- 1 - ULUSAL FİZİK OLİMPİYATI ÜÇÜNCÜ AŞAMA SINAVI Kütlesi m ve yarıçapı R olan homojen bir küre eğim açısı olan m

Transkript

1 - 1 - ULUSAL FİZİK OLİMPİYATI ÜÇÜNCÜ AŞAMA SINAVI Kütlesi m ve yaıçapı R olan homojen bi küe eğim açısı olan m g eğik bi düzlem üzeinde, eğik düzlemin tabanına göe h yüksekliğinde bulunmaktadı. Küe ile eğik ve yatay düzlem aasındaki tg f= h tg sütünme katsayısı f=, ve yeçekimi ivmesi g olaak veiliyo. x a) Küenin eğik düzleminin tabanına vadığında kazanaağı doğusal ve açısal hızlaı bulunuz. b) Küenin yatay düzleme geçişte zıplamadığını vasayaak, yatay düzlemde ne kada yol kat ettikten sona kayma haeketi bitip, salt yuvalanma haeketinin başlayaağını bulunuz. Bu yol yaklaşık kaç deeelik bi açı için sıfı olu? P A P A. Uzay yoluluklaıyla ilgili olaak faklı senayola üetilmektedi. Nöton yıldızlaının ışık akısı çok küçük olduğundan, bu yıldızlaın fak edilmesi güçtü. Öneğin uzay gemimiz nöton yıldızın yakınından geçe ise bu yıldızın etkisinin altında kalabili ve kısa süede yıldızın üzeine düşebili. Uzay gemisinin motolaın güünün yıldızdan gemiyi kutamak için yeteli olmadığını ve sadee belli bi süe için gemiyi eliptik yöünge üzeinde tutabileeğini kabul edelim. Yıldızın çekim alanından kutulmak için sıa ile geminin yıldıza bulunduğu en yakın noktada (peihelion noktası) uzun bi iple bibiine bağlı (ipin uzunluğu yöüngenin büyük ve küçük yaım eksenleinden çok çok küçüktü ) iki eşit paçaya ayılmasını sağlayabiliiz. Bu iki eşit paça yıldızdan belli bi açısı ile göülmektedi. Bu ayılan iki paçayı eliptik yöünge üzeinde yıldızdan en uzakta bulunan noktaya (aphelion noktası) kada açısı sabit tutaak götümesi de mümkün olabili Aphelion noktasında iki paça bileştiili gemi bi bütün olaak apheliondan peiheliona kada gidebili. Sona peihelionda gemi yine iki paçaya ayılıp aphelion noktasına kada ayılmış vaziyette, aphelionda paçala bileşip bi bütün olaak gemi peihelion noktasına kada gidebili. Bu işlem teka teka yapılı ise geminin nöton yıldızının çekim alanından kutulaağını kanıtlayınız. n m k T S. Yay sabiti k olan bi yayın uunda kütlesi m ve kesit alanı S olan bi disk düşük basınçlı izole edilmiş bi kabın içinde bulunmakta olup, peiyodu olan sönümlü A n titeşimle yapmaktadı. Adışık iki genlik aasındaki oan =1+, <<1, kapta A n+1 bulunan gazın mola kütlesi, sıaklığı T, gaz sabiti R olaak veiliyo. Kapta bulunan gazın konsantasyonu n ve gazın basını P nedi?. z ekseni boyuna yavaş bi şekilde atan homojen olmayan bi B manyetik alan içinde haeket eden q yüklü ve m kütleli taneikle, yaıçapı gittikçe azalan bi spial yöüngede haeket etmekte min B mak z ve yavaşlayaak, yüksek manyetik alan bölgesinden geiye yansımaktadıla. Bu tü düzenek manyetik ayna (manyetik şişe) olaak bilinmektedi. Bu şekilde silindiik simetiye sahip B =B e +Bz e z manyetik alanın maksimum değei Bmak, minimum değei ise B min olaak veiliyo. Yüklü taneiklein manyetik alanda hangi şatla altından yansımadan kutulabileekleini gösteiniz. 5. Son yıllada '' Sebest elekton lazei'' adıyla anılan bi laze tüü geliştiilmektedi. Bu sistemde yüklü taneiklein yönü homojen olmayan, belli bi şekilde değişen manyetik alan ile saptıılabili. U =,5 MeV potansiyel fakına kada hızlandıılan elektonla x ekseni üzeinde haeket etmektedile. z yönünde uygulanan manyetik alan x uzaklığına göe B z (x)=b sinkx şeklinde değişmektedi. Buada B ve k sabit paameteledi. Elekton manyetik alanı içeen bölgeye giiş noktasına v ilk hızı ile x eksenine paalel olaak şekilde x= noktasında gimektedi. Elektonun hızının x, y ve z bileşenleinin x ekseni boyuna x koodinatına bağlı olaak nasıl değişeeğini bulunuz.

2 - -. a) Bi Faunhofe kıınım deneyinde kıınım saçaklaı yaık önüne bi konulmuş düzlem-dış bükey meek sayesinde gözlenmektedi. Meeğin kıılık indisi n=, eğilik yaıçapı R=1 m, yaık aalığı d=, mm olaak veiliyo. Odak düzleminde oluşan desenle inelendiğinde yaıktan göndeilen 1 dalga boyunda ışınlaın pede üzeinde. minimumu ile dalga boyunda ışınlaın 5. minimumu ile çakıştığı gözleniyo. Bu iki minimum mekezi doğudan 5 mm uzakta bulunuyola. 1 ve dalga boylaını bulunuz. b) Odak uzaklığı f= - m olan bi düzlem-içbükey meek, düzlem yüzü yukaıdaki meekle çakışaak şekilde ekleniyo. Ekan bu meek sistemin odak düzleminde iken mekezi saçaktan mm ötede oluşan göüntüyü tanımlayın.. a) Bi elekton v ölativistik hızı ile kııılık indisi n ve uzunluğu olan saydam bi otama gidiğinde meydana gelen Çeenkov ışımasının nasıl yayılaağını elektonun dugun kütlesi m, fotonun enejisi, ışık hızı ve n insinden bi ifade ile belitiniz. b) Bulunan ifadede optik fotonlaa ait teimi ihmal edeek, otamın sonlu uzunluğundan dolayı otaya çıkan ışıma açısındaki belisizliği bulunuz.

3 - - ULUSAL FİZİK OLİMPİYATI ÜÇÜNCÜ AŞAMA SINAVI ÇÖZÜMLERİ-1991 g 1. a) Küe eğik düzlem üzeinde haekete geçese kaymadan yuvalanabili, ya da kayaak yuvalanabili. Küe kayasa F m N s1 G -F s1 =ma h tg a F s1 =fn 1 f= N 1 =G n G mgsin-fmgos=ma yazabiliiz. Buadan tg mgsin- mgos=ma gsin a = olaak bulunu. Küe kaymadan yuvalanıyo ise J =F s1 m 5 tg =fmgos= mgos 5gsin = 1 5gsin = <a 1 yazabiliiz. Bu duumdan küe hem kaydığını hem de yuvalandığı anlaşılmaktadı. Cisim eğik düzlemin en alt noktasına gsin h 1gh v= a = = sin hızla ulaşı. Küe bu yolu v h t= = a gsin zamanda alı. Küenin bu yolun sonunda ulaştığı açısal hız 5gsin h 5 gh = t= = 1 gsin 1 olaak bulunu. b) Küe eğik düzlemin sonuna mv momentumu ile gelmektedi. Bu momentumun yatay ve dikey bileşeni p x =mvos p y =mvsin olu. Souda küe yatay düzleme geçişte zıplamadığını vasayıldığını söylenmektedi. Bu duumda dikey yönündeki momentum değişimi p y =-(-mvsin)=mvsin olu. Yatay yöndeki momentum değişimi tg p x =mu -mvos= -fp y = -fmvsin= - mvsin olaak yazılabili. Buadan küenin yatay düzlem üzeindeki ilk hız 1gh u = sin 1 1gh os = (8os -1) os os olaak bulunu. Çapışma esnasında küenin açısal momentum sütünme kuvvetinden dolayı değişmektedi. tg J(- )=p x =fmvsin= mvsin m 5 gh tg 5 = mvsin 1 Küenin çapışmadan sonaki ilk açısal hız 5 1gh = sin 1 os olaak bulunu.

4 - - g Yatay düzlem üzeinde küenin haeketi için -F s = -ma; F s =fn ; N =G a N a=fg F s J=F s =fmg fmg G tg = f= J yazabiliiz. Küenin çizgisel hızı süekli azalmaktadı. Buna kaşılık olaak küenin açısal hızı atmaktadı. u=u -fgt = +t Küenin hızı u= olduğunda kayma bite ve küe sadee yuvalanmaya devam ede. u=u -fg=( +) Buadan kaymanın bitme süesi 1gh = os 1 5 tg os 1 olaak bulunu. Bu süe içinde küeden alınan yol u x= a u u = (u fg) fg olu. x= şatından hangi açısı için küe sadee yuvalanaak haeketine devam edeeği bulunulabili.. Veilen önek aslında paametik ezonansla ilgilidi. Temelinde ise geminin nokta şeklinde olmadığı bulunmaktadı. Peihelion noktasında etki eden kuvvet Mmos F=F 1 os= gösteiyo ki bu noktada çekim sabiti os olaak yazılabili. Eneji ve açısal momentumu kounma kanunlaı iki duum için de yazılabili Mmos mv P1 Mmos mv A1 - + =- + P1 A1 P1 v P1 = A1 v A1 = M os v P1 +v A1 = yazılabili. M = kabul edesek v P1 +v A1 =os yazabiliiz. Buada P1, A1, v P1 ve v A1 peihelion ve aphelion noktasında ilk geçişte mesafele ve hızladı. Aphelion noktasında geminin iki paçası bileşip atık bi noktasal isim oluştumaktadıla ve bu duumda eneji ve açısal momentumu kounumu yasalaı nomalde yazdığımız gibi yazabiliiz Mm mv A1 Mm mv P - + = - + A1 P A1 v A1 = P v P = v A1 +v P = yazılabili. Buada P, v P peihelion noktasından ikini geçişteki mesafe ve hızdı. Buadan v P =v P1 + (1-os ) Peihelion noktasında gemi yine iki paçaya ayılıyo. Eneji ile açısal momentum kounumu yasalaı Mmos mv P Mmos mv A - + =- + P A P v P = A v A = v P +v A =os şeklinde yazılabili. v A1 +v P1 =v P +v A eşitliğinden v A =v A1 -(1-os )

5 - 5 - aphelion noktasındaki hızın azaldığını göebiliiz. Bu işlemi he defasında yaptığımızda göüyouz ki peihelion noktasındaki hız hep aynı miktada atmaktadı, aphelion noktasındaki hız ise hep aynı miktada azalmaktadı. N işlemden sona hızla v PN =v P1 +N(1-os ) v AN =v A1 -N(1-os ) mesafele P1v P1 PN = v P1 + N(1- os ) A1v A1 AN = v A1 - N(1- os ) şeklinde yazılabili. v A1 N (1- os ) ise AN yaklaştığını göebiliiz. Demek ki bu yöntemle gemi geçekten nöton yıldızdan uzaklaşabili. Yıldızın kütlesi ne kada büyük, boyutlaı ne kada küçük ise bu yöntem de o kada daha iyi çalışmaktadı.. Tüm moleküllein hızlaı eşit ve u olduğunu ve belli yönde moleküllein n Su t N= N gittiğini kabul edebiliiz Buada n = taneiklein konsantasyonu, S moleküllein geçtiklei alan, V u= kt = m RT moleküllein hızı, t ise S alanından moleküllein geçiş süeleidi. Bu fomül isim haeketsiz ise doğudu. Disk haeket ettiği için diske kaşı gelen ve diskle çapışan moleküllein sayısı daha büyük olduğu için diskle çapışan taneik sayısı n S(u v) t N 1 = olaak yazılabili. Buada v diskin hızıdı. Bu moleküllein diske göe hızlaı u+v, momentumlaı m(u+v), momentum değişimlei m(u+v) olu. Bu molekülleden diske aktadıklaı momentum n S(u v) tm(u v) p 1 = olu. Diske aynı yönde haeket eden molekülle diskle daha az sayıda çapışama yaptıklaı için, diske çapışan taneik sayısı n S(u v) t N = olaak yazılabili. Bu moleküllein diske göe hızlaı u-v, momentumlaı m(u-v), momentum değişimlei m(u-v) olu. Bu molekülleden diske aktadıklaı momentum n S(u v) tm(u v) p = olu. Diske aktaılan toplam momentum mns(u v) t mns(u v) t mnsuvt p=p 1 -p = - = diske etki eden kuvvet p mn F= = mn Su =v; = t Suv olaak bulunu. Diske etki eden kuvvetle ve bu kuvvetlein etkisi ile haeket denklemi Ma= -kx-v; x + k x + x=; x + x + x= M M olaak yazılabili. Bu tip denklemle sönümlü hamonik osilatöün denklemi olaak bilinmektedi. Bu denklemin çözümü bi tigonometik peiyodik fonksiyon içemek zoundadı. Ssistemin genliği azalabili ama titeşim yapaak. Çözümde genliğini azaltan bi teim de olmak zoundadı. Bu sebeple çözüm x=ae -t ost şeklinde aanılabili. Bu ifadenin biini ve ikini tüevi alıp x = -Ae -t ost- Ae -t sint

6 x - - = Ae -t ost+ae -t sint- A e -t ost hamonik osilatöün denklemine koyasak ( -+ - )Ae -t ost+(-)ae -t sint= denklemi elde edeiz. Bu denklem he duumda sıfı veebilmesi için ost ve sint önündeki katsayıla sıfı olmalıdı. Buadan =; -=; =, = olaak bulunu. Çözüm ise t x=ae os t olaak yazılabili. Göüldüğü gibi genlik zamanla eksponensiyel bi şekilde azalmaktadı. Adışık iki genlik aasındaki oan n A n e = = e A (n1) n+1 e olaak yazılabili. Sönümle küçük ise titeşim fekans = = 1 1 = adışık iki genlik aasındaki oan A n 1+ A n+1 olaak yazılabili. Souda bu oan 1+ olduğu veilmektedi. Buadan konsantasyon T mns RT M = = ; n = M ms RT kaptaki gazın basını mnu M RT P= = S olaak bulunu.. Manyetik alanlada manyetik dipol momenti B min q qv p B m =S= = mak z T qv = qv mv mv = qb B kounmaktadı. Gadienti olan manyetik alanlada manyetik ayna yaatılması mümkün olabili. Haeket eden taneik sıklaşan manyetik çizgile ile kaşılaştığında gei yansı. Manyetik dipol momentin kounmasından v sin v sin B B yazabiliiz. Yansıma duumunda sin=1, B=B mak, B =B min ve taneikle Bmin sin mak = Bmak eşitliğinden bulunan açıdan daha büyük bi açı ile manyetik alana gie ise gei yansıyabili. Bu poblem özellikle füzyon eaksiyonu geçekleştimesinde temel poblemleinden biisidi. Sadee manyetik izolasyon poblemi ve bununla beabe plazmanın yeteine süe ile lokal bölgede yeteli sıaklıklada tutulması sağlanı ise füzyon eaksiyonlaı mümkün olabili.

7 U =,5 MeV potansiyel fakına kada hızlandıılan elektonla atık ölativistik enejilee sahip olduklaı için ölativite teoisinin fomülleini kullanmak zoundayız. Elektonlaın kinetik enejilei ve hızlaı =W-m m = -m 1 =eu; = v v 1 1 v = eu(eu m ) m eu olaak bulunu. Elektonlaa etki eden kuvvet F = -e( v x B )=m a =m a dv dv i + v y j + v z k )xb z k =m x y dv z -e(v i j k x dt dt dt olaak yazılabili. Biim i, j ve k vektölei için i x k = - j ; j x k = i yazabiliiz. Buadan dv y dv m =evx B z ; m x =ev y B z dt dt denklemlei elde edili. Biini denklemden dv y dx m =e B sinkx; dv y = dt dt v y eb sin kxdx eb v y = dv y = = m Manyetik alanda hız değişmediğinden dolayı olaak bulunu. v x = x v y v = v eb sinkx dx m (1 os kx) km eb (1 os kx) k m. a) Meeğin odak uzaklığı =(n-1) f R ; R 1 =R; R =; f 1 = =1 m 1 R1 R n 1 olaak bulunu. Göüntü odak düzleminde oluştuğu için ekana kada olan uzaklığı 1 mm alabiliiz. Minimumla için x dsin=d k dx =k 1 1 ; 1 = 1k,. 5 = =5.1 - mm f k f. 1 x dsin=d k dx =k ; = k,. 5 = =.1 - mm f k f 5. 1 olaak bulunu. b) İki meek yan yana getiilise sistemin optik kuvveti D s =D 1 +D olu. Bu duumda sistemin odak uzaklığı = - = - = ; fs = m= mm f s f1 1 f1 1 olaak bulunu. Yukaıda bulunan dalga boylaın yaısı kada bulunu. Bu duumda minimumla için dx k1 k1 =k 1 1 ; x k1 = 1fs dx k k =1 mm; =k 1 1 ; x k = fs =1 mm fs d fs d yazabiliiz. Göüldüğü gibi. ve 5. minimum teka çakışık ama mekezi doğudan uzaklaşmış oluyola. Mekezi saçaktan mm ötesinde dx k 1 = f s =,. dx =,; k = f s =,. =..1 biini dalga boyu için minimum ya da maksimum geçekleşmez. İkini dalga boyu için ise bu noktada. minimum bulunmaktadı.

8 p k a) Elekton v ölativistik hızı ile kııılık indisi n olan saydam bi otama haeket edese fekans değişmediğine göe enejisi de değişmez. Işık hızı ise atık = n olu. Dolayısıyla fotonun momentumu n p = = ' olu. Elektonun foton ışıması tamamen eneji ve momentum kounumu yasalala izah edilebili. n p e = p' e + k, p' e = p e - k, k= p e = p n e + W e =W e +W e p m = np e os - e p' m + Eneji kounumu yasasındaki ifadesini sol taafa aktaıp ifadenin kaesinin alabiliiz. p e + m + - p m = p e + m = =p e + n + m -np e.os Buadan -W e =n W -np e.os; os= e (n 1) + pen p en olaak bulunu. Rölativistik duumda sistemin momentumu ve eneji 1 v p=m v; = ; = 1 e W=m =K+ m = W +p ; W = m ölativistik sistemin kütle mekezinin hızı p v= W olaak yazılabili. Buadan (n 1) os= + nv p en nv olaak bulunu. Buada optik fotonlaa ait teimi elektonun enejisine göe çok küçük olduğu için ihmal edebiliiz. b) Bulunan ifadeyi tüevlesek dv -sind= - nv bulabiliiz. Belisizlik ilkesi px=; x=; p=mv; v=.m olaak yazılabili. Buadan d== nv. m sin olaak bulunu.