Temel Elektrik Mühendisliği-I

Transkript

1 Akara Üiversiesi Mühedislik Fakülesi, Fizik Mühedisliği Bölümü FZM7 Temel Elekrik MühedisliğiI Temel Elekrik Mühedisliğiil, Çev. Ed: K. Kıymaç Yazarlar: A. E. Fizgerald, D. E. Higgibham, A. Grabel 3. Bölüm: Temel Devre Tepkileri 3. Bölüm: Temel Devre Tepkileri İçerik Devre Tepkilerii Özelliği Dğal Tepki Daha Karmaşık Devreleri Dğal Tepkisi Zrlamış Tepki Tam Tepki Pr. Dr. Hüseyi arı Devre Tepkileri Bu derse, zamala değişe akım ve gerilim kayaklarıı devrelere uygulaması halide devrei gösereceği epkiler iceleecekir. Özellikle asızı uygulaa veya birde değişirile kayağa göserile epkiler iceleecekir. ığa üzerideki akım dv ( ) ( i = ) () Bbi üzerideki gerilim ( ) di( ) v = Devre Tepkilerii Özelliği Devre epkisii geel özellikleri aşağıdaki direci ve sığasıda luşa devrei icelemesi ile açıklaacakır. aaharıı = aıa kadar açık ve sığasıı yüklememiş lduğuu varsayalım. = aıda öce hiçbir şey lmamakadır, devrede akım ykur. Devre kararlı bir durumdadır. c aaharıı kapaıldığı a = ()=? ()=? Bu devre elemalarıı (ığa ve bbi) üzerideki akım ve gerilim, akım ve gerilimi büyüklüğü ile ilgili değil, değişimi ile raılıdır. 3 = aıda aahar kapaılırsa kşullar değişmeye başlar. Kayaka çıka yükler devre üzeride akarak sığaya ulaşır; bu akış, sığa üzerideki gerilim kayak gerilimie eşi lucaya ( =) kadar sürer; yei bir dege kurulur ve yükleri akışı durur. 4

2 c = = aaharıı kapaıldığı a = c () Küçük > c Bu geçiş döemi devre elemalarıa bağlı larak uzu veya kısa labilir. Büyük 5 c = aaharıı kapaıldığı a = Kararlı durum döemi geçiş döemi Kararlı durum döemi Bölüm 3 ü kusu = > >> c () c Bölüm 4 ü kusu c > : Aahar kapadıka heme sraki a Bu geçiş döemi devre elemalarıa bağlı larak uzu veya kısa labilir. Bu geçiş döemi devre elemalarıı Dğal epkisi ve güç kayağı araıda luşurula Zrlamış epkii plamı şeklidedir ve bu dersi kusuu luşurmakadır. 6 Devre Tepkilerii Özelliği Tam epki, Dğal ve Zrlamış epkii plamı şeklidedir c c c Tam epki Dğal epki Zrlamış epki c () = Devrede luşurula ai değişimde (aaharı kapaılması) heme sra gözlee devrei epkisi Devrede güç kayağı ykke devrei dğal davraışı Güç kayağıı devreye uyguladığı gerilim 7 Kirchh AkımYasası (KAY) deklemi: Çözümü, ürevi kedisie eşi la bir ksiy lması gerekir. Dğal Tepki Devresi Bu kesimde devre epkisii, dış bir kayak lmadığı durumda dğal epkisi buluacak. Örek larak aşağıdaki devreyi göz öüde buluduralım. Direç üzerideki akım v ( ) ( i = ) i i ığa üzerideki akım dv ( ) ( ) i = v() i i = dv( ) v( ) = Bu dekleme, ürev içerdiği içi dierasiyel deklem deir. v( ) = Ke Haırlama: d s s Türev Kuralları s ( Ke ) Ke = Ke ( s ) = b y( ) = Ae dy( ) b = Abe = by( ) s = s = v() = Ke s Birici derecede (bir kez ürev alımış) hmje (eşiliği diğer araı sıır) dierasiyel deklem. s ve K sabileri biliirse çözüm sağlamış lur (K başlagıç kşullarıda) buluur. 8

3 s = Dğal Tepki Devresi v( ) = Ke devrei zama sabiidir (zama byuuda) ve iziksel larak e iade eiği ileriki bölümlerde ayrıılı larak irdeleecekir. v( ) = K s e v() v( ) = K e K sabiii değeri, başlagıç durumuda (=) v() i değerii belirleyerek buluur. Bu durumda v(=)= lduğuda (= aıda v()= ), K= buluur. Eğer başlagıça sığa bş lsaydı (v(=)=), K= lurdu). v() Bu durumda araa çözüm (devrei dğal epkisi): v( ) = e 9 /e = v( ) = e = ; Başlagıçaki geliği ( ), /e değerie düşmesi içi geçe zama v() v( ) = K e = Örek 3.: Aşağıdaki devresii: (a) i() dğal epki bağıısıı buluuz. (b) i()=5a ise i() i sayısal değerii buluuz. =4 Ω v() < < 3 i() = H /e v( ) = e = e 3 3

4 Çözüm: (a) Kirchh Gerilim Yasası (KGY) deklemide =4 Ω i() = H di( ) i( ) = s Dierasiyel deklemi çözümü: i( ) = Ke d s s s ( Ke ) ( Ke ) = Ke ( s ) = s = s = Çözüm: i( ) = Ke (b) Prblemde verile değerler kullaıldığıda ( i(=)= 5 A ) (4 ) i( = ) = 5A = Ke = K. K = 5 A i( ) = 5e amper = buluur 3 =4 Ω i() = H i() I I /e di( ) i( ) = i( ) = Ke =/ i( ) = Ke = Ke = /; Başlagıçaki akımı (I ), I /e değerie düşmesi 4 içi geçe zama Devresi Devresi Ödev: Aşağıdaki devresii i() epkisii dğal bileşeii buluuz. v() v()/, /e dv( ) ( ) = v d v( ) = e = e Zama sabii i( ) = Ke α α zama sabii: Dğal epkii sömesi içi gerekli zama uzuluğuu bir ölçeği di( ) i( ) = i()/i, I /e i( ) = I e = I e i() Zama sabii Devresi i() Eerji ükeimi yk (devrede direç yk!) 6 4

5 Örek 3.: Aşağıdaki devrei v() epkisii dğal bileşeii buluuz. Çözüm 3.:Dğal bileşe bulumak isediğide ilk adım kayağı ekisii kaldırmakır. Gerilim kayağı kısa devre yapılırsa kayağı ekisi kaldırılmış lur. v s () =3Ω =/F v() = H v s () =3Ω =/F v() = H v s = =3Ω =/F v () = H =3Ω a v () = H 7 Kısa devrede dlayı sığaı uçları arasıdaki gerilim sıır lmaya zrlaır. dv ( ) Birici derecede KAY: v ( ) v ( ) = v ( ) = 3 3 dierasiyel deklem s Çözüm: v ( ) = e d s s ( e ) e = 3 s s e ( ) = 3 v ( ) = e (,5) s = 3 s =,5 8 Daha Karmaşık Devreleri Dğal Tepkisi Bir öceki bölümde yapıla icelemede devre, eerji dep edici yalız bir devre elemaı (sığa veya idükas) içeriyrdu. Daha Karmaşık Devreleri Dğal Tepkisi Bir öceki bölümde yapıla icelemede devre, eerji dep edici yalız bir devre elemaı (sığa veya idükas) içeriyrdu. Bu kesimde, eerji dep ede birde azla devre elemaı içere devreleri dğal epkileri icleecekir. Devresi Devresi Devresi v s () v()/ /e Eerji kaybı var! Eerji kaybı var! Eerji kaybı yk! Zama sabii v()/ /e Zama sabii / v() ω di( ) Kirchh Gerilim Yasası (KGY): i( ) i( ) = vs( ) İegralde kurarmak d ( ) d ( ) ( ) içi eşiliği ürevi s i i ( ) v İkici derecede (iki kez ürev alımış ksiy) i = alıırsa hmje lmaya (eşiliği sağ araı sıırda arklı) dierasiyel deklem. Devrei dğal epkisi, i () (v s ()= durumuda) d i ( ) di ( ) i ( ) = 5

6 Devrei dğal epkisi i () Çözüm öerisi: v s () i( ) = Ke d i ( ) di ( ) i ( ) = s s Ke ( s s ) = i () s Ke ske Ke = s s s i ( ) = K e K e s s İkici derecede s s = lduğu içi e geel K ve K kasayıları, başlagıç kşullarıda buluur. durumda iki kök buluur; s ve s Dierasiyel Deklemleri Çözümleri Üzerie: Çözüm öerisi: y() A A d y( ) dy( ) a b cy( ) = as bs c y( ) = Ae = s s s s s aas e base ce Ae as bs c = ( ) = y( ) = Ae y( ) Ae si( k ) s, = d ± jk d ; k= = d ; k y( ) = Asi( k ) d=; k Kökler, e geel larak karmaşık sayıdır. (Gerçek) (Karmaşık) (aal) Örek 3.3: Aşağıdaki devre = aıda bağlaısı kesile bir akım kayağı ile uyarılıyr. Kayağı bağlaı kesildiği ada sığa gerilimi 4 ve i idükas akımı A dir. > içi v() gerilimii buluuz. Çözüm: = aıda bağlaısı kesildiğide epki am larak dğal epkidir. Çözüm içi öce devrei dğal epkisii bulup daha sra özel başlagıç kşullarıı kullaarak kasayıları buluacak. =4/3 Ω i () = H =/4F =4/3 Ω v() i () = H =/4F 3 Devrei dğal epkisi (v s ()=): Kirchh AkımYasası (KAY): i i i = dv( ) v( ) v( ) = Çözüm: 3 dv( ) v( ) v( ) = 4 4 s v( ) = Ke d v( ) dv( ) 3 v( ) = s Ke ( s 3s ) = s 3s = s = ; s = v( ) = K e K e ax bx c = ± x, = a b b 4ac 3 ± ± s, = =. s = s = Gerçek kökler K ve K kasayıları, başlagıç 4 kşullarıda (=) buluur. 6

7 K ve K kasayılarıı bulmak içi başlagıç kşullarıı (=) kullaalım. v( ) = K e K e =4/3 Ω = H =/4F i () İki bilimeye lduğu içi iki deklem elde ememiz gerekir. =, v()=4 =, ürev v( = ) = K K dv( = ) = K K = da v(=) ve dv(=)/ değerleri biliirse K ve K kasayıları buluabilir. 5 Başlagıç Kşulları: Kayağı bağlaı kesildiği ada sığa gerilimi (v c )= 4 ; idükas akımı (i )= A = da KAY eşiliği 3 dv( = ) v( = ) i( = ) = 4 4 i ( = ) = A 3 dv( = ) dv( = ) 4 = = v( = ) = K K = 4 K K = 4 dv( = ) K K = 6 = K K = 6 K = ; K = 8 v() 4, Tam çözüm: v( ) = e 8e, i ( = ) i ( = ) i ( = ) =,5 6, 3 dv( ) v( ) v( ) = Örek 3.4: Aşağıdaki devrede bulua /5 F lık sığa = zamaıda öce ikici bir devre ile (şekilde göserilmeye) yüklemişir. Yüklü lduğuda < içi v c = dur. = da aaharı kapaıyr. > değeri içi devredeki i() akımıı buluuz. v () = H = Ω i()=? v () =/5F 7 Çözüm: = aıda bağlaısı kesildiğide epki am larak, dğal epkidir. Çözüm içi öce devrei dğal epkisii bulup daha sra özel başlagıç kşullarıı kullaarak kasayılar buluacakır. = Ω v () = H i()=? v () Devrei dğal epkisi (v s ()=). di( ) Devre içi KGY: i( ) 5 i( ) = İegralde kurulmak içi bir kez daha ürev alıırsa ± 4 s, = b b ac a d i( ) di( ) 5i( ) = ± 4..5 ± j4 s, = =. s Çözüm (öerisi): i( ) = Ke j: saal sayı; j.j= s s = j Kökler Ke ( s s ) = s s 5 = s = j karmaşık! i( ) = K e K e =/5F ( j ) ( j ) 8 7

8 Başlagıç kşullarıa (K vek ) bağlı çözüm: e paraezie alıırsa: Euler eşiliği: e ± iθ i( ) = K e K e ( j ) ( j ) i( ) = e ( K e K e ) = csθ ± j siθ j j [ ] i( ) = e K(cs j si ) K(cs j si ) A K K i( ) = e [ Acs B si ] B j( K K ) K ve K kasayılarıı bulmak içi başlagıç kşullarıı (=) kullamak gerekir.. başlagıç kşulu i(=)= [ ] i( = ) = = e A cs.() Bsi () = A A =. başlagıç kşuluda B kasayısı buluabilir: Bu iade düzeleerek daha basi bir rmaa yazılabilir. di( ) = e [ Asi B cs ] e [ Acs Bsi ] di( = ) = ( A = ) e [ A si () B cs () ] = B 9 = da KGY eşiliği di( = ) i( = ) v ( = ) = Tam çözüm: i() 6, 4,, 4, 6, i( = ) = di ( = ) = B,5 v ( = ) = di ( = ) = B = B = 5 i( ) = 5e si amper i( ) = 5e si 6, di ( = ) = (saiye) 3 Zrlamış Tepki E geel biçimde bir elekrik devresi, uyarmayı sağlaya bir ya da daha azla kayak ile çk sayıda ilmek ve çk sayıda kavşaka luşur. v s () i() v s () Kirchh Gerilim Yasası (KGY) di( ) i( ) = vs( ) Geel Çözüm: i( ) = i ( ) i ( ) di ( ) ( ) di i ( ) i ( ) vs( ) = Dğal epki sııra gideceğide di ( ) i ( ) Zrlamış epki: di ( ) i ( ) = vs( ) i() i ()= zrlamış epki i ()=dğal epki 3 Kirchh Gerilim Yasası (KGY) di ( ) i ( ) = vs( ) Uyarıcı: v s ()=A Çözümü, uyarıcı (v s ()) ile ayı rmda lduğuu düşüelim: i ( ) = B Haırlama: Türev Kuralları y( ) = A B dy( ) = A d ( B ) ( B ) = A ( B) ( B ) = A Uyarıcı kasayısıa (A) bağlı çözüm: B B = A B = A B = A A i ( ) = B = A = A 3 8

9 Örek 3.5: Aşağıdaki devrei siüssel akıma epkisii v () zrlamış bileşeii buluuz. Çözüm: i()=i siω v() i()=i siω v() 33 Devre içi Kirchh Akım Yasası (KAY): dv ( ) v ( ) = I siω Zrlamış epkiyi bulmak içi v () yi zrlayıcı ksiy ve u ürevi şeklide yazabiliriz v ( ) = Asiω B csω ( ω Acsω ωb si ω) ( Asiω B cs ω) = I siω B ω A B = ω csω A A ωb siω = I siω A ωb = I G ω A ve B kasayıları: A = I B = I G G ( ω ) G ( ω ) G ω Çözüm: v ( ) si cs 34 = I ω ω G ( ω) G ( ω) Örek 3.7: Aşağıdaki devrede = aıda v ()=5 ise i () zrlamış bileşeii buluuz. Çözüm: H H v ()=5 v () i(),f Ω v () i(),f Ω Devre içi Kirchh GerilimYasası (KGY) di( ) i( ) 5 i( ) = v( ) d i( ) di( ) d 5i( ) = v( ) Zrlamış epki yukarıdaki deklemi sağlamalıdır. Bu durumda zrlamış epki 35 i = B ( ) A Biçimide ksiyuu ve üm ürevlerii içerecek biçimdedir. Zrlamış epki: ( ) 5( ) = A A B A B (5 ) (4 5 ) ( 5 ) = A A B A B A = ; B = ; =,8 i ( ) =, 8 amper dv ()/= 5A = (4A 5 B) = (A B 5 ) = 36 9

10 Tam Tepki Bu bölümde, daha öce ayrı ayrı icelee Dğal ve Zrlamış epkileri bir arada lduğu durum ile ilgileilecekir. c () Devrede luşurula ai c c c Tam epki Dğal epki Zrlamış epki = değişimde (aaharı kapaılması) heme sra gözlee devrei epkisi Devrede güç kayağı ykke devrei dğal davraışı Güç kayağıı devreye uyguladığı gerilim 37 Tam Tepki Bir devrei am epkisii sisemaik larak icelemek içi aşağıdaki adımlar sırası ile izleecekir. Devre içi direasiyel deklem yazılır. Eğer devrede iegralli erimler buluuyrsa deklemi ürevi alıarak basileşirilir. Deklem, bağımsız kayakları içere erimleri eşiliği bir araıda, devre paramerelerii ve bağımlı kayakları içere erimleri eşiliği diğer araıda plaır. Zrlayıcı ekiler yazılır ve bularda belirge deklem ve kökleri (s, s, s 3 ) hesaplaır. Tepkii Dğal Bileşeii biçimi 3 Zrlamış Tepki buluur. K e K e K e s s s Zrlamış ve Dğal Bileşeler plaır. Buları plamı Tam Tepkidir. Ama Dğal epkii K, K, K 3 vb kasayılarışimdilik bilimemekedir. 5 Başlagıç kşulları belirleir. Geel larak gerekli başlagıç kşullarıı sayısı belirge deklemi köklerii sayısı ile belirleir. Belirge deklemi bir kökü varsa ksiyu = aıdaki değeri, iki kökü varsa ksiyu kedisii ve birici ürevii = aıdaki değeri bulumalıdır. 6 Başlagıç kşulları kullaılarak K kasayılarıı değeri buluur. Bu adımda am epki biçimi kullaılmalıdır. 38 Örek 3.: Örek 3.8 devreside > içi v c () değerii buluuz. Çözüm: Ω ve güç kayağı eşdeğer bir akım kayağıa döüşürülebilir. Ω A Ω,5 F v c () Ω,5 F v c () Ω Devre içi KAY eşiliği: dv ( ) dv ( ) v ( ) v ( ) = A v ( ) = 5 Zrlayıcısız eşilik (Dğal Tepki, Akım kayağı açık devre=): 39 Çözüm öerisi: dv ( ) s v ( ) = v( ) = Ke 5 3 Uyarma, bir sabi () lduğuda zrlamış bileşe: v c ( ) = A biçimidedir. s = s = 5 5 Bu değer başlagıçaki dierasiyel deklemde yerie kursa A = A = 5 buluur. 5 v ( ) = K c 4 / 5 e

11 4 Tam epki: v ( ) = v ( ) v ( ) = 5 Ke c c c / 5 5 Örek 3.8 i suçlarıda (başlagıç kşuluda) = 5 K K = 5 6 Başlagıç kşullarıı am epkide uygulaması ile Ω,5 F v c () Ω =; i= A; v()= Ω ( / 5) vc ( ) = 5 5e v() vl vc ( ) = buluur. Örek 3.: Örek 3.7 devreside eğer < içi v()= ve > içi v()=e 4 vl ise > içi i() i am epkisii buluuz. v () H i(),f Ω,5 F v c () Ω = ; i=,5 A; v()= Çözüm: H 3 Tepkii zrlamış bileşei üsel Ie 4 biçimide lacakır; bu çözüm KGY eşiliğide kullaıldığıda v ( ) = e 4 v () i() Ω,F Devre içi KGY eşiliği di( ) 4 i( ) 5 i( ) v ( ) e = = Türev alıırsa (iegralde kurulmak içi) d i( ) di( ) dv ( ) 4 5i( ) = = 4e Zrlayıcısız eşilik (v =; Dğal epki) d i( ) di( ) 5i( ) = s Çözüm öerisi: i( ) = Ke Kökler: s Ke ( s s 5) = s s 5 = s = ± j ( ) Akımı dğal epki bileşei: i = e ( Acs B si ) 43 4 Tam epki ( 4) Ie ( 4) Ie 5Ie = 4Ie Burada I=3,8 buluur. Bu durumda zrlamış epki i i i e A B 4 ( ) = ( ) ( ) = 3,8 e ( cs si ) 5İki başlagıç kşulua gerksiim vardır. i( ) ve di( )/. = da öce v()kayak gerilimi, uzu zamadır sıırdır, bu edele üm akım ve gerilimler sııra gidecek biçimde devre durgu durumdadır. i( ) = ; ( ) = v c ve ( ) = 3,8 4 i e i( ) = ; ( ) = lması gerekir. Bu durumda birici başlagıç kşulu i()= dır. İkiicisi, KGY eşiliğide: di( ) i( ) v ( ) = v ( ) = v c di( ) = 44

12 6 i( )= kşuluda burada B kasayısı i( ) = = 3,8 A A = 3,8 i 4 ( ) 3,8 = e e (3,8cs Bsi ) di( ) = di( ) = Başlagıç kşuluu kullaılması ile Tam Tepki: 4,3 e e ( 6,6si B cs ) e (3,8cs Bsi ) di( ) = =,3 B 3, 8 B =,38 buluur. 4 i( ) = 3,8 e e (3,8cs,38si ) amper 45