Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates insandır. O halde Sokrates ölümlüdür. Elvan okula gelmemişti, dolayısıyla çantanı o çalmış olamaz.

Transkript

1 Kanıtlama Nedir? Mantık kanıtlamaları inceler. Bir kanıtlama bir dizi cümleden oluşur öyle ki bu cümlelerin bir tanesi sonuç olarak, diğerleri de bu sonucu kanıtlayan öncüller olarak veya hiç değilse bu sonuç için birer gerekçe olarak ileri sürülürler. İki basit örnek: Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates insandır. O halde Sokrates ölümlüdür. Elvan okula gelmemişti, dolayısıyla çantanı o çalmış olamaz. Birinci örnekte ilk iki cümle Sokrates in ölümlü olduğu şeklindeki sonucu ispatlamak için ileri sürülmüşlerdir. İkinci örnekte ise Elvan ın okula gelmemiş olması onun çantayı çalmış olamayacağına gerekçe olarak ileri sürülmüştür. Birinci örnekte bir kesin kanıtlama veya ispatlama iddiası varken, ikinci örnekte bir kesin kanıtlama veya ispatlama iddiası değil, sonuç için bir sebep veya gerekçe sunma vardır, dolayısıyla zayıf bir kanıtlamadır. Bir kanıtlamadaki öncüller ve sonuç daima birer önermedir; soru, emir, rica veya ünlem olamaz. Bir önerme doğru veya yanlış olabilen bir öne sürümdür ve genellikle bir bildiri cümlesi ile ifade edilir. Bazı örnekler: Köpekler uçamaz. Yaşar Kemal İnce Memed in yazarıdır. Brüksel ya Hollanda da veya Belçika dadır. Kar kırmızıdır. Benim kardeşim bir böcekbilimci. İlk üç cümle birer olgusal doğru olan ifadelerdir. Dördüncüsü yanlıştır. Beşincisi ise duruma, koşullara ve söyleyene bağlı olarak doğru veya yanlış olabilen bir cümledir. Buna karşılık şu örnekler birer öne sürüm değildir: İnce Memed in yazarı kimdir? Lütfen saat onbirden sonra arama. Hadi gelsene! ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.1 Aşağıdakilerden hangileri bir kanıtlamadır. Kanıtlama olanların öncül ve sonuçlarını saptayınız. (a) Ağustos un ilk haftasında doğduğu için o bir Aslan burcu. (b) Ekonomi nasıl gelişiyor olabilir? Ticaret açığı her geçen gün artıyor. (c) Şimdi yatamam anne. Film daha bitmedi. (d) Bina çürümeye terk edilmiş bir mahallede pejmürde, her tarafını kurum kaplamış kahverengi taştan bir evdi. Telaş içinde kaçışan farelerin sesi boş, karanlık dehlizlerde yankılandı. 1

2 (e) Senin kadar yetenekli olan herkes yüksek öğrenim görmeli. Üniversite oku! (f) Düşman sayı ve silah bakımından bizden çok üstündü ve onların taburları sürekli güçlendirilirken bizim kuvvetlerimiz giderek küçülüyordu. Bunun için cepheden bir saldırı intihar demek olurdu. (g) Nefes alıyordu ve demek ki yaşıyordu. (h) Burada bu belgeyi anlayan birisi var mı? (i) Pek çok Amerikalı ülkelerinin kara mayınlarının kullanımına ilişkin uluslararası beyannameyi destekleyip desteklemediğini bilmiyor. (j) ABC üçgeni eşkenar üçgendir. Bu yüzden iç açılarının her biri 60 derecedir. (a) Öncül: O Ağustos un ilk haftasında doğdu. Sonuç: O bir Aslan burcu. (b) Teknik olarak bu bir kanıtlama değildir çünkü ilk cümle bir sorudur. Bununla beraber bu soru hitabete ilişkin niyetlerle dillendirilmiştir ve bu durumda buradaki kanıtlama şöylece saptanabilir: Öncül: Ticaret açığı her geçen gün artıyor. Sonuç: Ekonomi gelişiyor olamaz. (c) Öncül: Film daha bitmedi. Sonuç: Şimdi yatamam. (d) Bu bir kanıtlama değil. Burada bir sonucu destekleyecek kanıtların ileri sürülmesi niyeti yoktur ve herhangi bir şey kanıtlanmaya çalışılmıyor. (e) Bir kanıtlama değil çünkü Üniversite oku! ifadesi bir emir veya tavsiyeyi dile getiriyor. Yine de buradaki niyetin bir yorumu yapılarak şöyle bir kanıtlamanın söz konusu olduğu söylenebilir: Öncül: Senin kadar yetenekli olan herkes yüksek öğrenim görmeli. Sonuç: Üniversite okumalısın. (f) Öncül: Düşman sayı ve silah bakımından bizden çok üstündü. Öncül: Onların taburları sürekli güçlendirilirken bizim kuvvetlerimiz giderek küçülüyordu. Sonuç: Cepheden bir saldırı intihar demek olurdu. (g) Dilbilgisi bakımından tek bir cümle olsa da burada iki ayrı yargı içerilmektedir ve aşağıdaki biçimde bir kanıtlama söz konusudur: Öncül: Nefes alıyordu. Sonuç: Yaşıyordu. (h) Kanıtlama değil. (i) Kanıtlama değil (j) Öncül: ABC üçgeni eşkenar üçgendir. Sonuç: Bu üçgenin iç açılarının her biri 60 derecedir. Öncüller sonucu kanıtlamak için öne sürülmüş olsalar da sonucu gerçekten kanıtlıyor olmayabilirler. Dolayısıyla iyi kanıtlamalar olabildiği gibi kötü kanıtlamalar da vardır. Örneğin (c) deki örnekte verilen kanıtlama pek ikna edici değildir ama yine de bir kanıtlama olarak sınıflandırılır. Mantığın amacı iyi kanıtlamaları kötü olanlardan kesin şekilde ayırmaya yarayacak yöntemleri ve teknikleri bulmak ve geliştirmektir. 2

3 Bir kanıtlamada sonuç en son sırada olabilir veya (c) deki örnekte olduğu gibi birinci sırada da verilebilir. Aslında sonuç, konuşmanın aldığı düzene ve gelişme şekline bağlı olarak, kanıtlamanın her hangi bir yerinde olabilir veya verilebilir. Ama en sık rastlanan durumlar sonucun kanıtlamanın başında veya sonunda olmasıdır. Adet olduğu üzere, önce öncülleri birer satır halinde listelemek ve sonra sonucu vermek gerekir. Sonuç önermesi genellikle üç nokta sembolü ( ) ile gösterilir. Bu gösterime standart biçim denir. Başta verdiğimiz örneğin standart biçimi şöyledir: Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates insandır. Sokrates ölümlüdür. Kanıtlamaları Saptamak Bir kanıtlama, bir kişi, bir öncüller kümesini bir sonucu ispatlamak veya desteklemek kastıyla ileri sürdüğü zaman ortaya çıkar. Bu söz konusu kasıt, günlük konuşmada çıkarım belirticilerinin kullanılması suretiyle ifade edilir. Çıkarım belirticileri bir kanıtlamanın ileri sürüldüğüne işaret eden sözcükler veya deyimlerdir. Bunlar iki sınıfa ayrılır: savunulan iddiayı dile getiren cümleye işaret eden sonuç belirticiler ve savunulan iddiayı destekleyen kanıtları dile getiren cümle veya cümlelere işaret eden öncül belirticiler. En sık rastlanan örnekleri şunlardır: Sonuç Belirticiler Öyleyse İçin Bunun için O halde Demek ki Sonuç olarak Bu yüzden Bu sebeple/nedenle Dolayısıyla Yani Bundan ötürü/dolayı Buna binaen İlke olarak Sonuç olarak Buradan hareketle Bunun bir sonucu olarak Bu şu anlama gelir ki Bu şunun ispatıdır ki Olduğuna göre Böylece Bu suretle Bu durumda Öncül Belirticiler Zira Ayrıca Nitekim Çünkü Keza Hakeza Üstelik Aynı biçimde Varsayın ki Farz edin ki Yine Diyelim ki Düşünün ki Bunun sebebi/nedeni Dahası Şu bir gerçek ki Şundan şüphe edilemez ki Bundan başka Yanı sıra Ek olarak Bununla beraber/birlikte İlaveten Bir sonuç belirticisi, iki cümlenin arasına geldiğinde ve böylece bileşik bir cümle oluşturduğunda, birinci cümlenin bir öncül ve ikinci cümlenin bu öncülden çıkan bir sonuç olduğunu 3

4 gösterir. Aynı şekilde bir öncül belirticisi bunun tam tersinin söz konusu olduğunu da gösterebilir. Mesela şu bileşik cümlede O evde değil demek ki sinemaya gitmiş. sonuç belirticisi olan (demek ki) deyimi, sinemaya gitmiş cümleciğinin O evde değil öncülü ile desteklenen bir sonuç olduğuna işaret etmektedir. Oysa şu bileşik cümlede O evde değil zira sinemaya gitmiş. öncül belirtici (zira) kendisinden önceki cümleciği, yani O evde değil cümleciğini sonuç, kendisinden sonra gelen sinemaya gitmiş cümleciğini ise öncül kılmaktadır. Öncül belirticiler bileşik olmayan bir cümlenin başında pek kullanılmazlar. Ama cümle başında kullanıldıklarında bu cümlenin, kendisinden önce gelen bir cümlede ileri sürülen sonucu desteklediğine işaret ederler. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.2 Çıkarım belirticilerini kullanarak aşağıdaki kanıtlamanın çıkarımsal yapısını belirleyiniz ve standart biçime sokunuz. [Altın-argon bileşiklerine doğada rastlanması bir yana bunların laboratuarda bile üretilmesi zordur,] zira [argonu bir şeyle etkileştirmek zordur] ve ayrıca [altının da az sayıda bileşiği vardır.] Çıkarım belirticilerini daire içine alarak saptadık ve kolaylık sağlaması için her yargı bildiren cümleciği numaralandırdık. (zira) ve (ayrıca) kendilerinden sonra gelenlerin birer öncül olduklarını gösterir. (1) yargısı (2) ve (3) yargılarına bu belirticilerle bağlandığı için sonuçtur. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: Argonu bir şeyle etkileştirmek zordur. Altının da az sayıda bileşiği vardır. Altın-argon bileşiklerine doğada rastlanması bir yana bunların laboratuarda bile üretilmesi zordur. 1.3 Çıkarım belirticilerini kullanarak aşağıdaki kanıtlamanın çıkarımsal yapısını belirleyiniz ve standart biçime sokunuz. [Faiz oranları yüksek düzeyde kalmaya devam ettiği halde enflasyon dikkate değer ölçüde düştü.] Bu yüzden [gerçek değerler üzerinden borçlanmak daha pahalı hale geldi] zira [bu koşullar altında borç alınan para (enflasyon yüksek iken) yüksek enflasyon görmüş lira ile geri ödenemez.] Sonuç belirtici (bu yüzden) burada çok tipik biçimde kendisinden sonra gelen bir sonuç yargısına işaret ediyor. Burada (zira)bir öncül belirticisidir ve (2) nin (3) ten çıkan bir sonuç olduğunu göstermektedir. Diğer yandan sonuç belirticisi (bu yüzden), (2) yargısının önünde olduğu için (2) nin (1) den çıkan bir sonuç olduğuna işaret etmektedir. Demek ki bu kanıtlama iki öncülden ki bunlar (1) ve (3) yargılarıdır ve bir sonuçtan oluşmakta ki bu da (2) yargısıdır. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: 4

5 Faiz oranları yüksek düzeyde kalmaya devam ettiği halde enflasyon dikkate değer ölçüde düştü. Bu koşullar altında borç alınan para (enflasyon yüksek iken) yüksek enflasyon görmüş lira ile geri ödenemez. Gerçek değerler üzerinden borçlanmak daha pahalı hale geldi. Bazı bağlamlarda çıkarım belirticisi olarak işlev gören ifadeler başka bağlamlarda genellikle başka işlevlere sahiptirler. Dolayısıyla çıkarım belirticisi kavramını çok kesin anlamamak gerekir. Mesela aşağıdaki örneklerde o halde ile yani birer sonuç belirtici gibi işlev görmezler çünkü bu cümleler birer kanıtlama değildir: Bana kızgındı ve yıllar boyunca o halde kaldı. Elbisesi, yani üzerindeki pantolon ve gömlek kirliydi. Yine birer kanıtlama sayılmayan aşağıdaki örneklerde ayrıca ile nitekim birer öncül belirticisi değildir: O uzun boylu, esmer ve ayrıca kiloluydu. Sen aptalın tekisin, nitekim ben de öyleyim. Yukarıdaki listede belirtilen sözcükler daima çıkarım belirticisi olarak işlev görürler diye bir kural yoktur. Güdülerin veya sebeplerin açıklaması işlevi gören zira veya çünkü sözcüklerinin kullanıldığı örnekleri kanıtlamalardan ayırt etmek bazen zordur. Mesela eğer birisine Bisikletini neden sattın? Diye sorarsanız ve o da Sattım çünkü paraya ihtiyacım vardı. Diye cevap verirse, burada bu cevap sadece bir açıklamadır. Bu durumda çünkü bir öncül belirticisi değildir. Burada bir kanıtlama yoktur, sadece bildirimde bulunan kişi bisikletini neden sattığını açıklamaktadır, bisikletini sattığını kanıtlamaya çalışmamaktadır. Bazı kanıtlamalar hiçbir çıkarım belirtici içermeyebilir, mesela 1.1(c) deki gibi. Böyle durumlarda öncüllerle sonucu saptayabilmek için bağlama ilişkin ipuçlarından veya bildirimde bulunan kişinin niyetlerini anlamaya çalışarak öncülleri ve sonuçları saptayabiliriz. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.4 Aşağıdaki kanıtlamayı standart biçime sokunuz. [Al Capone hiç de öyle zeki değildi.] [Yeterince zeki olsaydı maliye bakanlığı onu gelir vergisi kaçırmakla asla suçlayamazdı.] Bu kanıtlamada hiçbir çıkarım belirticisi bulunmasa da açıktır ki (2) yargısı (1) yargısına gerekçe olması niyetiyle ileri sürülmüştür. (2) yargısının (1) yargısına sunduğu destek pek ikna edici olmadığı için bu zayıf bir kanıtlamadır. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: Yeterince zeki olsaydı maliye bakanlığı Al Capone u gelir vergisi kaçırmakla asla suçlayamazdı. Al Capone hiç de öyle zeki değildi. 5

6 1.5 Aşağıdaki kanıtlamayı standart biçime sokunuz. [Bazı politikacılar ikiyüzlüdür.] [Ulusal bütçe açığının kontrol altında tutulabilmesi için bizim daha fazla vergi ödememiz gerektiğini söylerler.] Ama sonra [çok büyük miktarda paraları kendi seçim kampanyalarında israf ederler.] Bildirimde bulunan kişinin niyeti bazı politikacıların ikiyüzlü olduklarını kanıtlamaktır. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: Bazı politikacılar ulusal bütçe açığının kontrol altında tutulabilmesi için bizim daha fazla vergi ödememiz gerektiğini söylerler. Çok büyük miktarda paraları kendi seçim kampanyalarında israf ederler. Onlar ikiyüzlüdür. Karmaşık Kanıtlamalar Bazı kanıtlamalar aşamalıdır. Önce bir grup öncülden bir sonuç çıkarsanır, sonra bu sonuç daha ileri sonuçların çıkarsanmasında bir öncül olarak kullanılır ki bu sonuçlar da yine birer öncül olarak kullanılabilir ve bu böyle devam edebilir. Bu tür kanıtlamalara karmaşık kanıtlamalar denir. Başka sonuçların çıkarsanmasında bir öncül olarak kullanılan sonuçlara temel-olmayan öncül veya ara-sonuç denir. Bunların dışında kalan öncüllere ise temel öncül veya varsayım denir. Temel öncüllerden ve ara-sonuçlardan hareketle çıkarsanan sonuca ise nihai sonuç denir. Örneğin şu kanıtlama karmaşık bir kanıtlamadır: Tüm rasyonel sayılar tam sayıların bir oranı biçiminde gösterilebilir. Ama pi tamsayıların bir oranı biçiminde gösterilemez. Bu yüzden pi bir rasyonel sayı değildir. Yine de açıktır ki pi bir sayıdır. Demek ki rasyonel-olmayan en az bir sayı vardır. Buradaki nihai sonuç en az bir rasyonel-olmayan sayının (yani pi sayısı)bulunduğudur. Bu sonuç pi bir rasyonel sayı değildir ve pi bir sayıdır öncülleri ile doğrudan doğruya desteklenmiştir. Ama diğer yandan bu öncüllerden birincisi Tüm rasyonel sayılar tam sayıların bir oranı biçiminde gösterilebilir ile pi tamsayıların bir oranı biçiminde gösterilemez öncüllerinden çıkarsanmış bir ara-sonuçtur. Bu ilave öncüller ile pi bir sayıdır yargısı birlikte temel öncülleri oluşturmaktadır. Kanıtlamanın standart biçimi şöyledir: Tüm rasyonel sayılar tam sayıların bir oranı biçiminde gösterilebilir. Pi tamsayıların bir oranı biçiminde gösterilemez. Pi bir rasyonel sayı değildir. Pi bir sayıdır. Rasyonel-olmayan en az bir sayı vardır. Buradaki muhakemenin her aşaması kendi başına bir kanıtlamadır. Burada iki aşama vardır ve biraya getirilmek suretiyle bir karmaşık kanıtlama oluşturulmuştur. Burada üçüncü yargı ( pi bir rasyonel sayı değildir yargısı) her iki aşamaya da aittir yani her iki kanıtlamanın da bir parçasıdır. 6

7 Birinci kanıtlamanın sonucu ikinci kanıtlamanın ise öncülüdür. Ancak karmaşık kanıtlamanın bütünü göz önüne alındığında bu yargı temel olmayan bir öncül olarak değerlendirilmektedir. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.6 Aşağıdaki kanıtlamayı standart biçime sokunuz. [Haziran ayında en yüksek zirvelerde bile sıcaklık sıfırın altına düşecek diye korkman gerekmez.] [Şimdiye dek yaz aylarında asla o kadar soğuk yaşanmadı] ve dolayısıyla [muhtemelen hiç yaşanmayacak.] (dolayısıyla) burada bir sonuç belirticidir ve (3) ün (2) den çıkarsandığına işaret etmektedir. Ama buradaki nihai sonuç (1) yargısıdır. Yani bir karmaşık kanıtlama söz konusudur ve standart biçimi şöyledir: Şimdiye dek yaz aylarında en yüksek zirvelerde bile sıcaklık asla sıfırın altına düşmedi. Muhtemelen bundan sonra da düşmeyecek. Haziran ayında en yüksek zirvelerde bile sıcaklık sıfırın altına düşecek diye korkman gerekmez. 1.7 Aşağıdaki kanıtlamayı standart biçime sokunuz. [Ahmet toplantıya gideceğini söyledi,] bu da şu anlama gelir ki [Jale de gidecek.] Dolayısıyla [Jale bizimle sinemaya gelemeyecek.] (bu şu anlama gelir ki) ile (dolayısıyla) burada sonuç belirticilerdir ve bunlardan ilki (2) nin bir ara-sonuç olduğuna ve ikincisi de (3) ün nihai sonuç olduğuna işaret etmektedir. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: Ahmet toplantıya gideceğini söyledi. Jale de toplantıya gidecek. Jale bizimle sinemaya gelemeyecek. Kanıtlama Şemaları Şemalar çıkarımsal yapıyı göstermek ve açığa çıkarmak için kullanışlıdır. Bir kanıtlamanın şemasını oluşturmak için çıkarım belirticilerini daire içine alırız ve yargı bildiren her cümleyi parantez içine alıp numaralandırırız. Eğer bazı öncüller birlikte bir sonuç çıkarma işlevi görüyorsa bunların numaralarını bir satır halinde yazıp aralarına artı (+) işareti koyarız ve bunların altına bir çizgi çekeriz. Eğer bir çıkarım aşaması sadece bir öncül içeriyorsa sadece onun numarasını yazarız. Sonra öncül numaralarının altından aşağı doğru bir ok işareti çizip altına sonuç önermesinin numarasını yazarız. Eğer kanıtlama birden fazla adım veya aşama içeriyorsa (yani bir karmaşık kanıtlama söz konusu ise) aynı işlemleri tekrar ederiz. 7

8 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.8 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [Bugün ya Salıdır ya da Çarşamba.] Ama [Çarşamba olamaz] zira [doktorun muayenehanesi bu sabah açıktı] ve [muayenehane Çarşambaları daima kapalı olur.] [bugün Salı olmalı.] O halde, (zira) belirticisi (3) ve (4) ün (2) yi gerekçelendirdiklerini göstermektedir. (o halde) belirticisi ise (5) in onu önceleyen öncüllerden çıkarsanan bir sonuç olduğuna işaret etmektedir. Cümlelerin anlamını ve bağlamını göz önüne aldığımızda (5) i doğrudan destekleyen/gerekçe olan öncüllerin (1) ve (2) olduklarını görürüz. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Burada (+) işareti birlikte veya bir arada anlamına gelir ve ok işaretleri de için bir kanıt/gerekçe olarak sürülmüştür demektir. Yani yukarıdaki şema 3 ile 4 birlikte 2 için bir kanıt/gerekçe olarak sürülmüştür ki bu da 1 ile birlikte 5 için bir kanıt/gerekçe olarak sürülmüştür şeklinde okunabilir. Bir kanıtlama şeması kanıtlamanın yapısını bir bakışta görebileceğimiz şekilde gösterir. Burada her ok işareti ayrı bir çıkarsama aşamasını temsil etmektedir. Yukarıdaki örnekte iki aşama vardır, birincisi (3) ve (4) ten (2) ye ve ikincisi de (1) ve (2) den (5) e doğru olanlar. Kendilerine hiçbir ok işareti yönelmeyen rakamlar temel öncülleri gösterirler. Kendilerine yönelen ve kendilerinden çıkan ok işareti bulunan rakamlar temel-olmayan öncüllerdir (ara-sonuçlar). Şemanın en altında yer alan ve bir veya birden fazla ok işaretinin kendisine yöneldiği fakat kendisinden hiçbir ok işareti çıkmayan rakam nihai sonucu gösterir. Yukarıdaki örnekte (1), (3) ve (4) temel öncüller; (2) bir arasonuç ve (5) ise nihai sonuçtur. Kanıtlama şemaları bilhassa kanıtlamanın birden çok aşama içerdiği durumlarda çok kullanışlıdır. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.9 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [Watts, Los Angeles ta] ve demek ki [ABD nin içinde] ve bu yüzden [sanayileşmesini tamamlamış bir ülkenin parçasıdır.] Bu yüzden [üçüncü dünyanın bir parçası sayılamaz,] zira [üçüncü dünya bilhassa gelişmekte olan ülkelerden oluşmaktadır] ve [gelişmekte olan ülkeler tanım gereği sanayileşmesini tamamlamamış ülkelerdir.] (demek ki), (bu yüzden) sonuç belirticilerdir. (2) ve (3) tam cümle değildir çünkü özne terim Watts eksiktir. Yine de bunlar bir yargı bildirirler ve önermedirler. (zira) bir öncül belirticidir ve (5) ile 8

9 (6) nın (4) ü gerekçelendirdiklerini gösterir. İkinci (bu yüzden) belirticisi (4) ün aynı zamanda (3) ten çıkan bir sonuç olduğunu gösterir. Yani (3), (5) ve(6) birlikte (4) için öncüller işlevi görürler. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Dilbilgisel değişkenlikler yüzünden, yargıları paranteze almak için basit, ayrıntılı kurallar tayin etmek mümkün değildir. Ama bir takım genel ilkeler vardır. En önemli husus, kanıtlamayı onun çıkarımsal yapısını en iyi ortaya serecek şekilde parantezlemektir. Bu yüzden mesela iki ifade eğer bir çıkarım belirticisi ile birbirine bağlanmışsa bunları, isterse dilbilgisel açıdan tam bir cümle teşkil ediyor olsunlar, birbirinden ayrı birimler olarak parantezlemek en iyisidir. Çünkü burada belirtici bunlardan birinin öncül diğerinin sonuç olduğunu göstermektedir. 1.8 ve 1.9 bu duruma örnektir. Yine ve ile bağlanmış cümleleri ayrı ayrı paranteze almak genelde daha uygundur. Mesela 1.8 deki (3) ve (4) yargıları ile 1.9 daki (5) ve (6) gibi. Bu durum eğer bu iki cümleden sadece birisi öncegelen öncüllerden çıkan bir sonuç ise bilhassa önemlidir (mesela aşağıda 1.21 deki (2) ve (3) gibi) ama bunun dışında çok hayati bir önem taşımaz. Daha sonra göreceğimiz gibi bazı durumlarda ve ile bağlanmış cümlelerin tek bir birim gibi ele alınmasının uygun düştüğünü göreceğiz. Ve genellikle paralel işlevi/birlikte iş görmeyi gösterir. Dolayısıyla eğer ve ile bağlanmış iki cümleden birisi bir sonucu destekleyen bir öncül ise büyük ihtimalle öteki cümle de böyledir. Bununla beraber, bazı bileşik cümleler paranteze almak suretiyle asla bileşenlerine ayrılmamalıdır çünkü böyle yapmak onların anlamını değiştirir. Böyle bileşik cümleler genellikle ya ya da, ya veya, eğer ise deyimleri ile oluşturulmuş cümlelerdir. Kimi kez baştaki ya ve eğer cümleden atılmış olabilir. Mesela ya yağmur duracak ya da nehir taşacak diyen bir kişi, ne yağmurun duracağını ne de nehrin taşacağını söylemektedir. Söylediği şey bunlardan biri veya diğerinin olacağıdır. Yani bu kişi ayrı ayrı yağmur duracak ve nehir taşacak gibi iki yargıda bulunmamaktadır. Bu cümleyi bileşenlerine bölmek, bu yüzden, anlamını değiştirmek olur. Benzer şekilde eğer yağmur durmazsa nehir taşacak demek, yağmurun durmayacağını ve nehrin taşacağını ayrı ayrı söylemekle eşdeğer değildir. Burada söylenen şey, eğer yağmur durmazsa nehrin taşacağıdır. Bu bir koşullu yargıdır ve tek bir birim gibi ele alınmak zorundadır. Buna karşın eğer kişi yağmur durmayacağı için nehir taşacak demişse, bu kişi hem yağmurun durmayacağını hem de nehrin taşacağını ayrı ayrı dile getirmiş olmaktadır. Burada için bir sonuç belirticidir ve dolayısıyla bununla bağlanan cümleler kanıtlamayı çözümlerken ayrı birimler olarak değerlendirilmelidir. Ya ya da,, eğer ise gibi deyimler çıkarım belirticisi değildirler. 9

10 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.10 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [UFO lar ya düşmanın gizli silahlarıdır veya başka bir dünyadan gelen uzay gemileridir.] [Eğer düşmanın silahlarıysalar düşmanın teknolojisi yaygın kanının tersine bizimkinden çok ileridedir.] [Eğer başka dünyadan gelen uzay gemileriyseler bizim hayal edebildiğimizin ötesindeki bir teknolojinin işaretidirler.] Her halükarda, o halde, [UFO ları yapanlar teknolojik bakımdan bizden daha ileridir.] Sonuç belirtici (o halde) her halükarda deyimi ile birlikte alındığında, (4) ün kendinden önceki yargıların tümü tarafından gerekçelendirildiğini gösterir. Dikkat ederseniz bu yargılar burada bileşenlerine ayrılmadan parantezlenmişlerdir. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Bunlara ilaveten, iki veya daha fazla cümleyi birbirine bağlasa da, bu cümlelerin tek bir birim gibi ele alınmasının icap ettiği bazı başka deyimler de vardır. Bunlardan en yaygın olanları şunlardır: ancak eğer ki şu şartla ki ancak ve ancak ne ne de dıkça diği takdirde ancak ne zaman ki önce Bazen zira ve çünkü öncül belirtici olarak kullanılmadıklarında bölünmemesi gereken bileşik cümleler oluşturabilirler. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.11 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [Ben onu ta Nepal e gitmeden önce tanıyordum,] dolayısıyla [onunla ilk karşılaşmam onun dönüşünden çok önceydi.] [Sen onunla ancak o döndükten sonra karşılaştığın] için [sen onunla karşılaşmadan önce ben onunla karşılaşmıştım.] 10

11 Dikkat ederseniz, burada önce ve ancak içeren cümleler tek bir birim gibi ele alınmıştır Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [30 gün içinde tahsil edilmediği takdirde bu çek hükümsüzdür.] [Çekin üzerindeki tarih 2 Eylül] ve [şimdi tarih 8 Ekim.] O halde [bu çek artık hükümsüz.] [Hükümsüz olan bir çeki tahsil edemezsin.] Dolayısıyla [bu çeki tahsil edemezsin.] Yine dikkat ederseniz diği takdirde deyimi ile bağlanmış bir bileşik cümle olan öncül (1) burada tek bir birim olarak ele alınmıştır. Sıklıkla karşılaşılan bir durum da, kanıtlamaya yabancı/ilgisiz hususların kanıtlamanın içine serpiştirilmiş olmasıdır. Kimi kez iki veya daha fazla kanıtlama aynı parçada birbirinin içine girmiş olabilirler. Böyle hallerde tüm yargıları adet olduğu üzere yine paranteze alıp numaralandırırız, fakat yargıların numaraları sadece ait oldukları kanıtlamanın şemasında görünmelidirler. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.13 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [Kasadan paranın eksilmiş o biliyor olamazdı] çünkü [onun kasayı açma yetkisi yoktu.] [Eğer paranın eksilmiş olduğunu biliyor olsaydı, onun başkalarını bundan haberdar etmeyeceğini düşünmek için mantıklı bir sebep yok.] Ama [bunu biliyor olamayacağı ] için, [yapabileceği bir şey de yoktu.] Ve [eğer bir şey yapabilecek olsaydı bile işlenen suçu önlemek için artık çok geç olacaktı;] [para zaten gitmişti.] O halde, [bu olayda onun bir suçu olamaz.] 11

12 Burada (1) yargısı, ikincisinde biraz kısaltılmış haliyle olmak üzere, iki kez kullanılıyor. Muhtemel kafa karışıklığını önlemek için burada her ikisini de aynı numara ile gösteririz. (3), (5) ve (6) kanıtlamaya doğrudan bir katkıda bulunmuyorlar ve bu yüzden şemaya dahil edilmezler. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Bununla birlikte, (5) ve (6) buradaki muhakemenin ana hattı üzerinde yer alan ayrı bir kanıtlama gibi değerlendirilebilirler ve (6) öncül, (5) ise sonuç olur: 6 5 Yakınsak Kanıtlamalar Eğer bir kanıtlama hepsi aynı sonuca (ki bu sonuç bir ara-sonuç veya nihai sonuç olabilir) götüren birden fazla çıkarım aşaması içeriyorsa bu kanıtlamaya yakınsak kanıtlama denir. Örneğin: Sigara içen bir insan sigarayı bırakmalıdır. Sigara içmek çok sağlıksızdır ve yanında bulunanlar için rahatsız edicidir. Burada sigara içmenin sağlıksız olduğu ve rahatsız edici olduğu, sigarayı bırakmak gerekir şeklindeki sonuç için birbirinden ayrı ve bağımsız gerekçelerdir. Yani birinden sonuca doğru giderken yapılan akıl yürütmeyi anlamak için diğerini varsaymamız gerekmez. Dolayısıyla bu ikisini sonucu birlikte destekleyen öncüller olarak ele alamayız. Her biri için ayrı çıkarım okları kullanmalıyız. Benzer durum bir karmaşık kanıtlamanın herhangi bir aşamasında ortaya çıkabilir: 3 2 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [Mehmetler evde olmalılar.] [Evlerinin ön kapısı açık,] [arabaları garajın önünde duruyor] ve [televizyonları da açık,] çünkü [televizyonun ışığını pencereden görebiliyorum.] 12

13 Kanıtlama yakınsaktır.(2), (3) ve (4) sonuç önermesi olan (1) için bağımsız gerekçelendirmeler olarak işlev görüyorlar. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Bununla birlikte, öncüller birbirinden bağımsız işlev görmediklerinde, yani kanıtlamanın bizde anlamlı bir karşılık bulması için öncüllerin birbirlerini tamamladıklarının kabul edilmesi gereken durumlarda birbirlerine artı işareti ile bağlanmalıdırlar. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.15 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [Bu toplantıdaki herkes biyokimyacı] ve [tüm biyokimyacılar zeki olurlar.] [Selma bu toplantıda olduğuna] göre [Selma zekidir.] Kanıtlama yakınsak değildir; öncüllerin her biri diğerleri ile tamamlanma gereği içindedir. Tek başına alındıklarında öncüllerden hiçbiri sonucu destekleyici bir anlama sahip olamayacaktır. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.16 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. Üç sebepten ötürü [Aslanlar bu son maçı kaybetmeye daha yakınlar:] [ileride oynayan yıldız oyuncuları dizinden sakat,] [aldıkları iki yenilgiden sonra moralleri çok düşük] ve [bu bir deplasman maçı,] ve [bütün sezon boyunca deplasman maçlarında çok zayıftılar.] [Eğer bu maçı kaybederlerse, teknik direktörün kovulması neredeyse kesin.] Ama bu durum [onun mesleğinin tehlikede olmasının] tek sebebi değil. Çünkü [bazı oyuncular onu, takımdakilerin doping maddesi kullanmasına göz yummakla suçladılar] ve [buna göz yuman hiçbir teknik adam görevinin başında kalmayı bekleyemez.] Bu kanıtlama karmaşık yakınsak bir yapı arz ediyor. Kanıtlamanın şeması şöyledir: 13

14 Örtük Yargılar Kimi kanıtlamaların eksik bir biçimde ifade edilmiş olması sıklıkla karşılaşılan bir şeydir. Örneğin şu iki kanıtlama belirtik olmayan (açıkça ifade edilmemiş) yargılar içermektedir: Şimdi yatamam anne. Film daha bitmedi. Al Capone hiç de öyle zeki değildi. Yeterince zeki olsaydı maliye bakanlığı onu gelir vergisi kaçırmakla asla suçlayamazdı. Buradaki ilk kanıtlamada Film bitene kadar yatamam gibi bir öncül örtük olarak içerilmektedir. İkincisinde ise anlaşılan maliye bakanlığı Al Capone u vergi kaçırmakla suçlamıştır ama bu husus belirtik bir şekilde ifade edilmemiştir. Bu iki kanıtlama öncüllerin örtük olduğu durumlara birer örnektir. Bazı durumlarda ise, bildirimde bulunan kişi ifade edilmemiş ya da açıkça ileri sürülmemiş bir sonucu, hitap ettiği kimselerin kendilerinin çıkarsamasını ister. Mesela: Bulaşığı ikimizden biri yıkayacak ve bu kişi ben olmayacağım. Burada, konuşan kişi hitap ettiği kişinin bulaşıkları yıkaması gerektiğini ihsas etmektedir, ima etmektedir, üstü kapalı söylemektedir. Çünkü geriye başka bir ihtimal kalmamıştır. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.17 Aşağıdaki eksik kanıtlamayı tamamlayınız ve şemasını oluşturunuz. [Başkanın baş danışmanlarından hiçbirinin bu bilgiyi sızdırmadığı kesindi] ve yine de [bu bilgi basına sızdırılmıştı.] Şu örtük sonuç bu iki öncül tarafından gerektirilmektedir: Kanıtlamanın şeması u şekildedir: [Başkanın başdanışmanları dışındaki bir kişi bu bilgiyi basına sızdırdı.] 14

15 Örtük öncül veya sonuçlar, eğer bildirimde bulunanın düşüncesini tamamlamak için gerekliyseler kanıtlamaya dâhil edilmelidir. Bildirimde bulunan tarafından kabul edileceği/onaylanacağı açık olmadıkça kanıtlamaya herhangi bir yargı eklenmemelidir, çünkü bir kanıtlamayı çözümlerken anlamaya çalıştığımız şey bildirimde bulunanın düşüncesidir, ne düşündüğüdür. İlavede bulunma işlemini yöneten birincil sınırlama, centilmenlik ilkesidir. Örtük yargıları ifadelendirirken şüphecilik imtiyazını bildirimde bulunana tanıyın; bildirimde bulunanın düşüncesine sadık kalmaya çalışarak kanıtlamayı olabildiğince güçlü hale getirmeye çalışın. Buradaki önemli husus, kasten veya istemeden gerçekleşebilecek yanlış anlamayı en aza indirmektir. (Kimi zaman kötü bir kanıtlamayı düzeltmek amacıyla yeniden kurgulamak ve bu suretle bildirimde bulunanın kastından/düşüncesinden uzaklaşmak için mantıklı sebeplerimiz bulunabilir. Ama böyle durumlarda artık özgün kanıtlamayı göz önüne almıyoruz demektir; öncekiyle ilişkili olan fakat yeni olan kendi kanıtlamamızı oluşturuyoruz demektir.) ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.18 Aşağıdaki eksik kanıtlamayı tamamlayınız ve şemasını oluşturunuz. [Kadir bir ateist] ve bu da şunu gösterir ki [iyi bir insan olmak istiyorsan Tanrıya inanmak zorunda değilsin.] İlk bakışta bu kanıtlamaya itiraz edilebilir, denebilir ki iyi de böyle bir şeyi söylemek biraz ters değil mi? Sen bütün ateistlerin iyi insanlar olduklarını söylemeye getiriyorsun. Şimdi, böyle bir yorumda bulunmak, kanıtlamayı ileri sürenin düşüncesini tamamlamanın bir yolu olarak görülebilir. Ama bu, hoşgörülü bir yorum olmayacaktır, aşırı bir yorum olacaktır. Bu ilave varsayım açıkça yanlıştır ve kanıtlamayı ileri süren kişinin bunu düşünmüş (kastetmiş) olması pek olası değildir. Ayrıca bu kanıtlama tüm ateistlere uygulanmamaktadır, yani tüm ateistler söz konusu edilmemektedir, bu yüzden sonucu desteklemek için böylesine kapsayıcı bir varsayımda bulunmaya gerek yoktur. Bu kanıtlamada aslında ihsas edilmiş veya üstü kapalı söylenmiş olan şey, şöyle bir şey olsa gerektir: [Kadir iyi bir insandır.] Bu husus pekâlâ doğru olabilir ve böylece bir yandan ortaya mantıken güçlü bir kanıtlama çıkarken diğer yandan bildirimde bulunanın düşüncesine sadık kalmayı başarırız. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Kimi zaman da bir kanıtlamada hem sonuç hem de bir veya birden çok öncül örtük olabilir. Hatta kanıtlama tek bir cümlede dile gelebilir. 15

16 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.19 Aşağıdaki eksik kanıtlamayı tamamlayınız ve şemasını oluşturunuz. [Eğer benim arkadaşım olsaydın benim arkamdan konuşmazdın.] Bu kanıtlama hem örtük bir öncül hem de örtük bir sonuç içermektedir. Örtük öncül: [Sen benim arkamdan konuştun.] Örtük sonuç: [Sen benim arkadaşım değilsin.] Kanıtlamanın şeması şöyledir: Aşağıdaki eksik kanıtlamayı tamamlayınız ve şemasını oluşturunuz. [Motordan damlayan sıvı sudur.] [Motorda sadece üç tür sıvı bulunur: su, benzin ve yağ.] [Damlayan sıvı yağ değil] çünkü [ağdalı (az akışkan)değil,] ve [benzin de değil] zira [kokmuyor.] (çünkü)bir öncül belirticisi ve (4) ün (3) için bir öncül olduğuna işaret ediyor, ama burada örtük bir öncül var: [Yağ ağdalıdır (az akışkandır).] (zira)bir öncül belirticisi ve (6) nın (5) için bir öncül olduğuna işaret ediyor, ama yine örtük bir öncül ilavesi ile: [Benzin kokar.] Kanıtlamanın nihai sonucu (1) dir. Önlerinde ilave çıkarım belirticilerinin bulunmaması (2), (3) ve (5) in (1) i destekleyici olduklarını gösterir. Kanıtlamanın eksiksiz hale gelmesi için son olarak (9) eklenebilir: [Motordan bir sıvı damlıyor.] Kanıtlamanın şeması şöyledir: 16

17 Pek çok kanıtlama dile getirildikleri halleriyle eksiksizdirler. Mesela 1.8 ve 1.10 daki örnekler örtük öncül ve sonuçlar içermez. Bunlar eksiksiz beyan edilmiş kanıtlamalara açık örnektir. Ama durumun bu kadar açık olmadığı örnekler de vardır ve böyle durumlarda kanıtlamanın örtük öncül içerip içermediği konusunda vereceğimiz kara, bağlamın gerekli kıldığı detaylılığın derecesine bağlıdır. Örneğin 1.3 ü göz önüne alın. Eğer çok kesin olmamız gerekiyorsa (mesela kanıtlamaları biçimselleştirirken olduğu gibi) bildirimde bulunanın şöyle ifade edilmemiş bir yargıda bulunduğuna işaret etmek uygun olacaktr: Gerçek değerler cinsinden ele alındığında, yüksek enflasyon görmüş lira ile borç alınmış para, düşük enflasyon görmüş lira ile borç alınmış paradan daha ucuzudur. Olağan resmi-olmayan bağlamlarda, bu derece bir detaylılık, apaçık olanın teferruatına inmek demek olacağı için, şüphesiz ki gerekli değildir. Kullanma ve Anma Dille geniş biçimde ilgilenen bir araştırma alanında, bir ifadenin bir şey söylemek için mi (yani kendisinden başka bir şeye işaret etmek için mi) kullanıldığı yoksa bu ifadenin kendisinin mi asıl ele alınan araştırma nesnesi olduğu konusunda karışıklıklar ortaya çıkabilir. Böyle karışıklıkları önlemek için, bir ifade kullanılmayıp anıldığında, bunu göstermek için tırnak içine alınmalıdır. Mantıkta adet olduğu üzere biz de bu amaçla tek tırnak işaretini kullanacağız. Aşağıdaki iki cümlede bu kural doğru şekilde uygulanmış olup ikisi de doğrudur: Sokrates bir Yunan filozofuydu. Sokrates sekiz harften oluşan bir isimdir. Birinci cümlede Sokrates sözcüğü Sokrates kişisine işaret etmek için kullanılmıştır. İkinci cümlede ise, tırnak işaretlerinden anlaşılacağı üzere bu sözcük sadece anılmıştır (kullanılmamıştır). Buna karşılık şu cümlelerin ikisi de yanlıştır. Sokrates bir Yunan filozofuydu. Sokrates sekiz harften oluşan bir isimdir. Bunlardan birincisi Sokrates adının bir Yunan filozofu olduğunu, ikincisi ise kişi olarak Sokrates in sekiz harften oluştuğunu söylemektedir. 17

18 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.21 Aşağıdaki cümlelerin doğru olması için gereken yerlere tırnak işaretlerini ekleyiniz. (a) Bilal in adı Bilal dir. (b) x + y = y + x olduğu gerçeği x + y = y + x denkleminde ifade edilmiştir. (c) Bu cümle lü Örnek 1.16 nın bir parçasıdır. (d) Alfabenin ilk harfi A dır. (e) A alfabenin ilk harfinin bir adıdır. (a) Bilal in adı Bilal dir. (b) x + y = y + x olduğu gerçeği x + y = y + x denkleminde ifade edilmiştir. (c) Bu cümle lü Örnek 1.16 nın bir parçasıdır. (d) Alfabenin ilk harfi A dır. (e) A alfabenin ilk harfinin bir adıdır. (c) de tırnak işareti gerekli değildir. Eğer, mesela, şöyle yazacak olursak Bu cümle lü Örnek 1.16 nın bir parçasıdır. bu durumda, sözü edilen cümlenin lü Örnek 1.16 ifadesinin bir parçası olduğunu söylemiş oluruz. Ama bu saçmadır. (d) ve (e) yi anlamak için şu işaretin alfabenin ilk harfi olduğunu hatırlamalıyız: A Bu harfe bir ad üretmek için tırnak işaretlerini ekleriz: A Bu, söz konusu harfi anmak için (d) de kullanılan addır. Şimdi bu ada bir ad vermemiz gerekirse tırnak işaretlerini ikinci defa kullanırız: A Ve (e) de harfin adını anmak için de bu kullanılmıştır. Mantık ve matematikte, kimi zaman harfler çeşitli nesnelerin yerine geçecek adlar veya değişkenler olarak kullanılırlar. Böyle kullanımlarda tırnak işaretine gerek olmadan kendi başına olabilirler. Mesela yukarıda (b) de x ve y harflerinin tırnak işaretsiz bulunması, bunların sayılara işaret eden değişkenler olarak işlev görmelerini sağlar. Yukarıdaki (b) ile (ve (d) ile) ilgili dikkat edilmesi gereken bir diğer husus da cümle sonundaki notanın, imla kurallarına uygun olarak, son tırnaktan önce değil sonra gelmesidir. Mantıksal yazımda, anılan ifadenin bir parçasını oluşturmayan imla işaretleri, tırnak işaretlerinin dışına yerleştirilir. Bu, muhtemel karışıklıkları engellemede yardımcı olur, çünkü anılan ifade daima tam olarak tırnak işareti içine alınan ifadedir. 18

19 Formel (biçimsel) ve İnformel (biçimsel-olmayan) Mantık Mantık iki farklı bakış açısından ele alınabilir, formel ve informel. Formel mantık kanıtlama biçimlerinin incelenmesidir, yani pek çok farklı kanıtlamalara özgü ortak soyut desenlerin incelenmesidir. Bir kanıtlama biçimi bir kanıtlama şeması ile gösterilen sırf bir yapıdan ibaret değildir, çünkü öncüllerin ve sonucun içsel birleşimi hakkında da bir bilgi taşımaktadır. Çok yaygın olan bir kanıtlama biçimi aşağıda gösterilmiştir: Eğer P ise, o halde Q dur. P Q Bu, iki öncül ve bir sonuç içeren tek bir adımdan oluşmuş bir akıl yürütmedir. P ve Q harfleri önermelerin (yargıların) yerini tutan değişkenlerdir. Bu iki değişken herhangi bir çift bildiri cümlesi ile yer değiştirebilir ve böylece belirli bir kanıtlama örneği oluşturulabilir. Burada kullanılabilecek bildiri cümlesi çiftlerinin sayısı potansiyel olarak sonsuz olduğu için, bu biçim, hepsi aynı yapıya sahip sonsuz sayıdaki farklı kanıtlamaları temsil etmektedir. Biçimin kendisini incelemek belirli bir kanıtlama örneği yerine biçimin kendisini incelemek, kişiye bütün bu kanıtlamalar için geçerli olabilen önemli genelleştirmeler yapmak imkânı verir. İnformel mantık ise kanıtlamaların doğal dil içindeki halleriyle ve ortaya çıktıkları bağlamlar içinde incelenmesidir. Formel mantığın genelliğin ve kuramın altını çizdiği/vurguladığı yerde, informel mantık belirli özel kanıtlama örneklerinin çözümlenmesi konusu üzerine eğilir. Bu iki yaklaşım birbirinin karşıtı değil ama birbirinin tamamlayıcısıdırlar. 19