BİYOİSTATİSTİK OLASILIK

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BİYOİSTATİSTİK OLASILIK"

Transkript

1 BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT

2 *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde bulunan birimlere eleman adı verilmektedir. *Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle, elemanlar ise a, b, c gibi küçük harflerle gösterilirler. Kümelere, takım sınıf, cümle, set gibi isimler de verilmektedir. *Eğer herhangi bir a elemanı, herhangi bir B kümesine ait ise a B *Eğer a, B nin elemanı değilse 2 a B şeklinde yazılır.

3 *Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın olasılığının hesaplanmasında, mümkün haller sayısı çok büyük ise olayın doğrudan sıralanması veya sayılması uzun zaman alır ve bazı hallerde doğrudan saymak mümkün olmaz. Bu gibi durumlarda saymayı kolaylaştırıcı bazı tekniklere ihtiyaç duyulur. Bu tekniklere sayma teknikleri (combinational analysis) adı verilir. *Çarpma Kuralı: A1 ve A2 kümeleri sırasıyla n1 ve n2 eleman içeriyorsa, A1 in bir elemanı ile A2 nin bir elemanını seçmenin n1 * n2 değişik yolu vardır. Yani iki olay aynı anda n1 * n2 değişik şekilde meydana gelir. 3

4 *Bir işin yapılabilmesi için k 1, ikinci bir işin yapılabilmesi için k 2,, n. bir işin yapılabilmesi için ise k n yol varsa, bu n tane işin yapılabilmesi için *k 1. k k n *farklı yol vardır. *Buna çarpmanın (saymanın) temel kuralı adı verilmektedir. 4

5 *Çarpım Kuralının Genelleştirilmesi: A1, A2,...,Ak kümeleri sırasıyla n1, n2,..., nk eleman içeriyorsa, önce A1 in bir, sonra A2 nin bir, sonra A3,..., Ak nin bir elemanını seçmenin n1*n2*n3*,..., *nk değişik yolu vardır. Yani k olay bir arada n1* n2*...*nk farklı şekilde meydana gelir. *Örnek: Test şeklinde yapılan bir sınavda 5 soru ve 5 cevap şıkkı varsa bir öğrenci bu 5 soruyu kaç farklı şekilde cevaplandırır. *5*5*5*5*5 = 5 5 = 3125 değişik şekilde işaretleyebilir. 5

6 *Örnek: 30 kişilik bir sınıftan bir başkan seçimi 30 değişik biçimde yapılabilir, başkan seçildikten sonra, geriye kalan 29 kişiden bir başkan yardımcısı seçileceğinden dolayı, başkan yardımcısı seçimi de 29 değişik biçimde yapılabilir. Saymanın temel prensibine göre bu iki işin yapılabilmesi için *30 29 = 870 farklı yolu vardır. *K1 k2=k1*k2 6

7 *Örnek: A dan B ye üç, B den C ye ise iki farklı yol vardır. B ye uğramak şartıyla A dan C ye kaç farklı yolla gidilebilir? *Çözüm: Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, *A dan B ye herhangi bir yolla gelen C ye 2 değişik yolla gidebilir. *Bu durum 3 de tekrar edeceğinden A dan C ye 3*2 = 6 değişik yolla gidilebilir. 7

8 *l den n e kadar pozitif tam sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! sembolü ile gösterilir ve n! = n * (n -1) * (n - 2) * *3 *2 * 1 biçiminde yazılır. 0! = 1 olarak kabul edilir. *Örnek 5!=5*4*3*2*l = 120 a) 5! 3! = =20 b) (7-3)! = 4! = 4 * 3 * 2 * I = 24 c) d) ( x ( x ( x ( x 2)! 1)! 2)! 1)! ( x 2)*( x 1)! ( x 1)! x ( x 2)*( x 1)*( x)*( x 1)! 8 ( x 1)! 2 ( x 2)*( x 1)*( x)

9 *n Elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek sıra önemli olmak kaydıyla sıralanması halinde bunun kaç farklı şekilde sıralandığını gösteren sayıya permütasyon adı verilir. *Başka bir ifade ile n N olmak üzere, n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r (r n) tane elemanının her bir farklı dizilişine bu kümenin r li bir permütasyonu denir ve şöyle formüle edilir; *P 3,2 = 3! 3 2! = 3! 1! = 6 *Burada (!) işareti faktöriyel olarak adlandırılır ve bunun altındaki bütün pozitif tam sayıların çarpılacağı anlamına gelir. n! = n.(n-1).(n-2)...olarak yazılır. 9

10 *Örnek: A = {x,y,z} olmak üzere, A nın 2 li permütasyonlarının dizilişi, *xy xz yz *yx zx zy *biçiminde altı tanedir. Bu durum permütasyonla aşağıdaki gibi hesap edilir. *P 3,2 = 3! (3 2)! = 3! 1! =6 10

11 *Örnek: Bir rafta birbirinden farklı 5 tane Matematik, 2 tane Fizik ve 3 tane Kimya kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir? *Çözüm: 5 Matematik kitabını 1 kitap, 2 Fizik kitabını 1 kitap ve 3 Kimya kitabı 1 kitap olarak düşünülürse, bunlar 3! şeklinde sıralanır. 5 Matematik kitabı kendi arasında 5!, 2 Fizik kitabı kendi arasında 2! ve 3 Kimya kitabı da kendi arasında 3! şeklinde sıralanabilir. Şu halde kitaplar bir rafa; 3!*5!*2!*3! = 8640 farklı şekilde sıralanır. *Örnek: 8! = a ise ( 10! 9! ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? *Çözüm: 10! 9! = 10 * 9! 9! = 10*9*8!-9*8! 10*9*a-9*a 90a-9a=81a olur. 11

12 *Örnek: 20 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk üç derece kaç farklı şekilde olabilir? *Çözüm: Örnekte ilk üç derece önemli olduğundan permütasyon uygulanması gerekir. 20! 20! ! 20 P (20 3)! 17! 17!

13 *n eleman içeren bir kümede r1 eleman birbirinin aynısı, r2 eleman birbirinin aynısı,... rk eleman birbirinin aynısı ise n elemanın Permütasyon sayısı n! r!r!... r! 1 2 k şeklinde hesaplanır. *Örnek: ÇANAKKALE kelimesinin harfleri ile kaç farklı kelime yazılabilir? *Çözüm: Kelimede A 3 kez, K 2 kez tekrarlanmış, n = 9 (harf sayısı) olduğuna göre; r!r 1 2 n!!... r k! 9! olur. 3!2! *Örnek: Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye 3 farklı test verilecektir. Her testi alan öğrenci sayısı aynıdır. Dağıtım kaç farklı şekilde gerçekleştirilir. 15! !5!5! 13

14 *n tane farklı elemanın daire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması adı verilir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yan yana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur. *Örnek: 7 kişilik bir komisyon bir masa etrafında oturacaktır. a) Bu komisyon yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? b) Bu komisyon düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir? c) Komisyon başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? Çözüm: a) (7-1)! = 6! = 720; b) 7! = 5040; c) (6-1)! *2! = 5!*2! =

15 *Eşitliği ile hesaplanır. Burada dikkat edilirse, kombinasyon ve permütasyon arasındaki ilişki, olur *n N olmak üzere, n farklı nesnenin (düzenleme sırasına bakılmaksızın) r (r n) elemanlı alt kümelerinin her birine bu kümenin r li bir kombinasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı C(n,r) veya ile gösterilir ve r n! )! (! r r n n r n C r n ), (! ) ; (! ) ; ( ), (! )! (! ), (! )! (! r n C r r n P r r n P r n C r r n n r n C r r n n r n C r n 15

16 *Permütasyon sıranın önemli olduğu problemlere uygulanmaktadır. Ancak bazı problemlerde sıranın önemi yoktur. Böyle durumlarda Permütasyon uygulamak doğru olmaz. Sıra önemli olmak şartıyla a,b,c,d harflerinden üçerli gruplar oluşturulduğunda aşağıdaki sonuçlar elde edilir. abc acb bac bca cab cba r! = 3! =6 abd adb bad bda dab dba r! = 3! =6 acd adc cad cda dac dca r! = 3! =6 bcd bdc cbd cdb dbc dcb r! = 3! =6 *Tablodan görüleceği üzere üçerli grupların sayısı yani, Permütasyon sayısı; 4! (4 3)! olacaktır. *Sıra önemli olduğundan yukarıdaki her satır sadece bir alt kümenin permütasyonundan ibarettir

17 *Örnek: A - {x,y,z} olmak üzere, A nın 2 li permütasyonlarının dizilişi, xy xz yz yx zx zy biçiminde altı tanedir. A kümesinin 2 li kombinasyonlarının sayısı, diğer bir deyişle; 3 elemanlı A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 3 tanedir. Çünkü, bir kümenin elemanlarının yeri değiştiğinde, yeni bir durum ortaya çıkmaz. Yani {x,y} ile {y,x}aynı durumdur ve {x,y}= {y,x} olur. Dolayısıyla, permütasyon 3! 3! 3! 3*2 P( 3;2) 3*2 6 C( 3,2) 3 (3 2)! (3 2)!*2! (1)!*2! 2 olarak bulunur. Görüldüğü üzere, P(3;2) = 2!*C(3,2) eşitliği sağlanmaktadır 17

18 *Örnek: 10 üyesi olan bir dernekte 3 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde teşkil edilebilir. *Çözüm: Komisyonda bulunan şahısların seçim sırası önemli olmadığına göre kombinasyon formülü uygulanır. C ! (10 3)!3! 10! 7!3! ! 7!3!

19 *Rassal Deney: Rassal herhangi bir olayın, belli bir anda meydana gelip gelmemesi konusunda daima bir belirsizlik vardır. Bu sebeple olasılık hesaplarının konusunu rassal sonuçlar veren deneyler teşkil eder. *Meydana gelmesi beklenen bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir değer olur. Eğer bir olayın kesinlikle olacağından emin olunuyorsa olayın meydana gelmesi %100 olup olasılığı 1 ile gösterilir. *Tersine bir olay kesinlikle olmaz deniyorsa o olayın olasılığı da sıfırdır. *Aynı şartlar altında farklı sonuçlar veren deneylere rassal deney denir. Bir madeni paranın veya zarın havaya atılması deneyi, rassal deneye örnek olarak verilebilir. 19

20 *Örnek Uzay: Bir rassal deneyin mümkün bütün sonuçlarının kümesine örnek uzay denir. S, bir deneyin örnek uzayını, s de, bu uzaya ait herhangi bir mümkün sonuç olsun, s ye, nokta, eleman veya örnek nokta denir. *Bir örnek uzayın elemanları, sayılabilir çoklukta ise sonlu, doğal sayılar kümesiyle birebir eşlenebiliyorsa sayılabilir olarak sonsuz, bu iki durum dışında ise sayılamaz örnek uzayı olur. *Örnek: Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde, paranın yazı gelmesi Y, tura gelmesi de T ile gösterilecek olursa örnek uzay S = {Y,T} olur. İki madeni paranın havaya atılması deneyinde ise, örnek uzay S = {YY, YT, TY, TT} olur. Dikkat edilirse, bir para için örnek uzayın eleman sayısı 2 1 = 2, iki para için örnek uzayın eleman sayısı 2 2 = 4 tür. Bu durum genelleştirilirse, n madeni paranın havaya atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı 2 n olur. 20

21 *Örnek: Bir sınıfta 15 0ğrenci var. Bu öğrencilerden rasgele 10 kişilik grup oluşturulduğunda örnek uzayın eleman sayısı aşağıdaki gibi olur. *C 15,10 = = ! = 15! = ! 15 10!10! 5!10! ! *Örnek: Bir depoda, 8 ürün vardır. Bu ürünlerden rasgele 6 ürün alındığında örnek uzayın eleman sayısı aşağıdaki gibi olur. *C 8,6 = 8! 8 6!6! = 8.7.6! 2.1.!6! = 56 2 = 28 = 21

22 *Olay: Örnek noktalardan herhangi birine veya birkaçına olay denir. Örnek uzayın her alt kümesi bir olaydır. *Olaylar, A, B, C,... veya A 1, A 2,... gibi sembollerle gösterilecektir. *Örnek: İki madeni paranın havaya atılması deneyindeki S = {YY, YT, TY, TT} örnek uzayı için, en az bir kez yazı gelmesi olayı A = (YY, YT, TY}, en az bir kez tura gelmesi olayı B = (YT, TY, TT}, iki kez tura gelmesi olayı C = {TT} ile gösterilebilir. *Dikkat edilirse A, B, C olayları S örnek uzayının alt kümeleridir. 22

23 *Ayrık Olaylar: A, B S olmak üzere AB = ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir. Yani, A ve B olayları ortak sonuca sahip değil iseler ayrıktırlar. * Ayrık olaylarda, birinin meydana gelmesi, diğerinin meydana gelmesini engeller Örnek olarak, bir öğrenci, bir dersin sınavından ya geçer ya da kalır. Sınavdan geçmek ya da kalmak aynı anda mümkün değildir. * A 1, A 2, A 3,... A n aynı örnek uzayının alt kümeleri (olayları) iken, tüm i ve j ler için ij olmak üzere A i A j = ise A 1,A 2,A 3,., A n olaylarına karşılıklı ayrık olaylar denir. 23

24 *Bir Kümenin Tümleyeni: A, S örnek uzayında tanımlanmış herhangi bir olay olmak üzere, A da olmayıp, evrensel kümede bulunan bütün elemanların kümesine A kümesinin tümleyeni denir. *A = x: xa ve xs Biçiminde yazılır. *A kümesinin tümleyeni şu şekilde gösterilebilir. 24

25 *Bir Kümenin Tümleyeni: A kümesi (olayı) için, tümleme özellikleri aşağıda verilmiştir 1. A = A 2. = S 3. S = 4. A A = S 5. A A = 6. A B = A B 7. A B = A B 25

26 *Olasılık Kavramı: Olasılık kavramı iki şekilde incelenebilir: 1. Klasik olasılık 2. Deneysel olasılık 26

27 *Olasılık problemlerinin çözümünde, herhangi bir deneyin mümkün bütün durumlarının (sonuçlarının) ortaya çıkma olasılıkları özel olarak belirtilmemişse, bu olayların ortaya çıkma olasılıklarının birbirine eşit olduğu kabul edilerek işlem yapılır. *Bir rassal deneyde, sonlu bir S = {A 1, A 2,..., A n } örnek uzayı için, olayların ortaya çıkma olasılıklarının aynı (birbirine eşit) olması, P(A 1 ) = P(A 2 ) =... = P(A n ) biçiminde gösterilir ve eşit olasılıklı olma biçiminde tanımlanabilir. *Bu tanımına göre, bir para atıldığında, tura gelmesi olasılığı ile yazı gelmesi olasılığı birbirine eşittir. Yani, tura gelmesi olayı A ve yazı gelmesi olayı B olmak üzere, P(A) = P(B) = 1/2 olmaktadır. Benzer şekilde, bir zar atıldığında 1,2, 3, 4, 5, 6 dan herhangi birinin gelmesi olasılığı, P(A 1 ) = P(A 2 ) =... = P(A n ) = 1/6 olur. 27

28 * Bir rassal deneyde olayların ortaya çıkma olasılıkları aynı olsun. * Bu deneyin örnek uzayının eleman sayısı n(s) ve ilgilenilen olayının eleman sayısı n(a i ) olmak üzere, A i olayının ortaya çıkma olasılığı P(A i ) biçiminde gösterilir ve * P A i = n(a i) n(s) biçiminde hesaplanır. = İlgilenilen Olayların Sayısı Bütün Olayların Sayısı 28

29 * A i S olduğundan, n(a i ) n(s) eşitsizliği yazılabilir. Bu eşitsizliğin her iki yanı n(s) ile bölünürse, * n A i n(s) n S n S P A i = n A i n S 1 ve P S = n S n S = 1 * elde edilir. Ayrıca n(a 1 )0 eşitsizliğinden, * n A i n(s) n S n S P A i = n A i n S 0 elde edilir. * Dolayısıyla bir olayın ortaya çıkma olasılığı, 0 ile 1 arasında değer almaktadır. 29

30 * Örnek: Bir para atıldığında tura gelmesi olayının olasılığı P(A) ise, A = {T} olduğundan A nın eleman sayısı n(a) = 1 ve örnek uzay S = {Y, T}olduğundan S nin eleman sayısı n(s) = 2 olur. Bu durumda tura gelmesi olasılığı, * P A = n A i n(s) = 1 2 olarak bulunur. * Örnek: Bir zar atıldığında üst yüze 5 gelmesi A ise, A = {5} olduğundan A nın eleman sayısı n(a) = l ve örnek uzay S = {l, 2,3,4,5,6} olduğundan S nin eleman sayısı n(s) = 6 olur ve * P A = n A i n(s) = 1 6 biçiminde yazılır. 30

31 *Örnek: İçinde 6 beyaz, 4 kırmızı top bulunan bir torbadan rasgele, a. Bir top çekildiğinde, bu topun kırmızı olması olasılığını b. İki top çekildiğinde, bu topların ikisinin de kırmızı olması olasılığını bulunuz. a. Bir top çekildiğinde, bu topun kırmızı olması olasılığı, *P A *P A = n A i n(s) = 4 10 = 0,4 = n A i n(s) = C(4,1) C(10,1) = 4! 4 1!1! !1! = 4 10 = 0,4 biçimindeki kombinasyonlu çözümün pratik halidir. 31

32 *Örnek: İki top çekildiğinde, bu toplamı ikisinin de kırmızı olması olasılığı *P A = n A i n(s) = C(4,2) C(10,2) = 4! 4 2!2! !2! = 6 45 = 0,13 32

33 *S bir örnek uzay ve A S olmak üzere, bir deney, n defa tekrarlandığında, bir A olayı da m defa gerçekleşiyorsa, A olayının nispi frekansı m/n olur. *Teorik olarak, bu deney sonsuz defa tekrar ettirildiğinde, n büyüyerek, m/n oranı gittikçe azalır. *n sonsuza giderken m/n oranının aldığı değere A olayının deneysel olasılığı denir ve *P A m = lim n n biçiminde hesaplanır. 33

34 *Klasik olasılık ile deneysel olasılık arasında en önemli iki farktan birincisi, klasik olasılıkta kullanılan herhangi bir aracın (zar, para, vb.) hilesiz olduğu varsayımından hareket ederek, herhangi bir dengesizlik olabileceğini göz önüne almadan yargıda bulunulur. *İkincisi ise, bu dengesizliğin kullanılan araç (zar, para, vb.) için geçerli olmadığı bilinse bile şans faktörünün dikkate alınmamasıdır. Bu sebeple, klasik olasılık yanıltıcı sonuçlar verebilir. Oysa deneysel olasılık, fiilen elde edilen gözlemlere dayandığı için daha gerçekçi bir yaklaşımdır. *Olasılığın gerek klasik, gerekse limit olarak tanımlanmasındaki zorlukları göz önüne alan modern matematikçiler onu bir fonksiyon olarak çok basit bir şekilde tanımlamışlardır. *Örneğin, 1933 yılında Rus matematikçi Andrew Kolmogorov üç veya dört aksiyomla, olasılık fonksiyonunu tanımlamıştır. Örnek uzayı sınırlı ise üç, sınırsız ise dört aksiyom belirlenmiştir. 34

35 *Aksiyom 1: A, S örnek uzayında tanımlanmış herhangi bir olay ise, daima P(A)0 olur. *Aksiyom 2: S, örnek uzayına kesin olay denir ve örnek uzayının olasılığı P (S)=1 olur. Örnek: içinde 5 beyaz, 6 kırmızı top bulunan bir torbadan, bir top çekildiğinde, bu topun beyaz veya kırmızı bir top olması olayı A ise, A = {m 1,...,m 5, k 1,.k 6 } olduğundan A nın eleman sayısı n(a) = 11 ve örnek uzay s = {m 1,...,m 5, k 1,...,k 6 }olduğundan, A nın eleman sayısı da n(s) = 11 olur. Dolayısıyla, * *P A = n A i n(s) = = 1 bulunur. 35

36 *Aksiyom 3: A ve B, S örnek uzayı üzerinde tanımlanmış iki ayrık olay olsun. Bu durumda, P(AB)=P(A) + P(B) olur. *Örnek uzay, sonsuz elemana sahipse, dördüncü aksiyoma ihtiyaç vardır. *Aksiyom 4: A l, A 2, A 3,... olayları, S örnek uzayında tanımlanmış olsun. Her ij için A i A j = olmak üzere, *P(A 1 +A 2 +A 3 +.)= P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+.= P(A i ) *biçiminde yazılır. i=1 36

37 *Aksiyom 3: A ve B, S örnek uzayı üzerinde tanımlanmış iki ayrık olay olsun. Bu durumda, P(AB)=P(A) + P(B) olur. *Örnek uzay, sonsuz elemana sahipse, dördüncü aksiyoma ihtiyaç vardır. *Aksiyom 4: A l, A 2, A 3,... olayları, S örnek uzayında tanımlanmış olsun. Her ij için A i A j = olmak üzere, *P(A 1 +A 2 +A 3 +.)= P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+.= P(A i ) *biçiminde yazılır. i=1 37

38 *Teorem 1: Herhangi bir A olayı için P(A)= 1- P(A) olur. *İspatı: AA=S olduğundan; P(AA)=P(S) P(A)+P(A)=1 veya P(A)=1 P(A) olur. *Teorem 2: S örnek uzayının bir alt kümesi A ise, A da bulunan her bir mümkün hali temsil eden kümelerin olasılıkları toplamı P(A) ya eşittir. Özel olarak boş küme olmak üzere, P()=0 dır. *Örnek: Bir torbada 5 mavi 6 kırmızı bilyeden 1 sarı topun çekilmesi olayı A ise, A boş küme (A = ) olduğundan A nın eleman sayısı n(a) = 0 ve örnek uzay S = {m,,..,m5, k1,,,k6} olduğundan E nin eleman sayısı n(s) = 11 olur. Dolayısıyla, n( A) 0 P( A) n( S) bulunur.

39 *Teorem 3: Eğer AB ise, P(A) P(B) olur. *Teorem 4: Herhangi bir A olayı için P (A) 1 olur. *Teorem 5: A ve B ayrık olmayan herhangi iki olay olsun. Bu durumda, P(AB)=P(A)+P(B) P(AB) yazılır. 39

40 Olayların Olasılıkları Basit Olayların Olasılıkları Bileşik Olayların Olasılıkları Bir Arada Meydana Gelebilen Olayların Olasılıkları A B P(A ve B) 0 P A veya B = P A + P B P(A ve B) Bir Arada Meydana Gelmeyen (Birbirini Engelleyen, Ayrık) Olayların Olasılıkları A B = P A ve B = 0 P A veya B = P A + P B Bağımlı Olayların Olasılıkları ve Koşullu Olasılık P A ve B = P A P B/A Bağımsız Olayların Olasılıkları P A ve B = P A P B 40

41 *Meydana gelen tek bir olaya basit olay, basit olayla ilgili olasılığa da basit olasılık denir ve P(A) biçiminde gösterilir. *Örneğin, Bir paranın havaya atılması deneyinde yazı gelmesi, *Bir zar atıldığında üst yüze 5 sayısının gelmesi, *Bir sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin erkek olması ile ilgili olasılık basit olasılıktır. 41

42 *İki veya daha çok olayın birlikte veya ardı ardına meydana gelmesine birleşik olay, Bileşik olayla ilgili olasılığa da bileşik olasılık denir. Bileşik olasılık P(A ve/veya B) biçiminde gösterilir. *Örneğin, İki zarın havaya atılması veya bir zarın arka arkaya iki defa havayı atılması, *Bir sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin erkek ve gözlüklü olması ile ilgili olasılıklar bileşik olasılıktır. *Bileşik olayların olasılıkları da, bir arada meydana gelebilen (bağdaşır) ve birbirini engelleyen (bağdaşmaz, ayrık) olaylar olmak üzere ikiye ayrılır. 42

43 * Bir olayın meydana gelmesi, diğer bir olayın meydana gelmesini engellemiyorsa bu olaylara birlikte meydana gelebilen (bağdaşır) olaylar denir. * Örneğin, Bir sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin hem kız, hem de gözlüklü olması, * Rasgele seçilen bir müdürün erkek, yükseköğrenim görmüş ve evli olması. * Bağdaşır iki olay için P(A B) 0 (P(A ve B) 0 olur. * Birlikte meydana gelebilen (bağdaşır) olayların olasılıkları da, bağımlı olaylar ve koşullu olasılık ile bağımsız olaylar olmak üzere ikiye ayrılır. 43

44 * Bir olayın meydana gelmesi, diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı ise bu olaylara bağımlı olaylar denir. * Örneğin, Bir torbadan rassal olarak bir top çekilip, torbaya iade edilmeden, ikinci bir top daha çekilirse, bu iki olay birbirine bağımlıdır. Çünkü ikinci çekiliş, birinci çekilişten etkilenmektedir. 44

45 *İkinci bir olayın meydana gelmesi, birinci olayın meydana gelmesine bağlı ise bu olayın olasılığına koşullu olasılık denir. *Örneğin, Bir üretici firma, üreteceği bir ürünün piyasada yüksek miktarda satıp satmayacağını belirleyebilmek için, öncelikle az miktarda ürettiği ürünü, birkaç belirli mağazada satış denemesi yapabilir. Eğer satış denemesinde istenen başarı elde edilirse, yüksek miktarda ürün piyasaya sürülebilir. *Sağlık Yönetimi Bölümünden rasgele seçilen bir öğrenci, matematik dersinden başarılı olduğu biliniyorsa, olasılıktan başarılı olması olasılığı yüksektir. *A ve B bağımlı iki olay olmak üzere, B olayı gerçekleşmişken, A olayının koşullu olasılığı, *P A B = P(A ve B) P(B), P(B)>0 ile hesaplanır. 45

46 * Örnek: 200 üniversite Öğrencisine, matematik dersini, ilk alışta başarılı olup olmadıkları sorulmuş ve aşağıdaki tablo elde edilmiştir. Cinsiyet Başarılı Başarısız Toplam Erkek Bayan Toplam Rassal olarak seçilen bir öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre, matematikten ilk alışta başarılı olması olasılığı nedir? Çözüm: E: Erkek öğrenciyi ve B de başarılı öğrenciyi göstermek üzere, tablodan P B E = P(B ve E) P(E) = 60/ /200 = ,55 bulunur. 46

47 * Bir olayın meydana gelmesi, diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı değilse (olaylar ilişkisiz veya birbirini etkilemiyorsa) bu olaylara bağımsız olaylar denir. * Örneğin, Bir torbadan rassal olarak bir top çekilip, torbaya iade edildikten sonra tekrar bir top çekilirse, bu iki olay birbirinden bağımsızdır. * Bir ailede doğan iki çocuktan ikincisinin cinsiyeti, birincisinin cinsiyetinden bağımsızdır. * Bir futbol maçının sonucu ile bir voleybol maçının sonucu veya dört futbol takımının oynadığı iki karşılaşmanın sonuçlan birbirinden bağımsızdır. * Bir madeni paranın arka arkaya üç defa atılması olayları da bağımsızdır. * Bir torbadan rassal olarak bir top çekilip, torbaya iade edilmeden, ikinci bir top daha çekilirse, bu iki olay bağımlıdır. Çünkü ilk çekilen top torbaya iade edilmediğinden ikinci çekiliş için top sayısı bir azalacağından, ikinci çekiliş, birinci çekilişten etkilenecektir. 47

48 * Bir olayın ortaya çıkması diğer bir olayın ortaya çıkmasını engelliyorsa, yani iki veya daha fazla olay birlikte meydana gelemiyorsa, bu olaylara birbirini engelleyen (bağdaşmaz, ayrık) olaylar denir. * Örneğin, bir öğrenci, bir dersin sınavından ya geçer ya da kalır. Sınavdan geçmek ya da kalmak aynı anda mümkün değildir. * Bir maç ya kazanılır, ya kaybedilir veya berabere kalınır. Kazanmak, kaybetmek veya berabere kalmak aynı anda mümkün değildir. * Bir para bir defa havaya atıldığında ya yazı, ya da tura gelir. Yazı gelmişse tura gelemez, tura gelmişse yazı gelemez. * Bir zar bir defa havaya atıldığında üst yüze 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından herhangi biri gelir. Örneğin, üst yüze 1 gelirse 2, 3, 4, 5, 6 gelmez veya 5 gelirse 1, 2, 3, 4, 6 gelmez. * Bağdaşmaz iki olay için P(A B) = 0 (P(A ve B) = 0) olur. 48

49 * Olayların olasılıklarının kolay anlaşılması amacıyla, genel olarak, iki olayın olasılığı üzerinde durulacaktır. 49

50 * A ve B gibi iki olayın kesişimi (arakesiti), hem A ve hem de B de oluşan, ortak sonuçlardan meydana gelir. A ve B olaylarının kesişimi A ve B, AB, AB biçimlerinden biri ile gösterilir. A ve B AB AB 50

51 * A ve B, S örnek uzayında iki olay olsun. B olayı gerçekleşmişken, A olayının koşullu olasılığı, * P A/B = P A B P(B), P B > 0 ile hesaplanır. * Denklemin her iki yanı P(B) ile çarpılırsa bu iki olayın birlikte meydana gelme olasılığı; * P A B = P B. P A B biçiminde bulunur ve çarpım kuralı olarak adlandırılır. 51

52 * Örnek: Bir okulun öğrencilerinin %40 ı matematik, %30 u istatistik ve %20 si her iki dersten başarısız olmuştur. Rassal olarak seçilen bir öğrencinin, matematikten başarısız ise istatistikten de başarısız olması olasılığını bulunuz. * Çözüm: Matematikten başarısız olma olasılığı P(M) = 0,40, istatistikten başarısı olma olasılığı P(İ) = 0,30 ve her iki dersten başarısız olma olasılığı da P(Mİ) = 0,20. Bu durumda, sonuç, * P İ M = P(İ M) P(M) = 0,20 0,40 = 0,50 olur. 52

53 * Örnek: Bir torbada 3 beyaz, 7 mavi, 10 sarı ye 4 kırmızı top bulunmaktadır, torbadan ardı ardına rasgele dört top iadesiz olarak çekildiğinde, birincinin beyaz, İkincin; mavi, üçüncünün sarı ve dördüncünün kırmızı top olma olasılığı bulunuz. * Çözüm: * P(BMSK)=P(B).P(M/B).P(S/BM).P(K/BMS) * = = = 0,005 53

54 * Bağımsız iki olayın birlikte meydana gelmesi olasılığı, bu iki olayın meydana gelme olasılıkları çarpılarak bulunur. Yani, * P(AB)=P(A).P(B) olur. * A1, A2,., An gibi n tane bağımsız olayın olasılıkları P(A1), P(A2),.,P(An) olmak üzere, bu n olayın birlikte meydana gelme olasılığı; * P(A1).P(A2)...P(An) ile hesaplanır. 54

55 * Örnek: Bir torbada 4 beyaz, 6 kırmızı top vardır. Çekilen toplar tekrar torbaya atılmak üzere, bu torbanın ardı ardına üç top çekildiğinde, üçünün de kırmızı olma olasılıkları nedir? * Çözüm: * P(K K K) = P(K). P(K). P(K) * = C(6,1) C(10,1). C(6,1) C(10,1). C(6,1) C(10,1). = = = 0,216 * Birinci top torbadan rassal olarak çekilip, torbaya iade edildikten sonra tekrar ikinci bir top çekildiğinden, olaylar birbirinden bağımsız olur. Çünkü ilk çekilen top iade edildiğinden ikinci çekiliş için topların durumu, birinci çekilişin aynısı olmuştur. 55

56 * Örnek: Bir torbada 4 beyaz, 6 kırmızı top vardır. Bu torbadan ardı ardına rasgele iki top çekildiğinde, birincinin kırmızı, ikincinin beyaz olma olasılığı nedir? (hem iadeli, hem de iadesiz çekiliş yapılacaktır). * Çözüm: a) P KB = P K. P B = = b) P KB = P K. P B K = =

57 * Örnek: Bir madeni para arka arkaya iki defa havaya atılıyor. Her iki atışın da yazı gelmesi olasılığı nedir? (Yazı ve tura gelme olasılıkları eşit kabul edilecektir). * Çözüm: * Birinci paranın yazı gelmesi P(A) =1/2 ve ikinci paranın yazı gelmesi P(B) = 1/2 olduğundan, her iki atışın da yazı gelmesi olasılığı ise * P A B = P A. P B = = 1 4 olur. 57

58 * Örnek A nın 50 yıl sonra hayatta kalması olasılığı 0,30, B nin 50 yıl sonra hayatta kalması olasılığı 0,20 ise her İkisinin de 50 yıl sonra hayatta kalma olasılığı, * P A B = P A. P B = 0, 30. 0, 20 = 0, 06 olur. 58

59 * Örnek: Bir torbada 5 beyaz 10 siyah top bulunmaktadır. A, B, C şahısları bu torbadan alfabetik sıraya göre iadeli olarak birer top çekeceklerdir. Beyaz topu ilk çekene bir ödül verileceğine göre, her bir şahsın bu ödülü kazanabilme olasılığı sırası ile; *P A = 5 15 = 0,33 *P B = P A B = = 0,22 *P C = P A BC = = 0,15 olarak bulunur. 59

60 *Not: A ve B olaylarının bağımsız olabilmesi için *P(A/B) = P(A) veya P(B/A) = P(B) şartının sağlanması gerekir. Çünkü A ve B olayları bağımsız ise *P A B = P(A B) P(B) = P A.P(B) P(B) = P(A) *P B A = P(B A) P(A) = P B.P(A) P(A) = P(B) *elde edilir. Eğer, A ve B olayları bağımlı ise *P(A/B) P(A) veya P(B/A) P(B) olur. 60

61 *Örnek: Bir fabrikanın birinci bölümünde üretilen 60 ürünün 15 i ve ikinci bölümünde üretilen 40 ürünün 10 u bozuk olmak üzere, toplam 100 adet ürün üretilmiştir. Rasgele seçilen bir ürünün bozuk olması B ve ikinci bölümde üretilen bir ürünün bozuk olması da T olarak tanımlansın. Bu olaylar bağımsız mıdır? 61

62 Bölümler Sağlam Bozuk Toplam Birinci İkinci Toplam Tablodan P B/T = P(BT) = 10 P(T) 40 = 0,25 P B = hesap edilir. P(B/T) = P(B) olduğundan, T ve B olayları bağımsız olaylardır. 62

63 * A ve B bağdaşır iki olay ise, A veya B olayının ortaya çıkma olasılığı, ya A olayının, ya B olayının ya da A ve B olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi olasılığıdır. Bağdaşır iki olay için; P(A B) = 0 olduğundan * P(A B) = P(A) + P(B) olur. Çünkü olaylar toplanabilir niteliktedir. 63

64 * Örnek: Bir zarın bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze 3 veya 5 gelmesi olasılığı nedir? * Çözüm: Bir zarın, bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze 3 gelirse 1, 2, 4, 5, 6 gelemeyeceğinden ve 5 gelirse 1, 2, 3, 4, 6 gelemeyeceğinden bu iki olay bağdaşmaz olaylardır. 3 gelme olasılığı P A = 1 6 ve 5 gelme olasılığı da P B = 1 6 olduğundan, 3 veya 5 gelmesi olasılığı, * P AB = P A + P B = = 2 6 olur. 64

65 * Örnek: Bir madeni paranın bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze yazı veya tura gelmesi olasılığı nedir? * Çözüm: Bir madeni paranın bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze yazı gelirse tura gelmez, tura gelirse yazı gelmez. Bu iki olay bağdaşmaz olaylardır, yazı gelme olasılığı P A = 1 2 ve tura gelme olasılığı da P B olasılığı, = 1 2 olduğundan, yazı veya tura gelmesi * P AB = P A + P B = = 1 65

66 * Örnek: Araba satın almak isteyen bir kişinin beyaz veya mavi araba olasılıkları sırası ile 2/5 ve 3/7 dir. Bu duruma göre, beyaz veya mavi arabadan birinin seçilmesi olasılığını hesaplayınız. * Çözüm * Arabanın beyaz olması olayı B, mavi olması olayı M ile gösterilsin. B ve M olayları ayrık olaylar olduğundan, beyaz veya mavi arabalardan birinin seçilme olasılığı; * P BM = P B + P B = = = 0,83 olur. 66

67 * Örnek: Bir torbada 4 beyaz, 6 kırmızı top vardır. Çekilen toplar tekrar tekrar torbaya atılmak üzere, bu torbadan ardı ardına rasgele iki top çekildiğinde birinin kırmızı, diğerinin beyaz olma olasılığı nedir? * Çözüm: Birinci topun çekilip iade edilmesi ikinci topun çekilme olasılığını etkilemeyeceğinden, olaylar birbirinden bağımsızdır. Ayrıca çekilişte ya kırmızı beyaz veya beyaz kırmızı gelmesi ayrık olaylar olduğundan istenen olasılık * P KB + P BK = P K. P B + P B. P K = = ,48 *olur. 67

68 * Çeşitli sebeplerin aynı sonucu verebildiği durumlarda, bazen sonuç bilindiği halde, bunun hangi sebeplerden ileri geldiği bilinmeyebilir. Söz konusu sonucun hangi olasılıkla, hangi sebepten ortaya çıktığı araştırılmak istendiğinde Bayes Teoreminden yararlanılır. * Diğer bir deyişle, Bayes teoremi, sonuç belli iken geriye doğru analiz imkanı sağlar. * A, B, C ayrık birbirlerini bütüne tamamlayan olaylar olmak üzere, bu olaylar bir K olayından etkileniyor ise, örnek uzayından bir birim alındığında bunun K özelliğini gösteriyor olması durumunda, A ya ait olması olasılığı P A.P(K A) * P A K = P A.P K A +P B.P K B +P C.P(K C) * Bayes teoremi ile hesaplanır. 68

69 Bu durum şema ile biçiminde gösterilir. 69

70 *Çoğu zaman son meydana gelen olay, daha önce bazı olayların meydana gelip gelmemesine dayanır. *Mesela bir hastanın iyileşmesi olayı, hastalığın doğru teşhisi olayı ve uygun tedavinin tatbiki olayına dayanır. *Bir cihazın güvenilir olarak çalışabilir olması, cihazın dizaynından, mamul hale gelene kadar geçirdiği safhaların başarılı bir şekilde neticelendirilmiş olmasına bağlıdır. 70

71 Örnek: İçerisinde çeşitli sayılarda top bulunan üç kutu veriliyor. Bu kutulardan 1. sinde 4 ü siyah 10 top, 2.sinde 2 si siyah 8 top, 3.sünde 5 i siyah 15 top mevcuttur. Bu kutulardan birisi tesadüfi olarak seçiliyor. Bu kutudan rassal olarak çekilen topun siyah olma olasılığı ne olur? Çözüm: Burada önce bir kutu seçimi söz konusu, 1., 2. ve 3. kutulardan birini seçme olasılığı eşit olup 1/3 tür. Seçilen kutulara göre siyah top çekme olasılıkları: 1. Kutudan siyah top çekme olasılığı: 2. Kutudan siyah top çekme olasılığı: 3. Kutudan siyah top çekme olasılığı:

72 Ağaç diyagramı ile problem şöyle gösterilebilir. 72

73 Genel çarpım kuralına göre, 1. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: 1 2 P( S / K1) x Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: P( S / K2) x Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: 1 1 P( S / K3) x Yukarıdaki üç olasılık birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen olayların olasılığı olduğundan P( S) P( S / K1 S / K2 S / K3)

74 Yukarıdakine benzer problemleri çözmek için olasılıkların çarpımlarının toplamı kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki teoremi kullanmak gerekmektedir. *Teorem: (Olasılıkların çarpımlarının toplamı) Birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen B1, B2,., Bn olaylarının birleşimi S örnek uzayını teşkil ediyorsa ve bu olaylardan biri mutlaka meydana geliyorsa bu durumda bu olaylar vasıtasıyla meydana gelen herhangi bir A olayının olasılığı şöyle yazılır. *Eğer bir olayın gerçekleşmesi, birbirinin alternatifi olan iki olaya bağlı ise eliminasyon kuralının özel bir durumu söz konusu olur. *Eğer B ve B iki alternatif olay ise yukarıdaki kural aşağıdaki şekilde yazılabilir. ) / ( ). ( ) ( ) / ( ). (... ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) ( i n i i n n B A P B P A P B A P B P B A P B P B A P B P A P ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) ( B A P B P B A P B P A P M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik 74

75 *Problem: Bir fabrikada yapılan üretimin; %55 i A, %30 u B, %15 i C makinesinde gerçekleştirilmektedir. Bu makinelerin kusurlu oranları sırasıyla %2, %3, %8 şeklindedir. Bu fabrikadaki üretimin kusurlu oranı ne olur? *Çözüm: P(A) = 0,55 P(K/A) = 0,02 P(B) = 0,30 P(K/B) = 0,03 P(C) = 0,15 P(K/C) = 0,08 P(K ) = P(A). P(K/A) + P(B). P(K/B) + P(C). P(K/C) P(K) = 0,55 x 0,02+0,3 x0,03 + 0,15x0,08 P(K)= 0,032 75

76 *Örnek: Bir hastalığın tedavisinde iki ilaç geliştirilmiştir. Bu ilaçların hastalığı tedavi etme olasılıkları: A İlacı için 0,7 B İlacı için 0,5 olarak ölçülmüştür. Herhangi bir doktorun hastasına bu ilaçları tatbik etme olasılıkları A ilacı için 0,6, B ilacı için 0,4 olduğu görülmüştür. Bu hastalığa yakalanan bir hastanın tedavi sonucu iyileşme olasılığı ne olur? (T: Tedavi olma durumu) *Çözüm: P( T ) P( T ) P( T ) P( A). P( T / A) P( B). P( T / B) 0,6x0,7 0,4x0,5 0,42 0,2 P( T ) 0,62 olur. 76

77 *Problem: Bir mamul B1, B2 ve B3 gibi 3 makine tarafından üretilmektedir Üretilen mamullerin %60 ı B1 de %30 u B2 de %10 u B3 makinesinde gerçekleşmektedir. *Bu makinelerin hatalı üretim oranları ise sırası ile %2, %4,%6 dır. Bu makineler tarafından üretilen mamul yığınından rastgele seçilen bir mamulün a) Bozuk olma olasılığı b) Sağlam olma olasılığı c) Bozuk olarak seçilen bu mamulün B3 tezgahında üretilme olasılığı ne olur? 77

78 Örnek: Bir fabrikanın üretiminin tümü A,B,C bölümlerinde yapılmaktadır. Üretimin %40 ı A, %50 si B, %10 u C bölümünde yapılmaktadır. A bölümündeki üretimin %20 si, B bölümündeki üretimin %10 u ve C bölümündeki üretimin %5 i bozuktur. Bu fabrikanın üretiminden rasgele bir ürün alındığında, bu ürünün A da üretilen bozuk ürünlerden olması olasılığını bulunuz. 78

79 Çözüm 1) Burada sonucu belli olan olay, bozuk bir ürünün üretilmiş olmasıdır. Ürünün bozuk olması olayı K ile gösterilirse, istenen olasılık, P A K = P A. P(K/A) P A. P K A + P B. P B K + P C. P(K C) = P 0,40. (0,20) 0,40. 0,20 + 0,50. 0,10 + 0,10. (0,05) = 0,08 0,08 + 0,05 + 0,005 = 0,08 0,135 = ,593 olarak bulunur. 79

80 Çözüm 2) A 0,40. 0,20 = 0,08 B0,50.0,10=0,05 C0,10.0,005=0,005 80

81 81

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Şartlı Olasılık. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Şartlı Olasılık. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Şartlı Olasılık Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Şartlı Olasılık ir olayın olasılığından söz edebilmek için bir alt kümeyle temsil edilen bu olayın içinde bulunduğu örnek uzayının

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= =

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= = OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. 5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150) PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1

Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1 Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik

Detaylı

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK

( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar

Detaylı

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1 3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

OLASILIK PROBLEMLERİ I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK)

OLASILIK PROBLEMLERİ I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK) İST65-0-02-OLASILIK I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK). A ve B olayları ayrık olaylar ve olasılıkları sıfırdan farklı ise, bu olayların bağımlı olduklarını tanıtlayınız. A ve

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI x 5 6. 0 x 4x 5 x denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 5 5 4. 6 6... a ise, a kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 A) B), C) 5, D) 5 E) 5. m 9m m m işleminin sonucu kaçtır?. (6) x x y y (4. ) eşitliği

Detaylı

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere

Detaylı

Ders 6 OLASILIK KURAMI. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar

Ders 6 OLASILIK KURAMI. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar Ders 6 Olasılık Teorisi Permutasyonlar ve Kombinasyonlar OLASILIK KURAMI Geçtiğimiz 5 hafta boyunca serilerin temel özelliklerini gösteren grafiklerin neler olduğunu ve Serilerin temel özelliklerini anlamada

Detaylı

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik

Detaylı

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin

Detaylı

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik 6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM)

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) Permütasyon Kombinasyon Binom Açýlýmý Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık 1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,

Detaylı

16. 6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? (64)

16. 6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? (64) SAYMANIN TEMEL İLKESİ 1. Altılık sayma düzeninde dört basamaklı rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir? (300) 2. 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamları ile yazılabilecek 300 ile 700 arasında en çok kaç değişik doğal

Detaylı

Toplam Olasılık Prensibi

Toplam Olasılık Prensibi 1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların

Detaylı

Temel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN

Temel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN Temel Olasılık 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık P(E) : E nin olma olasılıgı n: Deneme sayısı n(e): Denemelerden kaçı E ile sonuçlandı Deneme sayısı sonsuza( ) yaklasırsa P(E) = limn n(e) n Örnek Uzay S: Bir

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir.

( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n!

Detaylı

SAÜ BÖLÜM 11. OLASILIK. Prof. Dr. Mustafa AKAL

SAÜ BÖLÜM 11. OLASILIK. Prof. Dr. Mustafa AKAL SAÜ BÖLÜM. OLASILIK Prof. Dr. Mustafa AKAL 0 İÇİNDEKİLER.KAVRAMLAR.. Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay.. Olayların Biçimlenmesi.3. Olasılık Tanımı.PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON..Permütasyon... Sıralı Permütasyon...

Detaylı

8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir.

8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. 04 8. SINIF MATEMATiK OLASILIK OLASILIK Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. Bir zarın atılması, bir torbadan top çekilmesi, bir paranın yazı veya

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

OLASILIK (Probability)

OLASILIK (Probability) OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 5 3. kişi için iki durum

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

OLASILIK. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

OLASILIK.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) OLASILIK 46 0 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları Ocak 20 0. Teorik Olasılık 0.. Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır. BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri - -... 9 Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri

Detaylı

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 3 puanlýk sorular 1. Tuna ve Coþkun un yaþlarý toplamý 23, Coþkun ve Ali nin yaþlarý toplamý 24 ve Tuna ve Ali nin yaþlarý toplamý 25 tir. En büyük olanýn yaþý kaçtýr? A) 10 B)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Olasılık Föyü KAZANIMLAR

Olasılık Föyü KAZANIMLAR Olasılık Föyü KAZANIMLAR Bir olaya ait olası durumları belirler. Daha fazla, eşit, daha az olasılıklı olayları ayırt eder, örnek verir. Eşit şansa sahip olan olaylarda her bir çıktının olasılık değerinin

Detaylı

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1 1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE

Detaylı

Kombinatorik {\} /\ Suhap SAHIN

Kombinatorik {\} /\ Suhap SAHIN Kombinatorik 0 {\} /\ Suhap SAHIN Kombinatorik Kombinatorik Permutasyon Kaç farklı sekilde sıralanır? Permutasyon n tane x tane P(n,x) = n! (n-x)! kaç farklı sekilde sıralanır? P n x Permutasyon 6 tane

Detaylı

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI ÖGRENCİNİN ADI SOYADI : T.C. KİMLİK NO : OKULU / SINIFI : SINAVA GİRDİĞİ İLÇE: SINAVLAİLGİLİUYARILAR: İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 018 SINAVI Kategori: Matematik 7-8 Soru Kitapçık

Detaylı

Olasılık: Klasik Yaklaşım

Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Teorisi Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir. Örnek Türkiye nin kazanma olasılığı Hava durumu Loto Olayların Olasılığını Belirleme Rastsal (gelişigüzel)

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik

ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti:

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8 Aritmetik ortalamaya göre

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları

Detaylı