PORTFÖY SEÇİMİNDE MARKOWITZ MODELİ İÇİN YENİ BİR GENETİK ALGORİTMA YAKLAŞIMI

Transkript

1 Yönetm, Yıl: 18, Sayı: 56, Şubat 2007 PORTFÖY SEÇİMİDE MARKOWITZ MODELİ İÇİ YEİ BİR GEETİK ALGORİTMA YAKLAŞIMI Arş. Grv. Tmur KESKİTÜRK İstanbul Ünverstes - İşletme Fakültes Sayısal Yöntemler Anablm Dalı Modern fnansın en öneml araştırma alanlarından br olarak kabul edlen portföy seçm, belrl beklent ve kısıtlar altında, menkul kıymetler havuzundan en uygun olan kümenn oluşturulması kararıdır. Verlern çokluğu ve karmaşıklığı, karar vercnn kısıtları gb nedenlerle çözümü zor br problemdr. Geleneksel ve modern portföy yönetm modeller, farklı kısıtlar ve çözüm teknkler kullanılarak çözülmeye çalışılmıştır. Modern portföy yönetmnn kurucusu sayılan Markowtz n k adıyla anılan yöntem, portföy seçmne yen br boyut kazandırmıştır. Rsk, getr gb sayısal anlam kazanmış ve ölçüleblr olmuştur. Markowtz ortalama-varyans metodu olarak da tanımlanablecek model hakkında br çok çalışma yapılmıştır.modele eklentler yapılmış ve çözüm sürec farklı algortmalarla yleştrlmeye çalışılmıştır. Bu makalede, portföy seçmnde Markowtz model çn yen br genetk algortma yaklaşımı denenmş ve sonuçlar tartışılmıştır. Ayrıca modeln gelştrldğ Matlab 7.0 programındak kodlara da yer verlmştr. Anahtar Sözcükler: Portföy seçm, Markowtz, Genetk Algortma. A EW GEETIC ALGORITHM APPROCH FOR MARKOWITZ MODEL OF PORTFOLIO SELECTIO Portfolo selecton assumed as one of the most mportant research areas n modern fnance, s the decson of formng the optmum portfolo from a lst of securtes under certan expectatons and constrants. Soluton of ths knd of problem s dffcult on account of large number of complex data and constrants of decson makng. Conventonal and modern portfolo management models were tred to be solved wth varous soluton technques and under dfferent constrants. The method mentoned wth the name of Markowtz who s the founder of modern portfolo management, provded a new dmenson to portfolo selecton. Rsk, lke return, ganed a quanttatve meanng and became measurable. Several studes were made on the model whch can also be defned as Markowtz mean-varance method. Addtons are made to the model and the soluton process s tred to be mproved by dfferent algorthms. In ths artcle, a new genetc algorthm approach for Markowtz model of portfolo selecton s attempted and the solutons are dscussed. Furthermore, the codes of Matlab 7.0 programme where the model s evolved are also mentoned. Key Words: Portfolo selecton, Markowtz, Genetc Algorthm. 78

2 GİRİŞ Portföy yönetm, yatırımcıların elndek fonların mevcut menkul kıymetler arasında mnmum rsk ve maksmum karlılığı sağlayacak şeklde dağıtılmasıdır. Portföy yönetm, yatırımcının sahp olduğu toplam menkul kıymetlern seçm ve her brnden ne mktarda portföye dahl edleceğ konusundak belrl yöntem ve teknkler kapsamaktadır. Portföy yönetmnn amacı, yatırımcıların htyaçlarına göre portföye çeştl menkul kıymetler almak ve yatırım amaçlarına uygun olarak portföyü yönetmektr (Ceylan ve Korkmaz, 2004, s.423). Portföy seçm modeller çersnde Markowtz ortalama-varyans model, blnen en y fnansal modellerdr. Temel yapı, beklenen getr sevyesnde, en düşük rskl portföy kompozsyonunun oluşturulmasıdır (Markowtz, 1952). Amaç belrl br getr sevyesnde en düşük rskl portföyü oluşturmak olableceğ gb, belrl br rsk sevyesnde en yüksek getry veren portföyü oluşturmak da olablr. Markowtz, rsk getrnn varyansı olarak tanımlamış böylece onun matematksel br olgu olarak ele alınmasına olanak sağlamıştır. Ayrıca geleneksel portföy yönetmndek menkul kıymet sayısının arttırılmasıyla rskn azaltılableceğ teors de Markowtz n ortalama-varyans modelyle brlkte değşmştr. Markowtz n teorsne göre, menkul değer sayısının arttırılmasıyla brlkte, portföy çersndek menkul kıymetler arasındak korelasyonun yön ve dereces de rskn düşürülmesnde etkldr. Yatırımcıların katlanableceğ rsk sevyeler farklı olacağından Markowtz her getr oranı çn : Menkul kıymet sayısı, j : menkul kıymetnn beklenen getrs (=1,, ), : ve j menkul kıymetler arasındak kovaryans (=1,, ; j=1,, ), R * : Portföyün beklenen getrs, w : menkul kıymetnn portföy çndek oranı (=1,, ) olmak üzere; mnmum rsk düzeylern veren br küme oluşturmuştur. Belrl br getr düzey çn, bu etkn küme çnde bulunan br portföy aynı getrye sahp dğer bütün portföylerden daha az rskl olacaktır. Bazen bu etkn portföylern geometrk yernn oluşturduğu etkn kümeye mümkün portföyler kümesnn sınırında olmasından dolayı etkn sınır da denlmektedr (Özdemr, 1983, s.167). Markowtz model, gelştrldğnden bu yana br çok çalışmaya konu olmuş, yapılan brtakım eklentlerle etknlğ arttırılmaya çalışılmıştır. Çalışmanın knc bölümünde kısıtlanmamış ve kısıtlanmış Markowtz ortalama-varyans modeller anlatılacaktır. Modellern matematksel modellern gösterm ve lteratürde bu modellere yönelk gelştrlmş olan çözüm önerlerne de değnlecektr. Üçüncü bölümde lk olarak genetk algortma (GA) nın çalışma prensplernden ve şleyş sürecnden, sonra Markowtz ortalama-varyans modelnn çözümünde genetk algortmanın kullanımından bahsedlecektr. Son bölümde, gelştrlen GA modelnn etknlğn araştırmaya yönelk uygulamalara yer verlecektr. 1.MARKOWITZ ORTALAMA-VARYAS MO- DELİ 1.1 Kısıtlanmamış Modeller Modeldek k temel faktör rsk (varyans) ve getrdr. Markowtz n temel ortalama-varyans modelnde belrl br getr sevyesnde portföy rsk mnmze edlmeye çalışılmaktadır. Farklı getr beklentlerne yönelk olarak, rsk sevyes de değşmektedr. Amaç bunun mnmum düzeyde tutulmasıdır. Buna göre kısıtsız optmzasyon problem Mnmum ww 1j 1 j j (1) kısıtlar; * w 1 R w w 1, 1,..., (2) (3) (4) 79

3 Beklenen Getr Denklem (1) de mnmze edlmek stenen portföyün toplam varyansı (rsk), Denklem (2) de portföyün beklenen getrs ve Denklem (3) te menkul kıymetlern oranları toplamı (1) hesaplanmaktadır. Menkul kıymetler arasındak kovaryans değerler ( j ), ve j menkul kıymetler arasındak korelasyon değerler p j (-1 p j +1) ve menkul kıymetlern standart sapmaları s, s j yardımıyla hesaplanmaktadır: j p j s s j. Denklem (2) dek portföyün beklenen getr değerler ve bu değerlere karşılık bulunan mnmum varyanslı noktalar le etkn sınır çzleblr (Şekl 1). Şekl 1 Etkn sınır örneğ Mnm. kısıtlar; w w 1 w 1 j 1 j j 1 (5) w w 1, 1,..., Denklem (5) te ağırlıkları nspetnde rsk-getr farkının mnmze edlmes, Denklem (6) da menkul kıymetlern oranları toplamı (1) yer almaktadır. λ = 0 se rsk unsuru hç dkkate alınmadan getrnn maksmum kılınması amaçlanmaktadır. Bu durumda portföy en yüksek getrye sahp menkul kıymetten oluşacaktır. λ = 1 olması durumunda se durum tam tersne dönmekte, sadece rskn mnmum kılınması amaçlanmakta, getr dkkate alınmamaktadır. 0<λ<1 durumlarında se rsk ve getr ağırlıkları nspetnde dkkate alınarak rsk getr farkı mnmze edlmektedr (Chang ve dğerler, 2000, s.1274). (6) (7) 1.2 Kısıtlanmış Modeller Kısıtlanmış modellerde, portföye grecek menkul değer sayısı karar verc tarafından belrleneblr ve portföy çersndek menkul kıymetlern ağırlıkları belrl sınırlar çersnde tutulablr. Bu kısıtlar modele dahl edlerek kısıtlanmış model oluşturulur. Rsk Kısıtlanmamış modellern kncs, amaç fonksyonunda hem rskn hem de getrnn, toplamı 1 olan katsayılarla çarpılmasıyla oluşturulmaktadır. Modeldek k temel faktör rsk (varyans) ve getrdr. Yatırımcının, rsk seven (aggressve) veya rskten kaçan (conservatve) olmasına göre bu k temel faktörün model çersndek önem dereceler değşmekte, buna bağlı olarak oluşan portföyler de farklı kombnasyonlardan oluşmaktadır. Bu k faktörün amaç fonksyonunda bulunma ağırlıkları λ (-1 λ +1) değer le belrlenmektedr. Uygun λ değernn belrlenmes konusunda Özdemr ve Gresunlu nun çalışmasına bakılablr (2004). Buna göre kısıtsız optmzasyon problem, K : Portföy çersnde bulunması stenen menkul kıymet sayısı, : menkul kıymetnn portföy çersndek mnmum oranı (=1,, ), portföye dahlse, : menkul kıymetnn portföy çersndek maksmum oranı (=1,, ), portföye dahlse, Mnmum ve maksmum oran kısıtları, 0 1 (=1,, ) şeklnde değşeblmektedr. z 0-1 karar değşkenler se lgl menkul kıymetn portföye grp grmeyeceğn belrlemektedrler. menkul kıymet portföye dahl se z nn değer 1, aks durumda 0 olmaktadır. Buna göre model 80

4 mnmum kısıtlar; ww 1j1 j j (8) * w 1 R w 1 1 z K 1 z w z, 1,..., z 0,1 1,..., (9) (10) (11) (12) (13) Denklem (8) de mnmze edlmek stenen portföyün toplam varyansı (rsk), Denklem (9) da portföyün beklenen getrs, Denklem (10) da menkul kıymetlern oranları toplamı (1), Denklem (11) de portföye dahl olan toplam menkul kıymet sayısı (K), Denklem (12) de menkul kıymetlern portföy çersndek mnmum ve maksmum ağırlık kısıtları yer almaktadır. Kısıtlanmış modelde, karar vercnn terchlerne göre değşklkler yapmak mümkündür. Portföyü oluşturan menkul değer sayısı (K) belrl br aralık olarak belrleneblr. Bu durumda z değer, =1 l =1 z u aralığında yer alacaktır. Bunun dışında modele dahl edleblecek br çok kısıttan farklı çalışmalarda bahsedlmştr. Bunlara örnek olarak, belrl sektörlerden belrl sayıda hsse sened alınması şeklnde tanımlanablecek sektör kısıtı, portföyün çersnde mutlaka bulunmasını stedğmz hsse senetlern tanımlayan portföy çndek menkul değerler kısıtları verleblr (Chang ve dğerler, 2000). Markowtz tarafından gelştrldğ 1950 l yıllardan bu yana, yapılan br çok çalışmada modele farklı eklentler yapılarak etknlğ arttırılmaya çalışılmıştır. Markowtz modelnn çözümünde doğrusal ve doğrusal olmayan programlama, kuadratk programlama gb matematksel modeller kullanılmıştır. Ayrıca Chang ve dğerler (2000) le Xa ve dğerler (2000) GA, Crama ve Schyns (2003) le Chang ve dğerler (2000) benzetlmş tavlama, Fernandez ve Gome (Baskıda) yapay snr ağları gb sezgsel modeller kullanılmıştır. Bu çalışmada, Markowtz ortalama-varyans modelnn çözümünde gelştrlen GA modelnn yapısı ve modele yönelk gelştrlen mutasyon operatörü ayrıntılarıyla anlatılmıştır. 2. GEETİK ALGORİTMA Genetk algortma, 1960 lı ve 1970 l yıllarda Mchgan Ünverstesnde Holland ve çalışma arkadaşları tarafından gelştrlen sezgsel araştırma ve optmzasyon teknğdr (Reeves, 1995). Ancak teorye asıl lg Holland' ın öğrencs olarak doktorasını veren Davd E.Goldberg adlı nşaat mühsnn 1989 da çıkardığı ktapla brlkte başlamıştır (1989). Günümüze kadar GA konusunda çok farklı alanlarda brçok çalışma yapılmıştır. GA sadece amaç fonksyonuna htyaç duyan br optmzasyon teknğdr. Amaç fonksyonuna at değşkenlern oluşturduğu çözüm setler terasyonlar boyunca genetk operatörler yardımıyla değştrlmekte ve bu şeklde optmum çözüm aranmaktadır. Çözüm uzayından tesadüf olarak seçlen noktalar üzernden operatörler yardımıyla daha y noktalara ulaşmak amaçtır. Çözüm uzayı çok büyük problemlerde, y sonuç vermeyecek alanlarda gereksz arama yapılmaması hızlı br şeklde optmum çözüme yaklaşmayı sağlamaktadır. Bahsedlen sürecn adımları Şekl 3 te görülmektedr. GA modelmzde lk olarak Markowtz n Denklem (5) tek amaç fonksyonu kullanılmıştır. Şekl 2: GA nın adımları (Keskntürk ve Akçay, 2005, s.1137) Başlangıç populasyonunun oluşturulması Uygunluk değerlernn hesaplanması Seçm Çaprazlama Mutasyon Durma koşulu sağlandı mı? Sonuç Evet Hayır 81

5 2.1 Kodlama Değşkenler kromozom adı verlen yapıda genlerle temsl edlmektedr. Kodlama denen bu şlemde genellkle kl sayı sstem (0 1) terch edlmekle beraber problemn yapısına özgün olarak farklı kodlama bçmler de kullanılmaktadır. Modelmzde, oluşturulacak kromozomun her br gen br menkul kıymet temsl edecektr. Bu temsl hem menkul değern portföy çersnde yer alıp almadığını hem de eğer portföye dahl olacaksa ağırlığının ne olacağını kapsamaktadır. Böylelkle kl kodlama ve gerçek değerlerle kodlama yerne ksn brden temsl eden br kodlama kullanılmış, gen sayısı da yarı yarıya azaltılarak süreç hızlandırılmıştır. Şekl 3 tek örnek kromozom 16 menkul kıymetten oluşan br yatırım havuzundan nasıl br portföy oluşturulduğunu göstermektedr. 1, 4, 6, 9 ve 12. menkul değerler portföye dahl edlmş ve bunların ağırlıkları lgl gek oran kadar olmuştur. Bu oranların toplamı 1 dr. Bu tp br kromozom yapısı klask GA operatörlernde de bazı değşklklern yapılmasını gerekl kılacaktır. 2.2 Uygunluk Fonksyonu Her br kromozom br çözüm alternatfn oluşturmaktadır ve her br kromozomun problemn amaç fonksyonuyla hesaplanan br uygunluk değer vardır. Modelmz, maksmzasyona yönelk gelştrldğnden uygunluk değer portföyün gelr-rsk farkı şeklnde tanımlanacaktır. x (=1,, ) kromozomdak değşken (menkul değer) olmak üzere uygunluk fonksyonu aşağıdak gbdr: 1 x x x 1 1 j1 j j (14) Portföye dahl edlmeyen. menkul değere at genn (x ) değer 0 olacağından uygunluk fonksyonunu etklemeyecektr. Ağırlıklar, GA tarafından 1 le 50 arasında belrlenen rasgele değerlern, değerler toplamına bölünmesyle belrleneceğnden oranlar toplamı her zaman 1 olacaktır. Bu da kısıtın baştan sağlanmasını sağlayacak, ceza fonksyonu kullanılması gerekllğn ortadan kaldıracaktır. Uygunluk fonksyonunun algortma çersnde hesaplanışına at Matlab kodu Şekl 4 te verlmştr. Şekl 3: Br Portföyü temsl eden örnek GA kromozomu Kromozom: 0, ,03 0 0, , ,51 0 Şekl 4: Uygunluk fonksyonu functon ftnessportfoy(populaton,cov,getr,w); %w:rskn ağırlığı [satr,sutun]=sze(populaton); for =1:satr ksm=populaton(,:)/sum(populaton(,:)); ksm=nonzeros(ksm); %ksm:katsayılar matrs (ağırlıklar). shh=fnd(populaton(,:)); %seçlen hsse senetler. k=sze(shh,1); %k:seçlen hsse sened sayısı. rsk=0; get=0; for j=1:k-1 for t=j:k rsk=rsk+ksm(j)*ksm(t)*cov(shh(j),shh(t)); get=get+ksm(j)*getr(shh(j)); %portföy rsk ve getrsnn hesaplanması ftnessportfoy()= (1-w)*get-w*rsk; %belrlenen ağırlıklara göre uygunluk değer 82

6 2.3 Başlangıç Populasyonu Tek br noktadan çözüme ulaşmak yerne br çok çözüm alternatfyle (populasyon) terasyonlar boyunca arama yapılmaktadır. Çözüm uzayında, belrlenen populasyon büyüklüğü adednce tesadüf noktadan arama başlatılır. Populasyon büyüklüğü problemn yapısına, zorluğuna ve algortmanın çalıştırılacağı blgsayarın performansına bağlı olarak belrleneblmekle brlkte genellkle arası kullanılmaktadır. Her br noktanın (kromozom) uygunluk değer hesaplandıktan sonra operatörler yardımıyla problem değşkenlernde belrl değşklkler yapılır. Bu değşklkler genetk operatörler (seçm, çaprazlama ve mutasyon) yardımıyla gerçekleştrlr. Böylelkle daha y çözüm değerlerne ulaşılır. Bu şlem tamamlanma krter sağlanana kadar devam eder. 2.4 Seçm Seçm operatörü, kromozomların uygunluklarına bağlı olarak br sonrak jenerasyonda yer alıp almayacaklarını belrleyen operatördür. Bu operatör yen topluluk çersnde, uygunluğu yüksek breylern bulunmasını sağlamaktadır (Goldberg, 1989: 11). Bu breyler yen jenerasyonda brden çok bulunableceğ (kopyalanableceğ) gb, uygunluğu daha düşük breyler se hç bulunmayablr. Farklı brçok seçm operatörü gelştrlmştr. Seçm yöntemlerne rulet tekerleğ seçm, turnuva seçm, genel stokastk örnekleme ve sıralı seçm örnek olarak verleblr(obtko, 1998). Çalışmamızda bu yöntemlerden rulet tekerleğ yöntem kullanılacaktır. Modelmzde kullanılan rulet tekerlğ seçm operatörünün Matlab kodu Şekl 5 te görülmektedr. 2.5 Çaprazlama Çaprazlama operatörü, terasyonlar boyunca çözümün yleşmesnde çok öneml br rol oynamaktadır. Çaprazlama, k ebeveyn kromozomun belrlenen kesmlernn karşılıklı değşmler sonucu ebeveynlernn özellklern taşıyan benzer yavru kromozomların oluşturulması şlemdr (Mchalewcz, Z., 1992: 17). Böylelkle yen oluşturulan kromozomlar meydana geldkler her k kromozomdan da belrl özellkler taşımaktadırlar. İterasyonlar boyunca bnlerce kez yapılan bu şlem sonucu oldukça y kromozomlar elde edleblmektedr. Çaprazlama sürec, aşağıda belrtlen bast dört adımla özetleneblr (Sarker, 2002, s.195): 1. Populasyon çnden tesadüf olarak k kromozom (ebeveynler) seçlr; 2. Çaprazlama olasılığı değerlrlr: Çaprazlama yapılsın mı? Evet ya da hayır, 3. Eğer cevap evet se yne tesadüf olarak çaprazlama noktası belrlenr, 4. Her br kromozom, çaprazlama noktasından keslr ve sağ taraflarının karşılıklı değştrlp yapıştırılmasıyla yavrular meydana getrlr. Şekl 5: Seçm operatörü functon secm(dz,uygunluk); [satr,sutun]=sze(dz); dz=[dz uygunluk']; dz=sortrows(dz,[sutun+1]); uygunluk=dz(:,sutun+1); wheel = cumsum(uygunluk) / sum(uygunluk); for = 1:satr r = rand; for j = 1:satr f(r < wheel(j)) secm(,:) = dz(j,1:sutun); break; Şekl 6: Tek nokta çaprazlama Ebeveyn 1: 0, ,03 0 0, , ,51 0 Ebeveyn 2: 0 0, ,24 0 0,22 0 Yavru 1: 0, ,03 0 0, ,24 0 0,22 0 Yavru 2: 0 0, , ,

7 Modelmzde çaprazlama yapılırken 2. ve 3. aşama uygulanmamaktadır (Şekl 6). Farklı olarak tesadüf olarak seçlen kromozomlardan populasyon sayısınca yen kromozomlar elde edlr. Daha sonra tüm esk ve yen kromozomlar uygunluklarına göre sıralanarak, populasyon sayısınca en y kromozom yen populasyon olarak belrlenr. Çaprazlama operatörü, kodlama bçmne göre farklılıklar göstermektedr. Tek nokta çaprazlama, k nokta çaprazlama, çok nokta çaprazlama, düzenl çaprazlama, karışım çaprazlama kl kodlama ve benzer yapıdak kodlama bçmlernde kullanılablecek çaprazlama çeştlerdr. Seçlen operatör tpnn GA performansı üzernde öneml etkler söz konusudur (earchou, 2003).Tek nokta çaprazlama operatörü uygulanırken, tesadüf olarak br çaprazlama noktası belrlenr. Bu noktaya kadar olan kısım brnc ebeveynden (kromozom) alınır kalan kısım knc ebeveynden alınır. Şekl 6 da modelmze uygun k kromozom le gerçekleştrlen tek nokta çaprazlama şlem görülmektedr. Mevcut çözüm üzernde en öneml değşklkler gerçekleştren operatör olan çaprazlamanın Matlab kodu Şekl 7 de görülmektedr. 2.6 Mutasyon GA operatörler çersnde çaprazlamadan sonra knc derece öneml rol oynamaktadır. Mutasyon operatörü, yapay genetk sstemlerde, br daha ulaşılması mümkün olmayan çözümlern kaybına karşı koruma sağlamaktadır (Goldberg, 1989: p.14). Düşük br olasılıkla herhang br gen üzernde yapılan tesadüf değşklklerdr. ormalde tek veya k noktada (gen) rakamın 1 se 0 a, 0 se 1 e dönüştürülmes şeklnde gerçekleştrlen operatör, modelmzde kromozomların yapısından dolayı farklı br şeklde kullanılmıştır. Modelmzde kullanılan mutasyon operatörü (Şekl 8) temel olarak k değşklğ amaçlamaktadır. Öncelkle çok düşük br olasılıkla (0.05) portföyden br hsse senednn çıkarılması. Bu şlemn yapılablmes çn seçlen genn 0 dan büyük br değere sahp olması gerekr. Çünkü 0 değerl br genn temsl ettğ hsse sened zaten portföye dahl değldr. Seçlen gen bu şartı sağlıyorsa değer 0 a dönüştürülür. Aks takdrde br şlem yapılmaz. Şekl 7: Çaprazlama operatörü functon caprazlamaportfoy(dz,cov,getr,w,ftnesspop); %ftnesspop:dzdek kromozomların uygunlukları parents=[dz ftnesspop']; %kromozomlar ve uygunlukları tek matrs [satr,sutun]=sze(dz); for =1:satr; anne=randnt(1,1,[1,satr]); baba=randnt(1,1,[1,satr]); whle(anne == baba) anne=randnt(1,1,[1,satr]); baba=randnt(1,1,[1,satr]); capnoktas=randnt(1,1,[2,sutun-1]); dz1(,1:capnoktas)=dz(anne,1:capnoktas); dz1(,capnoktas+1:sutun)=dz(baba,capnoktas+1:sutun); s=ftnessportfoy(dz1,cov,ss,getr,w); caprazlamaportfoy=[parents;dz1 s']; caprazlamaportfoy=sortrows(caprazlamaportfoy,[sutun+1]); %Yen ve esk kromozomlar uygunluklarına göre sıralanıyor caprazlamaportfoy=caprazlamaportfoy(satr+1:satr*2,1:sutun); %En y uygunluğa sahp populasyon sayısı adednce brey seçlyor. 84

8 Şekl 8: Mutasyon operatörü functon mutasyonportfoy (dz,olaslk); [satr,sutun]=sze(dz); for =1:satr; f rand<0.05 dz(,randnt(1,1,[1,sutun]))=0; f rand<olaslk; mutnoktas=randnt(1,1,[1,sutun]); mutnoktas1=randnt(1,1,[1,sutun]); whle(mutnoktas == mutnoktas1) mutnoktas=randnt(1,1,[1,sutun]); mutnoktas1=randnt(1,1,[1,sutun]); f dz(,mutnoktas)>0; f dz(,mutnoktas1)>0; f rand<=0.5 dz(,mutnoktas)= dz(,mutnoktas)-1; dz(,mutnoktas1)= dz(,mutnoktas1)+1; else dz(,mutnoktas)= dz(,mutnoktas)+1; dz(,mutnoktas1)= dz(,mutnoktas1)-1; else dz(,mutnoktas)= dz(,mutnoktas)-1; dz(,mutnoktas1)= dz(,mutnoktas1)+1; else f dz(,mutnoktas1)>0; dz(,mutnoktas)= dz(,mutnoktas)+1; dz(,mutnoktas1)= dz(,mutnoktas1)-1; mutasyonportfoy=dz; İknc değşklk se portföye dahl olan hsse senetlernn portföy çersnde oranlarının değştrlmes. Bu yapılırken seçlen k gen 1 değer alınır seçlen dğer gene aktarılır. Böylelkle dğer hsse senetlernn oranları korunurken bu k hsse senednn ağırlıklarında küçük br değşme gerçekleştrlmş olmaktadır (±1). 2.7 Algortmanın durdurulması ve sonuç Tamamlanma krter genellkle belrlenen terasyon sayısıdır (Bazı durumlarda hedeflenen br değern bulunması tamamlanma krter olarak belrtleblr). İterasyon sayısı adednce döngü çalıştırılır ve durdurulur. Son populasyon çersnde en y uygunluğa sahp kromozom çözüm set ve bu kromozoma at uygunluk değer se çözüm değer olarak alınır. 3. UYGULAMA İknc bölümde adımları ve kullanılan operatörler anlatılan Markowtz ortalama-varyans GA modelnn akış dyagramına at Matlab kodu Şekl 9 da verlmştr. 85

9 Şekl 9: Markowtz ortalama-varyans GA model functon gaportfoy(cov,getr,w,teraton,popsze,mut_rate); randpop=[randnt(popsze,sze(cov,2),[0,50])]; %Başlangıç populasyonunun belrlenmes bestval=-9999; for =1:teraton ftnesspop=ftnessportfoy(randpop,cov,getr,w); %Uygunlukların belrlenmes f max(ftnesspop)>bestval bestval=max(ftnesspop); %En y çözüm değernn belrlenmes bestloc=randpop(fnd(ftnesspop==bestval),:); %En y çözüm değern veren kromozom randpop=secm(randpop,ftnesspop); %Seçm operatörünün uygulanması randpop=caprazlamaportfoy(randpop,cov,getr,w,bestloc,ftnesspop); %Çaprazlama operatörünün uygulanması randpop=mutasyonportfoy(randpop,mut_rate); %Mutasyon operatörünün uygulanması randpop(randnt(1,1,[1,popsze]),:)=bestloc; %En y kromozom br sonrak populasyona aktarılır getr_rsk_uygunluk_ftness=[get rsk bestval] %Sonuç olarak getr ve rsk oranı le uygunluk değer yazılır. Br menkul değer havuzundak kıymetlere at getr ortalamaları (getr), kovaryans matrs (cov) ayrıca model parametreler olarak amaç fonksyonu rsk ve getr ağırlıkları (w), döngü sayısı (teraton), populasyon büyüklüğü (popsze) ve mutasyon oranı (mut_rate) programın grdlerdr. Getrler (%) ve standart sapmalar satır vektörü olarak grlmektedr. Gelştrlen model, Markowtz n yayınlamış olduğu ktaptan (1952) alınan problem üzernde denenmştr. 9 hsse senedne (HS) at 18 dönemlk getr oranları Tablo 2 de ve ortalama getr oranları, standart sapma, varyans değerler Tablo 3 te verlmştr. Modele at GA parametreler Tablo 1 de görülmektedr. Mutasyon oranı normalde kullanılandan çok daha büyüktür. Yapılan denemeler sonucu oranın arttırılmasıyla çözüm sürecnn hızlandığı görülmüştür. Bu nedenle yüksek mutasyon oranı kullanılmıştır. Tablo 1: GA Parametreler Populasyon büyüklüğü 5 0 İterasyon sayısı Çaprazlama oranı % 100 Mutasyon oranı % 86 Anlatılan modelde amaç, daha önce de belrtldğ gb (1- λ)*get- λ* rsk değernn maksmze etmektr. İlk olarak λ = 0, 0.2, 0.5, 0.8 ve 1 değerler çn algortma çalıştırılmış ve sonuçlar Tablo 4 te verlmştr. Daha sonra test problem çn etkn sınır üzernde belrlenen 10 farklı beklenen getr (R * ) değer çn model çalıştırılmış ve elde edlen portföyün toplam rsk değerler ( w 1 ) optmum değerlerle karşılaştırılmış ve yüzde sapmalar Tablo 5 te verlmştr. Model, karşılaştırmanın yapılablmes çn değştrlmş, amaç fonksyonu Denklem 8 dek gb ww 1 1 j j j oluşturulmuştur. R * değerler kısıt sabt olarak kabul edlmştr (Denklem 9). Ayrıca R * değernn sağlanmasına yönelk olarak amaç fonksyonunun çersne belrl br ceza katsayısına sahp sapmanın mutlak değer eklenmştr. Böylelkle stenen getr düzey korunmuş olmaktadır. Tüm verler elde edldkten sonra GA, her br problem çn 1000 terasyon çalıştırılmıştır. Tablo 4 te farklı λ değerler çn elde edlmş olan portföyler ve bu portföylere at getr ve rsk oranları görülmektedr. 50

10 Dönem Tablo 2: Markowtz: Dokuz hsse senedne at getr değerler Am.T A.T.&T. U.S.S. G.M. A.T.&S. C.C Bdn. Frstn. S.S. 1-0,305-0,173-0,318-0,477-0,457-0,065-0,319-0,4-0, ,513 0,098 0,285 0,714 0,107 0,238 0,076 0,336 0, ,055 0,2-0,047 0,165-0,424-0,078 0,381-0,093-0, ,126 0,03 0,104-0,043-0,189-0,077-0,051-0,09-0, ,28-0,183-0,171-0,277 0,637-0,187-0,087-0,194-0,24 6-0,003 0,067-0,039 0,476 0,865 0,156 0,262 1,113 0, ,428 0,3 0,149 0,225 0,313 0,351 0,341 0,58 0, ,192 0,103 0,26 0,29 0,637 0,233 0,227 0,473 0, ,446 0,216 0,419 0,216 0,373 0,349 0,352 0,229 0, ,088-0,046-0,078-0,272-0,037-0,209 0,153-0,126 0, ,127-0,071 0,169 0,144 0,026 0,355-0,099 0,009 0, ,015 0,056-0,035 0,107 0,153-0,231 0, , ,305 0,038 0,133 0,321 0,067 0,246 0,273 0,223-0, ,096 0,089 0,732 0,305 0,579-0,248 0,091 0,65 0, ,016 0,09 0,021 0,195 0,04-0,064 0,054-0,131 0, ,128 0,083 0,131 0,39 0,434 0,079 0,109 0,175 0, ,01 0,035 0,006-0,072-0,027 0,067 0,21-0,084-0, ,154 0,176 0,908 0,715 0,469 0,077 0,112 0,756 0,185 Tablo 3: Markowtz n problemne at değerler HS Artmetk ortalama 0, , , , , , , , ,10450 Standart sapma 0, , ,2924 0, , , , , ,27665 Varyans 0, , ,0855 0, , , , , ,07654 Tablo 4: Farklı λ değerlerne bağlı oluşan portföyler Portföy getrs Portföy rsk λ= , , λ= ,2236 0, , , λ= ,0370 0,2305 0, , , , λ= ,1405 0, ,1111 0,0953 0, , ,

11 Portföy getrs λ= , ,0434 0, , , Tablo 5: 10 adet R * değer çn GA sonuçları Rsk değerler (standart sapma) R * Optmum GA % Sapma 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1384 0, , , , , , , , ,2186 0, , , , , , , , , Toplam 0, Ortalama 0, Şekl: 10 Etkn sınır ve GA sonuçları ga optmum Rsk Rsk katsayısı (λ) 0 ken portföy rsk dkkate almadan en yüksek getrye sahp tek br hsse senednden oluşur. Değer arttıkça portföye farklı hsse senetler de eklenr. İknc aşamada etkn sınırdak 10 noktaya at getr düzeylernde rsk mnmze edlmeye çalışılmıştır. Elde edlen sonuçlar sapma değerler olarak Tablo 5 te, grafk olarak se Şekl 10 da verlmştr. R * ve optmum rsk değerler Matlab de [PortRsk, PortReturn, PortWts] = frontcon(expreturn,expcovarance, umports) fonksyonu kullanılarak elde edlmştr. Tablo 5 te de görüldüğü gb GA sonuçları optmum sonuçlara çok küçük sapmalarla yaklaşmıştır. 88 İterasyon sayısının 1000 olduğu düşünülürse algortmanın hızlı çalıştığı söyleneblr. Bunda, çaprazlama ve mutasyon operatörlernde yapılan, problemn yapısına özgün değşklklern etks olduğu düşünülmektedr. Çözüm aşamasında parametrelern farklı kombnasyonları denenmş ve sonuçta çözüm sürec üzernde en olumlu etkye sahp parametreler seçlmştr. SOUÇ Çalışmada Markowtz n ortalama-varyans model GA yaklaşımıyla çözülmeye çalışılmıştır. Verlern

12 çokluğu ve karmaşıklığı, karar vercnn kısıtları gb nedenlerle çözümü zor br problem olan portföy seçm bugüne kadar brçok çalışmaya konu olmuştur. Bu çalışmaların br kısmında sezgsel yöntemler kullanılmıştır. GA da kullanılan bu sezgsel yöntemlerden brdr. Bu çalışmada farklı olarak çaprazlama ve mutasyon operatörlernde modele yönelk değşklkler yapılmıştır. Öncelkle kromozomlar kl olarak değl, hsse senetlernn portföy çersndek ağırlıklarını temsl edecek şeklde reel sayılardan oluşturulmuştur. Yen yapıya bağlı olarak klask mutasyon operatörü değştrlerek, hsse senetlernn rasgele portföye grmelerne ya da çıkmalarına, ayrıca portföy çersndek oranlarının yne rasgele değşmelerne mkan tanıyacak hale dönüştürülmüştür. Mutasyon olasılığının farklı düzeyler denenmş ve yüksek oranda mutasyon yapılmasının çözüm üzernde yleştrc etkye sahp olduğu gözlenmştr. Çaprazlamada da belrl br oran kullanılmamış, populasyon sayısınca brey elde edlp, tüm breyler çersnden en yler yen populasyonu oluşturmuştur. Tüm bu şlemlere at GA kodları çalışma çersnde verlmştr. Sonuçlar ncelğnde GA le bulunan sonuçların, önemsenmeyecek kadar küçük sapmalarla optmuma yaklaştığı görülmüştür. Belrlenen getr düzeylernde mnmze edlmek stenen rsk değerler etkn sınır üzernde yer almıştır (Şekl 10). Modeln hassasyetnn yüksek olması, mutasyonda yapılan değşklklern küçük değerlerle sınırlandırılmasıyla sağlanmıştır. GA yaklaşımının avantajlarından br de esnek yapısı sayesnde farklı kısıtların rahatlıkla eklenmesdr. Herhang br kısıtı modele eklemek çn, kısıttan mutlak sapmanın belrl br ceza katsayısıyla amaç fonksyonuna eklemek yeterl olacaktır. Bu alanda yapılan çalışmalarda çok farklı kısıtlar üzernde durulmaktadır. Model bu kısıtların eklenmesyle gelştrleblr. Kullanıma yönelk olması açısından sürekllğ olan br modele dönüştürülmes faydalı olablr. Ayrıca verlern sürekl olarak güncellğ böyle br model çn en hızlı şeklde sonuç verecek parametre değerlernn belrlenmes gerekecektr. Katsayıların belrlenmesyle yetnlmeyp, sonuç değer olarak yatırımcının hang yatırım aracına ne kadar yatırım yapması gerektğ ve elde edlen bulgulara göre ne kadarlık br getry ne kadarlık br rsk sevyesnde elde edebleceğ rapor olarak sunulablr. KAYAKÇA 1. EARCHOU, Andreas C., 2003, The effect of varous operators on the genetc search for large schedulng problems, Producton Economcs, Vol: 88, o:2, s: CEYLA, A., KORKMAZ, T., 2004, Sermaye Pyasası ve Menkul Değer Analz, İstanbul, Ekn Ktabev. 3. CHAG, T.J., MEADE,., BEASLEY, J.E., SHARAIHA, Y.M., 2000, Heurstcs for cardnalty constraned portfolo optmsaton, Computers&Operatons Research Vol: 27, s: CRAMA, Y., SCHYS, M., 2003, Smulated annealng for complex portfolo selecton problems, European Journal of Operatonal Research Vol: 150, s: FERÁDEZ, A., GÓMEZ, S., Baskıda, Portfolo selecton usng neural networks, Computers & Operatons Research. 6. GOLDBERG, D.E., 1989, Genetc algorthms n search optmzaton and machne learnng, Addson Wesley Publshng Company, USA 7. KESKİTÜRK, T.,AKÇAY, Ö., 2005, An order encodng genetc algorthm for lot-szng problem wth multple supplers, Proceedngs of the 2005 Internatonal Conference on Computers and Industral Engneerng, s MARKOWITZ, H.M., 1952, Portfolo selecton, Journal of Fnance, Vol: 7, s: MARKOWITZ, H.M., 1959, Portfolo Selecton: Effcent Dversfcaton of Investments, ew York, Wley. 10. MICHALEWICZ, Z., 1992, Genetc algorthms + Data structure = Evoluton programs, Berln, Sprnger-Verlag. 11. OBITKO, M., 1998, Genetc Algorthms, (Çevrmç), Hochschule für Technk und Wrtschaft Dresden (FD). 12. ÖZDEMİR, E., 1983, onlneer Programlama Çözüm Yöntemler ve Portföy Seçm Problemne Uygulanması, Doktora Tez, İstanbul. 13. ÖZDEMİR, E., GİRESULU, İ.M., 2004, The selecton of rsky stock portfolos based on the rsk averson constant, Azerbaycan Respublkası Tahsl Cemyet Blg Dergs, o:2 (18), s: REEVES, C.R., 1995, Modern heurstc technques for combnatoral problems, McGraw-Hll Book Company Inc., Europe. 15. SARKER, R., EWTO, C., 2002, A genetc algorthm for solvng economc lot sze schedulng problem, Computer & Industral Engneerng, Vol: 12, o:5, s:

13 16. XIA, Y., LIU, B., WAG, S., LAI, K., 2000, A model for portfolo selecton wth order of expected returns Computers & Operatons Research, Vol: 27, s: