İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

Transkript

1 T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) TUĞBA ÖZMEN AYŞE MUTLU SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650 km). Havzası Afrika kıtasıı oda birii kaplar. Güeyde kuzeye doğru akar ve üç aa kolu vardır: Beyaz Nil Nehri, Mavi Nil Nehri ve Atbera Nehri. Çaakkale

2 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ.3 ÖNBİLGİLER.4.7 NİLPOTENT İDEAL 9 NİL İDEAL KAYNAKÇA 17 2

3 ÖNSÖZ Bu kitapta ideal çarpımları kousuu esas alarak ilpotet ideal, il ideal koularıı ele aldık. Nilpotet ideal ile il ideal arasıdaki ilişkiyi daha alaşılır kılmaya çalıştık. Hazırlama aşamasıda birçok zorlukla karşılaşıp, uğraşlarımızda dolayı çok yorulmuş olsak da buları kat be kat üstüde eğlememiz de var işi içide. Stres, kouyu alayamama ve yetiştirememe korkularıı yaıda; özgüve, sabırlı olma, pratik olma, zamalama kousuda da birçok şey kattı bize. Bir de her çalışma aıda içile çaylarımız, almayı uutmadığımız bisküvilerimiz ve bol kahkahalı muhabbetlerimizle uutulmaz birkaç hafta yaşamış olduk. Biz bu kitabı hazırlarke çok fazla özveride buluduk. Ayrıca bu kouda bize yardımlarıı esirgemeye Prof. Dr. Neşet Aydı a, ailelerimize ve tüm arkadaşlarımıza çok teşekkür ederiz. Ayşe Mutlu Sevilay Horoz Mart 2012 Tuğba Özme Çaakkale 3

4 ÖN BİLGİLER Taım 1: R, +,. iki tae ikili işlem olsu. R1) (R,+) değişmeli grup R2) a, b, c R içi a(bc)=(ab)c R3) a, b, c R içi a(b+c)=ab+bc ve (a+b)c=ac+bc koşullarıı sağlıyorsa, R kümesie bu ikili işlem ile bir halka deir. Taım2: S R olsu. R bir halka olmak üzere, Eğer S, R halkasıdaki işlemlere göre kedi başıa bir halka oluyorsa, S kümesie R halkasıı bir alt halkası deir. Diğer bir deyişle, i) S R ii) a, b S içi a-b S iii) a, b S içi ab S koşulları sağlaıyorsa S kümesie R halkasıı alt halkası deir. Taım3: R bir halka ve I R olsu. I, R halkasıı bir alt halkası olsu. i) r R ve x I içi rx I ( xr I ) oluyorsa I ya R halkasıı bir sol ideali(sağ ideali) deir. ii) Eğer I, R halkasıı hem sağ hem sağ ideali ise I ya R halkasıı ideali deir. Diğer bir deyişle i) I R ii) a, b I içi a-b I iii) a I, r R içi ar I ( ra I) oluyorsa I ya R halkasıı ideali deir. 4

5 (b-c) R, R, Taım 4: X R ve X i kapsaya R halkasıı bütü ideallerii ailesi {A i i I } olsu. i) i I A i idealie X ile üretile ideal deir. i I A i = (X) ile gösterilir. X kümesii elemalarıa da bu ideali üreteçleri deir. ii) Eğer X = {a}, tek bir a elemaı ile üretiliyor ise (X) = (a) ya esas (temel) ideal deir. Taım 5 : R 1, R 2,, R tae halka olsu. Bu halkaları direkt çarpımı, R = R 1 x R 2 x x R = { ( r 1,r 2,,r ) r i Ri } olsu. R halkası bileşelerii toplama ve çarpma işlemlerie göre bir halkadır. ( r 1,r 2,,r ), ( s 1,s 2,,s ) R ( r 1,r 2,,r ) + ( s 1,s 2,,s ) = ( r 1 + s 1, r 2 + s 2,,r + s ) ( r 1,r 2,,r ) ( s 1,s 2,,s ) = ( r 1 s 1, r 2 s 2,, r s ) Bu halka geel olarak R = R 1 R 2 R şeklide gösterilir ve halkaları direkt toplamı olarak adladırılır. Öerme 6 : R bir halka olsu. b, c R ve (b), (c) ve (b-c) R i idealleri olmak üzere, (b-c) (b) + (c) sağlaır. İspat : (b-c) = { r(b-c) + (b-c)s + (b-c) + solu r i (b c)s i r, s, r i,s i R x R olsu. O zama, x = r ı (b-c) + (b-c)s ı + ı (b-c) + solu t i (b c)z i r ı, s ı, t i,z i R = r ı b r ı c + bs ı cs ı +(b c) + (b c) + + (b c) + solu t i (b c)z i ı tae RZ } ı Z 5

6 (b =r ı b + bs ı + ı b + solu t i b z i + r ı (-c) + (-c)s ı + ı (-c) + solu t i ( c) z i (b) (c) = b 1 + c 1 b 1 (b), c 1 R(c) O halde x R 1 ) + (c 1 ) olur. (b-c)de alacağımız her elema içi sağlaacağıda dolayı, (b-c) (b) + (c) dir. 6

7 AB, AB R Öerme: A, B, R halkasıı idealleri olmak üzere, AB de R i bir idealidir. İspat: AB = { i=1 a i b i ǀ a i A, b i B } A, B ideal olduğuda, 0 R A ve 0 R B 0 R = 0 R 0 R + 0 R 0 R + 0 R 0 R R 0 R tae O halde 0 R AB olur. Yai AB dir. x,y R içi, m x = i=1 a i b i y = j=1 c j d j a i, c j A, b i, d j B m x-y= i=1 a i b i - j=1 c j d j = (a 1 b 1 + a 2 b a b ) - (c 1 d 1 + c 2 d c m d m ) = (a 1 b 1 + a 2 b a b ) + ((-c 1 ) d 1 + (-c 2 )d (-c m )d m ) ( her i,j I içi a i, c j A, = solu e k f k e k A, f k B Bu durumda x-y AB olur. x R r R rx = r i=1 içi x = i=1 a i b i olmak üzere, a i b i = r (a 1 b 1 + a 2 b a b ) her i,j I içi b i,d j B ) = r (a 1 b 1 ) + r(a 2 b 2 ) + + r(a b ) (R halka olduğuda çarpma işlemii toplama işlemi üzerie solda dağılma 7

8 AB AB R A özelliğide ) = (ra 1 )b 1 + (ra 2 )b (ra )b (R halka olduğuda çarpma işlemii birleşme özelliğide ) a i A ( i I içi) ve r R i I içi ra i b i AB olacağıda rx R olur. Bezer şekilde xr R O halde AB, R i idealidir. içi ra i R olduğu görülür. olur. ( A ideal olduğuda ) Öerme: B, A 1,A 2,,A R halkasıı idealleri olmak üzere, dir. B (A 1 +A 2 + +A ) = BA 1 + BA BA İspat: ( :) D= A 1 + A A olsu. ( idealleri toplamı ideal olduğuda ) x BD x = i=1 b i d i b i B, d i D d i = (a i1 + a i2 + + a i ) i I içi b i R ve j = 1,2,, içi j I a ij R dir. x = i=1 b i (a i1 + a i2 + + a i ) (R halka olduğuda çarpma işlemii toplama işlemi üzerie dağılma özelliğide) x = i=1(b i a i1 + b i a i2 + + b i a i ) i=1 a i2 i=1 a i x = i=1 b i a i1 + b i + + b i BA 1 BA 2 x BA 1 + BA BA BA O halde B (A 1 + A A ) BA 1 + BA BA olur. ( :) x BA 1 + BA BA olsu. 8

9 i=1 a i x = i=1 b i a i1 + i=1 b i a i2 + + b i x = i=1 b i a i1 + b i a i2 + + b i a i x = i=1 b i (a i1 + a i2 + + a i ) x = i=1 b i d i b i B, d i D x BD x B (A 1 +A 2 + +A ) dir. Bu durumda B (A 1 + A A ) BA 1 + BA BA dir. Kapsama bağıtısıda B (A 1 + A A ) = BA 1 + BA BA olur. Taım: A, R halkasıı ideali olmak üzere, Z + içi A = (0) ise, A idealie ilpotet ideal deir. Taım: R bir halka olsu. r R içi r m = 0 R olacak şekilde m pozitif tamsayısı var ise, r ye ilpotet elema deir. Taım: A, R halkasıı bir ideali olsu. Eğer A idealii her elemaı ilpotet elema ise, A idealie il ideal deir. Öerme: Z de sıfırda farklı bir ilpotet elema vardır gerek ve yeter koşul p 2 olacak şekilde bir p asal tamsayısıı bulumasıdır. İspat: ( :), kare çarpasız tamsayı ve p i ler farklı asallar olmak üzere, = p 1 a 1 p 2 a 2 p t a t olsu. Eğer 0 a Z bir ilpotet elema ise, 9

10 a Pm = 0 olacak şekilde m Z + vardır. a m a p 1 a 1 p 2 a 2 p t t a m olduğuda, elde edilir. i =1,2,, t içi p i ler asal tamsayı p i a m p i a ( a bc a b ve a c olduğuda ) i =1,2,, t içi, a p i i a a (a b ve c b ac b olduğuda ) a 0 (mod ) a = 0 Oysa ki a 0 almıştık. Çelişki. O halde i e az bir kare çarpaı vardır. O zama p 2 olacak şekilde p asal tamsayısı vardır. ( : ) p 2 olacak şekilde bir p asal tamsayısı olsu. a p i ler farklı asallar ve a i 2 olmak üzere = p 1 a 1 p 2 a 2 p t t dir. m = max (a 1, a 2,,a t ) ve a = p 1.p 2.p t olsu. Eğer a ise, a =k olacak şekilde k Z vardır. a 0 (mod ) a = 0 olur. Bu durum her a Z içi sağlaır. O halde 0 a ilpotet elema olması içi, a olmalıdır. a = p 1.p 2.p t içi, a m = (p 1 p 2.p t ) m p 1,p 2,, p t Z =p 1 m p 2 m p t m olur. ( Z değişmeli halka olduğuda ) =p 1 a 1 p 1 m a 1 p 2 a 2 p 2 m a 2.p t a t p t m a t (p i Z, Z değişmeli halka ve a =p 1 a 1 p 2 a 2 p t m a t (p 1 m a 1 p 2 m a 2 p t t ) k m = max (a 1,a 2,, a t ) olduğuda ) 10

11 olur. Burada, a m = k a m a m = 0 olur. O halde 0 a ola bir elema içi a m = 0 olacak şekilde m Z + vardır. Z de sıfırda farklı bir ilpotet elema buluur. Öerme: Eğer A ilpotet ideal ve pozitif tamsayısı içi, A idealideki a 1, a 2,, a elemalarıı her çarpımı sıfırdır. O zama her ilpotet ideal il idealdir. İspat: Keyfi bir A ilpotet ideali içi, Z + içi A = (0 R ) sağlaır. A = AA A = (0 R ) tae AB = { i=1 a i b i ǀa i A, b i B } yi göz öüde buludurursak, A 1 A 2 A = { a 1 i a 2 solu i a i ǀ a j i A j ; j=1,2,, } A i = A içi, ( i=1,2,, ) A = { a 1 i a 2 solu i a i ǀ a j i A j ; j=1,2,, } Daha sade şekilde, olur. x A içi x = x 1 x 2 x A A = { solu x 1 x 2 x ǀ x i RA, i=1,2,, } = (0 R ) + x 1 1 x 2 1 x 1 A + + x 1 x 2 x A = 0 R 11

12 a 1 =x 1 x 2 x, a 2 = x 1 1 x 2 1 x 1,, a = x 1 x 2 x x = a 1 + a a A olur. A = (0) olduğuda, solu x 1 x 2 x = 0 R dir. x 1 A, x 1 x 2 A,, x 1 x 2 x A olur. x 1 x 2 x = 0 R dir. Özel olarak, x i = a olsu. i=1,2,, içi a a a a = a = 0 R tae olur. Bu durumda a ilpotet elemadır. de alacağımız keyfi her elema içi sağlaacağıda dolayı, A i her elemaı ilpotet elema olur. A O halde A il idealdir. Keyfi A ilpotet ideali içi sağladığıda, her ilpotet ideal içi de sağlaır. Bu durumda, her ilpotet ideal il idealdir. Örek: R halkasıda il ideal olup ilpotet ideal olmaya bir örek verelim. Çözüm: p sabit bir asal tamsayısı olsu. i Z + içi R i, I/(p i+1 ) halkasıda ideal ve I/(p i+1 ) idealii bütü elemaları ilpotet elemalarda oluşsu. (R i il ideal ) I/(p i+1 ) = {a+p i+1 a I } = {0, 1, 2,, p ı+1 1 } kümesi (p i+1 ) modülüe göre kala sııfları kümesidir. R i = {a + p i+1 a I, a + p i+1 ilpotet } Yai a + p i+1 R i ise [a + ( p i+1 )] = 0 içi a + (p i+1 ) = 0 içi ( a + (p i+1 ) ) i+1 = a i+1 + (p i+1 ) = (a+ (p i+1 )) (a+(p i+1 ) ) i+1-12

13 N N (b) (c) = (a + (p i+1 )) (a i+1- + (p i+1 )) = 0 =0 R i i her elemaıı sıfır yapacak bir Z + buluacağıda, ( a + (p i+1 )) i+1 = 0 R j i+1 = (0) R j k (0) dır. T = { (a 1,a 2,, a,0,0, ) a i R i } kümesii ele alalım. T, R i halkalarıı ayrık direkt toplamıdır. T i her elemaı solu sayıda bileşei sıfırda farklıdır. a i R i ve R i+1 j = (0) olduğu içi T i her elemaı ilpotettir ve T il idealdir. Fakat i sayısıa bağlı olarak T i elemalarıı a = 0 yapa sayısı farklı olduğuda belli bir Z + içi T i elemaları sıfır olmaz. Yai (T) 0 dır. Yai T ideali il idealdir fakat ilpotet ideal değildir. Öerme : R keyfi bir halka olsu ve N= {a ǀ a R ; (a) R de il ideal } kümesi verilmiş olsu. O zama N kümesi, R deki tüm il idealleri kapsaya bir il idealdir. İspat: 0 R RR içi, (0 R ) ideali R de il idealdir. O halde 0 R R b, c R u (b-c) içi, dir. Böylece N olur. olsu. O zama (b) ve (c) idealleri R de il idealdir. (b-c) (b) + (c) olduğuda, (öbilgiler öerme 6 da) u (b-c) u (b) + (c) dir. Böylece, u = b 1 + c 1 şeklidedir. ( b 1 R, c 1 R olacak şekilde ) 13

14 (as) N (b) (as) (as) (c) (c) R (a) R (c) (a) R R N b 1 R içi b 1 = 0 R olacak şekilde Z + vardır. ( (b) ideali, R de il ideal olduğuda ) u = (b 1 +c 1 ) = 0 b 1 c b 1-1 c b 1 0 c 1 =b 1 + c 1 [ 1 b b 1 2 c b 1 0 c 1 1 k R ] = b 1 + c 1 k = 0 R + c 1 k R olur. O halde, u R dir. Yai, u R ise (c) il ideal olduğuda (c) i tüm elemaları ilpotet elemadır. Bu durumda, u ilpotet elemadır. O zama, (u ) m = u m = 0 R olacak şekilde m Z + vardır. (b-c) idealide aldığımız her u elemaı ilpotet elemadır. Bu yüzde (b-c) il idealdir. N kümesi taımıda b-c R ve (b-c), R i il ideali olduğuda (b-c) R O halde N kümesi toplama işlemi üzeride kapalıdır. a R ve s R as (as) olsu. alalım. as R ( a RR, R halka olduğu içi ) (as) = {r ı (as) + (as)s ı + (as) + solu r i (as)s i r ı,s ı,r i,s i R x R içi,, RZ } olur. x = r ıı (as) + (as)s ıı + ıı (as) + O halde, (as) (a) dır. solu r i (as)s i R olur. (r ıı,s ıı, r i,s i R, ıı RZ olduğuda ) Her x R içi, x R olur. (a) il ideal olduğuda x ilpotet elemadır. Her x R içi sağlaacağıda (as) il ideal olur. 14

15 N R M N R N O halde as R Dolayısıyla N idealdir. ve (as) R de il ideal olduğuda N kümesi taımıda, as R a R içi, (a) R de il idealdir. (a) il ideal olduğuda her a R elemadır. ilpotet N ideali bu durumda ilpotet elemalarıı kümesi olur. O zama N il idealdir. olur. M bir il ideal olsu. s R Bu yüzde N kümesi taımı gereği s R halkasıı bütü il ideallerii kapsar. içi (s) M olacağıda (s) ideali bir il idealdir. olur. Bu da gösteriyor ki; N kümesi R 15

16 KAYNAKÇA The Theory Of Rigs Neal McCoy Öreklerle Soyut Cebir Prof. Dr. Fethi Çallıalp Soyut Cebir Dersleri - Prof. Dr.Hülya Şeko Ahi Evra Üiversitesi Fe Edebiyat Fakültesi Araştırma Projesi Halka Teorisi Alta Süllü 16