9/22/2014 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Giriş. Tek Kanallı Kuyruk Sistemi. Kuyruk Sistemlerinin Simulasyonu. Simulasyon Örnekleri Ders 2

Transkript

1 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyon Örnekleri Ders Giriş Bu derste bilgisayar yardımı olmaksızın çalıştırılabilen birkaç simulasyon örneği verilmiştir. Bu örnekler size sistem simulasyonu metodolojisini ve beraberinde yapılması gereken analizleri anlamanıza yardımcı olacaktır. Kuyruk Sistemlerinin Simulasyonu Tek Kanallı Kuyruk Sistemi 4 Hizmet Service Sistemi System - number - Sunucu of servers sayısı - configuration - Konfigurasyon - service time distribution - süresinin dagılımı Potansiyel Populasyonu Hattı (Kuyruk) Sunucu Calling Populasyonu Population - finite - sonlu/sonsuz or infinite - different - farklı types müşteri of customers tipleri Geliş Arrival Process Süreci müşteriler customers Kuyruk Queue Service Bir kuyruk sistemi; müşteri populasyonu, gelişlerin doğası, servis mekanizması, sistem kapasitesi ve kuyruk disipliniyle tanımlanır. - interarrival - times (independent arası süreler or dependant) - balking - partiler Kendall Gösterimi --capacity kapasite -- discipline disiplin (FIFO, (FCFS, LIFO, LCFS, priority, oncelik, random selection,) rassal - reneging secim) geliş süreci/servis süreci/sunucu sayısı/sistem kapasitesi/populasyon büyüklügü/kuyruk disiplini Örnek: M/M/1 1

2 Tek Kanallı Kuyruk Durumları Tek Kanallı Kuyruk Durumları (devam) 5 6 Sonsuz Infinite müşteri Calling populasyon Population u Interarrival Gelisler arası times exponentially süre: Üstel distributed dagılım customers müşteriler Disiplin: FIFO Queue FIFO w/ Kapasite: Infinite Capacity Sonsuz M/M/1 1 server sunucu Service times exponentially distributed süresi: üstel dağılım Sonsuz Infinite musteri populasyon Calling Population u Interarrival arası times exponentially süre: Üstel distributed dağılım Kuyruk kapasitesi: 5 capacity of 5 customers FIFO Disiplin: Queue FIFO w/ Finite Kapasite: Capacity Sonlu 11 server sunucu Service times exponentially distributed süresi: üstel dağılım Sonsuz Infinite müşteri Calling populasyon Population u Interarrival arası times exponentially süre: Üstel distributed dağılım customers müşteriler Disiplin: FIFO Queue FIFO w/ Infinite Kapasite: Capacity Sonsuz M/M/ servers Service sunucu times exponentially distributed süresi: üstel dağılım Gelisler arası M/M/1/6 süre: Interarrival Üstel times dağılım exponentially distributed Sonsuz Infinite Calling müşteri populasyon Population u customers müşteriler customers müşteriler Disiplin: FIFO Queue FIFO w/ Disiplin: FIFO Queue FIFO w/ Kapasite: Infinite Capacity Sonlu Infinite Kapasite: Capacity Sonlu 1 server Service 1 sunucu times exponentially distributed süresi: üstel dağılım Tandem Queue Tandem Kuyruk 1 server Service 1 sunucu times exponentially distributed süresi: üstel dağılım Kuyruk Sisteminin Bileşenleri n Ayrılışı Sistem Durumu: ki müşteri sayısı ve sunucunun durumu (sunucu dolu/boş) Bir müşterinin servisi sunucuda tamamlandığı anda simulasyon aşağıdaki akış şemasına göre devam eder. Olay: Sistemin durumunda anlık değişmeye neden olan durum seti Ayrılış Olayı Tek sunuculu kuyruk sisteminde sistemin durumunu etkileyen sadece iki olası olay vardır: Geliş olayı boş kalma süresini başlat Hayır Bekleyen müşteri var mı? Evet n bekleyen müşteriyi çıkart Ayrılış olayı ye servisi başlat Simulasyon Saati: Simule edilen süreyi izlemek için kullanılır. tamamlandığı andaki akış diyagramı

3 Sisteme Gelişi Tanımlayıcı Değişkenler 10 Bir müşteri sisteme girdiğinde geliş olayı açığa çıkar. Gelen müşteri sunucuyu ya boş, yada dolu bulur: Sunucu boş ise: müşteri hemen servis almaya girer. Sunucu dolu ise: müşteri kuyruğa girer Tek bir kuyruk hattından gelen müşterilere vezne tarafından servis (hizmet) verilen bir banka şubesini ele alalım. Varsayalım ki banka saat 9.00 da açılsın (simulasyonda 0 anı olarak modelleyebiliriz). hizmet almaya girer Hayır Geliş Olayı Sunucu meşgul mü? Evet kuyruğa girer Banka veznelerle (meşgul yada bos olmalarıyla) ve kuyrukta bekleyen müşterilerle ilgilenmektedir. Sisteme Giren Akış Diyagramı Tanımlayıcı Değişkenler (devam) Zamanla Durum Değişkeninin Değişimi 11 1 i nci müşterinin geliş zamanı i nci müşterinin servis (hizmet görme) süresi i nci müşterinin ayrılış zamanı t anında kuyrukta bekleyen müşteri sayısı ki number in müşteri syst em sayısı X(t) t anında meşgul olan sunucu (vezne) sayısı t anında i nci sunucunun (veznenin) meşgul olup olmaması t anında sistemdeki (bankadaki) müşteri sayısı depart ayrılışlar ures t imt e gelişler arrivals 3

4 lerin Geliş & ler Customer Time Geliş of zamanı arrival Time between arası arrival süre Geliş e başlama zaman Customer 1. müşterinin 1's servis service süresi time 8 dakika 8 minutes Bu zaman aralığında her iki veznenin Notice de that meşgul during olduğuna this dikkat interval alın. both tellers are busy Customer 4 arrived at time 4. müşteri 15 anında geldi. İki 15. Since only one teller is vezneden biri boş olduğu için serving a customer, 4. müşteri dk lık servis customer 4 can begin its işlemine başlayabilir. service of minutes t, zaman time Customer. müşterinin 's service servisi starts 5. dk da at baslar time 5 ve and 7 lasts dk sürer. 7 minutes 3. Customer müşteri, 3's will 1. enter müşteri service ayrıldığında when customer servise 1 girer. 3. departs. müşterinin Customer servis 3's suresi service 9 dk dır. time is 8 minutes Notice 4. müşterinin, how customer 3. 4 müşteriden came and önce went before servisinin customer 3 nasıl tamamlandığına completed service. dikkat edin. t, zaman time Olaylar Simülasyonunun 3 Adımı Zaman Olay Açıklama 0 Banka açılır Geliş 1. müşteri gelir, 8 dakika için servise girer, vezne 1 meşgul hale gelir. 5 Geliş. müşteri gelir, 7 dakika için servise girer, vezne meşgul hale gelir. 7 Geliş 3. müşteri gelir, kuyrukta bekler. 10 tamamlanması 1. müşterinin vezne 1 deki servisi tamamlanır, 3. müşteri kuyruktan çıkar ve 9 dakika için servise girer. 1 tamamlanması. müşterinin vezne deki servisi tamamlanır, kuyrukta müşteri bulunmadığı için vezne boş hale gelir. 15 Geliş 4. müşteri gelir, dk için servise girer, vezne meşgul hale gelir. 17 tamamlanması 4. müşterinin vezne deki servisi tamamlanır, vezne boş hale gelir. 19 tamamlanması 3. müşterinin servisi tamamlanır. 1. müşteri Customer gelir 1 arrives. müşteri Customer gelir arrives müşteri Customer gelir 3 arrives 1.müşterinin Customer 1 servisi completes tamamlanır, service and Customer 3 3. müşterinin servisi baslar begins service.müşterinin Customer servisi completes tamamlanır service 4.müşteri Customer gelir 4 arrives and servise begins baslar service 4.müşterinin Customer 4 servisi end service tamamlanır 3.müşterinin Customer 3 servisi completes tamamlanır service 1. Simulasyonun her bir girdisinin özelliklerini belirle. Genellikle bu girdiler kesikli/sürekli olasılık dağılımları olarak modellenir.. Bir simulasyon tablosu oluştur. Simulasyon tabloları probleme göre geliştirilir. Her simulasyon tablosu birbirinden farklıdır. 3. Her tekrar için girdi değeri üret ve fonksiyonu değerlendirip her tekrar için bir çıktı değeri hesapla. (Girdi değerleri adım 1 de belirlenen dağılımlardan örneklem alınarak hesaplanabilir. ) 4

5 Simülasyon Tablosu Simulasyon tablosu, zamana bağlı olarak değişen sistem durumunu izlemek için sistematik bir metot sağlar. Tek Kanallı Kuyruk Sisteminde Rassallık arası Süre ve : Rassal Değişken Tekrarlar 1 n Girdiler Yanıt X i1 X i X ij X ip y i arası süreler ve servis süreleri, bu rassal değişkenlerin dağılımlarından rassal sayılar kullanılarak üretilir. Rassal sayılar, (0,1) aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılmış sayılardır. Örnek 1 Örnek 1 (Devam) Tek bir kasanın bulunduğu küçük bir marketi ele alalım. ler kasaya gelişleri birbirinden bağımsızdır ve 1-8 dk. arasında kesikli düzgün dağılıma uymaktadır. süreleri ise aşağıdaki tabloda verilen kesikli dağılıma uymaktadır. 0 müşteri için marketin kuyruk sistemini simüle ederek, analiz edin. X: gelişleri arasında geçen süre (dakika) X ~ Kesikli Düzgün (1,8) x P(X=x) Y: süresi (dakika) y P(Y=y)

6 Rassal Sayılar Tablosu Arası Sürenin Dağılımı x(dakika) f(x)=p(x=x) F(x)=P(X x) Rassal Sayı (RS) <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS nin Dağılımı Arası Sürelerin Üretilmesi y(dakika) f(y)=p(y=y) F(y)=P(Y y) Rassal Sayı (RS) <RS <RS <RS <RS <RS <RS 1.00 Müsteri Rassal Sayı (RS) Arası Süre (dk) Rassal Sayı (RS) Arası Süre (dk)

7 Sürelerinin Üretilmesi Geliş & Süreleri Rassal Sayı (RS) (dakika) Rassal Sayı (RS) (dakika) Arası Süre x(dakika) F(x)=P(X x) Rassal Sayı (RS) y(dakika) f(y)=p(y=y) F(y)=P(Y y) Rassal Sayı (RS) <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS <RS Rassal Sayılar: Simulasyon Tablosu Simulasyon Tablosu (Tamamlanmış) Gelisler Arası Süre Geliş Bitiş Harcanan Süre boş kalma Arası Geliş (dk.) e

8 Ölçümleri Gelisler Arası Geliş Gelis Arası Süre Zamani (dk.) e Ölçümleri (Devam) Gelisler Arası Arası Süre Geliş Gelis Zamani (dk.) e 1. Ortalama =.8 dk ortalama bekleme süresi = müsterilerin kuyrukta geçirdigi toplam süre toplammüsteri sayısı. Olasılığı=0.65 olasılık (bekleme) = kuyrukta bekleyen müsteri sayısı = 13 toplammüsteri sayısı 0 = Olasılığı=0.1 = 56 =.8 (dk.) 0 sunucun toplam bos kalma süresi sunucunun bos kalma olasılıgı = simulasyonun toplam calısma süresi = = 0.1 Meşgul Olma Olasılığı= Ortalama =3.4 dk toplam servis süresi ortalama servis süresi = toplam müsteri sayısı = 68 = 3.4 (dk) 0 Teorik ortalama servis süresi, servis suresi dağılımı kullanılarak bulunabilir. å E(Y) = y.p(y = y) "y E(Y) =1(0.10)+(0.0)+ 3(0.30)+ 4(0.5)+5(1.10)+6(0.05) = 3. (dk.) Görüldügü üzere 0 müşteri için simulasyonun ortalama servis süresi, teorik ortalama servis süresinden farklıdır. Simulasyon uzatıldıkça, teorik ortalama bekleme süresi E(Y) ye yaklasılacaktır. Ölçümleri (Devam) Gelisler Arası Geliş Gelis Arası Süre Zamani (dk.) e Ölçümleri (Devam) Gelisler Arası Geliş Gelis Arası Süre Zamani (dk.) e 5. Ortalama Arası Süre=4.3 dk ortalama gelisler arası süre= toplam gelisler arası süre gelis sayısı -1 Teorik ortalama gelişler arası süre, gelişler arası süre dağılımı kullanılarak bulunabilir. Arasi Süre X, 1-8 arasında kesikli düzgün dagılıma uymaktaydı. E(X) = x.p(x = x) å x=0 = 8 = 4.3 (dk) 19 İlk musterinin 0 anında sistemde olduğu varsayildığı icin E(X) =1(0.15)+(0.15)+3(0.15)+4(0.15)+5(1.15)+6(0.15)+7(0.15)+8(0.15) = 4.5 (dk.) 6. Bekleyen Bir Ortalama =4.3 dk toplam kuyruk bekleme süresi bekleyen musterilerin ortalama beklemesüresi = kuyruktabekleyentoplammusteri sayısı = = 4.3 (dk.) yada E(X) = a+ b = 1+ 8 = 4.5 dk. Simulasyon uzatıldıkça, teorik ortalama gelişler arası süre E(X) e yaklaşılacaktır. 8

9 Ölçümleri (Devam) Gelisler Arası Geliş Gelis Arası Süre Zamani (dk.) e 7. Bir Geçirdigi Ortalama Süre=6. dk musterinin sistemde gecirdigi ortalama süre= S :Bir müşterinin sistemde geçirdiği süre S 1 : Bir muşterinin kuyrukta geçirdiği süre S : Bir müşterinin serviste geçirdiği süre müsterilerin sistemde gecirdigi toplam süre toplammusteri sayısı = 14 = 6. (dk.) 0 S= S 1 + S E[ S] = E[ S 1 + S ] = E[ S 1 ] + E[ S ] (Beklenen Deger Özelligi:Toplamın beklenen degeri, beklenen deger toplamına esittir. ) [ ] =.8 (dk.) ( ölçümü 1) [ ] = 3.4 (dk.) ( ölçümü 4) [ ] = = 6. (dk.) E S 1 E S E S 9