parametrelerin elde edilmesidir. Kinematik analiz mekanizmaların dinamik analizi

Transkript

1 MEKANİZMALARIN KİNEMATİK ANALİZİ 1. GİRİŞ Kinematik analiz, mevcut mekanizmanın konum, hız ve ivme gibi kinematik parametrelerin elde edilmesidir. Kinematik analiz mekanizmaların dinamik analizi için ilk basamak teşkil ettiği gibi, mekanizmaların sentezi için de temel teşkil eder. Mekanizmaların kinematik analizinde iki ayrı yöntem uygulanır. Bunlardan birincisi grafik yöntem diğeri ise analitik yöntemdir. Grafik yöntemin temel dayanağı geometri ve kinematik bağıntılardır. Kinematik bağıntılar geometrik temsil edilerek mekanizma uzuvlarının hız ve ivmeleri, bundan önceki bölümlerde olduğu gibi, çizim yoluyla elde edilir. Bu yöntemin bazı kolaylıkları, kolaylıkla çözüme varılması, mekanizmanın konumlarının görülebilir olması ve yüksek dereceli cebirsel denklemlerle ve bunların çözümleriyle uğraşılmamasıdır. Ancak bu yöntemin uygulanmasında ölçü ve çizim hataları yapılabildiğinden pek hassas sonuçlar beklenmemelidir. Mekanizmanın bir konumu söz konusu olduğunda yapılan hatalar yok varsayılabilirse, bu hataları yüzde iki veya bir mertebesinde tutmak mümkün olabilir, isteyerek grafik yöntem kullanılmaktadır. Çoğu kere mekanizmacı veya konstrüksiyon mühendisleri mekanizmanın uzuvlarına ait hız ve ivmelerin en büyük veya en küçük değerlerini bilmek isterler. Bu durumda mekanizmanın bir tek konumu yerine çok konumu söz konusudur. Mekanizmanın çok konumu için, konum sayısına bağlı olarak, grafik yöntem oldukça yorucu ve zaman alıcı olur. 1

2 Mekanizmaların analitik yöntemle kinematik analizinde geometrik ve cebirsel esaslardan hareketle sonunda mekanizmanın uzuvlarına ait konum, hız ve ivmeleri için analitik bağıntılar bulunur. Bu bağıntıların çözümlenebilmesi ve değerlendirilmesi çağımızda computerler yardımıyla çok kolay hale gelmiştir. Hemen söylemek gerekir ki her mekanizma için analitik bağıntıların bulunuşu sanıldığı kadar kolay değildir. Üç çubuk mekanizması, krank biyel mekanizması ve buna benzer bazı az uzuvlu mekanizmalar için analitik bağıntıların elde edilmesi nispeten kolay ve mümkün olsa da, çok uzuvlu mekanizmalar için güçlükler vardır. Elektronik hesap makinelerindeki hızlı gelişmeler mekanizmaların analitik yöntemle analizine olan ilginin artmasına yol açmıştır. Mekanizmanın analizi için matematik bağıntılar bir kere doğru olarak elde edildikten sonra mekanizmanın konum, hız ve ivme bağıntılarındaki parametreler sonsuz değiştirilerek istenilen elde edilebilir. Ayrıca bu amaçla yapılan programlar saklanıp gerektiğinde tekrar kullanılabilir. Makinelerde mevcut mekanizma sayısının fazlalığı her mekanizma için ayrı matematik bağıntıların önceden bulunmasını gerektirir. Tüm mekanizmaları bir tek matematik bağıntıyla temsil etmek mümkün olamayacağına göre analitik yöntem konum, hız ve ivmeleri için matematik bağıntıları elde edilmiş veya elde edilmesi mümkün olan mekanizmalar için iyi sonuç verir. Hemen söylemek gerekir ki düzlemsel ve hacmi mekanizmaları kapsamına alan programlar geliştirmek gerek mekanizmaların analizi gerekse sentezi için çok yararlı olacaktır..mafsal MEKANİZMALARI

3 Düzgün olmayan çevrimli mekanizmalarda hız ve ivmeler belirir. Mesela bir kol mekanizmasının biyeli muylu sayesinde düzgün hızla (çevre hızı) çevrilirken, piston pernosundaki diğer bir yatak değişen hız ve ivmelere maruz kalmaktadır. Her iki biyel yatağında hareket şartları farklıdır. Bir muylunun ve piston pernosunun hareketi sorunu bir noktanın hareketi sorunudur. Bütün bir biyelin hareketi ise bir düzlemin hareketi sorunudur. Eğer bütün ayrı noktaların hareketleri belirli ise o zaman bir düzlemin hareketi incelenebilir. Biz mekanizmaların kinematik analizini yapmadan önce maddesel noktanın hareketini inceleyeceğiz. Ayrıca mekanizma mafsallarını hareketli noktalar şeklinde düşünüceğiz..1 Maddesel noktanın hareketi Maddesel nokta bir doğru üzerinde hareket ediyorsa buna maddesel noktanın doğrusal hareketi denir. Verilmiş olan bir t anında maddesel nokta, doğru üzerinde belirli bir yerde bulunur. Maddesel noktanın P yerini tanımlamak için doğru üzerinde sabit bir O noktası ve bir pozitif yön seçilirse, P noktasının konumu tamamen belli olur (Şekil 1.a). OP = u nun t zamanına göre değişme şekli P nın hareketini belirleyecektir. P nın hareketi, u ile t arasındaki matematik ilişki verildiği takdirde, belirli bir harekettir. Bu ilişki ; (1) u = f (t) bağıntısı ile ifade edilir. 3

4 Burada noktanın başlangıç konumu P 0 büyük önem taşır. Bu konum başlangıç zamanı olarak isimlendirilen t 0 anında işgal ettiği konumdur. P 0 başlangıç konumu bu durumda ; OP 0 = u 0 = f (t 0 ) ile belirlidir. OP 0 = u 0, OP = u ve alınan yol PP 0 ise, s = u u 0 dir. Bilindiği gibi hız ve ivme yolun zamana göre 1. ve. türevleridir : ds () v = m / s (Hız) dv d s (3) b = = (m /s ) (İvme). Bir noktanın eğrisel hareketi Bir nokta herhangi bir a eğrisi boyunca hareket ediyorsa nokta eğrisel hareket yapıyor denir. Noktanın verilen bir t zamanında P yerini tanımlamak için eksenleri sabit bir x, y, z karşılaştırma takımı seçer ve 0 başlangıç noktasını P ye bağlayan r vektörünü çizeriz (Şekil 1.b). Bu r vektörüne konum vektörü denir. Konum vektörü zamanın bir fonksiyonudur, yani r = r (t) dir. Ox, Oy, Oz eksenlerinin birim vektörleri i, j, k, P noktasının koordinatları, x, y, z olursa, r konum vektörü, 4

5 (4) r = xi + yj + zk yazılabilir. OP veya r in yönündeki birim vektör e, ise gösterilirse, (5) r = r e r dir. Burada (6) r = x + y + z dır. Şimdi D t zaman aralığında nokta P den P 1 e gelmiş olsun, (Şekil 1c). Bu esnada r vektörü D r kadar değiştirilmiştir, yani D r = r 1 r dir. Maddesel noktanın Dt zaman aralığındaki ortalama hızı Dr Dt oranı olarak tanımlanır. Burada Dr bir vektör ve Dt bir skaler olduğundan Dr / Dt oranı, P den geçen ve Dr ile aynı doğrultuda ve yönde olan bir vektördür. Maddesel noktanın t anındaki ani hızı; v = lim Dt 0 Dr Dt = dr = r 5

6 v hız vektörü ile gösterilir. Görülmektedir ki Dr / Dt limiti bize r (t) vektör fonksiyonunun türevini vermektedir. Şimdi hız vektörünün yönünü inceleyelim. PP 1 yaz uzunluğunu Ds olarak tanımlayalım. Buradan; Dr lim Ds Ds 0 = dr ds = e t yazabiliriz. Burada e t birim vektör olup P noktasında yörüngeye teğettir. Diğer dr taraftan v = = r eşitliğinden v = dr æ dr öæ ds ö = ç ç è ds øè ø (7) v = ds et = s et yazılabilir. 6

7 Şekil 1 7

8 Eğer Dt zaman aralığında hızda Dv değişimi meydana geliyorsa Dv oranı Dt bize maddesel noktanın bu Dt zaman aralığındaki ortalama ivmesini verir. Maddesel noktanın t anındaki ivmesi (8) b = lim Dv dv d r = = Dt Dt 0 = r dir. r = xi +yj +zk konum vektörünün zamana göre türevi v = dr = r = dx i + di x + dy j + dj y + dz k + dk z dir. Burada di = dj = dk = 0 olduğundan v = dr = dx i + dy j + dz k veya (9) v = x i + y j + z k 8

9 dır. İvme ise dv d r d x d y d z (10) b = = = r = i + j + k veya dır. İvme büyüklüğü b = x i + y j + z k (11) b = x + y + z dır. Maddesel noktanın v hızı (1) v = v e t şeklinde bilinmektedir. Maddesel noktanın ivmesini elde etmek için bu ifadenin t ye göre türevini almamız gerekir. (13) b = dv = dv e t + det v dir. Bilindiği gibi, 9

10 de t det dq = dq ds ds dir. ds = v, de t = dq e n ve dq 1 = ds r olduğundan (burada r eğrilik yarıçapıdır), de t v = e r n bulunur. Buradan dv v (14) b = + et + en r elde edilir. Şu halde ivmenin skaler bileşenleri dv (15) b t = v, b n = r dir. Buradan anlaşılacağı gibi ivmenin teğetsel bileşeni maddesel noktanın hızının şiddetinin değişimini, normal bileşeni ise doğrultusundaki değişimi ifade etmektedir. Limitte (Ds 0) e t ile et + De t vektörlerinin tanımlandığı düzleme oskülatör düzlemi denir. Dq 0 için limitte De t vektörü, e t birim vektörüne normal olmaktadır. Bu sebepten şimdi De t, ile aynı özelliklere sahip olan bir birim vektör tanımlamak gerekecektir. Bu vektör yörüngeye teğet olmakta ve oskülatör düzlemi 10

11 içinde bulunmakta ve De t ile aynı doğrultuya sahip olmaktadır. P 1 ve P yöründe normalleri C noktasında kesişirler (Şekil1c). Birim vektör tanımlandığı gibi yörüngeye normaldir ve oskülatör düzleminde bulunmaktadır ve ayrıca eğrinin merkezine yönelmiştir. Bu birim vektöre asal normal e n adı verilir. E b = e t xe n birim vektörü e t, e n, e b sağ takımını tamamlar ve P deki binormal adını alır. Bu durumda binormal oskülatör düzlemine diktir..3 Grafik türev.3.1 Metotlar Yolun zamana göre türevini almakla hız ve teğetsel ivme bulunabilir. Bu hem analitik olarak hem de grafik olarak yapılabilir. Analitik metod daha dolambaçlıdır, çünkü -özel haller dışında- yol-zaman değişiminin denklemi her zaman basit bir şekilde karşımıza çıkmaz. Bu denklemin ayrıca iki kat türevi de oldukça zahmetlidir. Örneğin santrik krank biyel mekanizması için yol-zaman değişimi (15) s = a( - cosa ) é ê æ a ö 1 ± b ç sin a ê è b ø ë ù ú ú û eşitliği ile belirlidir. Burada : 11

12 1

13 Şekil s iç ölü noktaya nazaran alınan yol a - kol uzunluğu b - biyel uzunluğu a - kol dönme açısı (iç ölü noktadan ibaret) ¾ işaret ileri strok, + işaret ise geri strok içindir. Buna karşılık grafik metot kısa zamanda sonuca ulaşır. Sonucun emniyetli olması ilk planda çizimin hassaslığına bağlıdır. Çizim hassaslığına ise seçilen ölçek ve keza serbest seçilebilir aralık bağlıdır. Çizim hassaslığına ise seçilen ölçek ve keza serbest seçilebilir aralık taksimatı ile etki yapılabilir. Şekil a ve şekil d de iki farklı metot gösterilmiştir. Birinci örnekte (Şekil a) eğrinin eğimi nokta nokta tespit edilir. Bunun için önce n normali aranır ve buna bir dik çıkılır. Resim düzlemine dik olarak resmin üzerine konulmuş bir cam normal 13

14 doğrultusunun bulunmasını sağlar. Cam önce tahmin edilen doğrultuya getirilir ve eğri ile kesişme noktası etrafında olmak üzere cam önünde bulunan eğri parçasının simetri dirsek (büküm) teşkil etmeksizin bu eğriye ekleninceye kadar döndürülür Bundan önce yol-zaman eğrisinin altında planlanan hız eğrisinin apsis ekseni tespit edilir. Bu eksen koordinat başlangıcından sol tarafa doğru p mesafesi kadar (pol ağırlığı) uzatılır. Yol-zaman eğrisinin normali üzerine, hız-zaman eğrisinin apsis ekseni üzerine işaretlenen bu p mesafesinin kestiği nokta bulunur. Bu ordinat değeri yol-zaman eğrisinin muhtelif teğet eğimleri ve dolayısıyla hızlarla orantılıdır. Bundan sonra muhtelif ordinat değerleri yatay olarak ait olduğu apsis taksimatı üzerine aktarılır. Aynı tarzda ivme değişimi eğrisi de tespit edilir (Şekil a). Diğer bir metotta eğrinin muhtelif doğrularının teğetleri kullanılmayıp sadece eğrinin iki noktasının sınırladığı dilim ele alınır. Bu dilimin eğimi iyi bir yaklaşımla aralık ortasının teğet eğimi olarak alınabilir (Şekil b ve c). Bazı defa teğet ve dilim eğimleri birbirleriyle uyuşmayabilir. Yeteri derecede dar aralık atmakla bu fark çok küçük tutulabilir. Bu metodun faydası şudur: Bir dilimin eğimi bir eğrinin bilinen iki noktası vasıtasıyla tamamen belirlidir. Halbuki teğetin eğimi tahmine bağlıdır. Bu metot, bundan önce anlatılanda olduğu gibi aynı tarzda uygulanabilir. Türev almada, sola doğru uzatılmış apsis üzerinde alınan sabit bir noktadan her aralık dilimine paralel çizilir. Unutulmamalıdır ki, ait olduğu eksen mesafeleri aralık ortasındaki eğime tekabül etmektedir. Buradan şu zorunluluk ortaya çıkmaktadır: Hız eğrisi taksimatını yarım aralık kaydırılmış çizmek gerekir. İkinci türevde taksimatı tekrar kaydırmak gerekeceğinden yol-zaman eğrisi taksimatı ile ivme eğrisi taksimatı birbirine böylece tekrar uyuşacaktır. 14

15 Bu metodun karakteristik tarafı ilk iki eğrinin (Şekil d ve s ve v eğrileri) poligon gibi kesikli çizgi şeklinde görünmesidir. Bütün köşe noktalar tam tespit edilmiş değerlerdir..3. Ölçekler : Her iki metodun sonucu v hız ve b t teğetsel ivmenin nasıl değiştiğidir. Eğrilerin sayısal değerlendirilmesi şu bilgilere bağlıdır: 1. Mekanizma şemasının M resim ölçeği, yani yol-zaman eğrisi için ordinat ölçeği.. Mekanizmanın devir sayısı n (d/d) 3. Grafiğin uzunluğu T (cm) (örneğin 1 döngü için zaman) 4. Hız grafiğinde p pol uzaklığı (cm) 5. İvme grafiğinde q pol uzaklığı (cm) Buna göre şu ölçekler meydana gelmektedir: Zaman ölçeği Yol ölçeği (17) m t = 60 n t 1 s / cm (18) m s = 100M m / cm Hız ölçeği m v = ms 1 = p m 100 M 60 t T p n 15

16 1 T (19) m v = n M p m / s cm İvme ölçeği m b = m v q m t T = M p T n q 60 T m / s (0) m b = n M pq cm Örnek : Şekil d de araştırılan krank-biyel mekanizması için şu değerler kabul edilsin: M = 1:5 = 0, n = 300 d-d T = 6 cm q = q = 0,7 cm Buna göre şu ölçekler ortaya çıkar: 60 m t = = 0, s/cm m 1 s = = 0, , m/cm 16

17 0,05 m / s m v = =, 14 0,033 0,7 cm,14 m / s m b = = 9 0,033 0,7 cm Hız ve ivmenin tespitinde eşit büyüklükte pol aralıkları alınırsa, yani p = q, böylece Hız ölçeği için T p æ T ö ve ivme ölçeği için ç è p ø emsali ortaya çıkar. RAUH a göre T diyagram uzunluğu için kol dairesinin çevresi p a ve pol aralığı için de kol uzunluğu (a) alınırsa, hız ölçeği için p ve ivme ölçeği için 4p olur. Bu şu ölçek eşitliklerini vermektedir. p (1) m v = n M m / s cm () m b = p M n m - s cm 17

18 Buna göre v ve b için ölçekler sadece M resim ölçeğine yani yol-zaman diyagramına ve devir sayısına bağlıdır. Pol aralığını her iki halde de 0,1 T olarak almak şayanı tavsiye olduğundan, emsaller hız ölçeği için 10 ve ivme ölçeği için 10 olur ve formüller, 1 (3) m v = n 6 10 M m / s cm 1 m / s (4) m b = n 3 3,6 10 M cm şeklini alır. Türev almada her iki pol hali için Şekil 3 de bir grafik verilmiştir. Bu grafikten hız ve ivme grafiklerinin değerlendirilmesinde beher cm ve beher cm d değerleri devir sayısına bağlı olarak alınabilir. Hız ve ivme tespitinde aynı pol şartını kullanmak gereklidir. Ölçek grafiği (Şekil 3) bütün devir sayısı alanları için üniversal kullanışlıdır ve (1), (), (3) ve (4) formüllerindeki ilişkileri ifade eder..4 Mekanizmadaki hareket seyri üzerinde uzuv uzunluğunun etkisi Daha önce de işaret edildiği gibi, en az bir tam dönme hareketli uzva sahip mekanizma teknik uygulama açısından büyük öneme sahiptir. Pistonlu makinelerde tam döner uzuv krank koludur. Krank-biyel mekanizması, kol-sarkaç kol mekanizmasının özel bir halidir. Tam dönebilir mafsal için şart bu durumda kol- 18

19 sarkaç kol mekanizmasında açıklanabilir. Bu şart bütün dört mafsallı zincir mekanizmaları için geçerlidir..5 GRASHOF Teoremi Tam dönebilirlik esasen bütün dört mafsalda da mümkündür, ancak kol uzunluklarının belirli şartı sağlaması gerekir (Şekil 4-m). Herhangi bir uzunluk hali için GRASHOF teoremi : En küçük ve en büyük uzvun uzunlukları toplamı,diğer iki uzvun uzunlukları toplamından küçük olursa dört köşe mafsallısında en küçük uzuv komşu uzuvlar karşısında tam dönme hareketine sahiptir. Bu arada en büyük uzuv, en küçük uzvun komşusu ve karşısında bulunabilir. Şekil 4 de karakteristik kol uzunlukları kol-sarkaç mekanizması örneğinde açıklanmıştır. Üst iki sıra (Şekil 4a-f) ile en alt sırada (Şekil 4k-m) verilen mekanizmalar GRASHOF şartını gerçekleştirirler. Ancak örnekte gösterilen a-c mekanizmaları belirliliği haiz mekanizmalardır. Diğer şekillerde uzuvların toplamı birbirine eşittir ve böylece belirsizliği haiz mekanizmalar hasıl olmaktadır (Şekil 4d-f). Şekil 4g, h ve i de gösterilen mekanizmalar GRASHOF şartını sağlamaktadır. Bu sebepten bu mekanizmalarda tam dönme hareketine sahip uzuv bulunmamaktadır. Eğer dört uzvun en küçüğü tam dönme hareketi yapabilirse, bu dönme iki komşu uzva göre izafidir, yani bu durumda tam dönebilir mafsal söz konusudur. Aynı hal, c karşıt uzvun hareketi için de geçerlidir. Özel bir hal olarak bu c uzvu da tam bir dönme hareketi yapıyorsa (Şekil 4-m), bu durumda ayrıca iki adet 19

20 tam dönme hareketi yapabilen mafsal var demektir. Bu durumda dört köşe mafsal mekanizmasında tam dönebilir mafsalların sayısı 0 veya veya 4 dür. 0

21 Şekil 3 1

22

23 Şekil 4 3. ÜÇ ÇUBUK MEKANİZMASININ ANALİTİK YÖNTEMLE ANALİZİ 3.1 Konum analizi Önce üç çubuk mekanizmasının analitik yöntemle analizinde izlenecek yol, önce mekanizmanın diğer uzuvlarının tahrik uzvuna göre konumlarını belirleyen parametrelerin geometrik, trigonometrik ve vektörel cebir esaslarından veya hepsinden yararlanarak tespitinden ibarettir. Elde edilen konum denkleminin zamana göre birinci türevi hızı ve ikinci türevi de ivme denklemini verir. Bir mekanizmanın analitik yöntemle kinematik analizinde bu mekanizmanın tahrik ve sabit uzvu dışında diğer bütün uzuvlarının konumu bilinmeyen olarak karşımıza çıkar. Bu nedenle her uzvun konum denklemi ayrı ayrı bulunmak mecburiyetindedir. Önce şekil 5.1 deki üç çubuk mekanizmasının 3 ve 4 uzuvlarının konumlarını belirleyelim. Bu amaçla da karmaşık sayılardan yararlanalım. (5.1) r 1 + r + r 3 r 4 = 0 vektörel eşitliği yazılabilir. 3

24 Bu vektörleri karmaşık sayılarla ifade edelim. r 1 = r 1 e ij11 r = r e ij1 r 3 = r 3 e ij31 r 4 = r 4 e ij41 buna göre (5.1) denklemi (5.3) r 1 e ij11 + r e ij1 + r 3 e ij31 r 4 e ij41 = 0 olacaktır. Diğer taraftan genel olarak (5.4) e ij = cos j + i sin j olduğu hatırlanıp (5.3) denkleminden (5.5) r 1 cos j 11 + r sin j 1 + r 3 cos j 31 r 4 cos j 41 = 0 (5.6) r 1 sin j 11 + r sin j 1 + r 3 sin j 31 r 4 sin j 41 = 0 elde edilir. Bu bağıntıda j 11 = 180 olduğundan (5.7) -r 1 + r cos j 1 + r 3 cos j 31 r 4 cos j 41 = 0 4

25 (5.8) r sin j 1 + r 3 sin j 31 r 4 sin j 41 = 0 elde edilir. (5.7) ve (5.8) denkleminden j 31 yok edilirse (5.9) k 1 cos j 41 k cos j 1 + k 3 cos (j 1 - j 41 ) = 0 olur. Burada k 1 = r r 1 (5.10) k = r r 1 4 k 3 = r - r + r + r 3 r r tanımlanmıştır. (5.11) sin j 41 = tan 1 + tan ( j 41 / ) ( j / ) 41 (5.1) cos j 14 = 1 + tan 1 - tan ( j 41 / ) ( j / ) 41 5

26 trigonometrik dönüşümlerle (5.9) bağıntısı (5.13) A tan (j 41 / ) 9 B tan (j 41 / ) +C = 0 olur. Bu bağıntıda A = (1 k ) cos j 1 (k 1 k 3 ) (5.14) B = - sin j 1 C = k 1 + k 3 (1 + k ) cos j 1 olarak tanımlanır. (5.13) denkleminin çözümü (5.15) j 41 = arctan æ ö ç - B ± B - 4AC ç è A ø olur. 6

27 Şekil 5.1 Üç çubuk mekanizmasının konum vektörleri Eğer (5.7) ve (5.8) denklemlerinden j 41 yok edilirse, (5.16) k 4 cos j 1 + k 1 cos j 31 + k 5 cos (j 1 - j 31 ) = 0 bulunur. Burada k 4 ve k 5 ; (5.17) k 4 = r r 1 3 (5.18) k 5 = 4 ( r + r r ) r r r 3 3 bağıntılarından hesaplanır. j 31 parametresini veren denklem; (5.19) D = (k 4 + 1) cos j 1 + k 5 k 1 (5.0) E = (k 4 1) cos j 1 + (k 1 + k 5 ) 7

28 üzere (5.1) D tan (j 31 / ) + B tan (j 31 / ) + E = 0 Bu denklemin çözümü; (5.) j 31 = arctan æ ö ç - B m B - 4DE ç è D ø 3. Hız analizi Şekil 5.1 deki üç çubuk mekanizması matematik pozitif yönde j 31 açısıyla A 0 A uzvundan tahrik edilsin. (5.3) denklemini t zamanına göre getirsek ve j 11 =180 yazılırsa (5.3) r w 1 e ij1 + r 3 e ij31 r 4 w 14 e ij41 = 0 elde edilir. Buradan da reel ve karmaşık kısımların sıfıra eşit olduğu yazılırsa (5.4) r 4 w 41 sin j 41 = r w 1 sin j 1 + r 3 j 31 sin j 31 (5.5) r 4 w 41 cos j 41 = r w 1 cos j 1 + r 3 j 31 cos j 31 eldeedilir.bu denklemden 8

29 (5.6) w 41 = r w r 4 1 sin sin ( j 1 - j 31 ) ( j - j ) (5.7) w 31 = r w r 3 1 sin sin ( j 41 - j 1 ) ( j - j ) İvme analizi Burada (5.3) ile verilen bağıntı t zamanına göre bir kere daha türetilirse ir a 1 e ij1 + i r w 1 e ij1 + ir 3 a 31 e ij31 +i r 3 w 31 e ji31 = (5.8) = ir a 41 e ij41 + i r 4 w 41 e ij41 + e ij41 = 0 buradan da (5.9) a 31 = PR - MU MS - NR (5.30) a 41 = PS MS - - NU NR olarak hesaplanır. Burada M = r 4 sin j 41 9

30 N = r 3 sin j 31 P = r (a 1 sin j 1 + w 1 cos w 1 ) + r 3 w 31 cos j 31 r 4 w 41 sin j 41 R = r 4 cos j 41 S = r 3 cos j 31 U = r (a 1 cos j 1 - w 1 sin w 1 ) - r 3 w 31 sin j 31 + r 4 w 41 sin j 41 olarak tanımlanmıştır. 4. KRANK-BİYEL MEKANİZMASININ ANALİTİK YÖNTEMLE ANALİZİ 4.1 Konum analizi Şekil 5. de gösterilen eksantrik krank-biyel mekanizmasında A 0 A kolu w 1 açısal hızıyla tahrik edilsin. Verilen herhangi bir konumda uzuvların 1 uzvuna göre konumlarını belirleyen açıları j 11, j 1, j 31, j 41 ile gösterelim. 30

31 Şekil 5. r = r e ij1 = A 0 A r 4 = r 4 e ij41 = HB r 3 = r 3 e ij31 = BA ve şekil 5. den r 1 = r 1 e ij11 = HA (5.31) r 1 + r r 3 r 4 = 0 buradan da (5.3) r e ij1 + r 1 e ij11 r 3 e ij31 r 4 e ij41 = 0 bulunur. 5.3 bağıntısı reel ve sanal kısımlarına ayrılarak 31

32 (5.33) r cos j 1 + r 1 cos j 11 r 3 cos j 31 r 4 cos j 41 = 0 (5.34) r sin j 1 + r 1 sin j 11 r 3 sin j 31 r 4 sin j 41 = 0 olur. Bu bağıntıda j 11 = 180 ve j 41 = 90 yazarsak 5.33 ve 5.34 bağıntısı (5.35) r cos j 1 r 1 r 3 cos j 31 = 0 (5.36) r sin j 1 r 4 r 3 sin j 31 = 0 elde edilir ve 5.36 denklemlerinden j 31 yok edilir ve r 1 yerine de s yazılırsa (5.37) s + l s + l 3 = 0 elde edilir. Burada (5.38) l = - r cos j 1 (5.39) l 3 = r + r 4 r 3 r r 4 sin j 1 olarak tanımlanmıştır. (5.37) denklemi çözülürse B noktasının A 0 mafsalından geçen dik eksene göre apsisi, diğer bir kelimeyle stroku 3

33 (5.40) s = - l m l - l3 bulunur. r, r 4, r 3 belirlendiğinden her j 1 konumu için s kolaylıkla bulunur. Biyel uzvunun konumunun belirlenmesi ise r sin j 1 - r4 (5.41) j 31 = arctan r cosj - s 1 bağıntısı ile olur. Önce j 1 konumuna karşı gelen s stroku 5.40 yardımıyla hesaplanıp elde edilen değer 5.41 de aynı j 1 için yerleştirilerek j 31 açısı bulunur. 4. Hız analizi Vektörel eşitliği karmaşık sayılar tarzında yazılırsa (5.4) r e j1 + r 1 e j11 r 3 e ij31 r 4 e ij41 = 0 ve bu eşitlik zaman göre türetilirse, (5.43) iw 1 r ij1 + r 1 e ij11 - iw 31 r 3 e ij31 = 0 elde edilir. Bu denklemde sanal ve karmaşık kısımları ayıralım ve (dr 1 / ) = s yazalım. 33

34 (5.44) r w 1 sin j 1 - s cos j 11 r 3 w 31 sin j 31 = 0 (5.45) r w 1 cos j 1 + s sin j 11 r 3 w 31 cos j 31 = 0 Ayrıca (5.45) denkleminde j 11 = 180 yazılırsa (5.46) w 31 = r w 3 1 cosj r cosj 31 1 bulunur. Buradaki j 31 açısının nasıl hesaplanacağı konum analizinde açıklanmıştı. j 1, r, r 3 ve w 1 verildiğinden w 31 açısal hızı 5.46 ile hesaplanır. B noktasının hızı (5.47) s ds = = rw 1 sin ( j - j ) 31 cosj 31 1 olarak elde edilmiş olur. 4.3 İvme analizi (5.43) denkleminden zaman göre bir defa daha türevini alalım. 34

35 (5.48) ir a 1 e ij1 r w 1 e j1 + s e ij11 ir 3 a 31 e j31 + r 3 w 31. e ji31 = 0 bağıntısı bulunur. Bu ifadenin reel ve karmaşık kısımlarını ayırırsak, (5.50) r (a 1 cos j 1 - w 1 sin j 1 ) r 3 (a 31 cos j 31 - w 31 sin j 31 ) = 0 elde ederiz. Burada a 1 = dw 1 / ve a 31 = dw 31 / dir. (5.51) a 31 = ( a cosj - w sin j ) r + r w r cosj sin j 31 ve (5.50) bağıntısından da (5.5) a 1 = r 3 ( a sin j + w cosj )- r ( a sin j + w cosj ) cosj MEKANİZMALARDA DÖNÜŞÜM (TAHVİL) ORANI Mekanikte dönüşüm oranı tahrik eden uzvun devir sayısının tahrik edileninkine oranı olarak tanımlanır. (5.53) i = n n t te w t = w te 35

36 Gerçel anlamdaki dönüşüm oranı düzgün dönüşümlü olmayan mekanizmaların kinematik analizi için oldukça önemli kavramdır. (5.53) ile tanımlanan dönüşüm oranı yalnızca dişli çark, zincir ve kayış-kasnak mekanizmaları içindir. Bu kavramın herhangi bir mekanizmanın kinematik analizinden yararlanılacak tarzda genişletilmesi gerekir. Mekanizma tekniğinde dönüşüm oranı herhangi iki açısal hızın birbirine oranı olarak düşünülecek. Bu iki açısal hız aynı yöndeyse i oranı pozitif, zıt yönde iseler negatiftir. Dönüşüm oranı için iki durum söz konusudur; Basit dönüşüm oranı, iki açısal hızın müşterek uzvun varsa bu çevrim oranı basit dönüşüm oranıdır. Örneğin, (5.54) w 41 i 41-1 = dir. w 1 Köşegen dönüşüm oranı, farklı uzuv çiftlerine ait açısal hızların oranıdır. (5.55) w 34 i 3-1 = olur. w 1 36

37 Şekil 5.3 Kol Sarkaç kol mekanizmasında basit dönüşüm oranı 37

38 Şekil 5.4 Dönüşüm oranlarına örnekler 5.1 Basit dönüşüm oranının bulunuşu Genel dönüşüm oranı için burada da üç çubuk mekanizması örnek alınacaktır (Şekil 5.5). 4 uzvunun 1 uzvuna göre hareketinde w 41 açısal hızı verilsin, bu konumda 3 uzvunun uzvuna göre hareketindeki w 3 açısal hızı istensin. 38

39 Şekil 5.5 Üç çubuk mekanizmasında genel dönüşüm oranı Burada müşterek bir uzuv yoktur. Dönüşüm oranı (5.57) i 41-3 = w 41 / w 3 şeklinde olacak, alt rakamların düşey eşleştirilmesiyle elde edilecek polleri birleştiren kolineasyon ekseni k 1-34 yardımıyla bulunacaktır. Polleri gösterirken alt rakamlar çiftinde rakamların sırasının önemi yoktur. Bu sebepten önce küçük rakam sonra da büyük rakam yazılır. Fakat hızların ve kuvvetlerin gösterilmesinde rakam değişikliği hız ve kuvvetin yönünün değişmesi demektir. Örneğin: (5.58) w 3 = - w 3 olur. 1 ve 34 pollerini birleştiren k 1-34 ekseni ile k 14-3 ekseni R noktasında kesişirler. Buna göre (5.59) i 14-3 = w 41 / w 3 = R,3 / R,14 olmak zorundadır, yani köşegen üzerindeki, pollerin açısal hızlarının oranı kolineasyon eksenlerinin R kesim noktasının bu pollere olan mesafelerinin oranı gibidir. (5.59) ile verilen dönüşüm oranı negatiftir. 4 uzvu saat göstergesi yönünde dönerken ters yönde döner. (5.59) dan w 3 bulunur. 39

40 w 3 = - w 3 olduğundan (5.60) i 41-3 = w 41 / w 3 olur. Şimdi de i 43-1 = (w 43 / w 1 ) dönüşüm oranını bulalım: Açısal hızlara ait rakamların düşey eşleştirilmesiyle k 13-4 kolineasyon ekseni bulunur. K 1-34 Ç k 1-34 = ísý olsun, (5.61) i 43-1 = w 43 / w 1 = 1,S / 34,S olacak ve S noktası 1 ve 34 pollerinin dışında olduğundan i 43-1 > 0 olur. Bunun sonucu w 41 açısal hızı ile w 3 açısal hızı aynı yöndedir. Krank-Biyel mekanizmasında dönüşüm oranı (Şekil 5.6), 4 pistonu 1 uzvuna açılmış kanal içinde doğrusal hareketli olduğundan w 41 = 0 olup (5.6) i 41-1 = w 41 / w 1 = 0 40

41 Şekil 5.6 arasında Buna rağmen bunlarda 4 uzvunu V B = V 41 hızı ile krankının w 1 açısal hızı (5.63) V 41 / w 1 = 1,4 = < r > / M bağıntısı bulunmaktadır. Burada M şekil ölçeğidir. 6. KAYNAKÇA 41

42 1. Mekanizma tekniği, Doç. Dr. Galip KEÇECİOĞLU, Mekanizma tekniği, Bekir DİZİOĞLU, çev. Fuat PASİN 3. Mekanizma tekniği, Mustafa SABUNCU 4