Sayı Kavramı ve Öğretimi

Transkript

1 Sayı Kavramı ve Öğretimi Yazar Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Sayıların ve sayı sisteminin ne işe yaradığını açıklayabilir, Sayı sisteminin kuruluşunun dayandığı temel ilkeyi söyleyebilir sayı sisteminin öğretimi ile ilgili etkinlikleri düzenleyebilir, Doğal sayıların nasıl icat edildiğini, doğal sayıların yazılışındaki basamak ve bölük kavramlarını açıklayabilir, bunların öğretimi ile ilgili etkinlik düzenleyebilir, Tamsayıları tanır ve tamsayılar kümesinde yapılan işlemlerin kurallarını gerekçeleriyle açıklayabilir ve tamsayıların öğretimi ile ilgili etkinlikler düzenleyebilir, Rasyonel sayıları tanır ve rasyonel sayılarla yapılan işlemlerin kurallarını gerekçeleriyle açıklayabilir ve kesirlerin tanıtılması ile ilgili etkinlikleri düzenleyebilir, Ondalık kesirlerin, rasyonel sayıların bir gösterim şekli olduğunu söyleyebilir ve ondalık kesirlerle yapılan işlemlerin kurallarını açıklayabilir ve öğrencilerin ondalık kesirleri kavrayabilmeleriyle ilgili öğretim etkinlikleri düzenleyebilirsiniz. İçindekiler Giriş 3 Sayı Kavramı ve Doğal Sayılar 3 Tamsayılar ve Tamsayılarda İşlemler 9 Rasyonel Sayılar ve Rasyonel Sayılarda İşlemler 23 Özet 3 Değerlendirme Soruları 32 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar 34

2 Çalışma Önerileri Bu üniteyi çalışırken; kadar fasulye bulundurunuz ve gruplamayla ilgili etkinliklerin yürütülmesinde söz edilen gruplamaları aynen yapınız. Metinleri okurken, basamak bloklarını, bulunamaz ise yeter sayıda çıta kullanarak basamak kavramıyla ilgili etkinlekleri yapınız. Sürgü toplama cetveli ve diğer araçları karton ve makas kullanarak yapınız ve kullanınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ 3. Giriş İnsanlar ihtiyaçlarını daha iyi karşılımak için ilk çağlardan beri karşılaştırma adını verdiğimiz bir eylemde bulunurlar. Karşılaştırma ile daha iyiyi, daha güzeli, daha kuvvetliyi, yeterliyi, uygunu seçmek mümkün olur. Karşılaştırma yapabilmek miktarı ya da özelliği anlamak, miktarı anlama da sayıları kullanmakla gerçekleşir. Bu yüzden ilkçağlardan beri bugün kullanmakta olduğmuz onluk sayı sistemine kadar çok değişik sayı sistemleri icad edilmiş ve kullanılmıştır. Günümüzde onluk sistem dünyanın büyük çoğunluğu tarafından kullanılmaktadır. Bunun yanısıra halen kullanılan başka sayı sistemleri de vardır. Sayıların çekirdeğini doğal sayılar teşkil eder. Daha sonra herbiri bir öncekini kapsayacak şekilde Tam Sayılar, Rasyonel sayılar, Reel Sayılar ve Karmaşık Sayılar kümeleri kurulur. Bu ünitede doğal sayılar, tamsayılar ve rasyonel sayılar kümelerinin kuruluşu, bu kümelerde yapılan bazı işlemler ve bu işlemlerin kuralları üzerinde durulmaktadır. Açıklamalarda daha çok 6., 7. ve 8. sınıf düzeyleri esas alınmıştır. Bu konularla ilgili daha küçük sınıf düzeyleri için ayrıntılı bilgi ek okuma kaynaklarında vardır. 2. Sayı Kavramı ve Doğal Sayılar Doğal sayı tanımı küme kavramına dayalı olarak verilir. Küme elemanlarının sertlik, yumuşaklık, berraklık, renkli olmak vs. gibi özelliklerinin yanısıra bir de çokluk özelliği vardır. Bu çokluk özelliğine doğal sayı denmektedir. Daha formal bir anlatımla "bir doğal sayı denk kümelerin ortak özelliğidir" denilebilir. Bu düşünceyi öğrencilere sezdirmek için aşağıdaki etkinlik düzenlenebilir. Etkinlik: Doğal Sayı Kavramı Materyal: 3, 4, 5, 6 elemanlı kümeler veya küme şemaları Grup: 2-3 kişi {is, gece, zeytin}, {kuzgun, kömür} kümelerinin ortak özelliğinin araştırılması, Bu kümelerin elemanlarının "siyah" kavramını düşündürdüğünün sınıfça paylaşılması. Öğrencilerin "sertlik" kavramını düşündüren küme örnekleri söylemeleri, Her gruba eleman sayıları 3, 4, 5, ve 6 olan 0 kadar küme şemasının dağıtılması, bu kümelerin arasında bir ilişkinin olup olmadığının araştırılması, eğer varsa bu ilişkiye göre bunların bir araya getirilmesi, Eleman sayıları aynı olan (aralarında birebir işleme kurulabilen) kümeleri bir araya getiren bir grubun çalışmasının sınıfça tartışmaya açılması. Bir sayının "kümelerin bir ortak özelliği olduğunun ve çokluğu belirttiğinin" farkına varılması. Yukarıdaki örneklerde yer alan siyahlık, sertlik sıfatlarının AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 4 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ nitelikle, sayının çokluk özelliği ile ilgili olduğunun anlaşılması. Yukarıdaki etkinliğin de gösterdiği gibi, örneğin 4 sayısı, elemanları 4'er tane olan kümelerin elemanlarının çokluğunu anlatmak için kullanılan bir sıfattır. Diğer sayılarda aynı düşünceyle başka kümelerin çokluğunu anlatmak için kullanılmaktadırlar. Daha sonra sıfır (0) sayısının boş kümelerin ortak özelliği olduğu, doğada var olmanın yanısıra var olmamanın anlatılması ihtiyacını karşıladığı, küme elemanlarının belli bir sınırı olmadığı için doğal sayıların da sonsuz olduğu sonucuna ulaşılır. 2. Basamak Kavramı Doğal Sayılar sisteminin kuruluşundaki temel esas nesnelern belli bir sayıda sürekli olarak gruplanmasıdır. Bu gruplamada, bir gruptaki eleman sayısına taban, ardışık gruplamaların herbirine basamak adı verilir. Basamak kavramının öğrenilmesi doğal sayılarla yapılan işlemlerin öğretiminin de ön şartıdır. Çünkü sayılarla yapılan tüm işlemler basamak kavramına dayanır. Nesneleri gruplama ve gruplamaya olan ihtiyacı ortaya koymak için aşağıdaki etkinlik, kullanılan materyal sayısı sınıf seviyesine göre seçlilerek çok değişik sınıflarda yapılabilir. Etkinlik: Doğal Sayı Kavramı Materyal: Çok sayıda sayılacak nesne (kuru fasulye, nohut vs.), altlık karton, keçeli kalem. Grup: 4-5 kişi Her kümeye sınıf seviyesine göre kadar nesne verilmesi. Grup üyelerinin masalarında kaç nesne olduğunu tahmin etmeleri ve tahminlerini not almaları. Öğretmenin öğrencilerden, saymayı kolaylaştırmak için nesneleri gruplamalarını ve masada kaç nesne olduğunun bir bakışta anlaşılmasını sağlamalarını istemesi. Öğrencilerin nesneleri gruplamaya başlamaları ve öğretmenin çalışmaları izlemesi. 237 veya 732 Şekil 7.: Nesnelerin Gruplanışı ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ 5 Şekil 'dekine benzer bir çalışmanın esas alınarak, örneğin burada nesnelerin 0'ar 0'ar gruplandığı 2 büyük grup, 3 küçük grup olduğu, 7 nesnenin grup yapamadığının belirtilmesi. Sonucun 237 şeklinde yazılması. Aynı nesneleri anlamak içn 732 yazılımının kullanılıp kullanılmayacağının tartışılması. Her iki yazım biçiminin kullanılabileceği, ancak alışılmış düzende büyük gruptan küçük gruba doğru sıralayarak yazıldığının belirtilmesi. Nesneleri saymanın, yukarıdaki gibi gruplanmış haliyle mi, yoksa birer birer mi daha kolay olduğnun sorulması. İki grubun nesnelerinin hangisinin çok olduğunu anlamak için yazılmış sayıya bakmadan, yalnız gruplara bakılarak karar verilmesi. Bu gruplara uygun adlarındırmaların sınıfça yapılması. (Birler, onlar, yüzler gibi) Onluk sistemde sayıları yazmak için 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ve 9 olmak üzere 0 işaretin neden gerekli ve yeterli olduğunun tartışılması Değişik Tabanlı Sayı Sistemleri Yukarıdaki etkinlikte, öğrenciler sayıları 0'ar 0'ar gruplamak yerine, başka sayıda gruplasalardı ne olurdu? Doğal sayılarla ilgili önemli bir başka konu, değişik tabanlara bağlı sayma sistemlerinin tanıtılmasıdır. İkilik, beşlik, altılık, sayma sistemleri vs. Değişik sayma sistemlerinin tanıtılmasının temel amacı sayı sistemi fikrini geliştirmek, basamak değerlerinin ve bunların sayı sistemi içinde nasıl bir işlevi yerine getirdiğini kavratmak, onluk sistemin tek seçenek olmadığını, bunun dışında da sistemlerin kurulup kullanılabileceğini sezdirmektir. Bu bakımdan bu sistemlerin öğretiminde işlem alıştırmaları yapmadan ziyade sistemin kuruluşu üzerinde durulmalıdır. Bu sistemlerin her birinde bulunan rakam sayısı, bunların tabanla ilişkisi açıklığa kavuşturulmalıdır. Bilgisayar makine dillerinin ikilik sistemi kullanıyor olması değişik tabanların uygulamadaki bir örneğidir ve bu durum ikilik sisteme ayrı bir önem yüklemektedir. Değişik sayma sistemlerini kavratmak için uygun bir etkinlik yukarıdaki etkinliğe benzer olarak aşağıdaki şekilde düzenlenebilir. Etkinlik: Başka Tabanlar ve Başka Sayma Sistemleri Materyal: Çok sayıda sayılacak nesne, altlık karton, keçeli kalem. Grup: 4-5 kişi Her kümeye kadar nesne verilmesi. Öğretmenin öğrencilerden, saymayı kolaylaştırmak için nesneleri, bir grubun eleman sayısı 5'i geçmeyecek şekilde gruplamları ve bu şekilde masalarında bulunan nesnelerin kaç tane olduğunun bir bakışta anlaşılacak şekle sokmalarını istemesi. Öğrencilerin nesneleri gruplamaya başlamaları ve çalışmaların öğretmen ta- AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 6 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ rafından kontrolü. Aşağıdaki örnekte gösterilen çalışmaya benzer bir çalışmanın sınıfça tartışılması. 243 Befl Şekil 7.2: Nesnelerin 5'erli Gruplanışı Burada nesnelerin (fasulyelerin) 5'er 5'er gruplandığının, 2 büyük beşlik, 4 beşlik ve 3 tane de birlik olduğunun farkına varılması. Bu sayının 243Beş mi yoksa 342Beş şeklinde mi gösterileceğinin tartışılması, Bu sisteme bir ad verilmesi (beşlik sistem) ve burada 6'ya neden ihtiyaç olmadığının açıklanması. Bu sistemdeki rakamların 0,, 2, 3, 4 olmak üzere 5 tane olduğunun belirtilmesi. Beşlik sistemden masaya konabilecek nesnelerin miktarının ne kadar çok olursa olsun yazılabileceğinin kararlaştırılması. İkişer ikişer gruplama yapan bir kümenin çalışmasının sınıfça tartışılması. = ki Şekil 7.3: Nesnelerin 2'şerli Gruplanışı? Bu sistemde 5 fasülyenin iki şekilde gösterilebileceği, sistemin rakamlarının 0, olduğunun farkına varılması. Sınıfta değişik kümelerin yaptığı gruplama şekillerinin incelenmesi ve kaç sayma sisteminin kurulduğunun açıklanması. Kaç değişik sayma sisteminin olabileceği hususunda sınıf tartışması açılması. Onluk gruplamanın insan ellerinin parmak sayısından kaynaklanmış olabileceğinin belirtilmesi. Hiç gruplama yapılmasaydı tüm sayılara birer ad vermek mümkün olur muydu? Bunları yazmada ne tür güçlüklerle karşılaşılırdı? ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ Elde ve Onluk Bozma Kavramları Onluk sistemde işlem yapmada öğrencilerin en çok güçlük çektikleri ya da ezbere yaptıkları noktalardan biri elde ve onluk bozma kavramlarıdır. Bu iki kavramın gelişmesi için önerilen bir etkinlik aşağıda verilmiştir. Bu etkinliğin yürütülmesinde kullanılan sayı blokları şekil 7.4'de verilmiştir. Şekil 7. 4: Sayı Blokları Etkinlik: Elde ve Onluk Bozma Materyal: Sayı blokları, bir çift zar, düzgün dört yüzlü, üzerinde birlik, onluk, yüzlük, binlik yazılı karton. Grup: 2 kişi İşlem: Her gruba yeter miktarda sayı blokları ( binlik, en az 20'şer tane olmak üzere yüzlük, onluk ve birlik) verilmesi. Oyuncuların sırasıyla bir çift zar atmaları. Zarlardan birinde gelen sayı (sözgelimi beyaz zar) kadar birlik, diğerinde (sözgelimi kırmızı zar) gelen sayı kadar onluk alıp kartondaki yerlerine koymaları ve böylece birler ve onlar basamaklarını oluşturmaları. İkinci oyuncunun zarları atması ve aynı işlemi yapması. Basamaklardan herhangi birindeki materyal sayısı, örneğin birler basağındakiler 0'u geçince bunların 0 tanesinin ele alınıp (elde) geri çekilmesi, bunların yerine bir onluğun onlar basamağına konması. İşleme binlik (büyük küp) kendi hanesine konuncaya kadar devam edilmesi. Binliği koyan çocuğun oyunu kazanması. Aynı oyunun bir düzgün dört yüzlü atılıp üste gelen sayıların en küçüğü kadar yüzlük, ortancası kadar onluk, en büyüğü kadar birlik alınıp, kartondaki yerlerine konarak oynanması. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 8 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ Onluk bozma düşüncesi bunun tersi olan bir çalışmayla (oyunla) kazandırılır. Onluk bozmayı kavratmak için önce büyük küp (binlik), binler hanesine konur ve öğrencilere biri onluk, diğeri birlikleri gösteren iki zar atarak bnun harcanması istenir. Bu durumda oyunu sürdürmek için binliğin oyun başlamadan önce 9 yüzlük, 9 onluk ve 0 birlik şeklinde bozdrulup elde edilen materyalin ilgili hanelere konması gerekir. Gelen zarlara göre birler ve onlar basamaklarından harcama yapılacağı için bu basamaklarda yeterli materyal bulunmaması halalinde bir üst basamaktan tane alıp bir alt basamağa 0 tane konması (0'luk bozma) gerekir. Oyunun sürdürülmesi için, düzgün dörtyüzlü kullanılmayor ise üç basamaktan birlikte harcama yapılacaktır. Materyallerin tümü hangi oyuncnun zar atması ile biterse oyunu o kazanacaktır Bölük Kavramı Doğal sayılarda basamak kavramının üzerinde bir de bölük kavramı vardır. Her üç basamak bir bölük oluşturur ve çok basamaklı sayıların okunup yazılmasını kolaylaştırmak için bölükler birbirinden mesafeli yazılır. Bu mesafeli yazmada alışılmış sınır 5 basamaktır. Öğrenciler çok basamaklı sayılarla, nüfus ve bütçe rakamlarında, fen, fizik, kimya gibi derslerin içinde yer alan bazı konuları incelerken karşılaşırlar. Aşağıda verilen etkinlik 0-5 basamaklı sayıların yazılıp, okunması ve bülöklerin tanıtılması için uygundur. Etkinlik: Bölük Kavramı Materyal: Hesap makinası, 6 x 6 = 36 kare bölmeli, boş bingo kartları. Grup: 2 kişi Gruplara her bir karesi 2 cm x 2 cm ebatlarında olan bingo kartına benzer boş kartların verilmesi. Bu kartın birinci satırına sırayla, 2, 4, 8, 6, 32 yazılması ve ikinci satırın nasıl doldurulacağının (64, 28,...) öğrencilere tahmin ettirilmesi sonra, böyle devam edince 36. kareye gelecek sayının kaç basamaklı olacağının öğrencilere tahmin ettirilmesi ve grupların tahminlerini bir yere not etmeleri. En doğru tahmin eden grubun bulunması. En doğru tahmin edeni bulmak için yapılacak çalışma tüm karelere ilgili sayıları yazmaktır. Gruplar bu işlemi yaparken rakam sayısı hızla artacağından okuma ve yazma güçleşecektir. Öğretmen "bu sayıları kolay okuyup yaza için üçerli gruplara ayırsak olur mu?" diye bir soru ortaya atar ve sayılar öbek öbek ayrılarak yazılır ve okunur. Son olarak tahminlerle elde edilen sonuç karşılaştırılır ve bölüklerin adları (birler, binler, milyonlar, miyarlar, trilyonlar,...) ve bu bölüklerin herbirinde yer alan basamaklar öğrencilere tanıtılır. Doğal sayılarla ilgili bir başka önemli kavram ardaşıklık kavramıdır. Çünkü her sayı kümesinde ardışıklık tanımlı değildir. Ardışıklığın arka arkaya gelmek olduğunun söylenmesi ve sayı doğrusu üzerinde sayıların yazılması bu kavramın kazandı- ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ 9 rılması için yeterlidir. Ardışıklıkta önemli bir nokta 0 (sıfır) sayısının hiç bir sayının ardışığı olmadığının belirtilmesidir. Ardışıklıktan yararlanarak doğal sayıların sonsuz olduğunu nasıl gösterirsiniz? Belli bir aralıkta söz gelimi [5, 9] aralığındaki doğal sayılar sonlu sayıdadır. Bunu göstermek için 5'ten başlayarak ardışık gelen sayıları 9'a kadar saymak yeterlidir.? 3. Tam Sayılar ve Tam Sayılarda İşlemler İlköğretimin ilk beş yılında öğrenciler doğal sayılarla ve rasyonel sayılar kümesinin pozitif kısmıyla kesirler adı altında meşgul edilirler. Tamsayıların tanıtılmasına 7. sınıfta başlanmaktadır. Tamsayıların öğretiminde kullanılacak materyal bulmak, doğal sayılardaki kadar kolay değildir. Tamsayıların öğretiminden önce, pozitif sayıların yanısıra, negatif sayılara da ihtiyacımız olduğu sezdirilmelidir. Sayılar çoklukları anlatmak için kullanılırlar. Çoklukların bir kısmının doğal bir başlangıcı vardır, bir kısmının yoktur. Uzunluk, ağırlık, alan, hacim vs. gibi çokluklar doğal başlangıcı olan çokluklardır ve bunların sıfırı yokluk anlamındadır. Yani bir uzunluk 0 m dendiğinde uzunluk yok anlamına gelir. Oysaki zaman ve sıcaklık doğal sırıfı olmayan çokluklarlardır. Hava sıcaklığının 0 derece olması, sıcaklığın olmadığı anlamına gelmez, sıcaklık olduğu gibi 0 derecenin altında da sıcaklıklar vardır. Negatif sayıların tanıtılması için, sıcaklıkla ilgili bir durumdan yola çıkılabilir. Aşağıdaki bu yaklaşımla düzenlenmiş bir etkinlik sunulmaktadır. Etkinlik: Negatif Sayılar Materyal: Termometre, negatif sayılar içeren hava durumu haritası veya raporu. Grup: 2-3 kişi O günkü hava sıcaklığının ölçülmesi ve yazılması. Öğrencilere termometre gösterilmesi ve üzerindeki rakamların incelenmesi ve sıfırın altındaki rakmlardan nasıl faydalandıklarının sorulması. Haritanın incelenmesi ve harita üzerinde aşağıdaki sorulara cevap verilmesi. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 20 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ Gündüz haritasında, - En soğuk il hangisi? - En sıcak il hangisi? - İlleri soğuktan sıcağa doğru sıralayınız ve bir çizgi üzerinde gösteriniz? - Bu çizgi daha önce tanıdığımız sayı doğrusuna benziyor mu? - Aynı gün, gündüz sıcaklğın -20 derece olan bir ilimiz olsaydı bunun yerini çizgi üzerinde nerede gösterirdiniz? - Aynı soruları gece haritası için cevaplandırınız. Bu sorunların tartışılmasının arkasından sayı doğrusunun tamsayılar'ı da içerecek şekilde çizilmesi ve tanıtılması, her iki taraftan sonsuza gettiğiğinin anlaşılması. Sınıfta bulunan tarih şeridine dikkat çekilerek aşağıdaki soruların cevaplandırılması. - Bu şeritte 0 yılını gösteriniz. - 0'dan önce yaşanmış mıdır? Yaşanan bir olay söyleyiniz. (Ateşin icadı vs. gibi) - Tamsayılar doğrusundaki gibi işaretleme yapsaydınız, hangi sayıları eksi (-) ile işaretlemeniz gerekirdi? - İstersek İsa'nın doğumundan başka bir yıla sıfır (0) diyebilir miyiz? - Eğer Cumhuriyet'in ilan edildiği 923 yılına 0 (sıfır) deseydiniz, bu yılın tarihi kaç olurdu? - Ömrünün yarısını sıfır yılından önce, diğer yarısını sıfır yılından sonra yaşayıp, 60 yaşında ölen bir adamın doğum ve ölüm yıllarını bu şerit üstünde gösteriniz. Tamsayılarla yapılan toplama ve çıkarma işlemleri öğrenciler için ilk safhalarda zor gelir. Onlar "iki tamsayı toplanırken..." diye başlayarak kuralları ezberlemeye yönelirler. Bunun önüne geçmek ve tamsayılarla yapılan işlemleri anlamlandırmak için yukarıdaki etkinlikte kullanılan haritalar üzerinde anlaşılır ve basit sorular sormak yeterlidir. Etkinlik: Tamsayılarda Toplama ve Çıkarma Materyal: Hava durumu haritaları. Grup: 2 kişi Gündüz haritası kullanılarak, aşağdaki sorulara cevap verilmesi. Hava sıcaklıkları her ilde 7'şer derece artsaydı, kaçar derece olurdu? Harita üzerine yazılması. Hava sıcaklıkları her ilde 7'şer derece azalsaydı kaçar derece olurdu? Harita üzerine yazılması. Gece ve gündüz sıcaklıkları arasındaki farkın aşağıda verilen sırayla sayı doğrusunda gösterilmesi, en büyük değişimin hangi ilde olduğunun işlemle bulunması. - Adana, İzmir, İstanbul (0-2 = 8,...) - Erzurum, Sivas (- - (-9) = 8,...) - Ankara, Bursa (2 - (-3) = 4,...) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ 2 Tamsayılar zaman ve sıcaklık yanısıra parası ya da borcu olma durumunu açıklama için de kullanılabilir. Öğrenciler para kazanmak, para harcamak, alacağı olmak, kavramlarını bildikleri için öğretimde bundan yararlanılabilir. Alacağı olanın durumu (+), borcu olanın drumu (-), ne borcu ne alacağı olanın durumu 0 ile gösterilebilir. Aşağıda tamsayılarda toplama ve çıkarmayı kavratabilmek için alacağı veya borcu olma durumundan nasıl faydalanılabileceğini göseren bir etkinlik verilmiştir. Etkinlik: Tamsayılarda Toplama ve Çıkarma Materyal: 8-0 tane banknot resmi ( liralık) Grup: 2-3kişi (Öğrencilerden bir tanesi postacı rolünde) Postacı size 2 ve 4 lira alacağınız (+) olduğunu bildiren iki çek getiriyor. Bunu işlemle gösteriniz. (+2 + (+4) = 6). Banknotlarla canlandırınız. Postacı size 7 lira alacağınız oldunu bildiren bir çek, 5 lira harcamanız olduğunu bildiren bir ödeme emri getiriyor. Bunu işlemle gösteriniz. (+7 + (-5) = +2) Postacı size biri 5, diğeri 3 lira olan iki ödeme emri getiriyor. Bunu banknotlarla canlandırınız ve işlemle gösteriniz. (-5 + (-3) = -8) Grupların yukarıdaki işlemleri postacı rollerini değiştirerek yapması. Değişik sayılar kullanılarak işlemlerin yapılması. İki negatifin, bir negatif ile bir pozitifin toplamını gösteren işlemlerin kartlara yazılarak panoda sergilenmesi. Tamsayılarda toplama ve çıkarmayı kavratmak için başka bir etkinlik "sürgülü hesap cetveli yapma ve kullanma"dır. Sürgülü hesap cetveli iki sayı doğrusu parçasından oluşan ilkel bir hesap makinasıdır. Doğal sayılarla işlem yapmak için kullanılır, tamsayılara kolayca uyarlabilir. Etkinlik: Sürgülü Toplama Cetveli Materyal: Kareli kağıt, cetvel, makas, yapıştırıcı Grup: 2 kişi Kareli kağıt üzirende iki paralel doğru çizilmesi ve her ikinde de 0,, 2,..., 0 sayılarının işaretlenmesi. Cetvellerin kesilip çıkarılması ve gergin durması için arkalarına karton yapıştırılması toplamının bu cetvellerle nasıl gösterilebileceğinin gruplarca tartışılması. Aşağıdaki gösterim biçiminin uygun olduna karar verilmesi. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 22 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ Bu cetvellerle 2 + 6, 0 + 5, toplamlarının yapılması. Bu cetvelle hangi sayıların toplamının bulunabileceğinin tartışılması. Şimdi sayı cetvellerinin -0 dan +0'a kadar kadar sayıları içerecek şekilde hazırlanması. Bu cetvellerle yukarıdaki toplamaların hepsinin yapılıp yapılamacağının tartışılması. Bu cetvellerle işleminin nasıl yapılacağının araştırılması = 2 sonucuna ulaşılması Bu cetvellerle , , işlemlerinin yapılması. Bu cetvelle toplama yapmanın kuralının açıklanması. (Birinci terim alttaki cetvelden seçilir, üstteki cetvelin "0" ı bu terime gelecek şekilde cetvel kaydırılır. Üstteki cetvelden ikinci terim seçilir, alttaki cetveldeki karşılığı okunur. Bu sayı toplamanın sonucudur) Bu cetvellerle işleminin yapılması. Daha solda bir sonuç çıktığının farkedilmesi. Bu işlemde üstteki ok hangi tarafa yönelmiştir? işleminin yapılması. Benzer bazı işlemleri grup elemanlarının birbirine sormaları. Öğrenciler tarafından zor kavranan bir işlem de tamsayıların çarpılması ve bölünmesi sonucu elde edilen sayının işaretinin anlaşılmasıdır. İki negatif sayının çarpımının pozitif etmesi, bir negatif sayı ile bir pozitif sayının çarpımının negatif etmesi pek kolay anlaşılmamaktadır. Yukarıda sunulan etkinliklerden borç ve alacakla ilgili olanı, çarpmayı da içine alacak şekilde geliştirilebilir. Çarpma öğretimi için postacının getirmesi (+), götürmesi (-), alacak (+), borç (-) ile gösterilerek aşağıdaki etkinlik düzenlenebilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ 23 Etkinlik: Tamsayılarda Çarpma Materyal: Hazırlanmış temsili banknot demetleri ('er liralık) Grup: 2-3kişi (Öğrencilerden bir tanesi postacı rolünde) Postacı size herbirinde 4'er lira olan 3 banknot demetini veriyor. Bu durumda kaç liranız olur? Bunun işlemle gösterilmesi. ( + 3 x + 4 = 2) Postacı size 2 tane herbiri 3'er lira borcunuz oldunu gösteren iki ödeme kağıdı getiriyor. Bu durumda zenginleşir mi yoksa fakirleşir misiniz? Bunun işlemle gösterilmesi ( + 2 x - 3 = -6) Postacı size daha önce bir yanlışlık olduğunu söyleyerek, elinizdeki her biri 5'er lira olan ödeme evrakının 2 tanesini alıyor. Dumunuzu düşünün. Harika bir şey! Zengin mi yoksa fakir mi oldunuz? Durumun işlemle gösterilmesi ( - 2 x - 5 = +0) Postacı elinizde alacağınız olduğunu gösteren her biri 4 liralık 3 çeki, yanlışlık olduğunu söyleyerek geri alıp gidiyor. ( + 4 x - 3 = -2) Ne can sıkıcı bir durum! Çarpma öğretimi böylemle ilgi genellemelerin de kavranmasına yol açar. Çünkü a x b = c eşitliğinden c : a = b veya c : b = a elde edilebilir, veya yukarıda verilen problem durumları bölme için düzenlenebilir. 4. Rasyonel Sayılar ve Rasyonel Sayılarda İşlemler Çocuklar Rasyonel Sayılarla ilkokulun birinci sınıfından itibaren, kesirler adı altında karşılaşmaya başlarlar. Sınıflar ilerledikçe öğrendikleri kesirlerin çeşitleri, büyüklük ve küçüklük sınırları değişir. Kesirlerle yapılan işlemlerin tamamı ilk beş sınıftayken öğretilir. Tamsayılara göre, rasyonel sayılarla daha erken karşılaşılmasının nedeni, öğrencinin çevresindeki olaylar ve günlük hayatında bunların pozitif olanları ile çok sık karşılaşıyor olmasıdır. Yarım ekmek, çeyrek saat, 0,7 kg peynir,.2 kg. yağ vs. gibi. Bu ünite içinde sözedilecek olan ondalık sayılar ayrı bir sayı kümesi olmayıp, rasyonel sayıların bir gösterim şeklidir. 4.. Kesir Kavramı Bir kesir, bir bütün ile onun bir parçası arasındaki ilişkiyi belirten bir ifadedir. Örneğin kesrinde 5 bütünle ilgilidir ve bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü gös- 2 5 terir. 2 sayısı parçalarla ilgilidir, 5 parçadan 2 tanesi ile ilgilendiğimizi göstermektedir. Sonuç olarak bir kesir bir tamsayı gibi bir miktar anlatır. Ancak bütünlerin değil, parçaların kaç tane olduğu gösterir. Bir kesir değişik şemalarla gösterilebilir. Eğitim-öğretimde kesirleri anlatmak için çok kullanılan şemaları dört grupta ele alabiliriz. Bunlar () Uzunluk özelliğini esas AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 24 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ alan şekiller, (2) Alan özelliğini esas alan şekiller, (3) Hacim özelliğini esas alan şekiller ve (4) Sayılabilme özelliğni esas alan şekillerdir. Şekil 7.5'te her madde için ikişer örnek çizilmiştir. Şekil 7. 5: Bir Kesre Uygun Değişik Şekiller Bunların içinde en çok kullanılanı da alanla ilgili olanıdır. Genellikle daire ya da dikdörtgen şeklinde bir alan bütünü, bunun bir parçası kesirleri göstermede bir model olarak kullanılır. Kesirlerle ilgili temel kavramlar arasında kesirlerin denkliğinin önemli bir yeri vardır. Çünkü bir rasyonel sayıyı gösteren sonsuz kesir olduğunu sezdirmek ve kesirleri birbirleriyle toplamada payda eşitlemeye anlam kazandırmak ancak kesirlerin denkliğinden yararlanılarak yapılabilir. Kesirlerin denkliğini kavratmada kullanılan bir etkinlik şöyle düzenlenebilir. Etkinlik: Kesirlerin Denkliği Materyal: Kare köşeleri noktalı kağıt, kalem, cetvel. Grup: 2-3kişi Her grubun elindeki kartta 'ini işaretlemeleri. Çizimlerin aşağıdaki örneğe uygun olup olmadığının 2, 2 4 ve 4 8 kontrolü ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ 25 Bu kesirlerin neden aynı miktarı anlattıklarının açıklanması. Aynı noktalı kağıt üzerine bu kesirlere denk başka hangi kesrin çizimle gösterilebileceğinin 8 tartışılması. 6 Bunların birinden diğerine nasıl geçilebileceğinin araştırılması (genişletme ve sadeleştirme). Kesirlerin denkliğinden yararlanarak iki rasyonel sayı arasında sonsuz rasyonel sa yı olduğu ve rasyonel sayılar arasında ardışıklık kavramının tanımlı olmadığı gösterilebilir. Öğrenciler örneğin 3 5 ile 4 5 sayılarının ardışık olduğunu bunların arasında başka sayı olmadığını zannederler. Bu iki sayı arasında son suz sayı olduğunu göstermek için bunları sayı doğrusunda göstermek yeterlidir , 32 50, 33,..., , , ,..., Sonuç olarak iki rasyonel sayı ne kadar yakın olursa olsun bunların arasında yine sonsuz rasyonel sayı vardır Kesirlerde Toplama ve Çıkarma Kesirlerde toplama öğretiminde, kesirlerin paydaları aynı ise, bunun modellenmesi ve genellemeye ulaşılması oldukça kolaydır. Aşağıda paydaları farklı iki kesrin toplamının kavratılmasında kullanılabilecek bir etkinlik sunulmaktadır. Etkinlik: Kesirlerde Toplama ve Çıkarma Materyal: Kare köşeleri noktalı kağıt, kalem, cetvel. Grup: 2-3kişi Noktalı kağıdın birim bölge olarak kabul edilmesi ve toplamaya konu olan kesirlerin örneğin bu bölge üzerinde gösterilmesi =? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 26 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ = = 2 Toplama üzerinde 2 'nin 8 6 'ya, 4 'ün 4 'ya denk olduğu incelenerek payda 6 eşitlemenin mantığının tartışılması Kesirlerde Çarpma ve Bölme Öğrenciler rasyonel sayıları çarpmayı öğrenmeden önce doğal sayıları çarpmayı öğrendiklerinden "iki sayının çarpımı sayıların herbirinden daha büyüktür" düşüncesini benimserler. Bu durum tamsayılı iki kesrin çarpımında da geçerlidir. Oysaki "" den küçük iki sayının çarpımı (yarım x yarım = çeyrek) çarpanların herbirinden küçüktür. Kesirlerde çarpmanın kavratılmasında çoğunlukla "diktörtgenin alanının hesaplanması "model olarak seçilir ve kullanılır. Bu konunun açıklanması "bir tamsayı ile bir kesrin çarpımı" ve "bir kesirle diğer bir kesrin çarpımı" gibi iki başlık altında ele alınabilir ancak aşağıda sadece iki kesrin birbiriyle çarpımına ilişkin bir açıklama verilmektedir. Bu bilgi bir tamsayı ve bir kesrin çarpımı için de kolayca uyarlanabilir. 5 6 x 2 3 =? örneği üzirende iki kesrin çarpımı şöyle açıklanabilir. Şekil 7.6'da 3 x 2 = 6 işlemi görülüyor. Çarpım, kenarları 3 ve 2 birim olan dikdötgenin alanıdır. 5 kesirlerinin herbiri 'den küçük olduğu için bunların çarpımı 6 ve 2 3 aynı şekil üzerinde birimlik bölgenin bir kısmına eşlenmektedir. 5 sayılarının belirlediği bölgede (koyulaştırılmış kısım) 0 dikdörtgen var. 6 ile 2 3 Birim karenin 0 'dur. O halde; x 2 3 = 0 8 eder. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ Şekil 7. 6: İki Basit Kesrin Çarpımı 3 bütün 4 Şimdi sadece birim kareyi kullanarak 7 ile 3 5 'i çarpalım, 35 diktörtgenden 2 tanesi koyulaştırılmıştır. O halde, 4 7 x 3 5 = 2 35 eder. bütün Şekil 7. 7: İki Basit Kesrin Çarpımı Bu çalışmalar öğrencilerin "iki basit kesir çarpılırken paylar birbiriyle, paydalar biriyle çarpılır" düşüncesine ulaşması için yeterlidir. Burada 4 çarpımı ile, bir bütünün bulunmaktayız. 7 ile 3 5 'in 3 5 ünün 4 7 ünü Bu düşüncenin öğrenciler tarafından kavranması ile kesirlerde çarpma öğrenilmiş olur. Şekil 7.6 ve 7.7'de verilen yaklaşım iki tamsayılı kesirin çarpımı, bir tamsayı ile bir kesrin çarpımı içinde kullanılabilir. Kesirlerde bölme öğretiminin hemen herkesin kolayca hatırladığı bir kuralı vardır ve bu kural "Birinci kesir aynen alınır, ikincisi ters çevrilir, birincisiyle çarpılır" şek- AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 28 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ lindedir. Böyle bir kurala öğretimin başında yer vermek ezbere öğrenmeye yol açacağından kesirlerde bölme öğretimi aşağıdaki gibi yapılmalıdır. İşlem öğretiminde o işlemin gerektirdiği uygun, basit bir problemden yola çıkmak öğrenmeyi kolaylaştırır. Bu bakımdan iki kesrin birbirine bölümüne " 2 metre kumaş metrelik parçalara ayrılmak isteniyor. Kaç tane metrelik parça elde 4 4 edilir?" gibi bir problemle başlamak uygun olur. Çünkü bu problem 2 sayısının sayısına bölümünü gerektirir. 4 Burada cevabın 2 olduğu aşağıdaki şekilden kolayca görülmektedir. Bölme işlemi, metre kumaş, 2 metre şeklinde düşünülmekte, sonra " 2 4 'ler kaç tane" sorusuna cevap aranmaktadır. Yani 2 4 içinde 4 2 : 4 = 2 4 : 4 = 2 : 4 : 4 = 2 = 2 işlemleri ardısıra yapılmaktadır. Bu etkinlik iki kesir bölünürken" paydalar eşitle nir, paylar birbirine, paydalar birbirine bölünür", şeklinde özetlenebilir. Bu yaklaşım kesrin bütüne, bütünün kesre bölümüne de (bütüne payda verilmek suretiyle) uygulanabilir. Kesirlerde bölme ile ilgili "birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir birinci ile çarpılır" kuralı bu açıklamanın sonucu ile örtüşen daha kestirme bir yol olarak sunulabilir. 4 m. 4 m. 2 m 4.4. Ondalık Kesir Kavramı ve Ondalık Kesirlerde İşlemler "Ondalık kesirler" yerine ondalık sayılar deyimini kullanmak alışılagelmiştir. On dalık sayı diye bir sayı yoktur. Rasyonel sayıların ondalık gösterimi vardır. Örneğin kesri veya 5 0,5 şeklinde yazılabilir. Son iki yazılışa ondalık kesir, bazen dil 2 0 alışkanlığıyla ondalık sayı denir. Öğretimde bu noktanın açıklığa kavuşturulması gerekir. Bunun için düzenlenecek etkinlik her rasyonel sayısının bir ondalık gösteriminin olduğunu ortaya koymalıdır. Aşağıda böyle bir etkinlik sunulmaktadır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ 29 Etkinlik: Rasyonel Sayıların Ondalık Yazılışı Materyal: Denk kesirleri gösteren listeler. Grup: 2 kişi Aşağdaki kesir kümesinde yuvarlak içine alınanların ortak özelliklerinin belirlenmesi. 2 = 2 4 = 5 0 = 6 2 = = 5 02 = = Aşağıdaki kesir kümelerinde aynı özelliği taşıyan kesirlerin yuvarlak içine alınması. 5 = 2 0 = 3 5 = 5 25 = = = = = 2 8 = 3 2 = 0 40 = = = = Kesirlerin virgülle yazılmasının, a/b şeklinde yazılmasından farklı olarak ne tür faydalar sağladığının gruplarca tartışılması. Rasyonel sayıların ondalık gösterimleri basamak kavramı temeline dayanmakta, ondalık gösterimler işlem yapmadaki tüm teknikleri kullanma ve işlem kolaylıklarından yararlanma imkanı sağlamaktadır. Örneğin kesirlerini hesap 4 ve 2 5 makinasında çarpma imkanı yoktur. Fakat 0,25 ile 0,4 sayılarını çarpma imkanı var dır. İlköğretim ve yetişkin hayatı için önemi buradan ileri gelmektedir. İşlem teknikleri doğal sayılardaki işlemlerle tamamen aynı olduğu için burada tartışılmayacaktır. Bununla ilgili detaylı bilgi ek okuma kaynaklarında mevcuttur. Kesirlerin ondalık gösterimlerini yazmak için yukarıda izlenen, denk kesirleri ya zıp içinden ondalık olanları seçme yönteminin yanısıra daha kestirme bir yol vardı ve bu yol "kesrin payını paydasına bölmek"tir. 5 yazılımıda bunun bir 0 = 0,5 sonucudur. Kesirlerin bu yazılışını ilk veren ünlü matematikçi Napier (550-67) dir. Bu yaklaşım bir kesrin ondalık karşılığını bulmak için, onu paydası 0 veya 0'nun bir kuvveti şeklinde ifade etme zahmetinden kurtarmaktadır. Kesrin payı ve paydası ne olursa olsun ondalık yazılışını bulmak için payını paydasına bölmek yeterli olmaktadır. Aşağıdaki etkinlik kesirlerin ondalık açılımları ile ilgili olup yedinci sınıf programında yer alan bir çalışmayla ilgilidir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 30 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ Etkinlik: Sonlu ve Sonsuz (Devirsiz ve Devirli) Ondalık Açılımlar Materyal: Hesap makinası Grup: 2-3kişi kesirlerinin ondalık açılımlarının yazılması. 2, 4, 5, 8 sayılarının ondalık açılımlarının yazılması. 3, 6, 7, 9 Bu iki grup ondalık açılımdan birinci gruptakilerin, 0.5, 0.25 örneklerinde olduğu gibi sonlu olduğu, ikinci gruptakilerin 0.3, şeklinde belli bir grup sayısının sürekli tekrar ettiğinin ortaya çıkması (sayı veya sayı grubu üzerindeki çizgi o sayının veya sayı grubunun tekrar ettiğini gösteriyor). kesirlerinden hangilerinin sonlu (devirsiz), hangilerinin sonsuz (devirli) ondalık açılıma sahip olduklarının bölme işlemi yapılmadan 2, 6, 7 açıklanması, sonra bölme yapılarak kontrol edilmesi. Paydanın asal çarpanları incelenerek devirli ve devirsiz açılımların nasıl teşekkül ettiğinin araştırılması. Paydanın asal çarpanlarının 2 ve 5 olması halinde ondalık açılımın sonlu, olmaması halinde devirli ve sonsuz olduğunun sınıfça kararlaştırılması.? Sonsuz ondalık açılıma sahip her sayının rasyonel sayı olduğu söylenebilir mi? 2, örneğindeki gibi düzensiz ondalık açılıma sahip olan sayılara ne ad verilir? Etkinlik: Tekrarlayan Ondalık Açılımlar Materyal: Hesap makinası. Grup: 2-3 kişi Paydası 7 olan /7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 kesirlerinin ondalık açılımlarının yazılması ve birbirleriyle ilişkilerinin araştırılması. Bu açılımların içinde payların yer aldığı aşağıdaki çarkta, payın bulunduğu rakamın doğrultusundan, sıfır tam diye başlayıp saat yönünde okuyunca elde edildiğinin farkedilmesi. 5/7 = 0,74285 gibi ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ 3 Şimdi paydası olan ve değeri 'den küçük olan kesirlerin ondalık açılımlarını veren bir çarkın hazırlanması. Aynı çalışmanın paydanın 3,7 gibi asal sayılar olması halinde elde edilmesi. Özet İlkçağlardan beri insanlar ihtiyaçlarını daha iyi karşılamak için karşılaştırma adını verdiğimiz eylemlerde bulunurlar. Karşılaştırma, miktarı ya da özelliği anlamak için yapılmakta olan eylemlerdir. Bu eylemlerden miktarı anlamaya yönelik olanlar sayı kavramını doğurmuştur. En temel sayı kümesi Doğal Sayılardır. Doğal sayılar doğadaki nesne kümelerinin bir ortak özelliği olarak belirmiş olup, sıfırdan başlar ve sonsuza gider. Sayı, kümelerle ilgili bir sıfattır. Sayı sisteminin temeli gruplamaya dayanır. Gruplamada esas alınan sayıya, sistemin tabanı denir. Taban ve basamak kavramlarını kazandırmanın en etkin yolu, öğrencileri, çok sayıda nesneyi saymakla yüzyüze bırakmak ve gruplama ihtiyacını ortaya koymaktır. Tamsayılar doğal sıfırı olmayan çoklukları göstermede kullanılan sayılardır. Seçilen bir keyfi sıfır noktasının sağında yer alan doğal sayılara, bu sıfırın solunda yer alan ve negatif işaretli doğal sayıların katılmaı ile elde edilmiş bir kümedir. Her iki yönden sonsuza giderler. En çok kullanıldıkları yer, zaman ve sıcaklık düzeylerini anlatmadır. Tamsayılarla yapılan işlemleri anlatırken de somut örnek olarak sıcaklıktan yararlanılabilir. Rasyonel sayılar, tamsayıları da içeren daha geniş bir kümedir. Rasyonel sayıların pozitf olanlarına ve bunlarla işlemlere uygun fiziksel çevreden modeller bulmak oldukça kolaydır. Öğretimde bu kolaylıktan yararlanmak temel ilke olmalıdır. Bir kesir bir bütün ile bütünün parçaları arasındaki ilişkiyi gösterir. Her rasyonel sayı sonsuz kesirle ifade edilebilir. Doğal sayılar bütünleri saymaya, kesirler bütünün eşit parçalarını saymaya yararlar. Kesirlerde işlemlerin öğretiminde öğrenciler çokça kuralla karşı karşıya kalmaktadır. Bu kurraların her birinin uygun etkinlikler düzenlenmesi halinde öğrenciler tarafından elde edilmesi mümkündür. Ondalık kesirler rasyonel sayıların bir başka yazım biçimidir ve her rasyonel sayısının ondalık kesirle gösterimi mevcuttur. Kesirlerin ondalık yazılımları bazen sonlu (devirsiz), bazen devirli ve sonsuzdur. Yani bir grup sayının periyodik olarak sonsuza kadar devretmesiyle oluşur. Rasyonel sayıların ondalık gösterimleri kesirlerle işlem yapmayı kolaylaştırır. Basamak kavramının sağladığı tüm işlem teknikleri ve kolaylıkları kesirlere de uyarlanmış olur. Günlük hayatta rasyonel sayıların daha çok ondalık gösterimleri kullanılır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 32 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ Değerlendirme Soruları Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.. Sayı sistemi kurmanın temel ilkesi hangisidir? A. Ardaşık kavramı B. Gruplama kavramı C. Nesneleri 0'ar 0'ar gruplama D. Tek ve çift kavramı E. Çokluk kavramı 2. Kaç çeşit sayı sistemi kurulabilir? A. B. 4 C. 0 D. 2 E. Sonsuz 3. Bir santranç tahtasının bütün karelerinin, birinci karesine, ikinci karesine 2 ve sırayla 4, 8, 6 şeklinde yazmakla doldurulmasını konu olan bir oyun tasarlayalım. Bu oyundan, aşağıdaki kavramlardan hangisini kazandırmada yararlanılabilir? A. İkilik sistem B. Onluk sistem C. Bölük kavramı D. Doğal sayıların sonsuzluğu E. Aritmetik dizi 4. Yukarıdaki grafik 5 yabancı paranın (dövizin) bir gün önceki durumuna göre alçalma ve yükselmelerini gösteriyor. Bu grafik, matematik öğretiminde aşağıda verilen amaçlardan hangisine ulaşmak için bir materyal olarak kullanılabilir? A. Tamsayıları kavrayabilme B. Rasyonel sayıları kavrayabilme C. Doğal sayıları kavrayabilme D. Toplama işlemini kavrayabilme E. Çıkarma işlemini kavrayabilme ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

23 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ Tamsayıların kavratılmasında sıcaklıkla ilgili problemlerin seçilmesi, sıcaklık değişkeninin hangi özelliğine bağlanabilir? A. Sıcalığı ölçen termometrelerin farklı türlerinin olmasına, B. Sıcaklığın insan hayatı için önemine C. Sıcaklığın bir doğal başlangıcının olmamasına D. Televizyonda hava raporlarının her gün verilmesine E. Yukarıdakilerin hepsine 6. İki rasyonel (kesir) sayı arasında sonsuz rasyonel sayı olduğunu göstermek için aşağıdaki kavramlardan hangisinin daha önce öğretilmesi gerekir. A. Kesirlerde toplama B. Kesirlerde çıkarma C. Kesirlerde denklik D. Kesirlerin ondalık gösterimi E. Kesirlerin çeşitleri 7. Kesirlerde payda eşitlemeyle ilgili aşağıdaki maddelerden kaç tanesi doğrudur. Payda eşitleme, toplama ve çıkarma işlemlerinde birim kesirleri aynı yapmak için yapılır. Payda eşitleme, çıkarmada hangi terimin büyük olduğuna karar vermek için yapılır. Kesirlerde payda eşitlemek bir zorunluluk değildir, istenirse öyle de kalabilir. Kesirlerde payda eşitleme ondalık karşılıklarını yazmak için yapılır. A. 0 B. C. 2 D. 3 E Onluk sistemde basamakları soldan sağa doğru yazmayla ilgili aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? Bu bir alışı (teamül) bilgisidir. Sağdan sola doğru da yazılabilirdi. Bu bir genellemedir. Başka bir yazım şekli düşünülemez. Yazı soldan sağa doğru yazıldığı için sayılar da soldan sağa doğru yazılmalıdır. Soldan sağa doğru yazılmasaydı, basamak tutucu olarak adlandırılan 0 (sıfır) sayısını kullanmak mümkün olmazdı. A. 0 B. C. 2 D. 3 E. 4 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

24 34 SAYI KAVRAMI VE ÖĞ RETİ M İ 9. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? Her rasyonel sayının ondalık gösterimi vardır. Ondalık sayılar, rasyonel sayılar içinde bir küme (öz alt küme) dir. Ondalık yazılım basamak kavramı esasına dayanır. a biçimindeki kesirlere göre ondalık kesirler işlem yapmaya daha el b verişlidir. A. 0 B. C. 2 D. 3 E Tamsayılarda çarpma işlemini kavratmak için kullanılabilecek bir etkinlikte, aşağıdaki kağıtlar ve eylemler sırasıyla hangi işaretlere denk tutulmalıdır? Alacak çeki kağıdı, Borç çeki kağıdı, Postacının götürmesinin eylemi, Postacının getirmesi eylemi A B C D E Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar Altun, Murat., Matematik Öğretinmi, Bursa, 998. Baykul, Yaşar, Matematik Öğretimi, Ankara, 995. Busbridge, John ve D. Ali Özcelik., İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara, 997. MEB, İlköğretim Matematik Dersi Programı, İstanbul, 99. Değerlendirme Sorularının Yanıtları. B 2. E 3. C 4. A 5. C 6. C 7. B 8. B 9. D 0.A ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ