SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ - I DERS NOTLARI
|
|
- Yonca Orbay
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ - I DERS NOTLARI
2 KUYRUK TEORİSİ Her birimiz kuyruklarda bekleyerek vakit geçirmişizdir. Bu derste kuyruklarlarla ilgili matematisel model geliştireceğiz. Kuyrukları tarifte kullanılan terminolojiden bahsedeceğiz. Kuyrukları tarifte gereken bazı dağılımlara (Üstel ve Erlang gibi) değineceğiz. Doğum-ölüm proseslerinden bahsedeceğiz. Aşağıdaki soruları cevaplarken kullanılan bazı kuyruk modellerini göreceğiz. Kuyruk analizi yaparken aşağıdaki sorulara cevap arayabiliriz: 1. Her bir servisçi nin boş kalma yüzdesi nedir? 2. Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı nedir? 3. Müşterinin kuyrukta ortalama geçirdiği süre nedir? 4. Kuyrukta aktif olarak var olan müşteri sayısının olasılık dağılımı nedir? 5. Müşterinin bekleme süresinin olasılık dağılımı nedir? 6. Eğer banka yöneticisi sadece %1 müşterinin 5 dakikadan fazla beklemesine razı olursa ne kadar servisçi çalıştırılmalıdır?
3 BAZI KUYRUK TERMİNOLOJİSİ Kuyruk sistemini tarif etmek için girdi ve çıktı süreçlerinin belirlenmesi gerekir. Bazı girdi ve çıktı prosesleri aşağıda tablo 1 de verilmiştir. DURUM GİRDİ PROSESİ ÇIKTI PROSESİ Banka Pizza Salonu Hastane Kan Bankası Bankaya Müşterilerin Gelmesi Alınan Pizza siparişleri Gelen ünite kan Servisçilerin müşterilere hizmeti Pizza salonu teslimat için servisçi gönderir Hastalar ünite kanları kullanır Bozulup tersaneye Donanma tersanesi gelen gemiler Tablo 1: Kuyruk Sitemi Örnekleri Gemiler onarılır ve denize döner
4 GİRDİ VEYA GELİŞ SÜRECİ Girdi Süreci genellikle geliş süreci olarak bilinir. Gelişler müşteri diye adlandırılır. Bütün modellerde verilen bir anda en fazla bir müşteri (tek olarak veya toplu olarak) gelebilmektedir. Eğer gelişte birden fazla müşteri varsa o zaman yine verilen anda yalnızca bir tane toplu müşteri gelir kabul etmekteyiz. Genellikle Müşterilerin Geliş Süreci sistemdeki müşteri sayısından etkilenmemektedir. Banka örneğinde sistemde 5 tane yada 500 tane müşteri olması geliş sürecini etkilemez. Bazı durumlarda müşteri geliş prosesi sistemdeki müşteri sayısından etkilenmektedir. Bazen müşteri popülasyonu küçüktür ve sistemdeki müşteri sayısı gelişi etkiler. Örneğin 4 gemiden oluşan bir donama varsa ve 4 gemi tamir ediliyorsa o zaman yeni bozulma olmaz. Yada 4 gemi denizde ve tersane de gemi yoksa o zaman bozulma oranı daha fazla olur. Eğer gelişler sınırlı bir popülasyondan oluşuyorsa bu modeller sınırlı kaynak modelleri olarak bilinir. Bazende müşteriler kalabalık sisteme daha az girmek isteyebilir böyle durumda da geliş süreci sistemdeki müşteri sayısından etkilenmektedir. Eğer geliş süreci sistemdeki mevcut müşteri sayısından etkilenmiyorsa, o zaman gelişler arası süreyi genellikle bir olasılık dağılımıyla ifade ederiz.
5 ÇIKTI VEYA SERVİS SÜRECİ (PROSESİ): Bir kuyruğun çıktı sürecini (çoğunlukla servis süreci olarak adlandırılır) tarif ederken bir olasılık dağılımı (Servis zamanı dağılımı) belirleriz. Bu dağılım müşteriye servis zamanını belirler. Pek çok durumda servis zamanı dağılımı mevcut müşteri adedinden bağımsızdır. Bu eğer fazla müşteri varsa servisçinin daha hızlı çalışmadığı anlamına gelir. Bu derste servisçilerin iki tip düzenini çalışacağız. Servisçiler paralel veya seri halde çalışabilirler. Servisçiler paralelse (Örneğin marketteki kasiyerler) aynı hizmeti vermektedirler ve müşteriler herhangi bir paralel servisçiden hizmet alabilir. Servisçiler seri çalışıyorsa o zaman gerekli hizmetler seri görülmesi gereken bir takım hizmetlerdir. Montaj hattı seri halinde servisçilerin olduğu kuyruk sistemidir.
6 KUYRUK DİSİPLİNİ Kuyruk sistemini tam anlamıyla tarif etmek için, kuyruk disiplinini ve müşterilerin kuyruğa dahil olma şeklini tarif etmemiz gerekmektedir. Kuyruk Disiplini müşterilerin servis görme sırasına karar vermede kullanılan metodu tarif eder. En yaygın kuyruk disiplini FCFS (İlk gelen ilk hizmet görür = First Come, First Served) disiplinidir. Diğer bir disiplin LCFS (Son gelen ilk hizmet görür = Last Come, First served) disiplinidir. Bankaya gelen müşteriler FCFS disiplinine göre hizmet verirken, yıkanmak için tezgahta yığılan tabaklar LCFS disiplinine göre hizmet görür. Diğer bir disiplin SIRO (Hizmet Rassal sırada görülür = Service in Random Order) disiplinidir. Diğer bir disiplin Önceliğe göre sıralama disiplinidir (Priority queuing disciplines). Öncelik disiplininde gelişler öncelik derecelerine göre sınıflara ayrılır ve her bir kategori FCFS disiplinini ayrıca kullanabilir. SPT (En kısa işlem zamanı= Shortest Processing time) Oldukça yaygın olarak kullanılan yöntemdir. Müşterilere başka yöntemlere görede öncelik verilir ve önceliği en yüksek olan müşteri ilk işlem görür. Hastanedeki hastalar acil olma durumuna göre sınıflara ayrılabilir ve en acil olanlar en yüksek önceliği alabilir. Kategori içerisinde FCFS disiplini kullanılabilir. Yazıcı ve bilgisayarın zamanpaylaştırma sistemi önceliğe göre sıralama yöntemi olabilir. Yada Atölye tipi üretimde işler makine önünde pek çok yöntemle hesaplanabilen yollardan biriyle öncelik değeri verilebilir ve önceliği en yüksek iş ilk işlem görür.
7 GELİŞLERDE KUYRUĞA DAHİL OLMADA KULLANILAN METODLAR Müşteriler kuyruğa geldiklerinde bazen sistemde tek bir kuyruk olabilir ve müşteriler bu kuyruğa dahil olmak zorundadır. Bazı sistemlerde birden fazla kuyruk olabilir ve müşteriler en kısa gördükleri kuyruğa girebilir ve hatta gerekli görürlerse kuyruk değiştirebilirler.
8 GELİŞ VE SERVİS SÜRECİNİ MODELLEME GELİŞ SÜRECİNİ MODELLEME Daha önce bahsettiğimiz gibi tek olarak (yada toplu olarak) verilen bir anda yalnızca bir müşteri (Toplu halde müşteriler = Kasalar halinde işlem görmeye gelen parçalar gibi) gelir. ti i inci müşterinin gelişi olsun t1=3 t2=8 t3=15 T1=8-3=5 T2=15-8=7 i>=1 için Ti =t(i+1) ti olsun. (Ti i inci gelişler arası süre olsun) Gelişler sürecini modellerken i Ti lerin bağımsız ve sürekli rassal değişken olduğunu kabul ederiz. Bağımsızdan maksat örneğin T2 nin, T3 ve T4 üzerine etkisi yoktur. Sürekli rassal değişkenden maksat Ti değerleri kesirli sayılar olabilir. Örneğin 1 inci gelişler arası süre 1,55 dakika olabilir.
9 Gelişler arası süre rassal değişkendi ve hepsi aynı rassal değişkendir. Bu gelişler arası dağılımın günün hangi zamanı veya haftann hangi günü olmasından bağımsızdır. Bu gelişlerarası süresin stasyoner (sabit) olması anlamına gelir. Gerçek hayatta stasyoner varsayımı bazen geçersiz olur. Örneğin trafikte iş saaatleri yoğunluk fazla olabilmektedir. Bu durumda zamanı parçalara bölüp her bir parçayı ayrı ayrı tanımlayıp yaklaşık olarak her bir parçanın stasyoner olduğunu varsayabiliriz. Gelişler arası süreyi A dağılımı ile ifade edersek : A nın olasılık yoğunluk fonksiyonu a(t) olsun. O zaman; P (A <= c) = 0 c a t dt ve P (A > c) = c a t dt olur 1/λ ortalama gelişler arası süre olsun. Eğer zaman saat olarak ölçülüyorsa o zaman 1/λ ortalama herbir gelişler arası sürenin saat miktarıdır. λ ise 1 saat içerisinde ortalama geliş miktarı olur. 1/λ = 0 ta t dt olur.
10 Eğer A üstel dağılımsa ki pek çok durumda gelişlerarası süreyi modellerken üstel dağılımı kullanırız. O zaman a(t)= λ e λt olur. E(A) = 1/ λ ve Var(A) = 1 λ 2 olur. Aşağıda üstel dağılımın grafiği verilmiştir. a(t)= λ e λt λ 6 5 Üstel Dağılım grafiği λ e λt t
11 ÜSTEL DAĞILIMIN UNUTKANLIK (HAFIZASIZLIK) ÖZELLİĞİ Üstel dağılımın unutkanlık özelliği olduğundan dolayı çok sık kullanılan bir dağılımdır. 0 zamanında bir gelişler arası süre düşünelim. Bu sürenin h den büyük olma olasılığını düşünelim. Şimdi t kadar zaman geçtiğini ve geliş olmadığını düşünelim. İlk gelişin (t+h) den büyük olma olasılığını düşünelim. Yukarıdaki iki olasılıkta üstel dağılımın unutkanlık özelliğinden dolayı aynıdır. Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz. P(A > t + h / A >=t) = P (A > h) Bu durumun ispatı aşağıda verilmiştir.
12 LEMMA 1: P(A > t + h / A >=t) = P (A > h) (5) İSPAT: P (A >h) = h λ e λt dt = e λh (6) ise P(A > t + h / A >=t) = P(A > t + h A >=t) P (A >t) (6) yı kullanırsak P(A > t + h A >=t) = e λ(t+h) ve P (A >t)= e λt olur. Böylece P(A > t + h / A >=t) = e λ(t+h) e λt = e λh = P(A>h) ispat tamamlanmış olur. Örneğin P (A>9/A>=5) = P (A>7/A>=3) = P (A>6/A>=2) = P (A>4/A>=0) = P (A>4) = e 4λ
13 POISSON DAĞILIMI İLE ÜSTEL DAĞILIM ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğer gelişlerarası süre üstel dağılıma uyuyorsa, t uzunluğundaki bir zaman diliminde gerçekleşen geliş sayısı poisson dağılıma uyar. TEOREM 1 : Eğer gelişler arası süre λ parametresiyle üstel dağılıma uyuyorsa, verilen bir zaman uzunluğunda (t kadar zamanda) geliş sayısı λt parametreli poisson dağılıma uyar. Kesikli rassal değişken N, aşağıdaki koşulu sağlıyorsa λ parametresiyle poisson dağılıma sahiptir. P(N=n) = λn e λ n! (n= 0, 1,2.) (7) Eğer N poisson dağılımı ise E(N) = Var N = λ olur. Eğer N t t uzunluğundaki bir sürede geliş sayısı ise Teorem 1 e göre P(N t =n) = (λt)n e λt n! (n= 0, 1,2.) olur. N t (λt) parametresi ile poisson dağılımına uyduğu için E(N t ) = Var N t = λt
14 Ortalama olarak t kadar zamanda λt geliş olduğundan dolayı birim zamanda λ kadar geliş olmaktadır. Böylece λ birim zamanda olan geliş adedi olarak yada geliş hızı olarak düşünülebilir. Gelişler arası sürenin üstel (eksponensiyel) dağılması için aşağıdaki iki varsayımın sağlanması gerekir 1) Kesişmeyen zaman dilimlerindeki gelişler bağımsızdır. Örneğin 1 ile 10 zamanındaki gelişlerle 30 ile 50 arası zamanındaki gelişler bağımsızdır. 2) Küçük bir zaman dilimi Δt (ve herhangi bir t değeri için) süresince a) 1 geliş olma ihtimali: λ Δt + o(δt) olur b) Geliş olmama ihtimali : 1- (λ Δt + o(δt) ) olur c) Birden fazla geliş olma ihtimali : o(δt) olur o(δt) aşağıdaki eşitliği sağlayan herhangi bir miktardır. lim o(δt)/δt = 0 dır. Yani pratik olarak 1 geliş olma ihtimali λ Δt, hiç geliş Δt 0 olmama ihtimali 1- λ Δt ve 1 den fazla geliş ihtimali 0 olur.
15 TEOREM 2: Eğer varsayım 1 ve 2 sağlanırsa o zaman N t, λt parametresiyle poisson dağılımına uyar ve gelişler arası süre λ parametresiyle üstel dağılıma uyar. a(t)= λ e λt ÖRNEK 1: Kahve Dünyasında bir saatte sipariş verilen kahve, ortalaması saatte 30 kahve olan poisson dağılımına uymaktadır. a) Saat 10:00 ile 12:00 arasında 60 tane kahve siparişi verilmesinin olasılığı nedir? b) Saat 10:00 ile 14:00 arasında sipariş verilen kahvelerin ortalaması ve standart sapması nedir? c) İki sipariş arasındaki sürenin 1 ile 3 dak. Arasında olması ihtimali nedir?
16 ÇÖZÜM 1: a) 10:00 ile 12:00 arasında sipariş verilen kahve miktarı λt =2*30 = 60, parametre= λt=60 ile poisson dağılıma uyar. Bu süre zarfında 60 kahve siparişi verilmesinin olasılığı P(N t =n) = (λt)n e λt P(N n! t =60) = (60)60 e 60 olur 60! b) λ =30 Kahve/saat t=4 saattir. Eğer N poisson dağılımı ise E(N) = Var N = λ olur. Eğer süre 1 birim süre (saat) den farklı ise; Sorumuzda süre 4 saattir o zaman Eğer N t poisson dağılımı ise E(N t ) = Var N t = λt olur. 10:00 ile 14:00 arası sipariş verilen kahve ortalaması E(N t ) = λt =4*30 = :00 ile 14:00 arası sipariş verilen kahvenin standart sapması Var N t = λt = 4*30 = 120 Standart Sapma = (Var N t ) 1/2 = (120) 1/2 =10.95
17 ÇÖZÜM 1: c) X ardışık iki sipariş arasındaki zamanı (dakika) ifade etsin. Dakika başına ortalama sipariş 30/60=0,5 kahve/dak parametresi ile poisson dağılımına uyar. İki geliş (sipariş) arasındaki süre ise X(t)= 0,5 e 0,5t üstel dağılımına uyar. P(1<= X <= 3) = 1 3 0,5 e 0,5t dt = e 0,5 - e 1,5 = 0.38
18 ERLANG DAĞILIMI : Gelişlerarası süre üstel gibi gözükmüyorsa sıklıkla Erlang dağılımıyla modellenebilir. Erlang dağılımı iki parametreden oluşan sürekli bir dağılımdır. Erlang dağılımını T ile ifade edersek, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(t) oran(hız) parametresi R ve şekil parametresi k (k pozitif bir tamsayı olmalıdır) ile tarif edilir. R ve k değerleri verildiğinde Erlang olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olur f(t)= R(Rt)k 1 e Rt (t>=0) Bu fonksiyonun parçalı integralini alarak Erlang k 1! dağılımının beklenen değer ve varyansını aşağıdaki gibi bulabiliriz. E(T) = k R Var(T) = k R 2 Eğer şekil parametresini k ve oran parametresini kλ olarak düşünürsek Erlang dağılımının bağımsız ve aynı k tane üstel dağılımın toplamı olduğunu görürüz Eğer A i kλ parametresi ile tarif edilen bir üstel dağılımsa o zaman T = A 1 + A A k erlang dağılımdır (A 1, A 2,,A k dağılımları tıpatıp aynı üstel dağılımlardır ve her birinin parametresi kλ dır)
19 Burada Erlang dağılımın seri olarak k fazdan oluşan bir durum olarak düşünebiliriz. Örneğin müşteri gelişi k fazdan oluşan bir geliş veya müşteriye hizmet k fazdan oluşan bir hizmet olarak düşünülebilir. Her bir faz unutkanlık özelliği olan bir üstel dağılımdır ve her bir faz tıpatıp aynı üstel dağılım olup parametreleri kλ dir. Aşağıda k fazlı bir servis gösterilmiştir. K fazlı geliş içinde benzer şekil düşünülebilir. Şekil 5: Erlang Servis zamanının Gösterimi (k fazlı) Not: k fazlı gelişte benzer şekilde gösterilebilir
20 Şekil 3: Erlang Dağılımları için olasılık yoğunluk fonksiyonları AÇIKLAMA: k=1 olduğunda(tek faz olduğunda) Erlang dağılımı üstel dağılım aynı olur. k=1 olduğunda Erlang dağılımı paremetresi R olan bir üstel dağılımdır. k arttıkça erlang dağılımı simetrik bir yapıya dönüşmeye başlar normal dağılımı andıran bir şekle dönüşmeye başlar. Çok büyük k değeri için varyansı 0 olan bir yapıya erişir (Gelişlerarası süre sabit olan bir durum gibi). Şekilde görüldüğü gibi Erlang dağılımı küçük k lar için çarpık ve büyük k lar için simetrik bir yapıya dönüşür.
21 SERVİS SÜRECİNİ MODELLEME Her bir müşterinin servis zamanlarının bağımsız rassal değişkenler olduğunu kabul edelim ve her bir müşterinin servisi süresini olasılık yoğunluk fonksiyonunun s(t) olan S rassal değişkeniyle belirlendiğini kabul edelim. Eğer 1/μ bir müşteri için ortalama servis zamanıysa o zaman; 1/μ = 0 ts t dt olur. 1/μ müşteri başına zaman birimi (saat) sayısı; μ ise birim zaman (saat) başına müşteri sayısını ifade eder. Gelişlerarası sürede olduğu gibi servis süreleri de üstel dağılımla modellenebilir. Eğer servis süreleri üstel dağılım fonksiyonu s(t)= μ e μt izlerse o zaman müşterilerin ortalama servis süresi 1/ μ olur. Şekil 4: Üstel Dağılım (Servis süreleri)
22 Şekil 5: Erlang Servis zamanının Gösterimi (k fazlı) Not: k fazlı gelişte benzer şekilde gösterilebilir Bazen servis süreleri unutkanlık (hafızasızlık) özelliği taşımaz. Bu nedenle sıklıkla Servis sürelerini Erlang dağılımıyla ifade ederiz. Yukarıda k fazlı servisi gösteren Erlang dağılımı verilmiştir. Pek çok durumda gelişlerarası süre ve servis süreleri varyansı 0 olacak şekilde modellenebilir. Bu durumda süreler deterministiktir. Gelişlerarası süre 1/λ ve servis süresi 1/μ olur
23 KUYRUK SİSTEMLERİNDE KENDALL-LEE NOTASYONU Şekil 6: Tek-kuyruk ve paralel servisçilerin olduğu sistem Kuyruk sistemini Kendall (1951) aşağıdaki notasyonla tarif etmiştir. Her bir kuyruk sistemi altı özellikle tarif edilir. 1/2/3/4/5/6 1/ Birinci özellik geliş sürecini ifade eder. Aşağıdaki standart kısaltmalar kullanılmaktadır. M = Gelişlerarası süre bağımsız, benzer dağılan (bbd = iid independent identically distributed) rassal değişken olup üstel dağılmaktadır. D = Gelişlerarası süre bbd olup deterministiktir E k = Gelişlerarası süre bbd Erlang dağılımı olup şekil parametresi k dır. GI = Gelişlerarası süre bbd olup bazı genel dağılıma uymaktadır.
24 Kuyruk sistemini Kendall (1951) aşağıdaki notasyonla tarif etmiştir. Her bir kuyruk sistemi altı özellikle tarif edilir. 1/2/3/4/5/6 /2/ İkinci özellik servis sürecini ifade eder. Aşağıdaki standart kısaltmalar kullanılmaktadır. M = Servis süresi bağımsız, benzer dağılan (bbd = iid independent identically distributed) rassal değişken olup üstel dağılmaktadır. D = Servis süresi bbd olup deterministiktir E k = Servis süresi bbd Erlang dağılımı olup şekil parametresi k dır. G = Servis süresi bbd olup bazı genel dağılıma uymaktadır.
25 Kuyruk sistemini Kendall (1951) aşağıdaki notasyonla tarif etmiştir. Her bir kuyruk sistemi altı özellikle tarif edilir. 1/2/3/4/5/6 /3/ Üçüncü özellik paralel servisçi sayısını göstermektedir. /4/ Dördüncü özellik kuyruk disiplinini tarif etmektedir. FCFS = İlk gelen ilk hizmet görür (First Come, First Served) LCFS = Son gelen ilk hizmet görür (Last Come, First Served) SIRO = Servis rassal sıraya göre yapılır (Service in Random Order) GD = Genel kuyruk disiplini (General Queue Discipline) /5/ İzin verilen maksimum müşteri sayısı ( Hem kuyrukta hem de hizmet gören) /6/ Müşterilerin geldiği popülasyonun büyüklüğü Pek çok modellerde 4/5/6 GD/ / olduğundan böyle durumlarda açıkça gösterilmeyebilirler.
26 BAZI KUYRUK SİSTEMİ MODELLERİ M/E 2 /8/FCFS/10/ bu model bir kliniği ifade ediyor olabilir. 1/ Gelişler arası süre üstel dağılmaktadır /2/ Servis süreci iki fazlı erlang dağılımına uymaktadır /3/ 8 tane doktoru temsil etmektedir /4/ Kuyruk disiplini FCFS dir /5/ Sistemin kapasitesi 10 hastadır /6/ Müşterilerin geldiği popülasyonun büyüklüğü sonsuz kabul edilir. M/M/3/FCFS/10/100 1/ Gelişler arası süre üstel dağılmaktadır /2/ servis süresi üstel dağılmaktadır /3/ 3 tane servisçiyi temsil etmektedir /4/ Kuyruk disiplini FCFS dir /5/ Sistemin kapasitesi 10 müşteridir /6/ Müşterilerin geldiği popülasyonun büyüklüğü 100 dür.
27
KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN
KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN GİRİŞ Bir hizmet için beklemek günlük yaşantının bir parçasıdır. Örneğin, restoranlarda yemek yemek için bekleme, hastanelerdeki hasta kuyruğunda
DetaylıKUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ
SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ DERS NOTLARI DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ Kuyruk sistemindeki t zamanındaki müşteri sayısını kuyruk sisteminin
DetaylıNotasyonlar ve Genel Kurallar
Notasyonlar ve Genel Kurallar BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 2014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir kuyruğun temel bileşenleri 1. Varış Prosesi 6. Servis disiplinleri 2. Servis zamanı dağılımı 4. Bekleme yerleri
DetaylıSÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu; şeklinde ise x e düzgün dağılmış rassal değişken, f(x) e sürekli düzgün dağılım denir. a 0 olduğuna göre, f(x) >0 olur.
DetaylıBekleme Hattı Teorisi
Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov
DetaylıEME 3117 SISTEM SIMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
0..07 EME 37 SISTEM SIMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)
DetaylıSÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin
DetaylıEME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
9.0.06 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar EME 7 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller (Sürekli Dağılımlar) Ders 5 Sürekli Düzgün Dağılım Sürekli Düzgün (Uniform)
DetaylıZ = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ
YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.
Detaylı19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.
9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)
DetaylıKuyruk Sistemlerinin Benzetimi. KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu
Kuyruk Sistemlerinin Benzetimi KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu Genel nüfus Kuyruğa giriş ve hizmetlerin yapısı Sistemin kapasitesi Kuyruk disiplini
DetaylıKuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri
Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 0 KASIM 207 0. HAFTA 5.7 M/M/K/ / sistemi için Bekleme süresinin dağılımı j ( ) T j rastgele değişkeni j. birimin
Detaylı9/22/2014 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Giriş. Tek Kanallı Kuyruk Sistemi. Kuyruk Sistemlerinin Simulasyonu. Simulasyon Örnekleri Ders 2
EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyon Örnekleri Ders Giriş Bu derste bilgisayar yardımı olmaksızın çalıştırılabilen birkaç simulasyon örneği verilmiştir. Bu örnekler size sistem simulasyonu metodolojisini
DetaylıDers 6: Sürekli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal
DetaylıKuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri
Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 1. HAFTA 1 Kuyruk Teorisi: Giriş Bir hizmete olan talep arrtıkça talebi karşılamak için hizmeti
DetaylıBENZETİM. Prof.Dr.Berna Dengiz. 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi
Prof.Dr.Berna Dengiz 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi BENZETİM DİLLERİNDE MODELLEME YAKLAŞIMLARI Tüm benzetim dilleri; ya olay-çizelgeleme
DetaylıYönetimde Karar Verme Teknikleri
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yönetimde Karar Verme Teknikleri Hafta 0 Yrd. Doç. Dr. Harun R. YAZGAN Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
DetaylıENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ. Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir.
ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ Kuyruk sistemleri, Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir. Üretimde, atölye çevresi kuyruk şebekelerinin karmaşık bir ilişkisi olarak düşünülebilir. Bir
DetaylıRİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME
SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla
DetaylıSİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN
SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1.
DetaylıKümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli)
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli) sürekli bir rastgele değişken olsun. Bu durumda kümülatif dağılım fonksiyonu şu şekilde tanımlanır. F ( ) = Pr[ ] Tipik bir KDF şu şekilde görünür:.0 F () 0 Kümülatif
DetaylıIE 303T Sistem Benzetimi
IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı
Detaylı1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir
7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin
Detaylı2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018
2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 Sigortacılık Eğitim Merkezi (SEGEM) tarafından hazırlanmış olan bu sınav sorularının her hakkı saklıdır. Hangi amaçla
DetaylıKuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri
Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 5. HAFTA 2.7 M/M/1/ / sistemi için Bekleme zamanının dağılımı ( ) 1 T j rastgele değişkeni j. birimin
DetaylıBEKLEME HATTI MODELLERİ
BEKLEME HATTI MODELLERİ Günlük yaşamımızda, kuyrukta bekleyen insanlar ve araçlar ile her zaman karşılaşırız. Bunlar arasında Maça gitmek için bilet kuyruğu, Sinema kuyruğu, Hastanelerdeki hasta kuyruğu,
Detaylı9/28/2016 EME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU. Giriş. Tek Kanallı Kuyruk Sistemi. Kuyruk Sistemlerinin Simulasyonu. Simulasyon Örnekleri Ders 2
EME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyon Örnekleri Ders Giriş Bu derste bilgisayar yardımı olmaksızın çalıştırılabilen birkaç simulasyon örneği verilmiştir. Bu örnekler size sistem simulasyonu metodolojisini
DetaylıDers 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
DetaylıOLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine
DetaylıWEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın
DetaylıKuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri
Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 0 KASIM 207 8. HAFTA.7 M/M//N/ sistemi için Bekleme zamanının dağılımı ( ) T j rastgele değişkeni j. birimin
DetaylıSÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.
DetaylıRastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
DetaylıDeney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları
Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı
Detaylı1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi
1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri
DetaylıKuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri
Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 14. HAFTA 8 Tek kanallı, Sonsuz Kapasiteli, Servis Süreleri Keyfi Dağılımlı Kuyruk Sistemi M/G/1/
DetaylıKUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER
KUYRUK SİSTEMİ VE SİSTEM SİMULASYONU 5. KUYRUK SİSTEMLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa ya da
DetaylıTablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01
Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin
DetaylıEME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU
1 EME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU ARENA ya Giriş Lab-1 Dr.Beyazıt Ocaktan Giriş 2 Bu derste ARENA ortamında modelleme yeteneklerini genel olarak tanıtmak için basit bir model sunulacaktır. Simulasyon Dilleri
DetaylıBAKIM-ONARIM İÇİN SIRADA BEKLEME (KUYRUK) MODELLERİ
GIRIŞ 2 BAKIM-ONARIM İÇİN SIRADA BEKLEME (KUYRUK) MODELLERİ D R. F E R H A T G Ü N G Ö R 1 Kuyruk teorisi; servis almak için oluşan kuyruk, sağlanan servis hizmetinden fazladır. Bunun çeşitli nedenleri
DetaylıENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ
ENM 16 BENZETİM ÖDEV SETİ Ödev 1. Bir depo ve N adet müşteriden oluşan bir taşımacılık sisteminde araç depodan başlayıp bütün müşterileri teker teker ziyaret ederek depoya geri dönmektedir. Sistemdeki
DetaylıSimülasyonda İstatiksel Modeller
Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
Detaylı13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
DetaylıÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki
DetaylıVeri Ağlarında Gecikme Modeli
Veri Ağlarında Gecikme Modeli Giriş Veri ağlarındaki en önemli performans ölçütlerinden biri paketlerin ortalama gecikmesidir. Ağdaki iletişim gecikmeleri 4 farklı gecikmeden kaynaklanır: 1. İşleme Gecikmesi:
DetaylıARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):
YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta
DetaylıY.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ Kuyruk Teorisi. Bölüm 1: Temel Kavramlar. Varışlar: Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler
Kuyruk Teorisi Bölüm 1: Temel Kavramlar KONU 8 Kuyruk Teorisi nin Bileşenleri Varışlar: Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler Kuyrukta Bekleme : Müşteriler sırada veya sıralarda hizmet
DetaylıFaktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,
14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
DetaylıRISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir:
RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM 2017 SORU 1: Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: 115 240 325 570 750 Hasarların α = 1 ve λ parametreli Gamma(α, λ) dağılıma
DetaylıRassal Değişken Üretimi
Rassal Değişken Üretimi Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI GİRİŞ Yaşadığımız ya da karşılaştığımız olayların sonuçları farlılık göstermektedir. Sonuçları farklılık gösteren bu olaylar, tesadüfü olaylar olarak adlandırılır.
DetaylıALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi:
İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz.
Detaylı2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI: SİGORTA MATEMATİĞİ. Soru 1
Soru Günde 8 saat çalışan bir bankanın müşterilerinin sayısı ile ilgili olarak şu bilgi verilmektedir: Müşteri sayısı, bankanın açıldığı an 9 müşteri ile başlayıp, her saat başı 9 oranı ile doğrusal artarak
DetaylıSimülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation
Simülasyonda İstatiksel Modeller Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri
DetaylıKESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli
DetaylıMARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI
SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıAppendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıProf.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN
SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)
Detaylırasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının
DetaylıEkonometri I VARSAYIMLARI
Ekonometri I ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİNİN VARSAYIMLARI Hüseyin Taştan Temmuz 23, 2006 İçindekiler 1 Varsayım MLR.1: Parametrelerde Doğrusallık 1 2 Varsayım MLR.2: Rassal Örnekleme 1 3 Varsayım MLR.3:
DetaylıPoisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması
Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Poisson dağılımı kesikli dağılımlar içinde Binom dağılımından
DetaylıKUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ
SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ DERS NOTLARI M/M/1/GD/c/ KUYRUK SİSTEMİ Geçen dersimizde sistemin kapasitesini sınırsız görmüştük.
DetaylıAppendix C: İstatistiksel Çıkarsama
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.
DetaylıRİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015
RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 SORU 2: Motosiklet sigortası pazarlamak isteyen bir şirket, motosiklet kaza istatistiklerine bakarak, poliçe başına yılda ortalama 0,095 kaza olacağını tahmin
DetaylıSÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK
SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK DAĞILIMLARI Sürekli bir random değişken (a,b) aralığındaki her değeri alabiliyorsa bu değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunun grafiğinde eğri altında kalan alan bize
DetaylıBAZI ÖNEMLİ SÜREKLİ DEĞİŞKEN DAĞILIMLARI
BAZI ÖNEMLİ SÜREKLİ DEĞİŞKEN DAĞILIMLARI BAZI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI 1. SÜREKLİ DÜZGÜN (UNIFORM) DAĞILIM 2. NORMAL DAĞILIM 3. BİNOM DAĞILIMINA NORMAL YAKLAŞIM 4. POISSON DAĞILIMINA NORMAL YAKLAŞIM
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL 2 ÖRNEKLEME Anakütleden n birimlik örnek alınması ve anakütle parametrelerinin örnekten tahmin edilmesidir. 3 ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ Anakütleye
DetaylıFaaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30)
ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ Ödev 1. Bir projede A, B, C, D, E ve F olmak üzere 6 faaliyet vardır. Projenin tamamlanması için bu faaliyetlerin sırası ile yapılması gerekmektedir. Her faaliyetin tamamlanması
DetaylıEME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri
EME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU ARENA ya Giriş Lab-1 1 2 Giriş Bu derste ARENA ortamında modelleme yeteneklerini genel olarak tanıtmak için basit bir model sunulacaktır. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan Simulasyon
DetaylıNORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,
NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına
DetaylıMAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1
MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 şeklinde tanımlanan dağılımın a) Ortalama ve varyans değerlerini bulunuz b) Moment yaratma fonksiyonunu bularak a-şıkkını tekrar çözünüz. Bir tezgahta üretilen
DetaylıSİMULASYON MODELLEME VE ANALİZ. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri HAFTA 2. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan
SİMULASYON MODELLEME VE ANALİZ 1 2 Giriş Bu derste ARENA ortamında modelleme yeteneklerini genel olarak tanıtmak için basit bir model sunulacaktır. HAFTA 2 Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan Simulasyon Dilleri
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıIE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R
IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık
DetaylıKesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
Detaylıİş Sıralama Kuraları -101
/ İş Sıralama Kuralları - 101 1 İş Sıralama Kuraları -101 Bu sunum sadece cengizpak.com.tr site üyeleri içindir Hazırlayan : Cengiz Pak cengizpak.com.tr Avcının Silahı Kullanılabilir Bilgi / İş Sıralama
DetaylıENM 316 BENZETİM. Faaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30)
ENM 316 BENZETİM ÖDEV 1: Bir projede A, B, C, D, E ve F olmak üzere 6 faaliyet vardır. Projenin tamamlanması için bu faaliyetlerin sırası ile yapılması gerekmektedir. Her faaliyetin tamamlanması için gereken
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ
ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ ÖDEV 1: El ile Benzetim Bir depo ve 7 adet müşterisi olan bir taşımacılık sisteminde müşterilerden gelen siparişler araç ile taşınmaktadır. İki tür sipariş söz konusudur. Birincisi
DetaylıYapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )
İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.
DetaylıSİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ
SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun
DetaylıGirdi Analizi. 0 Veri toplama 0 Girdi sürecini temsil eden olasılık dağılımı belirleme. 0 Histogram 0 Q-Q grafikleri
Girdi Analizi 0 Gerçek hayattaki benzetim modeli uygulamalarında, girdi verisinin hangi dağılımdan geldiğini belirlemek oldukça zor ve zaman harcayıcıdır. 0 Yanlış girdi analizi, elde edilen sonuçların
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
DetaylıİSTATİSTİK DERS NOTLARI
Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat
DetaylıAKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak
AKT20 Matematiksel İstatistik I 207-208 Güz Dönemi AKT20 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 Son Teslim Tarihi: 29 Aralık 207 Cuma, Saat: 5:00 (Ödevlerinizi Arş. Gör. Ezgi NEVRUZ a elden teslim ediniz.) (SORU
DetaylıOlasılık ve İstatistik Hatırlatma
Olasılık ve İstatistik Hatırlatma BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir olayın olasılığı bize ne anlatır? Verilen bir olasılığın manası nedir? Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında
DetaylıÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ
ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ Çıktı analizi benzetimden üretilen verilerin analizidir. Çıktı analizinde amaç, bir sistemin performansını tahmin etmek ya da iki veya daha fazla alternatif sistemlerin performansını
DetaylıBMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN
BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi İlhan AYDIN KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ Kesikli olay benzetimi, durum değişkenlerinin zaman içinde belirli noktalarda değiştiği sistemlerin modellenmesi
DetaylıKesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
Detaylı