KAFES SİSTEMLERİN UYGULAMAYA YÖNELİK OPTİMUM TASARIMI

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K BİLİMLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 1999 : 5 : 1 : KAFES SİSTEMLERİN UYGULAMAYA YÖNELİK OPTİMUM TASARIMI Ayşe DALOĞLU, Zekerya AYDIN Karadenz Teknk Ünverstes, Mühendslk-Mmarlık Fakültes, İnşaat Mühendslğ Bölümü, Trabzon ÖZET Bu çalışmada, yapıların optmzasyonu çn ayrık tasarım değşkenler kullanarak sonuca gden genetk algortma yöntem düzlem kafes sstemlere uygulanmıştır. Çalışmada deplasman, gerlme ve burkulma sınırlayıcıları dkkate alınmıştır. Bu amaçla gelştrlen blgsayar programı FORTRAN dlnde kodlanmıştır. Pratkte yaygın olarak kullanılan çeştl çatı makaslarının mnmum ağırlıklı boyutlandırılması gerçekleştrlmştr. Son olarak deneme yanılgıya dayalı olarak br geometrk optmzasyonu örneğ verlmştr. Anahtar Kelmeler : Optmzasyon, Genetk algortma, Ayrık tasarım değşkenler ABSTRACT OPTIMUM DESIGN OF TRUSSES FOR PRACTICAL APPLICATIONS In ths study, a smple genetc algorthm for optmsng structural systems wth dscrete desgn varables are used for the optmum desgn of plane trusses. Dsplacement, stress and stablty constrants are consdered. A computer programme s developed and coded n FORTRAN language for the purpose. Algorthm presented s used to obtan the optmum desgns of the dfferent practcally employed roof trusses. Fnally an optmum geometry desgn s performed to fnd out the optmum roof slope by tral and error. Key Words : Optmsng, Genetc algorthm, Dscrete desgn varables 1. GİRİŞ Çağımızda yapıların en ekonomk bçm ve boyutlarda projelendrlmes, yapı mühendslğnn öneml amaçlarından br olmuştur. Yapıların optmum soyutlandırması üzerne brçok metod gelştrlmştr. Bunların heps optmum çözüme ulaşmak üzere matematk programlama teknklern kullanmaktadırlar. Yöntemlern çoğu tasarım değşkenlernn sürekl olduğunu kabul etmektedr, fakat bu her zaman doğru değldr. Pratkte çoğu mühendslk problemnde, tasarım değşkenler ayrıktır. Bu, yapısal elemanların standart boyutlarda üretlmesnden ve pratktek yapım ve üretmdek sınırlamalardan kaynaklanmaktadır. Bundan dolayı ayrık tasarım değşkenlernn kullanıldığı optmzasyon şlemler dğerlerne kıyasla daha gerçekçdr. Düzlem ve uzay kafes sstemlern optmzasyonu (Goldberg, 1989) tarafından gelştrlen genetk algortma le (Rajaev and Krshnamoorthy, 199, 1997) tarafından yapılmıştır. Bu çalışmaların lknde basınç çubukları çn stablte sınırlayıcıları dkkate alınmamıştır. İknc çalışmalarında basınç çubuklarındak gerlme Euler gerlmes le karşılaştırılmıştır. Rajan (1995), genetk algortmayı kafes sstemlern boyut ve şekl optmzasyonu çn kullanmıştır Saka (1991) genetk algortma le ızgara sstemlern hem boyut hem şekl optmzasyonunu gerçekleştrmştr Jenkns (1991, 199), genetk algortmayı kafes elemanlardan oluşan yapıların optmum tasarımı problemne uygulamıştır. 951

2 Ramasamy and Rajasekaran (1996), genetk algortmayı endüstr yapılarının optmzasyonuna uygulamış ve karşılaştırmalar yapmıştır. Bu çalışmada yapıların optmzasyonu çn ayrık tasarım değşkenler kullanılarak br sun yaklaşım le sonuca gden genetk algortma yöntem çelk düzlem kafes sstemlere uygulanmıştır. Çelk yapılarda kestler küçük olduğundan, narnlk ön plana çıkmaktadır. Dolayısıyla çalışmada stablze durumu Anon. (1980)'e uygun olarak ncelenmştr.. GENETİK ALGORİTMA İLE YAPILARIN OPTİMUM TASARIMI Genetk algortmalar optmzasyonu problemnn çözümünde kullanılan ve byolojk organzmaların genetk süreçler ele alınarak modelleşmş yöntemlerdr. Bu çalışmada kopyalama ve çaprazlama operatörlernden baret olan bast genetk algortma kullanılmıştır. Özellkle değşkenlern ayrık olduğu durumlarda genetk algortmalar etkn br bçmde kullanılırlar. Bunu başarmak çn öncelkle br başlangıç nesl belrlenr. Bu her br breyn klk sstemde kodlanıp br araya getrlmesyle gerçekleştrlr. Bu breyler sun kromozomlar olarak da adlandırılırlar ve sonlu sayılarda dzden oluşurlar. Dzdek her br karakter br sun gen temsl eder k bu ya 0 ya da 1 dr. Her br dzayn değşken klk kodlanma sstemnde set çndek sıra numarasını temsl eder. Örneğn, tasarım problemnde eğer k değşken varsa ve değşkenler çn mümkün olablecek sekz ayrık değer mevcutsa, bu değerlern sıra numaraları klk sstemde, 000 1, 001,..., şeklnde üçlü dzler halnde temsl edlr. Eğer br brey başlangıçtak neslden oluşturulacaksa setten k değer rastgele seçlr. Örneğn, 3. ve 7. değer setten seçlsn ve brnc ve knc değşkenler olarak adapte edlsn. Buna göre brey, üçüncünün 010 le yedncnn 110 br araya getrlmesyle 010,110 şeklnde oluşturulur. Kopyalama operatörü genetk algortmada uyumu en yüksek olan breyn daha uzun ömürlü olmasını sağlar. Etkl br kopyalama şlem yapmanın br kaç yolu vardır. Bu şlem bastçe yapmanın yollarından br, her br dznn seçmn uyum derecesyle orantılı olarak yapmaktır. Böylece etkn br şeklde yapılan kopyalama şlemnde, uyumu yüksek olan breylern br sonrak genetk algortma şlemnde seçlme şansları daha yüksek olacaktır. Çaprazlama, br yenden brleştrme şlemdr ve üç adımda gerçekleşr. Önce oluşan nesller arasından kşer kşer breyler seçlr. Daha sonra bu kşer kşer seçlen breylern kromozomları arasında çaprazlama yapmak üzere rasgele br konum belrlenr. Son olarak belrlenen konumdak genetk blgler değştrlerek çaprazlama şlem tamamlanır. Örneğn eşlenecek olan çftler A = ve B = olsun. Eğer rasgele seçlen çaprazlama konumu le 4 se, buna göre çaprazlama şlemnden sonra yen dz A = ve B = olacaktır. Böylece her k breyden gelen genler brleşerek daha y br kromozom ve dolayısıyla daha y br brey ortaya çıkarma şansına sahp olacaklardır. A ve B dzler A ve B dzlernn ürünler yan çocuklarıdır ve br sonrak neslde yen breyler olarak yer alacaklardır.. 1. Optmum Tasarım Problem Düzlem kafes sstemlern optmum dzayn problem aşağıdak gb tanımlanablr. ng mn W = A k ρ L (1) k= 1 n = 1 W(x) amaç fonksyonunu, aşağıdak sınırlayıcılar altında mnmze etmektedr. δ j δ j j = 1,..., p (.a) σ e < σ em, = 1,..., nm (.b) Burada; A k ρ, L ng δ j δ j p σ e σ em, nm : k grubuna at elemanların kest alanları, : nc çubuğun yoğunluğu ve boyu, : sstemdek toplam grup sayısı, : 1 nc yükleme durumu çn j nc noktanın deplasmanı, : 1 nc yükleme durumu çn j nc noktanın deplasmanının üst sınırı, : sınırlanmış deplasman sayısı, : nc elemanda 1 nc yükleme durumu çn hesaplanan eksenel kuvvet etks altında basınç gerlmes, : nc eleman çn emnyet gerlmes, : kafestek eleman sayısı, Mühendslk Blmler Dergs (1) Journal of Engneerng Scences (1)

3 Burada bütün sınırlayıcılar drekt olarak tasarım değşkenler cnsnden fade edlmektedr. Yan elde edleblmeler sstemn analzn gerektrmektedr. Problem br sınırlayıcılı optmzasyonu problem olmasına karşı, problem genetk algortmayı kullanarak çözmek çn, bunu sınırlayıcısız optmzasyonu problemne dönüştürmek gerekmektedr. Dönüşüm şlem çn normalz edlen sınırlayıcıların hlal edlmes esasına dayanan br formülasyon verlecektr (Rajaev ve Krshnamoorthy, 199, 1997). Kafes sstemlerdek elemanlar basınç veya çekme olmak üzere eksenel yükün etks altındadırlar. Eksenel burkulma etklernn emnyet gerlmeler yöntemne göre hesaplandığı TS 648 de verlen formüller yardımıyla basınç çubukları çn gerlme sınırlayıcıları hesaplanablmektedr. Çekmeye çalışan çubuklarda gerlme, çekme emnyet gerlmes le karşılaştırılmaktadır. Basınca maruz br çubuğun basınç emnyet gerlmes, çubuğun narnlğne bağlıdır. Çubuğun narnlğ, plastk narnlk sınırı, λ p, le karşılaştırılarak aşağıdak gb hesaplanablr. π E λ p = (3) σ a λ > λ p çn burkulma elastk bölgede gerçekleşr ve basınç emnyet gerlmes π E σ bem = (4) 5λ şeklnde hesaplanır. λ < λ p çn burkulma plastk bölgede gerçekleşr ve basınç emnyet gerlmes 1 λ 1 σa λ p σ bem = (5) n şeklnde hesaplanır. Burada n 1,5 1, λ 0, λ = + (6) λp λp olarak fade edlr. Br basınç çubuğundak kabul edleblr krtk gerlme narnlk oranının br fonksyonudur. Dolayısıyla kestn atalet yarıçapına bağlıdır. Her br tasarım adımında kest alanı değşeceğne göre, basınç emnyet gerlmes de her adımda değşecektr. Bu formüllerde λ elemanın narnlk oranını göstermek üzere, Sk x λ x = (7.a) y x Sk y λ y = (7.b) değerlernden büyüğüdür. λ x ve λ y çubuğun x ve y yönüne göre narnlk oranlarıdır. Sk x ve Sk y çubuğun x - x ve y - y asal eksenlerne dk düzlemlerdek burkulma boylarıdır ve çubuğun mesnetleşme şartlarına göre hesaplanır (Anon, 1980). 1.. Optmum Tasarım Algortması Genetk algortmaların sınırlayıcısız optmzasyonu yöntemler olduğu daha önce belrtlmşt. Bu nedenle daha önce açıklanan sınırlayıcılı problem, sınırlayıcısız br probleme dönüştürmek gerekmektedr. Sınırlayıcıların normalz edlmş formları aşağıdak gb formüle edleblr. Deplasman sınırlayıcıları, δ j g j(x) = 1 0 j = 1,,..., p (8) δ ju şeklnde yazılablr. Burada δ j j noktasının deplasmanı, δ ju se lgl deplasmanın alableceğ üst sınırdır. Gerlme sınırlayıcıları, çekme çubukları çn σe g (x) = 1 0 = 1,..., nm (9.a) σ em şeklndedr. Burada σ e çubuktak çekme gerlmes, σ em se çekme emnyet gerlmesdr ve TS 648'e göre, σ a akma gerlmesn göstermek üzere 0.6σ a le hesaplanmaktadır. Basınç çubukları çn se fade σeb, g (x) = 1 0 = 1,..., nm (9.b) σ bem, Mühendslk Blmler Dergs (1) Journal of Engneerng Scences (1)

4 olarak yazılablr. Burada σ eb basınç çubuğundak gerlme, σ bem se çubuğun narnlğne bağlı olarak hesaplanan basınç emnyet gerlmesdr. Böylece sınırlayıcısız fonksyon φ(x) şöyle fade edleblr, dyagramı aşağıda verlen blgsayar programı FORTRAN dlnde kodlanmıştır (Şekl 1). m φ( x) = W(x). 1 + P. c j (10) j= 1 m c j j= 1 C = (11) se φ( x) = W(x).1+ [ P.C] şeklnde yazılablr. Burada, W(x) P c : (1) de verlen amaç fonksyonu, : Probleme bağlı olarak seçlen br sabttr ve bu çalışmada 10 alınmıştır (Jenkns, 1991a). : İhlal edlme katsayısıdır ve aşağıdak gb hesaplanır. Şekl 1. Genetk algortma akış dyagramı Eğer g (x)>0 se c = g (x) Eğer g (x) 0 se c = 0 Burada 1 den başlayarak toplam sınırlayıcı sayısına kadar değşr. φ(x), br sınırlayıcısız fonksyondur ve mnmumu genetk algortma tarafından elde edlmektedr. Daha önce de açıklandığı gb bu yöntem breyler arasında seçm yapablmek çn br krtern kullanımını gerektrr. Bu krter en y breyn uyum derecesnn maksmum olacağı şeklde seçlr. Bu fade, F = (φ(x) max + φ(x) mn ) - φ (x) (1) şeklnde seçleblr. Burada F, breynn uyum dereces, φ (x) max ve φ (x) mn bütün breylerden oluşan nesl çnde sınırlayıcısız (10) fadesnn maksmum ve mnmum değerdr. Her br breyn uyum faktörü se F / Fort le hesaplanır. Burada Fort = F / n dr. n se nesldek toplam brey sayısıdır. Bu oran le her br breyn yok edlmesne veya br sonrak adım çn eşleme havuzuna kopyalanmasına karar verlmektedr. Eğer oran 0.5 den küçükse brey yok olur, yok eğer 0.5 den büyük se kopyalanmak üzere eşleme havuzuna gder. Eşleme havuzu oluşturulduktan sonra kopyalama ve çaprazlama operatörler daha önce açıklandığı şeklde gerçekleştrlr. Yukarıda açıklanan şlem düzlem kafes sstemlere uygulamak üzere akış 3. ÇATI MAKASLARININ MİNİMUM AĞIRLIKLI BOYUTLANDIRILMASI Çalışmada sunulan algortma Şekl -a, b, c'de görülen ve pratkte yaygın olarak kullanılan çeştl çatı makaslarına uygulanmıştır. Boyutlar, elemanların gruplaşması ve yükleme yne lgl şekllerde görülmektedr. Elemanlar çn E = 10 kn/mm ve σ a = 40 N/mm olarak alınmıştır. Bu örneklerde 1. ve. gruplar T profllernden, dkme ve dyagonallerden oluşan 3. ve 4. gruplar se T profl ve/veya eşt kollu L çelğnden seçlecektr. Mümkün olablecek örnek kestler TS 911 ve TS 908 den alınmıştır. Şekl 4'de görülen kafeslerde çatı eğm 5 alınmış ve tepe noktasının düşey yer değştrmes 5 cm olarak sınırlandırılmıştır. İlk olarak Şekl.a'da görülen kafesn optmum tasarımı gerçekleştrlmş ve 9 terasyondan sonra yakınsama elde edlmştr. Şekl. (a)'nolu kafes sstem Mühendslk Blmler Dergs (1) Journal of Engneerng Scences (1)

5 Tepe noktasının maksmum düşey yer değştrmes 3.75 cm olarak elde edlmştr. Buradan, çözümde gerlme ve stablte sınırlayıcılarının aktf rol oynadığı anlaşılmaktadır. Elde edlen optmum kest alanları yne şeklde gösterlmştr. Optmum tasarım sonucunda yapının toplam ağırlığı ve hacm sırasıyla W = kn, V = cm 3 olarak gerçekleşmştr. Kest alanlarına br alt sınır getrlmeden program tekrar koşturulmuş ve şu kestler elde edlmştr. A 1 = 0.90 cm, A = cm, A 3 = 6.91 cm, A 4 = 9.40cm bunlar sırasıyla T100, T80, L60.6 ve L70.7'dr. Bu kestlerle yapının ağırlığı W = kn olmuştur. Bu sonuçlar matematksel olarak geçerl olmasına rağmen, pratk açıdan geçerl değldr. Çünkü uygulama yönünden T80 proflnn çelk yapılarda kullanılması mümkün olmamaktadır. İknc olarak Şekl.b'de görülmekte olan çatı makasının optmum tasarımı gerçekleştrlmştr. 16 terasyondan sonra yakınsama sağlanmış ve elde dlen sonuçlar Şekl.b'de gösterlmştr. Yapının toplam ağırlığı W = kg, maksmum deplasman 3.64 cm olarak elde edlmştr. Kest alanlarına br alt sınır verlmedğ durumda kest alanları A 1 = 0.90 cm, A = cm, A 3 = 6.31 cm ve A 4 = cm olarak elde edlmştr. Burada yne knc grup çn elde edlen alana karşılık gelen profl T80'dr ve çelk yapılarda uygulama yönünden uygun değldr. Bu nedenle pratk olarak geçerl br çözüm olmamaktadır. Bu durumda ağırlık W = kn olmuş ve maksmum deplesman 4.17 cm olarak elde edlmştr. Bu nedenle dğerlerne oranla nşa edlmes daha kolay ve ucuz br sstem olduğu söyleneblr. Şekl. (c)'nolu kafes sstem 4. GENETİK ALGORİTMA İLE OPTİMUM GEOMETRİ TASARIMI Bu bölümde, kafes sstemn topolojsne karar verldkten sonra, sstemn geometrsnn değşmyle ağırlığında br azalma olup olmayacağı ncelenmek stenmektedr. Bu se seçlen kafesn üst başlığının eğm değştrlerek görüleblr. Bu uygulama çn düzlem kafes sstemden oluşan br çatı örneğ (Şekl 3) seçlmştr. Yükleme durumu le sınırlayıcılar Şekl le aynıdır. Şekl. (b)'nolu kafes sstem Daha sonra Şekl.c'de görülen kafes sstemn optmum tasarımı gerçekleştrlmştr. Bu ssteme at blgler ve sonuçlar yne lgl şeklde gösterlmektedr. Şeklde görüldüğü gb toplam ağırlık W = kn olarak gerçekleşmştr ve tepe noktasının düşey yerdeğştrmes 3.3 cm olarak bulunmuştur. Bu örnekler arasında br karşılaştırma yapıldığında Şekl.a'dak sstemn dğerlerne oranla braz daha haff olduğu görülmektedr. Ancak Şekl.c'de sstem braz daha ağır olmasına rağmen düğüm noktası ve çubuk sayısı daha azdır. Şekl 3. Topoloj aynı üst başlık eğm farklı 6 kafes sstem Çatı eğm, α'nın farklı değerler çn kafes sstemn optmum tasarımı genetk algortma le gerçekleştrlmştr. Bu amaçla çatı eğm 0, 5, 10, Mühendslk Blmler Dergs (1) Journal of Engneerng Scences (1)

6 15, 0 ve 30 olarak alınmış ve kafes sstem, bu 6 farklı üst başlık eğm çn, genetk algortma kullanılarak, mnmum ağırlıklı olarak soyutlandırılmıştır. Elde edlen sonuçlar Tablo 1'de görülmektedr. Ayrıca kafes ağırlığının, çatı eğmne bağlı olarak değşm Şekl 4'de grafk olarak gösterlmştr. Sonuçlar 15, 0 terasyondan sonra elde edlmektedr. Dolayısıyla Tablo 1'dek sonuçların elde edleblmes çn oldukça fazla sayıda terasyon yapılmıştır. Şekl 3'dek grafk ncelendğnde bu çatı çn mnmum ağırlığın, üst başlık eğmnn 10 le 15 değerler arasında olması durumunda elde edlebleceğ sonucuna varmak mümkündür. Bu sonuç se Saka (1991) tarafından yapılan çalışmada elde edlen sonucu br kez daha doğrulamaktadır. Sözü edlen çalışmada optmumluk krter yöntem le, düğüm noktalarının koordnatları da tasarım değşken olarak alınıp, aynı sstemler çözülmüş ve α = 13.5 de bu yükleme durumu çn mnmum ağırlıklı kafes elde edleceğ gösterlmştr. Bu bölümde optmum çatı eğm deneme yanılgı le görülmeye çalışılmıştır. Çalışmanın, çatı eğmn de tasarım değşken olarak alıp, optmum geometry de bulacak şeklde genşletlmes çok yararlı olacaktır. Şekl 4. Çatı eğmne bağlı olarak ağırlığının değşm Tablo 1. Çatı Eğmne Bağlı Olarak Tasarım Değşkenlernn Optmum Değer Çatı eğm (α ) A 1 (mm ) A (mm ) A 3 (mm ) A 4 (mm ) Ağırlık (kn) SONUÇLAR Yapay br genetk yaklaşıma dayanan genetk algortma, ayrık tasarım değşkenlernn kullanıldığı problemler çn oldukça uygundur. Genetk algortmada, optmum çözüme ulaşmak çn gerekl terasyon sayısının optmumluk krterne oranla daha fazla olduğu görülmüştür. Genetk algortma le en optmum çözüme ulaşma garants olmamasına karşın, elde edlen sonuçlar pratktek uygulamalar çn kabul edleblr olmaktadır. Genetk algortmanın kullanımında sınırlayıcıların standartlarda belrtldğ şeklde şleme konulacağı ve kest alanlarının pratkte var olan standart kestlerden seçlebleceğ ortaya konulmuştur. Çalışmada deneme yanılgıya dayanan br geometrk optmzasyon örneğ sunulmuştur. Bu örnekte de görüldüğü gb çalışmanın, çatı eğmn de tasarım değşken olarak alınmasıyla optmum geometry de bulacak şeklde genşletlmesnn pratk açısından çok yararlı olacağı gösterlmştr. Bu çalışmada TS 648 e bağlı kalınmıştır ve gelştrlen algortma hçbr değşklk yapılmaksızın uygulamada kullanılablecek durumdadır. 6. KAYNAKLAR Goldberg, D. E Genetc Algorthms n Search, Optmzaton and Machne Learnng, Addson-Wesley Publshng Co., Inc., Readng, Mass. Anonymous, Çelk Yapıların Hesap ve Yapım Kuralları TS 648, Ankara. Jenkns, W. M Structural Optmzaton wth the Genetc Algorthm, Journal of Structural Engneerng, (60), 4, December. Jenkns, W. M. 1991a. Towards Structural Optmzaton Va the Genetc Algorthm, Journal Computers and Structures, Vol.40/5. Mühendslk Blmler Dergs (1) Journal of Engneerng Scences (1)

7 Jenkns, W. M Plane Frame Optmum Desgn Envronment Basedon Genetc Algorthm, Journal of Structural Engneerng, (118), 11, November. Rajaev, S. and Krshnamoorthy, C. S Genetc Algorthms, Journal of Structural Engneerng, (118), 5. May. Rajaev, S. and Krıshnamoorthy, C. S Genetc Algorthms Based Methodologes for Desgn Optmzaton of Structural Engneerng, (13), 3, March. (11), 10, Oct. Ramasamy, J. V. and Rajasekaran, S Artfcal Nevral Network and Genetc Algorthm for the Desgn Optmzaton of Industral Roofs - A Comporson, Computers & Structures, 58 (54), Saka, M. P Optmum Geometry Desgn of Roof Trusses by Optmalty Crtera Method, Comp. and Struc. 38 (1), Rajan, S. D Szng, Shape and Topology Desgn Optmzaton of Trusses Usng Genetc Algorthm, ASCE Journel of Structural Engneerng, Mühendslk Blmler Dergs (1) Journal of Engneerng Scences (1)