T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

Transkript

1 T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

2

3 Contents 1 Analiz Öğretimi İki Milenyum Süren Sorunlar Mantık ve Matematik Tümdengelim Tümevarım Matematik Dili I Ön Bilgiler 31 2 Ön Bilgiler (Pre Kalkulüs) Ön KalKulus Önermeler Cebiri İki-değerli Mantık Matematiksel Mantık Boole Cebiri Önermeler Yalın Önermeler Bileşik Önermeler Denk Önermeler Önermeler Cebiri Operatörler Operatörü Operatörü Değilleme Bir Önermenin Değili İse Bağlacı Koşullu Önerme Sonuçları Operatörünün Özelikleri nin Eşgüçlülüğü nin Yer Değişim Özeliği nin Birleşimi Dağılma Bileşik Önermelerin Değillenmesi De Morgan Kuralları : Ancak ve Ancak Operatörü

4 Hepdoğru ve Hepyanlış Karşıt Ters Alıştırmalar Alıştırmalar Kümeler Cebiri Kümeler Cebiri Kapsama Evrensel Küme Venn Çizenekleri Tümleyen Küme Boş Küme Tek öğeli küme Eşit Kümeler Has Alt Küme Kuvvet Kümesi Simetrik Fark Bağıntılar Kartezyen Çarpım Grafik Kartezyen Çarpımın Özelikleri Analitik Düzlem Bağıntılar Bağıntıların Gösterimi Grafik Bağıntı Türleri Denklik Bağıntıları Eşitlik Denklik Bağıntısı Nedir? Denk Öğeler Denklik Sınıfları Ters Bağıntı Simetrik Bağıntı Sayılar Sayıların Kuruluşu Sayıların Sıralanması Doğal Sayılar Doğal Sayıların Kuruluşu Peano Belitleri Sonlu Tüme Varım İlkesi Nicelik Sayıları Eşgüçlülük Sayılabilirlik Sayılamayan Sonsuz Kümeler Gerçel Sayıların Tamlığı Alıştırmalar

5 5 6 Rasyonel Üslü İfadeler Tamsayı Üsler Üslü İfadelerin Özelikleri: Negatif Üsler Benzer Üslü İfadeler Rasyonel Kuvvetler Üslü Denklemler Alıuştırmalar Üslü Denklemler Alıuştırmalar Köklü İfadeler Alıştırmalar e Sayısı Analitik Geometri n-sıralılar Kartezyen Çarpım İkili ve Çoklu sıralılar n-sıralılar Analitik Geometri Kartezyen Çarpımın Genelleşmesi ALIŞTIRMALAR Denklemler Doğru deklemleri İki noktası bilinen doğru Denklemi: Bir noktası ve eğimi bilinen doğru Denklemi: Doğrunun Genel Denklemi İkinci Dereceden Denklemler ax 2 = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + bx = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü Değişken değiştirme Köklü denklemler Mutlak Değer Alıştırmalar Köklerle Katsayılar Arasındaki Bağıntılar Köklerin Toplamı: Köklerin Çarpımı: Köklerin Farkının Mutlak Değeri: Alıştırmalar İkinci Dereceden Denklemlerin İncelenmesi Denklem Sistemleri Eşitsizlikler Eşitsizlik Sistemleri Alıştırmalar İkinci Dereceden Fonksiyonlar Parabol Çizimi

6 Alıştırmalar Eşitsizlik Sistemlerinin Grafikle Çözümü Örnekler: Doğrusal denklem sistemleri Parametrik denklemeler Eğrinin yönü kapalı Eğri Çember in Parametrik Denklemleri Elips in Parametrik Denklemleri Cycloid Matrisler Matrisler Satır ve Kolon Matrisin Bileşenleri Matris İşlemleri Matrislerin Toplamı Matrislerde Çıkarma Matrisin Sayı ile Çarpımı Matrislerin Çarpımı Çarpımın Sırası Değişemez İkiden çok matrisin Çarpımı Matrisin Devriği (transpose) Matrislerin Çarpımının Devriği Matrislerde Bölme Matris Türleri Kare Matris Sıfır Matris Kare Matrisin Köşegenleri Kare Matrisin Kuvveti Birim Matris Simetrik Matris Anti Simetrik Matris Ters Matris Üçgensel Matris Matrisin İzi (trace) Örnekler Matrisin Uzunluğu (size) Determinantlar Determinant Nedir? Matrislerin determinantı Matrislerinin determinantı Matrislerinin determinantı Sarrus Yöntemi Başka Yöntemler Yüksek Boyutlu Matrislerin Determinantları Laplace Yöntemi

7 Minör Eşçarpan (cofactor) Determinant için Laplace Açılımı Determinantların Özelikleri Sarrus Yöntemiyle Hesap: Laplace Yöntemiyle Hesap: Gauss Eleme Yöntemi Ters Matris Matrisler Üzerinde İlkel Satır işlemleri Gauss Eleme Yöntemi ile Ters Matrisi Bulma Ekli Matris Eşçarpan İle Matrisin tersini Bulma Doğrual Denklem Sistemleri Eşçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunuşu Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü Doğrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü Doğrual Denklem Sistemleri Sonsuz Çözüm Tek çözüm Matrislerle Çözüm Denk Sistmler İndirgenmiş Satır Eşolon Biçimi Eşçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunuşu Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü Doğrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü İki Bilinmeyen için Cramer Formülü Üç Bilinmeyen için Cramer Formülü Alıştırmalar Polinomlar Bir Belirsizli Polinomlar Çok Belirsizli Polinomlar Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama İki Polinomun Eşitliği Uygulamalar Polinomlar Kümesi Üzerinde İşlemler Toplama Uygulamalar Çıkarma Uygulamalar Çarpma Sayıl (skalerle) Çarpma Uygulamalar Başlıca Özdeşlikler İki Terim Toplamının Karesi İki Terimin Farkının Karesi İki Terimin Toplamı İle Farkının Çarpımı

8 Üç Terim Toplamının Karesi İki Terim Toplamının Küpü İki Terim Farkının Küpü İki Küp Toplamı İki Terimlinin Kuvvetleri Alıştırmalar Polinomlarda Bölme Uygulamalar Bölme Algoritması Çarpan Teoremi Uygulamalar Uygulamalar Horner Yöntemi ile Bölme Bir Polinomun (x a)(x b) İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalan Uygulamalar Alıştırmalar Polinomların Çarpanlara Ayrılması Karmaşıkları Basite İndirgemek! ebob, ekok Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ortak Çarpan Parantezine Alma Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikler Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikleri Kullanma Uygulamalar Uygulamalar Uygulamalar Alıştırmalar Başlıca Özdeşlikler Fonksiyonlar Foksiyonun Grafiği Tek Değerli Fonksiyonlar Alıştrmalar Fonksiyon Türleri Eşit Foksiyonalar İçine Fonksiyon Örten Fonksiyon Bire Bir Fonksiyon Bire Bir İçine Fonksiyon Bire Bir Örten Fonksiyon Sabit Fonksiyon Sıfır Fonksiyon Özdeşlik Fonksiyonu

9 Kapalı Fonksiyon Örnekler Alıştırmalar Fonksiyonların Bileşkesi Bileşke İşleminin Özelikleri Yer Değişim Özeliği Yoktur Birleşme Özeliği Ters Fonksiyon Ters Foksiyonun Grafiği Rasyonel İfadeler Alıştırmalar Rasyonel İfadelerin Toplamı Rasyonel İfadelerin Çarpımı Rasyonel İfadelerde Bölme Polinom Denklemler Birinci Dereceden Polinom Denklemlerin Çözümü Kombinason Ve Permütasyon Kombinasyon (Combination) Permütasyon (permutation) Combinatorics Kombinarik in temel formülü Sayma Pascal Üçgeni 9 16 Ön Trigonometri Yönlü Açılar Yönlü yaylar Birim Çember Açı Ölçü Birimleri Derece Grad Radyan Trigonometrik Fonksiyonlar Simetrik Açılar Simetriler Trigonometrik Fonksiyonların Özelikleri Özel Açılar Trigonometrik Fonksiyonları Grafikleri Cosinus Grafiği Sinus grafiği Tanjant Grafiği Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Arcsinus Fonksiyonu ArcCosinus Fonksiyonu

10 Arctanjant Fonksiyonu Arccotanjant Fonksiyonu Örnekler Periyodik Fonksiyonlar Alıştırmalar Limit Fonksiyonun Limiti Soldan ve Sağdan Yaklaşım Soldan Limit Sağdan Limit Limit Uç Noktalarda Limit Karl Weierstrass ın Tanımı Örnekler: Limit Kuralları belirsiz Biçemler Sonsuzdaki Limit Çözümlü Örnekler Rasynel Fonksiyonlarda Limit Sonsuzda Limitin Olmadığı Durum Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti Çözümlü Prolemler İntegral Alma Yöntemeleri Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Karma problemler Alıştırmalar İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Sürekli Fonksiyonların İntegrali Değişken Değiştirme tan θ 2 Konumu Kısmi İntegrasyon Polinomların Çarpanlara Ayrılması Basit Kesirlere Ayırma Rasyonel Fonksiyonların İntegrallenmesi Rasonel Fonksiyonların Kesirlere Ayrılması Rasyonelleştirme Köklü İfadelerin İntegrali

11 İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri Bağlantılı Oranlar Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Belirli İntegral Belirsiz İntegral Kuralları Calculus un Birinci Temel Teoremleri Calculus un 1.Teoremi Calculus un İkinci Temel Teoremi Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Alan Hesabı İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı İntegral İntegral Kavramı ve Tanımı Belirli İntegral Belirli İntegral Kuralları Calculus un Temel Teoremleri Calculus un 1.Temel Teoremi Calculus un İkinci Temel Teoremi Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Alıştırmalar Belirli İntegral Kuralları Sayısal İntegraller Düzlemsel Eğrilerin Uzunluğu

12 12 30 İntegral Alma teknikleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa İntegral Alma Yöntemeleri Değişken Değiştirme tan θ 2 Konumu Kısmi İntegrasyon Logaritmik integraller Köklü İfadelerin İntegrali İntegral Alma teknikleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa İntegral Alma Yöntemeleri R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Arcsinus Fonksiyonu ArcCosinus Fonksiyonu Arctanjant Fonksiyonu Arccotanjant Fonksiyonu Örnekler R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller Logaritmik integraller Dönel Cisimleri Hacimleri Silindirik Kabuklar Yöntemi Dilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma Örnek Hacim Hesapları Doğal Logaritma Fonksiyonu Doğal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı Tanım bölgesini Genişletme Doğal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri Doğal Logaritma Fonksiyonunun Grafiği Logaritmik Türev Logaritmik Türevin İntrgrali Üstel Fonksiyon a tabanlı Üstel Fonksiyon a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Davranışı a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi a Tabanlı Üstel Fonksiyonun İntegrali a Tabanına Göre Logaritma l og a x fonksiyonunun özelikleri l og a x fonksiyonunun Türevi Çözümlü Problemler

13 13 33 Kutupsal Koordinatlar Kutupsal Koordinatlarda Grafik Alıştırmalar Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri Merkeze Göre Simetri Ox Eksenine Göre Simetri O y Eksenine Göre Simetri Grafik Çiziminde İzlenecek Yol: Alıştırmalar Kutupsal Sistemde Teğetin Eğimi Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı İki kutupsal eğri arasında kalan alan Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunluğu Kutupsal Koordinatlarda Dönel Yüzeyler Alıştırmalar Parametrik Fonksiyonların Türevi İkinci Basamaktan Türev Alıştırmalar Sayısal İntegraller Dikdörten Yöntemi Yamuk Kuralı Pappus teoremleri Alıştırmalar Dairesel Simit in Yüzeyi Dairesel Simit in Hacmi Simpson Yöntemi Alıştırmalar Alan Hesabı İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı Diziler Örnekler Yakınsak Dizi Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Monoton Dizi Alt dizi Sınırlı dizi Dizilerde Limit Özelikleri Alıştırmalar Seriler Kısmi Toplam Yakınsak Seriler Rasyonel Terimli Seriler Özel Seriler Aritmetik Seri

14 Geometrik Seri Binom Serisi Genelleşmiş Binom Teoremi Serilerin Özelikleri Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Alterne Seriler Alıştırmalar Caucy Dizi ve Serileri Seriler İçin Yakınsaklık Testleri p-serisi Oran Testi Kök Testi İntegral Testi: p-serisi p-serisi Karşılaştırma Testleri Limit Karşılaştırma Testi Oran Testi Newton Metodu Değişken Terimli Seriler Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Maclaurin Serisi Uygulamaları Düzgün Yakınsama Fonksiyon Dizileri Fonksiyon Serileri Fonksiyon Dizileri İçin Cauchy Kriteri Fonksiyon Serileri İçin Cauchy Kriteri Alıştırmalar Fonksiyon Dizi ve Serilerinin İntegrali Dirichlet ve Abel Testleri Dirichlet Testi Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin İntegrali

15 Çözümlü Kuvvet Serisi Problemleri Alıştırmalar Serilerin Yaklaşık Toplamı Alıştırmalar Vektörler Vektör Uzayı Simgeler Denk Vektörler Vektörlerin Gösterimi Vektör Uzayında İşlemler Sıfır Vektörü Vektörlerin Toplamı Toplamanın Özelikleri Vektörlerde Çıkarma İşlemi Vektörün Sayı ile Çarpımı Birim Vektör Doğrultu Açıları Analitik Geometriye Giriş Alıştırmalar Bileşenlerle İşlemler Nokta Çarpım İzdüşüm İzdüşümün Genellenmesi İki Vektör Arasındaki Açı İki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü İki Vektörün Birbirine Dikliği Üçgen Eşitsizliği Uzayda Doğru ve Düzlem İki noktası Verilen Doğru Denklemi Noktanın Doğruya Uzaklığı Düzlem Denklemi Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi Noktanın Düzleme Uzaklığı Alıştrmalar Vektörel Çarpım Vektörel Çarpımın Özelikleri VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları Diklik Alan Üçlü Çarpım Alıştırmalar Uzayda Doğru ve Düzlem İki noktası Verilen Doğru Denklemi Noktanın Doğruya Uzaklığı Düzlem Denklemi Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi Noktanın Düzleme Uzaklığı

16 Alıştırmalar Katlı İntegral İki Katlı İntegralin Özelikleri Ardışık İntegral Katlı İntegral Uygulamaları Alıştırmalar Katlı integralde değişken değiştirme Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle Hacim hesapları Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller Alıştırmalar Üç Katlı İntegraller Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Silindir Nedir? Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar Eğrisel İntegraller Düzlemde Eğrisel İntegral Uzayda Eğrisel İntgral Alıştırmalar Vektör Alanlarının Eğrisel İnteralleri Divergence Vector Alanını Eğrisel İntegrali Eğrisel İntegralle iş Alıştrmalar İntegralin Yoldan Bağımsızlığı Alıştırmalar Üç Boyutlu Uzayda Korunumlu Vektör Alanı Green Teoremi Green teoemi İle Alan Hesabı Aıştrmalar Yüzey İntegralleri Paramertrik Yüzeyin Alanı Yüzey İntegrali Yönlendirilmiş Yüzey Üzerinde İntegral Vektör Alanlarının İntegrali Stokes Teoremi

17 Divergence Teoremi Alıştırmalar Vektör Değerli Fonksiyonlar Vektör Değerli Fonksiyonlar ve Uzay Eğrileri Vektör Değerli Fonksiyonların Limiti Limit Vektör değerli Fonksiyonların Sürekliliği Süreklilik Türev Türev Kuralları Vektör değerli Fonksiyonların Teğeti Düzgün Eğri Düzgün Eğriler Vektör Değerli Fonksiyonların integrali Belirsiz İntegral Belirli İntegral Alıştırmalar Eğri Uzunluğu Eğrilik Eğrilik Çemberi Normal ve İkinci Normal Vektörler Alıştırmalar Uzayda Hareket Kepler Yasaları Alıştırmalar Konikler Koniklerin Adlandırılması Koniklerin Kutupsal Sistemdeki Denklemleri Koniklerin Kartezyen Denklemi Alıştırmalar İkinci Dereceden Yüzeyler Elipsoid Elipsoid Hiperboloid Eliptik Paraboloid Eliptik Koni Alıştırmalar Fiziksel uygulamalar Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk

18 Moment Noktaya Göre Moment Doğru üzerinde Moment Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti Düzleme Göre Moment Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar Üç Katlı İntegral İle Moment Düzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Work (İş) Diferensiyel denklemler Birinci basamaktan birinci dereceden Diferensiyel denklemler Özel ve Genel Çözüm Tek Değişkenli Diferensiyel Denklemler Denklemin Doğrusala Dönüşmesi Diferensiyel Denklemler Tek Değişkenli Diferensiyel Denklemler Tam Diferensiyel Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan Doğrusal Diferensiyel Denklemler Alıştırmalar Tam Diferensiyel Alıştırmalar Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan Doğrusal Diferensiyel Denklemler Alıştırmalar Bernoulli Diferensiyel Denklemi Bernoulli Diferensiyel Denkleminin Çözümü Çözümlü Örnekler

19 Alıştırmalar Riccati Diferensiyel Denklemi Clairaut Diferensiyel denklemleri Lagrange Diferensiyel Denklemi Alıştrmalar Üç Katlı İntegraller Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar Düzensiz İntegraller Aralığın Sonsuz Olması Durumu [a, ) aralığında integral (, a] aralığında integral (, ) aralığında integral Aralığın uç noktalarında fonksiyonun sınırsız olması durumu: Sol Uç Sağ Uç Aralığın içinde fonksiyonun sınırsız olması durumu: Düzensiz intgralleri karşılaştırma: Alıştırmalar Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Sıvı Basıncı Work (İş) Pappus teoremleri Alıştırmalar Simpson Yöntemi Yamuk Kuralı Moment Noktaya Göre Moment Doğru üzerinde Moment Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti Düzleme Göre Moment Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar

20 20 41 Belirli İntegral Uygulamaları Düzlemsel Eğrilerin Uzunluğu Alan hesapları Foksiyonun Orta Değeri Index 20

21 T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

22

23

24 33 Kutupsal Koordinatlar Koordinat sistemi, bir noktanın uzaydaki konumunu belirler. Daha önce gördüğümüz dikey kartezyen koordinat sisteminde, n-boyutlu R n uzayındaki bir P noktanın konumu (x 1, x 2, x 3,..., x n ) gibi bir n sıralı ile belirtilir. Bu gösterimde x i (i = 1,2,3,...,n) sayılarına P noktasının koordinatları ya da bileşenleri denilir. Noktalar ve koordinatler bire bir eşleşirler. Özel olarak iki boyutlu R 2 uzayına analitik düzlem ya da kısaca düzlem diyoruz. Düzlemdeki her P noktasının konumu, yazışta indislerden sakınmak amacıyla, (x, y) sıralı çifti ile gösterilir. Bu gösterimde x sayısına apsis denilir ve yatay eksen bounca uzakılığı gösterir. y sayısına ordinat denilir ve düşey eksen bounca uzaklığı gösterir. Dikey kartezyen koordinat sistemi çok kullanışlıdır ve y = f (x) biçimindeki foksiyonların grafikleri (x, f (x)) sıralı çiftleri tarafından temsil edilir. R 3 kartezyen çarpımına üç boyutlu uzay ya da kısaca uzay diyoruz. Üç boyutlu uzaydaki bir noktayı (x, y, z) koordinatları ile gösteriyoruz. Bu sistemde z = f (x, y) şeklindeki foksiyonlar üç boytlu uzayda birer yüzey gösterirler. Koordinat sistemleri, ait olduğu uzaydaki bir noktanın konumunu belirtmekle kalmaz, türev ve integral alma işlemleriyle birlikte grafik çizimlerini de çok kolaylaştırırlar. Dikey kartezyen koordinat sistemi, düzlemde ya da üç boyutlu uzayda fonksiyonlarla ilgili çözümlemeleri yapmamızı sağlar. Algılanması ve yüksek boyutlara taşınması kolaydır. Ama bazen yapılacak işlemi daha basite indiren koordinat sistemlerine gerekseme duyarız. Farklı koordinat sistemlerinden birisi düzlemde kullandığımız kutupsal koordinat sistemidir. Buna kısaca kutupsal sistem diyeceğiz. Düzlemde kutupsal koordinat sistemi denilen sistem, gerçekten dikey kartezyen koordinat sistemine göre bazı işleri çok kolaylaştırır. Özellikle gök cismlerinin hareketlerine benzer hareketleri incelemek için kutupsal koordinatlar çok kullanışlıdır. Kutupsal koordinat sistemi Ox ekseniyle çakışan ve adına kutupsal eksen denilen ışın ile başlangıç noktasını P noktasına birleştiren r yer vektöründen oluşur. r vektörünün kutupsal eksenle saat dönüşünün tersi yönünde yaptğı θ açısı noktanın hangi doğrultuda olduğunu belirler. r vektörünün r uzunluğu P noktasının yerini belirler. O nedenle P(x, y) Şekil 33.1: Kutup Ayısı Şekil 33.2: Kutupsal koordinatlar noktasını kutupsal sistemde P(r,θ) ile gösteririz. Kartezyen sistemden kutupsal sisteme geçiş Şekil (33.2) de görüldüğü gibi x = r cosθ, y = r sinθ (33.1) Şekil 33.3: Kutupsal koordinatlar konumu ile yapılır.

25 500 Kutupsal Koordinatlar Tersine olarak kutupsal sistemdem dikey kartezyen sisteme geçiş r 2 = x 2 + y 2 θ = ar c tan y x (33.2) eşitlikleri ile yapılır. Bu gösterimde r ye ışın, θ ya genlik denilir. r 2 = x 2 + y 2 r = x 2 + y 2 olduğundan yukarıdaki ifadeyi r = x 2 + y 2, θ = ar c tan y x (33.3) biçiminde yazabiliriz. (33.1) denklemleri kartezyen sistemden kutupsala dönüşümü, (33.3) denklemleri ise kutupsal sistemden kartezyen sisteme dönüşümü sağlar. Bu dönüşümler bire-birdir. Dolayısıyla, düzlemdeki noktaları istersek kartezyen sistemle, istersek kutupsal sistemle gösterebiliriz. r = OP ışını O başlangıç noktasını P noktasına birleştiren ışındır. Aslında bu ışın r = OP yer vektörüdür. Şekil (33.4) de A(7, π 3 ) noktasının Şekil 33.4: Kutupsal koordinatlar Şekil 33.5: Kutupsal koordinatlar (7, π 3 ), (7, 5π 3 ), (7, π ± 2kπ), (k Z) 3 koordinatları ile gösterilebileceği görülüyor. Kutupsal koordinat sisteminde (r, θ) noktası ile (r, θ ± 2kπ), [k Z noktası çakışır. Yani, θ açısı ile θ ± 2kπ katları aynı noktanın genliği olur. Böyle oluşu düzlemdeki noktanın koordinatları ile noktalar arasında bire bir bir eşleme olmadığı anlamına gelir. Bu olgu başlangıçta sakıncalı gibi görünse de, dönerli hareket yapan cisimlein konumlarını belirtlemek için çok uygundur. r sayısını ±r gibi işaretli düşünürsek (r,θ) noktası ile ( r,θ) noktası O noktasına göre simetrik olurlar. Tabii ( r,θ) ile (r,θ + π) ve daha genel olarak (r,θ ± 2kπ) noktaları çakışırlar. Ama noktanın hareketli cisim olması halide, noktanın genliği cismin O noktası etrafında kaç kez döndüğünü belirtir. Örnek (2,0), (2, 3π 2 ), (3, π 2 ), ( 3, π ), (2,π) 2 noktalarını kutupsal sistemde gösteriniz. Çözüm: Örnek Dikey kartezyen sistemde P(1,1) ile verilen noktanın kutupsal koordinatlarını yazınız. Çözüm: (33.1) ve (33.3) eşitliklerini, kullanarak bir sistemden ötekine geçebiliriz. Buna göre, r = = 2, θ = ar c tan 1 1 = ar c tan1 = π 4 olur. O halde noktanın kutupsal gösterimi ( 2, π 4 ),( 2, 5π 4 ) ya da ( 2, 9π 4 )

26 33.1 Kutupsal Koordinatlarda Grafik 501 Örnek Dikey kartezyen sistemde P(2,3) ile verilen noktanın kutupsal koordinatlarını yazınız. Çözüm: (33.1) ve (33.3) eşitliklerini, kullanarak bir sistemden ötekine geçebiliriz. Buna göre, r = = ± 13, θ = ar c tan 3 = radyan 2 olur. O halde noktanın kutupsal gösterimi dir. P( 13, ) ya da P( 13,tan π) Örnek Kutupsal sistemde P(3, π 6 ) ile verilen noktanın dikey kartezyen koordinatlarını yazınız. Çözüm: (33.1) ve (33.3) eşitliklerini, kullanarak bir sistemden ötekine geçebiliriz. Buna göre, x = r cosθ = 3cos π 6 = y = r sinθ = 3sin π 6 = 3 2 olur. O halde noktanın kartezyen gösterimi P( 3 3 2, 3 2 ) dir Kutupsal Koordinatlarda Grafik Kutupsal koordinatlarda r = f (θ) ya da F (r, θ) = 0 biçiminde verilen fonksiyonun grafiği kümesidir. G = { (r,θ) : r = f (θ), θ R } Örnek r = 3 ile verilen fonksiyonun grafiğini çiziniz. Çözüm: θ için bir sınır konmadığına göre her gerçel değeri alabilir. r = x 2 + y 2 r 2 = x 2 + y 2 9 = x 2 + y 2 çıkar. O halde grafik yarıçapı 3 olan merkezil çemberdir. Örnek θ = π 6 ile verilen fonksiyonun grafiğini çiziniz. Çözüm: r için bir sınır konmadığına göre her gerçel değeri alabilir. O halde grafik başlangıçtan geçen θ = π 6 ışınıdır. Örnek x 2 y 2 = 9 ile verilen hiperbolü kutupsal sitemde yazınız. Çözüm: 9 = x 2 y 2 = r 2 (cos 2 θ sin 2 θ) = r 2 cos2θ r 2 = 9 cos2θ r 2 = 9sec2θ r = ±3 sec2θ

27 502 Kutupsal Koordinatlar olur. sec2θ > 0 π 2 < 2θ < π 2 π 4 < θ < π 4 r = sec2θ hiperbolün sağ yandaki kolu, r = sec2θ hiperbolün sol yandaki kolu, olur. Örnek Kartezyen koordinat sistemindeki denklemi x 2 + y 2 = 6x ile verilen çemberi kutupsal sistemde yazınız. Çözüm: x = r cosθ, y = r sinθ konumuyla x 2 + y 2 6x = 0 (r cosθ) 2 + (r sinθ) 2 6r cosθ = 0 r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) 6r cosθ = 0 r 2 6r cosθ = 0 r (r 6cosθ) = 0 r = 6cosθ olur Alıştırmalar 1. (2, π 3 ) noktasını kartezyen sistemde gösteriniz. 2. ( 1,1) noktasını kutupsal sistemde gösterniz. 3. r = 2 denklemini kartezyen sistemde yazınız. 4. r > 1 bölgesini düzlemde gösteriniz θ π 4 bölgesini düzlemde gösteriniz r 3, π 4 θ π 4 bölgesini düzlemde gösteriniz. 7. Kutupsal sistemde verilen r = 3sinθ denklemini kartezyen sistemde yazınız. 8. Kutupsal sistemde verilen 1 = r cosθ denklemini kartezyen sistemde yazınız. 9. Kutupsal sistemde verilen r = yazınız sinθ denklemini kartezyen sistemde 10. Kartezyen sistemdeki denklemi y = 3 olan eğriyi kutupsal sistemde yazınız. 11. Kartezyen sistemdeki denklemi x 2 + y 2 = 9 olan eğriyi kutupsal sistemde yazınız. 12. Kartezyen sistemdeki denklemi x 2 = 4y olan eğriyi kutupsal sistemde yazınız.

28 33.3 Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri r = f (θ) denklemiyle veriln eğriyi çizmek için θ nın farklı değerlerine karşılık r nin alacacağı değerler hesaplanır. Eğri çiziminde f foksiyonunun varsa periyodunun bulunması öncelikli iş olmalıdır. T periyodu bulunursa, eğriyi [α,α + T ] aralığında çizmek yeterli olacaktır. Tanım f (θ) = f (θ + T ) (33.4) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif gerçel T sayısına f fonksiyonunun periyodu denilir. Örnek f (θ) = sinθ fonksiyonunun periyodu T = 2π dir. Eğriyi çizmek için varsa simetrilerini bulmak da işi azaltır. Simetriler genellikle noktaya ve eksene göre simetri olarak karşımıza çıkar Merkeze Göre Simetri Tanım (r,θ) yerine ( r,θ) konulduğunda denklem değişmiyorsa, eğri O merkezine göre simetriktir. Şekil 33.6: Merkez O başlanıç noktasına göre simetri Ox Eksenine Göre Simetri Tanım (r,θ) yerine (r, θ) konulduğunda denklem değişmiyorsa, eğri Ox eksenine göre simetriktir O y Eksenine Göre Simetri Şekil 33.7: Ox eksenine göre simetri Tanım (r,θ) yerine (r,π θ) konulduğunda denklem değişmiyorsa, eğri O y eksenine göre simetriktir. Bazı durumlarda f (θ) f (π θ) olduğu halde eğri O y eksenine göre simetrik olabilir. r = f ( θ) olması durumunda da grafik O y eksenine göre simetik olabilir. Şekil 33.8: O y eksenine göre simetri Örnek r = 1 cosθ eğrisinin simetrilerini inceleyiniz. Grafiğini çiziniz. Çözüm: θ yerine θ konulduğunda cos( θ) = cos(θ) olduğundan r = cos( θ) = 1 cosθ dır. O halde eğri Ox eksenine göre simetriktir. Fonksiyonun periyodo T = 2π olduğundan 2π uzuluğundaki bir aralıkta foksiyonun değişimini incelemk yetecektir. [0,2π] aralığını alalım. Değişim tablosunu oluşturabiliriz: θ 0 π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π r r = 1 cosθ nın değişimi Tabloya bakarsak θ [0,π] iken r nin arttığını, θ [ 5π 4,2π] iken r nin azaldığını görürüz. Değişim tablosundaki değerlere göre çizim şekildeki gibi yapılabilir. İstenirse, simetrilerden yararlanılark da fonksiyonun grafiği çizilebilir. Şekil 33.9: r = 1 cosθ

29 504 Kutupsal Koordinatlar Örnek r = 1 + cosθ kalp eğrisinin grafiğini çiziniz. Şekil 33.10: r Çözüm: Kalp eğrisinin değişim tablosu yukarıdakine benzer yolla hazzırlanabilir ve grafik çizilebilir. Eğrinin periyodu her θ için f (θ + T ) = f (θ) eşitliğini sağlatan T = 2π sayısıdır. r = f ( θ) = (1 + cos[ θ] = (1 + cosθ) olduğu için eğri Ox eksenine göre simetriktir. Yukarıdaki simetri de gözönüne alınınca, eğriyi [0,π] aralığında incelemek yeterli olacaktır. Değişim tablosunu düzenleyelim: θ 0 π 2 π dr dθ 0 r Table 33.1: r = θ = 0 noktasında maksimum değeri: 2 θ = π noktasında minimum değer.: 1 Örnek r = a(1 + sinθ) eğrisinin grafiğini çiziniz. Çözüm: Yukarıdakilere benzer yöntemle çizileblir. Şekil 33.11: r = a(1+sinθ) Örnek r = a(1 sinθ eğrisinin grafiğini çiziniz. Çözüm: Yukarıdakiere benzer yöntele çizileblir. Çözüm: Şekil 33.12: r = a(1 sinθ Örnek r = 2sin3θ eğrisinin grafiğini çiziniz. Önce fonksiyonun periyodunu bulalım: sin3(θ + T ) = sin3θ 3(θ + T ) = 3θ + 2π T = 2π 3 olur. Simetrilerine gelince, sin3θ = sin3(π θ) = sin(2π + (π 3θ)) = sin(π 3θ) olduğundan O y eksenine göre simetriktir. Ayrıca 2sin3θ = 0 sin3θ = 0 3θ = 0, π, 2π,... Buradan, θ = 0, π 3, 2π 3,... kökleri bulunur. Kökler teğet doğruları verecektir. r = 2sin3θ dr dθ = 6cos3θ, 3θ = π 2, 3π 2, 5π 2,... olduğundan çıkar. Tablo oluşturulursa, θ = π 6, π 2, 5π 6,... Bu tablo yardımıyla yandaki grafik çizilebilir.

30 33.4 Grafik Çiziminde İzlenecek Yol: 505 θ 0 π 6 dr dθ r π 3 π 2 2π 3 Önce y = 2sin3x grafiğini çizmek kutupsal grafiği algılamayı kolaylaştırabilir Grafik Çiziminde İzlenecek Yol: Çözüm: Şekil 33.13: y = 2sin3x 1. Eğrinin simetrisi incelenir. 2. f (θ) = 0 denkleminin kökleri teğet doğruları verir. 3. dr dθ türevinden maksimum ve minimum noktalar bulunur. 4. Değişim tablosu yapılır ve grafiğin çizimine geçilir. Şekil 33.14: r = 2sin3θ Örnek r = 2(1 sinθ) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Şekil 33.15: y = 2 2sinx y = 2 2sin x fonksiyonunun grafiğini çizelim ve tabloyu oluşturalım: θ sinθ 2 2sinθ [0, π 2 ] Artan Azalan [ π 2,π] Azalan Artan ] Azalan Artan [π, 3π 2 [ 3π 2,2π] Artan Azalan Bu aralıklarda grafikler çizilirse istenen kalp eğrisi elde edilir. Table 33.3: r = 2(1 sinx Şekil 33.16: y = 1 2sinx Örnek r = 1 2sinθ fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: y = 1 2sin x fonksiyonunun periyodu 2π dir ve grafiği Şekil (33.17) de görüldüğü gibidir. r = 0 1 2sinθ = 0 sinθ = 1 2 θ = π 6, θ = 5π 6 elde edilir. Tablo oluşturalım: Şekil 33.17: y = 1 2sinx θ sinθ 1 2sinθ Bölge (Quadrant) [0, π 6 ] Artan Azalan 1.Quadrant [ π 6, π 2 ] Artan Azalan 3.Quadrant [ π 2, 5π 6 ] Azalan Artan 4.Quadrant,π] Azalan Artan 2.Quadrant [ 5π 6 [π, 3π 2 [ 3π 2 ] Azalan Artan 3.Quadrant,2π] Artan Azalan 4.Quadrant Tabloya göre grafik çizlirse Şekil (33.18) çıkar. Örnek r = sin2θ fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: y = sin2x fonksiyonunun grafiğini çizelim ve değişim tablosunu oluşturalım. Table 33.4: r = 2(1 sinx) Şekil 33.18: y = 1 2sinx Şekil 33.19: y = sin2x

31 506 Kutupsal Koordinatlar Table 33.5: r = 2(1 sinx) θ r = sin2θ Bölge (Quadrant) [0, π 4 ] Artan 1.Quadrant [ π 4, π 2 ] Azalan 1.Quadrant [ π 2, 3π 4 ] Azalan 4.Quadrant,π] Artan 4.Quadrant [ 3π 4 [π, 5π 4 ] Artan 3.Quadrant [ 5π 4, 3π 2 ] Azalan 3.Quadrant [ 3π 2, 7π 4 ] Azalan 2.Quadrant,2π] Artan 2.Quadrant [ 7π 4 Şekil 33.20: r = sin2θ) olur. dr dθ = 2cos2θ = 0 θ = π 4, 3π 4, 5π 4,... Maksimum değer: π 4, 5π 4,... için r = 1 olur. Minimum değer: 3π 4, 7π 4,... için r = 1 olur. Tablodaki aralıklar dikkate alınarak grafik çizilirse, Şekil (33.20) deki dört yapraklı yonca elde edilir Alıştırmalar 1. Aşağıda kutupsal denklemi verilen fokiyonların grafiğini çiziniz. (a) r = 3 (b) θ = 3π 4 (c) r = sinθ (d) r = 1 2cosθ (e) r = 2cos4θ (f ) r = sin5θ (g ) r 2 = 4cos2θ 2. r = 1 + 2sin θ 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 3. (2, π 2 ) noktasının r = 2cos2θ eğrisi üzerinde olduğunu gösteriniz. 4. r 2 = cos4θ ve r = 1 cosθ eğrilerinin kesişim noktalarını bulunuz. 5. r 2 = sin2θ fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 6. r 2 = 4cosθ fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 7. r = 2 + cosθ fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 8. r = cosθ fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 9. r = sinθ fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 10. r = 8 θ fonksiyonunun grafiğini çiziniz Kutupsal Sistemde Teğetin Eğimi Teorem f (θ) fonksiyonu θ ya göre türevlenebilir olmak üzere, r = f (θ) denkleminin grafiğinin (r,θ) noktasındaki eğimi d x dθ 0 olmak üzere, d y d y d x = dθ = f (θ)cosθ + f (θ)sinθ d x f (θ)sinθ + f (33.5) (θ)cosθ dθ dır.

32 33.7 Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı 507 Kanıt: x = r cosθ, y = r sinθ eşitliklerinde r = f (θ) yazılırsa x = f (θ)cosθ, y = f (θ)sinθ olur. Parametrik fonksiyonların türev formülü kullanılırsa, çıkar. d y d x = d y dθ = f (θ)cosθ + f (θ)sinθ d x f (θ)sinθ + f (θ)cosθ dθ Örnek r = 4sin3θ kutupsal denklemi ile verilen eğrinin θ = π/6 için teğetetinin eğimini ve teğetin kartezyen koordinatlardaki denklemini bulunuz. Çözüm: x = 4sin3θ.cosθ, y = 4sin3θ.sinθ eşitliklerinden, olur. d y d x = d y dθ d x dθ 4sin3θ.cosθ + 12cos3θ.sinθ = 4sin3θ. sinθ + 12cos3θ. cosθ d y d x = d y d x kullanılırsa = 3, θ=π/6 x = 4sin3θ.cosθ x π/6 = 2 3 y = 4sin3θ.sinθ y θ=π/6 = 2 = 2 kullanılırsa çıkar. Bunlar kullanılırsa teğet denklemi, olur. y 2 = 3(x 2 3) y = 3x Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı Kartezyen koordinatlarda alan hesabında dikdörtgenleri kullanmıştık. Kutupsal koordinatlarda ise dikdörtgenler yerine daire dilimlerini kullanacağız. θ açısının gördüğü daire diliminin A alanı dır. A πr 2 = θ 2π A = 1 2 r 2 θ Teorem r = f (θ) kutupsal denklemi ile verilen fonksiyon [α,β] aralığında sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon olsun. θ = α, θ = β ışınları ve r nin grafiği tarafından sınırlanan düzlemsel bölgenin alanı Şekil 33.21: Alan esabı Şekil 33.22: Daire diliminin alanı dır. A = β α 1 ( ) 2 1 f (θ) dθ = 2 2 β α r 2 dθ (33.6)

33 508 Kutupsal Koordinatlar Kanıt: [α,β] aralığının bir bölüntüsü P : α = θ 0 < θ 1 < θ 2 < θ n = β olsun. t k [θ k 1,θ k ] (k = 1,2,3,...,n olacak şekildeki t k noktalarına karşılık r k = f (t k ) yarıçaplı daireyi düşünelim. θ k = θ k θ k 1 olmak üzere, θ k açısını gören daire diliminin alanı Şekil 33.23: Bö dilimler A k = 1 2 r 2 k θ k = 1 2 ( f (tk ) ) 2 θk olacaktır. θ k sonsuz küçülürken sözkonusu daire dilimleinin alanları toplamı aranan düzlemsel bölgenin alanına yaklaşır. Dolayısıyla Riemann toplamı yazılırsa, Şekil 33.24: Da n 1 ( A f (tk ) ) 2 θk 2 k=1 olacaktır. Bölüntü sayısı sınırsız olarak artırıldığında A = lim = 1 2 elde edilir. n k=1 β α n 1 ( f (tk ) ) 2 θk 2 ( f (tk ) ) 2 dθ 33.8 İki kutupsal eğri arasında kalan alan Şekil 33.25: İki kutpsal eğri arasında kalan alan Bu halde düşünce kartezyen sistemdekin benzer. [α, β] aralığında sürekli f ve g fonkiyonları f (θ) g (θ) bağıntısını sağlasın. θ = α ve θ = β ışınları ile f ve g fonkiyonlarının grafikleri tarafından sınırlanan düzlemsel bölgenin alanı A = 1 2 β α [ (f (θ) ) 2 ( g (θ) ) 2 ] dθ (33.7) dır. Kanıt: f eğrisinin sınırladığı alandan g eğrisinin alanını çıkarmak yetecektir. Şekil 33.26: limaçon 1 L I M AÇ O N: Pascal tarafından rulet masası tasarımıyla ilgi olarak düşünülmüş bir eğridir. Bir çember kendisine eşit bir çemberin dışında kaymaksızın yuvarlansın. Yuvarlanan çember üzerindeki sabit bir noktanın yörüngesine limaçon denilir. 1 Örnek r = 3 + 2cosθ limaçon eğrisinin içinde ve r = 2 çemberinin dışında kalan düzlemsel bölgenin alanını bulunuz.

34 33.8 İki kutupsal eğri arasında kalan alan 509 Çözüm: Limaçon eğrisi içindeki alandan çemberin alanını çıkartmalıyız cosθ = 2 cosθ = 1 2 θ = ± 2π 3 olduğundan çıkar. 2π 3 1 A = 2π 3 = 1 2 2π 3 2π 3 2 (3 + 2cosθ)2 dθ 2π 3 2π 3 ( (3 + 2cosθ) 2 2 2) dθ = π 8π 6 3 = π birim kare dθ Örnek r = sin3θ eğrisinin sınırladığı düzlemsel alanı bulunuz. Çözüm: Eğri üç yapraklı bir yoncadır. Her yaprağın alanı aynı olduğu için bir yaprağın alanını bulup üç katını alabiliriz. Kutupsal alan formülünden, A = = 3 2 π 3 0 π 3 0 sin 2 3θ dθ 1 cos6θ dθ 2 = 3 4 (θ 1 6 sin6θ π 3 0 Şekil 33.27: limaçon-daire = π 4 çıkar. Örnek r = 3sinθ çemberinin içinde ve r = 1 + sinθ kalp eğrisinin dışında kalan alanı bulunuz. Şekil 33.28: r = sin3θ Çözüm: Kalp eğrisi ile çemberin kesişim noktaları 1 + cosθ = 3cosθ θ = ± π 3 dir. Simetriden yaralanarak, I.Bölgrdeki alanı bulup iki katını alabiliriz: A = π 3 = = 0 π 3 0 π 3 0 (3cosθ) 2 (1 + cosθ) 2 dθ (8 12 (1 + cos2θ 1 2cosθ) ) dθ (3 + 4cos2θ 2cosθ)dθ Şekil 33.29: sin3θ (1+sinθ) = [3θ + 2sin2θ 2sinθ π 3 0 çıkar. 3 3 = π = π + 2