( / B ile gösterilir. nın gerçekleştiği bilindiğinde B nin ortaya çıkma olasılığı; ( ( / ( B P B P B P ( ( / ( P B P B P
54 Bir öğrencinin iktisat dersinde başarılı olma olasılığı P( 1 =0.25. ynı öğrencinin hem iktisat hem Matematikte başarılı olma olasılığı P( 1 ve 2 =0.15. Öğrencinin İktisatta başarılı olması şartıyla Matematikte de başarılı olma olasılığı nedir? P( / B P( B P( ve B P( B P( B P( B 0.15 /
55 ġartlı Olasılıkların Bilindiği Durumlarda Tek Bir Olayın Olasılığının Bulunması şağıdaki şekilde olayının birbiriyle ayrık olan 5 farklı olayın birleşiminden meydana geldiği görülür. B B2 1 B 5 B B
56 56 olayı her bir B olayı ile kesişimleri cinsinden ifade edildiğinde;(birbirini engelleyen olayların birleşiminin olasılığı toplama kuralına göre (... ( ( ( B P B P B P P (. / ( ( i i i B P B P B P ( / ( ( / ( ( / ( ( / ( ( / ( ( B P B P B P B P B P B P B P B P B P B P P
57 Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. yrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığına göre bu depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir. = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı P ( =? B i = Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi P(B 1 = P(B 2 + P(B 3 P(B 1 + P(B 2 + P(B 3 = 1 olduğundan; P(B 1 = 0,50 P(B 2 = P(B 3 = 0,25 olarak elde edilir. P( P( / B1 P( B1 P( / B2 P( B2 P( / B3 P( B3 P(=(0.02(0.5+(0.02(0.25+(0.04(0.25=0,025 P(B1=0.50 P(B2=0.25 P(B3=0.25 Depodan seçilen 1000 ürünün 25 tanesinin hatalıdır. 57
58 58 Bayes Teoremi Çeşitli nedenlerin aynı sonucu verebildiği durumlarda, bazen sonuç bilindiği halde bunun hangi nedenden meydana geldiği bilinmeyebilir. Sonucun hangi olasılıkla hangi nedenden ortaya çıktığı araģtırılmak istendiğinde Bayes teoreminden yararlanılır. Yani sonuç belli iken geriye doğru analiz yapma imkanı sağlar. k i i i i i i i B P B P B P B P P B P B P 1 ( / ( ( / ( ( ( / (
59 Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araģtırıldığında Bayes Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır. 59
60 Örnek Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı; P(/B 1P(B 1 P(B 1/ P(/B P(B P(/B P(B P(/B P(B / P(B (0.02(0.5 (0.02(0.5 (0.02(0.25 (0.04( ,40 = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı P ( = B i = Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi P ( B 1 ; P ( B 2 ; P ( B 3 P(B 1 + P(B 2 + P(B 3 = 1 olduğundan; P(B 1 = 0,50 P(B 2 = P(B 3 = 0,25 60
61 Örnek: 3 mavi, 2 kırmızı ve 5 yeşil torba bulunmaktadır. Mavi torbaların her birinde 15 bilya(7si beyaz ve 8 i siyah, kırmızı torbaların her birinde 11 bilya(7si beyaz ve 4 ü siyah yeşil torbaların herbirinde 20 bilya(11 i beyaz ve 9 u siyah bulunduğu bilinmektedir. Bu torbaların birinden bir bilya çekilmiş ve siyah renkte olduğu görülmüştür. Bu bilyanın mavi renkte bir torbadan çekilmesi olasılığı nedir. 61
62 S:siyah bilya çekilmesi olayını P(M:bir bilyanın mavi torbadan çekilmesi olasılığı =3/10 P(K: bir bilyanın kırmızı torbadan çekilmesi olasılığı=2/10 P(Y : bir bilyanın yeşil torbadan çekilmesi olasılığı=5/10 P( S M : P( S K : P( S Y : P( M S : Mavi torbadan çekilen bir bilyanın siyah renkli olması olasılığı=8/15 Kırmızı torbadan çekilen bir bilyanın siyah renkli olması olasılığı=4/11 Yeşil torbadan çekilen bir bilyanın siyah renkli olması olasılığı=9/20 Siyah renkli bir bilyanın mavi torbadan çekilmiģ olması olasılığı nedir? 62
63 P( M S P( M. P( S M P( M. P( S M P( K. P( S K P( Y. P( S Y P( M S (3/10.(8 /15 (3/10.(8 /15 (2 /10.(4 /11 (5 /10.(9 / 20 P( M S Çekilen siyah bilyanın mavi renkli bir torbadan çekilmiş olması olayı %34.96dır. 63
Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
ölüm 4 Olasılık 1 OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
ölüm 4 Olasılık 1 OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya
DetaylıOLASILIK. Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru
OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıDokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü
Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END 2303 İstatistik-I Bölüm 1: İstatistiğe Giriş: Temel kavramlar ve Olasılık Teorisi Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN http://kisi.deu.edu.tr/kemal.subulan/
DetaylıOlasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1
Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)
DetaylıKesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo
DetaylıOLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar
OLASILIK OLASILIK İstatistiğin temel araçlarından biri olasılıktır 17. yy daşans oyunları ile başlamıştır Her bir denemenin çıktısı belirsizdir Fakat uzun dönemde çıktı kestirimlenebilir Bireysel belirsizlik
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması
DetaylıOLASILIĞA GİRİŞ P( )= =
OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını
DetaylıÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni
DetaylıÖrnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
DetaylıBAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş
BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık
DetaylıOLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.
OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya
Detaylı8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir.
04 8. SINIF MATEMATiK OLASILIK OLASILIK Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. Bir zarın atılması, bir torbadan top çekilmesi, bir paranın yazı veya
DetaylıÖrnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.
OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok
Detaylıkişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
Detaylıİstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY
İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel
DetaylıKESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli
DetaylıOlasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı
DetaylıKesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
DetaylıŞartlı Olasılık. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Şartlı Olasılık Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Şartlı Olasılık ir olayın olasılığından söz edebilmek için bir alt kümeyle temsil edilen bu olayın içinde bulunduğu örnek uzayının
DetaylıÇözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.
1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan
DetaylıBİYOİSTATİSTİK OLASILIK
BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde
DetaylıAnkara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1
1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste
DetaylıOlasılık Föyü KAZANIMLAR
Olasılık Föyü KAZANIMLAR Bir olaya ait olası durumları belirler. Daha fazla, eşit, daha az olasılıklı olayları ayırt eder, örnek verir. Eşit şansa sahip olan olaylarda her bir çıktının olasılık değerinin
DetaylıSAÜ BÖLÜM 11. OLASILIK. Prof. Dr. Mustafa AKAL
SAÜ BÖLÜM. OLASILIK Prof. Dr. Mustafa AKAL 0 İÇİNDEKİLER.KAVRAMLAR.. Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay.. Olayların Biçimlenmesi.3. Olasılık Tanımı.PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON..Permütasyon... Sıralı Permütasyon...
Detaylı( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK
PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)
DetaylıTanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan
DetaylıBİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,
BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar
DetaylıKESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda
DetaylıCebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006
MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı
DetaylıOLASILIK (Probability)
OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı
DetaylıOlasılık: Klasik Yaklaşım
Olasılık Teorisi Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir. Örnek Türkiye nin kazanma olasılığı Hava durumu Loto Olayların Olasılığını Belirleme Rastsal (gelişigüzel)
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
Detaylı3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir?
İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI 1)Tabloda 500 kişinin sahip oldukları akıllı telefon markalarını gösteren bilgiler verilmiştir.bu tabloda ki bilgileri yansıtan daire grafiği aşağıdakilerden hangisidir? TELEFON
DetaylıMOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti:
MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8 Aritmetik ortalamaya göre
DetaylıOLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ. DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir.
OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ 1 DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. SONUÇ:Deneylerin tamamlanması ile elde edilen verilerdir.
DetaylıBiyoistatistik V. HAFTA
Biyoistatistik V. HAFTA Olasılık Olasılık: Bir olayın gerçekleşme ihtimalinin matematiksel değeridir. p= Başarı sayısı / olanaklı durumlar Yazı gelmesi ihtimali p=1/2=0.5 Olasılığın özellikleri: Daima
DetaylıOLASILIK. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
OLASILIK 46 0 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları Ocak 20 0. Teorik Olasılık 0.. Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile
DetaylıKüme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur
Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
DetaylıKosullu Olasılık & Bayes Teoremi
Kosullu Olasılık & Bayes Teoremi 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık Deneyi Olasılık problemlerinde gerçeklestirilen eylemler Zar atılması Para atılması Top Çekme Bir zar atıldıgında üst yüze çift gelme ihtimali
DetaylıOlasılık (Probability) Teorisi
Olasılık (Probability) Teorisi akin@comu.edu.tr http://akin.houseofpala.com Genetik Olasılık, genetik Genlerin gelecek generasyona geçmesinde olasılık hesapları kullanılır Akrabalık derecesinin hesaplanmasında,
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
DetaylıOlasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere
DetaylıNot: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı
LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
DetaylıOlasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.
Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıRassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde
Detaylı1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?
1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum
DetaylıOlasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları
KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası
DetaylıTemel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN
Temel Olasılık 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık P(E) : E nin olma olasılıgı n: Deneme sayısı n(e): Denemelerden kaçı E ile sonuçlandı Deneme sayısı sonsuza( ) yaklasırsa P(E) = limn n(e) n Örnek Uzay S: Bir
DetaylıOLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık
1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,
DetaylıBÖLÜM 2 : OLASILIK. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır. -Örneklem sonucu sample outcome
ÖLÜM : OLSLK Giriş: Olasılık kavramına. Fermat ile. ascal ın büyük katkıları olmuştur. ascal hesap makinesini geliştirerek Fermat ile birlikte olasılığın temellerini oluşturmuştur. Daha sonra Rus matematikçi
Detaylı10SINIF MATEMATİK. Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar
0SINIF MATEMATİK Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim
DetaylıRastgele değişken nedir?
Rastgele değişken nedir? Şİmdiye kadar hep, kümelerden ve bu kümelerin alt kümelerinden (yani olaylar)dan bahsettik Bu kümelerin elemanları sayısal olmak zorunda değildi. Örneğin, yazı tura, kız erkek
DetaylıYENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
DetaylıALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR
ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR 1- İlaçla tedavi edilen 7 hastanın ortalama iyileşme süresi 22.6 gün ve standart sapması.360 gündür. Ameliyatla tedavi edilen 9 hasta için
Detaylı3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıDers 6: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıDers 5: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıDers 5: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
Detaylı10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları
10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların
DetaylıALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi:
İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz.
DetaylıDr. Akarsu Hafta-4 11/16/2014 1
Dr. Akarsu Hafta-4 11/16/2014 1 GİRİŞ Olasılık dolaylı istatistiğin önemli metotlarının temelini oluşturmaktadır. Örneğin, cinsiyet belirleyici bir prosedür belirlediğinizi iddia ediyorsunuz ve her seferinde
Detaylıa. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların
Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4
DetaylıPERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:
SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=
DetaylıTEMEL SAYMA KURALLARI
TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin
Detaylıdir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.
BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
DetaylıÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay İÇİNDEKİLER HEDEFLER İHTİMAL TEORİSİ
HEDEFLER İÇİNDEKİLER İHTİMAL TEORİSİ Temel Kavramlar Toplama Kuralı Çarpma Kuralı İhtimal Dağılım Tablosu Beklenen Değer İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay Bu üniteyi çalıştıktan sonra; İhtimal (olasılık)
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıYapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )
İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.
Detaylıİstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12
OLASILIK ÇIKMIŞ SORULAR 1.SORU İçinde top bulunan iki torbadan birincisinde beyaz, siyah ve ikincisinde beyaz, 5 siyah top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor.
Detaylı3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen
DetaylıA) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Hilesiz bir çift madeni para havaya atılıyor. A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 Hilesiz bir çift zar havaya atılıyor.
Olasılık. Sınıf Matematik Soru Bankası TEST. Havaya atılan hilesiz bir paranın yere düşmesi ile karşılaşılacak olası durumlar kaç tanedir?. A) 0 B) C) D) Hilesiz bir çift madeni para havaya atılıyor. Olası
DetaylıAÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI
ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,
DetaylıTEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER
TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER Rassal değişken: S örnek uzayının her bir basit olayını yalnız bir gerçel değere dönüştüren fonksiyonuna rassal (tesadüfi) değişken denir. İki para birlikte atıldığında üste
DetaylıÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki
DetaylıİSTATİSTİK DERS NOTLARI
Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat
Detaylıkümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1
3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın
DetaylıDiğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?
TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)
DetaylıProf.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN
SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)
Detaylı5. BÖLÜM EKİ SAYMANIN TEMEL PRENSİPLERİ
5 ÖLÜM EKİ SYMNIN TEMEL PRENSİPLERİ elirli bir takım deneylerde olanaklı tüm sonuçları belirlemek için geliştirilmiş tekniklere kombinasyon analizi denir Örneğin iki farklı denemede 1 denemenin m 2 denemenin
Detaylı