KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN

Transkript

1 KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN

2 GİRİŞ Bir hizmet için beklemek günlük yaşantının bir parçasıdır. Örneğin, restoranlarda yemek yemek için bekleme, hastanelerdeki hasta kuyruğunda bekleme, marketlerde ödeme yapmak için kasalarında önünde oluşan kuyruğa girme Beklemek sadece insana özgü bir deneyim değildir. İşlerin makinede işlem görmeyi beklemesi, arızalı makinelerin onarım için beklemesi, araçların trafik ışıklarında durması..

3 GİRİŞ Bir işletmedeki yönetici hizmet maliyetinin düşük olmasını, hizmet niteliğinin yüksek olmasını ve müşterilerin bekleme zamanını en düşük düzeyde tutmayı amaçlamalıdır. Hizmet için gelen müşteri isteklerinin zamanında karşılanması bekler. Müşteri gereğinden fazla beklediğinde, işletmenin müşteriyi kaybetme olasılığı vardır. Bu da işletmeye zarar verir. İşletmenin yararları ile müşterilerin yararlarını dengeleyen bir ekonomik strateji belirlenmesi kuyruk analizi ile gerçekleştirilebilir.

4 KUYRUK TEORİSİ Kuyruk teorisi bekleyen sıraların (ya da kuyrukların) matematiksel olarak incelenmesidir. Teori sıraya girilmesi, kuyrukta bekleme (aslında bir depolama işlemi) ve sıranın önünde hizmet sağlayanlar tarafından servisin sunulmasını içeren birçok ilişkili işlemin matematiksel analizine uygundur. Teori, kuyrukta ya da sistemde ortalama bekleme zamanı,bekleyen ya da alınan hizmetin beklenen değerini ve belirli durumlarda (müsait bir servis sağlayıcıya sahip olunan ya da hizmet almak için belirli bir zamanın beklendiği) bir sistemle karşılaşma olasılığını içeren birkaç performans ölçümünü hesaplamayı ve bunları türetmeyi sağlar.

5 KUYRUK TEORİSİ Kuyruk durumunda temel aktörler müşteri ve hizmet verendir. Müşteriler bir kaynaktan türetilir. Müşteri hizmet yerine vardığında hemen hizmet görür veya tesis meşgulse kuyrukta bekler. Bir hizmet yeri hizmetini tamamlandığında eğer varsa bekleyen müşteriyi kendiliğinden kuyruktan çeker. Kuyruk boşsa hizmet yeri yeni müşteri gelinceye kadar boş kalır.

6 ÖRNEK Aşağıdaki durumların her biri için müşteriyi ve hizmet vereni tanımlayın. a) Havaalanına inan uçaklar b) Taksi durağı c) Bir atölyede depodan çıkan kesme takımları d) Postanede işlenen mektuplar e) Üniversitede kayıt yenileme f) Mahkemedeki davalar g) Süpermarketteki kasalar h) Otopark hizmetleri

7 TEMEL KAVRAMLAR-1 Bir kuyruk teorisinin temel kavramları şunlardır: 1. Kuyruk: Servis için beklemekte olan müşteri sayısı. 2. Servis kanalı: müşterilere hizmet sunan sistem veya süreçtir. 3. Geliş debisi: birim zamanda hizmet görmek için gelen müşteri sayısıdır. 4. Servis debisi: birim zamandaki müşteriler olup servisi gerçekleştiren servis kanalındaki müşteri sayısıdır.

8 TEMEL KAVRAMLAR-2 Kuyruk disiplini: Müşterilerin hizmet için seçilme düzenine kuyruk disiplini denir. Servis disiplininde kullanılan standart kural, ilk gelen ilk hizmet görür (FCFS-First Come First Service) kuralıdır. Diğerleri; Son gelen ilk hizmet görür (LCFS) ve Rastgele sırada hizmet verme (SIRO) disiplinleridir. Servis olanaklarını yapısı: servis olanaklarını düzenlenmesi şu şekillerde gerçekleşebilir: tek kanallı ve çok kanallı.

9 KUYRUK SİSTEMLERİ-1

13 KUYRUK MODELLERİNİN TEMSİLİNDE KENDALL LEE-TAHA NOTASYONU-1 D. G. Kendall 1953 yılında çok kaynaklı kuyruk modelleri için gelişlerin dağılımı, servis süresi dağılımı ve sistemde bulunan paralel servis sayısını tanımlamak için bir notasyon önermiştir. Bu notasyona A. Lee 1966 yılında servis disiplini ve sistemde bulunan maksimum birey sayısını 4. ve 5. karakterler olarak eklemiş, sonrasında ise Hamdy A. Taha 1968 de 6. karakter olarak geliş kaynağını eklemiştir.

14 KENDALL-LEE-TAHA NOTASYONU-2 (a/b/c):(d/e/f) a: varış debisi dağılımı b: servis debisi dağılımı c: sistemde bulunan kanal sayısı d: geliş kaynağı büyüklüğü e: sistemdeki birim sayısı f: kuyruk disiplini

15 KENDALL-LEE-TAHA NOTASYONU-3 a ve b sembollerinin alabileceği değerler: D: deterministik gelişler arası süre veya hizmet süresi. M: Poisson geliş veya ayrılış dağılımları (gelişler arası sürenin veya servis süresinin üstel olmasıyla eş anlamlıdır.) Ek: Erlang veya Gamma gelişler arası hizmet dağılımı. GI: gelişler arası sürenin bağımsız dağılımı. G: hizmet süresinin genel dağılımı.

16 KENDALL-LEE-TAHA NOTASYONU-4 d sembolünün alabileceği değerler: FCFS: İlk gelen ilk hizmet görür (First Come First Service). LCFS: Son gelen ilk hizmet görür (Last Come First Service). SIRO: Tesadüfi servis (Service In Random Order). GD: Genel servis disiplini (General Service Dicipline). c sembolü paralel hizmet kanalı sayısını belirten herhangi bir pozitif tamsayıdır. e ve f sembolleri sonlu ve sonsuz kuyruklarda sırasıyla sistemde ve geliş kaynağında bulunan birey sayısını gösterir.

17 ÖRNEK (M/M/3):(FCFS/ / ) Kanal sayısı Poisson ayrılış Poisson Sonsuz geliş kaynağı Sistemdeki müşteri sayısı İlk gelen ilk hizmet görür

18 KUYRUK MODELİNDE GELİŞ VE SERVİS YAPİSİNİ AÇİKLAMADA KULLANİLAN DAĞİLİMLAR-1 Kuyruk modellerinde müşterilerin kuyruğa geliş süreçleri, geliş oranları ve gelişler arasındaki süre bulunarak açıklanır. Geliş oranı (λ), zaman birimi başına müşterilerin kuyruk sistemine geliş sayısıdır. Gelişler arası süre ise müşterilerin gelişlerine göre aradaki geçen süredir. Servis oranı (μ), zaman birimi başına servis sayısıdır. Servis süresi, bir servisi gerçekleştirmek için gerekli olan zamandır. Örnek: Saatte 30 sayfa yazan bir sekreter, bir sayfa yazıyı ortalama 2 dakikada yazabilir. Yani ortalama servis süresi 1/μ = 1/30 saat = 60/30 = 2 dakika/sayfa

19 KUYRUK MODELİNDE GELİŞ VE SERVİS YAPİSİNİ AÇİKLAMADA KULLANİLAN DAĞİLİMLAR-2 Müşterilerin kuyruk sistemine gelişlerinin genellikle tesadüfi olduğu kabul edilir ve gelişler ile gelişler arasındaki süreyi açıklamada olasılık dağılımlarından poisson ve üstel dağılım kullanılır. Müşterilerin geliş sayıları Poisson dağılımında ise gelişleri arasındaki süre üstel dağılımlı olmalıdır.

20 KUYRUK MODELİNİ UYGULAMA ÜSTÜNLÜKLERİ-1 Kuyruk modeli yöneticiye aşağıdaki önemli sonuçları verir. 1. Sistemdeki müşteri sayılarının olasılık dağılımı: bu olasılık dağılımı ele alınacak diğer sonuçların elde edilmesinde temel olacaktır. 2. Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (L): Servis görmekte olan ve kuyrukta bekleyen müşteri sayısıdır. Bu sayı sistemde müşterinin harcadığı ortalama zamanı bulmada yardımcı olur. 3. Sistemde müşterinin harcadığı ortama süre (W): Müşterinin kuyruk sisteminde harcadığı, yani kuyruktaki bekleme süresiyle serviste harcadığı süre toplamıdır.

21 KUYRUK MODELİNİ UYGULAMA ÜSTÜNLÜKLERİ-2 4. Ortalama kuyruk uzunluğu (Lq): Servis görmek üzere beklemekte olan müşteri sayısıdır. 5. Müşterilerin kuyrukta ortalama bekleme süresi (Wq): Müşterinin kuyrukta bekleyerek harcadığı süredir. 6. Sistem kullanım faktörü (ρ): Sistemin meşgul olma olasılığının, yani bir anlamda hizmet veren kişi veya sistemin müşteriye harcadığı zaman oranıdır.

22 TEK SERVİSLİ KUYRUK MODELLERİ-1 Üstel servisli sınırsız kuyruk modeli Tek bir servis kanalı olan, yani zamanın herhangi bir anında hizmet verecek kuyruk modelidir. İlk önce sistemi müşterilerin geliş süreçlerinin Poisson dağılımı, servis süreçlerinin ise üstel dağılım özelliği gösterdiği varsayılacağı gibi, kuyrukta bekleyenlerden ilk gelen ilk hizmet görecektir. Ayrıca ortalama servis oranı, ortalama müşterilerin geliş oranından büyüktür. Bu durumda tüm gelen müşterilerine servis verme olanağı vardır. Eğer müşterilerin geliş oranı, ortalama servis verme olanağından büyük olursa kuyruk belirsizce büyüyecektir. Yani kuyruk yapısı sonsuz olma özelliği gösterecektir.

23 TEK SERVİSLİ KUYRUK MODELLERİ-2 Pn, verilen bir zamanda sistemde n sayıda müşteri bulunma olasılığıdır. Po, sistemde müşteri olmama olasılığını gösterir. Gelişlerin poisson, servislerin üstel ve kuyruk uzunluğunda bir sınırlandırmaya gidilmediğinde aşağıdaki formüller uygulanabilir. Sistemde n birim müşteri bulunma olasılığı Pn = (1 ρ) ρ n

24 TEK SERVİSLİ KUYRUK MODELLERİ-3 Servis verenin aylak kalma süresinin oranı: Po 1 Sistemde n veya daha fazla birimin bulunma olasılığı: pn n Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (L): L 1-

25 TEK SERVİSLİ KUYRUK MODELLERİ-4 Ortalama (beklenen) kuyruktaki müşteri sayısı veya ortalama kuyruk uzunluğu Lq 2 ( ) Servis, ilk gelen ilk hizmet görür kuralına göre verilirse, yeni gelen müşterinin beklenen bekleme süresi yani müşterinin kuyrukta harcadığı ortalama zamanı wq ( ) Kuyruk sisteminde müşterilerin harcadığı ortalama zaman 1 W ( ) Bu formül aynı zamanda yeni gelen müşterinin servis almak için harcadığı toplam süredir.

26 ÖRNEK-1 Bir fabrikada bozula makinaların onarımı için geliş oranları λ=1/12 (makine/dakika), onarım oranı ise μ= 1/8 dir. Yani, tek bir makinayı onarma süresi 8 dakikadır. a. Onarım için bekleyen makine sayısı b. Bir makinanın kuyruk sisteminde bekleme süresini c. Makinaların bozulma oranı yüzde 20 arttığında, onarım için bekleyen makine sayısı ile makinanın kuyrukta bekleme süresini bulunuz.

27 ÖRNEK-2 Bir mağazada saatte ortalama 12 müşteri kasaya ödeme için gelmektedir. Ödeme kişi başına ortalama 4 dakikalık zaman almaktadır. Buna göre aşağıdaki soruları yanıtlayalım. a. Kullanım faktörü b. Herhangi bir verilen t zamanında kasiyerin aylak kalma olsalığını c. Herhangi bir t zamanında sistemdeki ortalama müşteri sayısını d. Kuyruktaki ortalama müşteri sayısı e. Müşterinin ortalama bekleme süresi f. Sistemde müşterinin harcadığı ortalama süre

28 TEK SERVİSLİ KUYRUK MODELLERİ-5 Sonlu Geliş Kaynaklı Sonsuz Tek Kanallı Kuyruk Modeli Bazı kuyruk problemlerinde hizmet için gelen müşterilerin sayısı kısıtlanır. Şöyle ki, belirli bir zamanda ancak N sayıda müşteri hizmet için kuyruk sistemine gelir ve kuyruk uzunluğu N 1 den büyük olamaz. Bir başka değişle bir usta başı fabrikada ancak N sayıdaki makinenin onarımından sorumlu olur. Onarım için gelen makinelerin kuyruktaki sayısı N 1 dir. Bir anlamda sınırlı bir kuyruk vardır. Kuyruk sistemindeki en fazla müşteri sayısını N, müşteri gelişlerinin Poisson dağılımına göre ve kuyruğun sonlu olduğunu kabul edelim. Ayrıca müşterilere servis verme süresi üstel dağılımlı ise (durağan) denge durumu için aşağıdaki denklemleri yazabiliriz.

29 TEK SERVİSLİ KUYRUK MODELLERİ-6 N n n n N N P 0 )! (! 1 0 P P n n n N N 0 )! (! P N L 0 1 ) (1 1 P0 L N q L W L W q q

30 ÖRNEK-1 Belirli parçaları makinelere takmak için fabrikada 5 makinist vardır. Her makinist takma işlemini 15 dakikada bir yapmaktadır. Her takma işi ortalama 12 dakika sürer. Makinistlerin gelişleri Poisson ve servis süreleri ise Üstel dağılımlıdır. Buna göre, a. Makinistlerin aylak kalma olsalığını b. Beş makinistin tümünün fabrikada makinaları monte etme olasılığını c. Bir makinistin hizmet görmesi de dahil ortalama bekleyen makinistlerin sayısını, yani kuyruk sistemindeki müşterilerin sayısını d. Servisten önce kuyruktaki ortalama müşteri sayısını e. Kuyruk sisteminde harcanan ortalama süreyi f. Kuyrukta harcanan ortalama süreyi bulunuz.

31 ÖRNEK-2 Bir işletmede bir ustabaşı üç makinaya bakmakta ve her makinanın ustabaşının bakımına geliş süresi ortalama 6 gündür. Yani bir makinanın bakıma gelişlerarası süresi altı günde birdir. Bakıma alınan makinanın ortalama servis süresi 2 gündür. Buna göre, a. Üç makinanın çalışır durumda olma olasılığını, yani üç makinanın kuyruk sisteminde olmama olasılığını b. Üç makinanın çalışır durumda olmama olasılığını, yani üç makinanın kuyruk sisteminde olma olasılığını c. Çalışır durumda olan makinaların ortalama sayısını