Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi"

Esin Zeybek
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada izdüşüm çizerek bir soraki deeme değerii bulumasıdır. İşleme daima i e so iki değerii bir soraki deeme içi izdüşüm almada kullaarak devam edilir. Aşağıdaki şekil bu tekiği göstermektedir. Şekil 5.4 Wegstei yötemii presibi İzdüşüm almak içi f() eğrisi üzeride iki okta gerektiğide ilk iki okta doğruda yerie koyma yötemi ile belirleir. deeme değeri ile başlaarak C buluur. C, f() de yerie koarak C ikici oktası buluur. ve oktalarıı diagoalle izdüşümü gerçekleştirilir. Buu içi aşağıdaki eşitliği çözümü gerekir 3 =. C C. + C C veya geel olarak yazılırsa + =. C C + C. C Böylece 3 izdüşüm değeri f() e koularak C 3 buluur. ve 3 oktalarıı diagoalle izdüşümü 4 ü verir İşlem çözüme yaklaşıcaya kadar sürer. Bu işlem daha öce alatıla yötemlerde daha hızlıdır. Ayrıca doğruda veya kısmi yerie koyma yötemlerii başarısız olduğu bütü hallerde etkilidir.

2 3 Wegstei yötemii çok kullaılması edeiyle kolaylık yöüde alt programıı bilgi akışı ve FORTRAN programı aşağıda verilmektedir. Ele alıa verilerde ile gösterile ilk terim değişkei deeme değerii, ikici Y terimi ise hesaplaa değerdir. soraki NR terimi A(NR),YA(NR) dizelerideki hafıza yerlerii belirtmek içi bir kısaltma Şekil 5.5 Wegstei yötemideki bilgi akışı C SUBROUTINE CONV (,Y,NR,NC) DIMENSION A(0), YA(0) IF(ABS((-Y)/(+Y)).LT..000) GOTO 6 IF(NC.LE.) GOTO 5 T=(A(NR)*Y-YA(NR)*)/(A(NR)-+Y-YA(NR)) A(NR)= YA(NR)=Y =T RETURN 5 A(NR)= YA(NR)=Y =Y NC= RETURN 6 =Y NC= RETURN END olarak kullaıla alt programı her çağırmayı tayi ede sayıdır. listedeki so NC terimi yada olabilir ve çözüme yaklaşma veya durumuu göstere bir tamsayıdır. Aa programda hesaplamayı da devam etme (NC=) veya foksiyou bir defa daha taımlaması içi çevirme sokmaya yöeltmek amacıyla kullaılır.

3 33 İzdüşüm formülü 5 ici satırda olup, ilk direkt yerie koyma çevrimide sora içi daha soraki tahmileri yapmada kullaılır. Çözüme ulaşmayı test etme satırı 3. satırdır. % 0.0 lik bir toleras pek çok durumda yeterlidir. Hesaplama soucu bulua ve Y değerleri çağırma sayısı NR ile belirlee yerde A ve YA serileri içide depolaır. Herhagi bir durumda C= 0 ortaya çıkarsa çözüme ulaşma çevrimi bozulur. Çözüm sadece C ' i sıfır dışıdaki sıırlı değerleri içi vardır. Bu yüzde çözüme ulaşıp ulaşamadığıı belirte 3. satırda payda +C yapılır. Böylece bir seri iterasyo sırasıda veya C i geçici olarak sıfır olması ihtimali ortada kaldırılmış olur. Bu alt programı bir aa program içide asıl kullaılacağı aşağıda gösterilmiştir. ÖRNEK. İdeal bir gazı darala ve geişleye bir hui boyuca sabit etropili akışı içi boğazdaki hız ses altı hız olmak üzere aşağıdaki deklemle verilmektedir. At A.. P P P P Burada : At : huii boğaz alaı A : herhagi bir kesit alaı P : A kesit alaıa sahip oktadaki basıç P : huii bağlı olduğu takı basıcı : Cp/Cv Bulara göre A = 0, m kesit alaıa sahip ola oktadaki basıcı hesaplayalım. Ardışık yieleme (iterasyo) tekiğide Wegstei yötemii kullaalım. At = 0, =,4, P=00 Atm ve E max = kabul edelim. Bu durumda öcelikle deklemi ardışık yielemeye gerekmektedir. uygu hale getirmek P P. At A. P P

4 34 Çözüm içi bilgi akış blok diyagramı aşağıdaki gibi olabilir. Burada verile bilgi akışıa göre hazırlaa program Wegstei altprogramı coweg i kullaarak gerekli iterasyoları yapmaktadır. Programda görüldüğü gibi P içi bir başlagıç değeri olarak değeri alımıştır. C WEGSTEIN YAKINSAMA YONTEMINİN UYGULANMASI P=00.0 GAMA=.4 A=0. AT=0. NC=0 P=.0 OPEN(4,FILE='WEGCIKTI',STATUS='OLD',ACCESS='SEQUENTIAL') WRITE(*,7) WRITE(4,7) 7 FORMAT(6, ' P PC ',/,6,'======== ========' ) Z=GAMA+.0 Z=GAMA-.0 W=(AT**)/(A**) 50 PC=P*((W)/((Z/)**(Z/Z))*(/Z))+((P/P)**(Z/GAMA))**(GAMA/)) WRITE(*,00) P,PC WRITE(4,00)P,PC 00 FORMAT(7,F6.,7,F6.) CALL CONWEG(P,PC,,NC) GO TO (0,50),NC 0 STOP END Şekil 5.6 Örek deki bilgi akışı

5 35 Her bir çevrimdeki P değerleri ve hesaplaa değerler aşağıdaki tabloda verilmektedir. Burada çözüme ulaşmaı, başlagıç değeri olarak çok uzak bir değer alımış olsa bile, e kadar çabuk olduğu görülmektedir. P PC ======= ======== ÖRNEK. Beattie- Bridgema hal deklemi ve katsayıları aşağıda verilmektedir. V δ β R. β T V RB0.. b. T RT.. B0 A0 V R T δ V 3 R. T. B0. b aa0. RB0.. İzobüta içi A 0, B 0, a, b ve c değerleri A 0 = 6,6037 B 0 = 0,354 a= 0,7 b= 0,07697 c= 3.06 R= 0,0806 Belirli sıcaklık ve basıç değerler içi spesifik hacim değerleri bu eşitlikte doğruda buluamaz. Doğru bir çözüme ulaşma iterasyo gerektirmektedir. P=36, Atm. T= 408 K olduğuu varsayalım. C WEGSTEIN YAKINSAMA YONTEMI DATA A,B,C,A0,B0/0.7, ,3E6,6.6037,0.354/ DATA R,T,P/0.0806,408,36./ OPEN(4,FILE='WEGCIKTI',STATUS='OLD',ACCESS='SEQUENTIAL') WRITE(*,7) WRITE(4,7) 7 FORMAT(6, ' VVC ',/,6,'======== ========' ) BT=R*T*B0-A0-R*C/(T**.) GM=-R*T*B0*B+A*A0-R*B0*C/(T**.) DEL=R*B0*B*C/(T**.) V=R*T/P NC=0 8 VC=(R*T+BT/V+GM/(V**.)+DEL/(V**3.))/P WRITE(*,0) V,VC WRITE(4,0) V,VC 0 FORMAT(6,F8.6,4,F8.6) CALL CONWEG(V,VC,,NC) GO TO (0,8),NC 0 STOP END

6 36 Alt programı herhagi bir program içide kaç kere çağrılacağıı içteki A ve YA dizilerii dimesiyouu belirler. Bular burada 0 olarak koulmuştur. Gerekirse artırılabilir. Buradaki bilgi akışı öceki örektekide farklı değildir. Şekil 5.7 Örek deki bilgi akışı Her bir çevrimdeki V değerleri ve hesaplaa değerler aşağıdaki tabloda verilmektedir. Yukarıdaki örekle karşılaştırıldığıda burada çözüme ulaşmaı daha fazla yieleme gerektirdiği görülmektedir. V VC ======= ========

Benzer belgeler

bir sonraki deneme değerinin tayin edilmesi için fonksiyonun X e göre türevi kullanılır. Aşağıdaki şekil X e karşı f(x) i göstermektedir.

bir sonraki deneme değerinin tayin edilmesi için fonksiyonun X e göre türevi kullanılır. Aşağıdaki şekil X e karşı f(x) i göstermektedir. 37 Newton-Raphson Yöntemi İle Çözüme Ulaşma Bu yöntem özellikle fonksiyonun türevinin analitik olarak elde edilebildiği durumlarda kullanışlıdır. Fonksiyonel ilişkinin ifade edilmesinde daha uygun bir