Değişken Kesitli Hiperbolik Paraboloid Kabukların Karışık Sonlu Eleman Yöntemiyle Çözümü

Transkript

1 IMO Teknik Dergi, , Yazı 96 Değişken Kesitli Hiperbolik Paraboloid Kabukların Karışık Sonlu Eleman Yöntemiyle Çözümü Mehmet. H. OMURTAG* A. Yalçın AKÖZ** ÖZ Sabit kesitli hiperbolik paraboloid kabuklar için de sunulmuş olan HYP9 isimli C sınıfı, izoparametrik, uyumlu elemana, kalınlığın düzgün değişmesi de katılmıştır. Yapılan düzenleme daha önce açık olarak elde edilmiş eleman matrisinin sadeliğini bozmayacak biçimdedir. Daha önce de çözülmüş olan örnekler, burada düzgün değişken kalmhkh olacak şekilde incelenmiş ve elde edilen sonuçlardan elemanın davranışının uyumlu oluduğu sonucuna varılmıştır. ABSTRACT HYP9 finite element matrix is given in an explicit form previously by the authors. Since only first order derivatives exist in the functional, linear shape functions are used and a C conforming shell element is presented. In this present study variation of the thickness is also included into the formulation without harming the simplicity of the HYP9. The formulation is applicable to any boundary and loading condition. The HYP9 element has four nodes with nine degrees of freedom per node-three displacements, three inplane forces and two bending, one torsionl moment (4x9). Since elemnet matrix is obtained explicitly, there is an important saving in computer time. Not : Bu yazı - Yayın Kuruîu'na günü ulaşmıştır - 28 Şubat 1997 gününe kadar tartışmaya açıktır. *Doç. Dr., İTÜ İnş. Fak. Mekanik Anafailim Dalı 8626 Maslak, İSTANBUL "*Prof. Dr., İTÜ İn. Fak. Mekanik AnabUim Dalı 8626 Maslak, İSTANBUL

2 1. GİRİŞ Günümüzde yaygın olarak bilinen ve yapı sistemlerinin çözümünde kullanılan sonlu eleman paket programları, hali hazırda deplasman modeline (Displacement Model) dayalı olmaktadır. Son yıllarda yurt dışında büyük önem kazanmaya başlayan karışık sonlu eleman formülasyonuyla geliştirilmiş CAD (Computer Aided Design) programlan henüz Türkiye pazarında yer almamaktadır. Gelişmenin önünde durmanın mümkün olamayacağını düşünürsek, er ya da geç karışık (Mixed Model) elemanlarla geliştirilmiş ya da zenginleştirilmiş CAD programlan da piyasa mühendislerimizin karşısına çıkacak kaçınılmaz bir olgu olacaktır. Bilindiği üzere deplasman modelinde sınır koşulları geometrik büyüklükler (yerdeğiştirme/dönme) cinsinden tariftenmekte ve bu durum kullanıcılar açısından alışkanlıklardan kaynaklanması nedeniyle bir basitlikmiş gibi de algılanabilmektedir. Halbuki karışık sonlu elemanlarda sınır koşullan hem geometrik hem de gerilme bileşeni türünde (kuvvet/moment) olmaktadır. Aslında karışık formülasyoıı ile incelenen bir problem için sınır koşulları gerçeğe çok daha uygun olarak yansıtılabilmektedir (Bakınız Şekil 4,8). Her ilkin karşısındaki temel zorluk alışkanlıkların insanlara kolaylık gibi gözükmesidir. Uzun vadede farklı ufuklar açacığma inandığımız bu yeni yöntemin yaygınlaştırılmasına yönelik olmak üzere bir karışık sonlu eleman uygulaması sunmak istiyoruz. Bu çalışma Omurtag- Aköz [1] in bir bölümünü kapsamaktadır. Sabit kesitli basık-ince hiperbolik paraboloid kabuklar için Gâ teaux diferansiyeli kullanılarak elde edilen fonksiyonel Omurtag-Aköz [1,2] de sunulmuştur. Hatırlatma amacı ile hypar yüzey geometrisi Şekil 1 de verilmiş olup X- Y eksenleri arasındaki açı diktir. Sabit kesitli hypar için geliştirilen HYP9 isimli eleman [2], literatürde mevcut örneklere uygulanmış ve tatmin edici sonuçlar alınmıştır [1,2]. Bu çalışmada, basık ve ince kabuk teorisinin kısıtlan dışma çıkmadan düzgün değişen kesit kalınlığının karışık sonlu eleman formülasyonu içersine aktanhşı verildikten sonra çeşitli problemler üzerinde uygulamaları yapılmıştır. Ayrıcı, ACI komitesinin 334 sayılı raporu [3] ün elle yapılan hesapla da Poisson oranının ihmal edilebileceği doğrultusundaki önerisi de incelemeye almmış ve iki farklı sınır koşulu (dört kenarından ankastre ve basit mesnetli) hypar örnekleri çözülmüştür. Eliptik paraboloid kabuklarda Abu- Sitta ve Davenport [4] dönel paraboloid kabuklarda Gioncu [5], Sen [6], ile hyparda Bandyopadhyay-Aditya [7] tarafından Poisson oranının ihmal edilmesi incelemiş ve rapordaki kabulün, sımr koşullarına da bağlı olmak üzere, pek gerçeğe uygun düşmediği sonucuna varmışlardır. Aynı yargıya, bu çalışmadan elde edilen sonuçların incelenmesiyle yazarlarca da varılmıştır. 2. DEĞİŞKEN KESİTLİ HYPAR İÇİN KARIŞIK SONLU ELEMAN MATRİSİ Fonksiyonelin yapısı [1,2], karışık sonlu eleman geliştirilmesine uygun olup, değişim yöntemleri kullanılarak HYP9 isimli diktörtgen (Şekil 2), C sınıfı, uyumlu, izoparametrik bir kabuk elemanı sınır koşulları matrisi ile birlikte kapalı olarak sunulmuştu. 1296

3 Şekil 1. Döri kenarında ankastre bağlı hypar'a ait malzeme ve geometrik büyüklükler. Karelaj analizin yürütüldüğü dötte biri göstermektedir.. 2a n 2b a. a Şekil 2. Diktörtgen eleman, global ve yerel koordinatlar ve eleman düğüm numaralarının yerleştirilmesi. Eleman matrisine geçmeden, sabit kesitli lıypar sabnk elemanında kııllamlan ve malzeme sabitleri E (Young modülü), ß (Poisson oranı) ile h kesit kalınlığını içeren ifadeleri kısaca hatırlamak istersek [1,2]; 7 - l/eh, a = fij, 6 = 12/Eh 3, ß = tı8 (2.1) Gösterimde tekrardan kaçınmak ve sadelik sağlamak amacı ile, tarifienecek yaklaşımı önce keyfi bir nın değişimi için yazalım. Daha sonra bu yaklaşımı, denklem (2.1) de verilen 7, a, S,,3, ip, A sabitlerinin hepsine yaygmlaştiralırn. Bu durumda T/I şekil fonksiyonu olmak üzere nm değşimini eleman üzerinde aşağıdaki biçimde tanımlanabilir. = 'YJ.ktyk- (2.2) fc=1 1297

4 Sonuç olarak sonlu eleman matrisi içersinde e nın değişimini kapsayacak alt matris, ffcılf = Lfc^l olacaktır [1]. Denklem (2.3) hesaplanacak olursa, [k ıj« IpmlpndA m,n 1, -, 4, J2.3) sei + 3e Simetrik e e e3 + 3e e e (2.4) elde edilir. Forraülasyon aşamasında E,w, 1ar lk>ok-> k->ßk>ßk,^k /k l,-,4) 1ar olarak ele alınacaktır. Örneğin; fa]-), yi elde etmek istersek, Ik Ehı fc = l,.,4 (2.5) yi denklem (2.4) deki 1ar yerine yerleştirmk gerekecektir. h ^k k 1ar lemanm düğüm noktalarındaki kalınlıklardır (Şekil 3). Aynı benzer şekilde <5fc,afc,/Zfc./3fc, Afc(fc l,-,4) 1ar için de yapılacaktır. Sonuç olarak [kı]s, fa] a, fa.]^, fa]/3, [k\]\, alt matrisleri üretilir. Böylece değişken kesit durumu için HYP9 eleman matrisi Sıkıl J Dikguıı <i-\ğişken kesitli bir kabuk elemanı. k h ] = Ü fak -M. 7[fcı]-T -lfc[*ı] fau Simetrik 7^ fa fa]6" -[kıb fai7 îfen T fa]a (2.6) 1298

5 Eleman sınır koşulu matrisi ise, \k\sk = D Ü _ ı r s ı «12 l j M simetrik -&M [S2] Ü N (2.7) dir. [ki] ve [SJ] altmatrisleri Ek-A da sunulmuş olup, daha detaylı açıklama [1,2] de bulunabilir. Sonuç olarak HYP9 elemanına ait matris, [*: H + [k]sk, (2.8) biçiminde elde edilir. Bilindiği üzere bir sonlu eleman analizinde amaç, incelenmek istenen sistem için; [K]{R} = {Q}, (2.9) denklem takımını kurup, {R} bilinmeyenlerim çözmektir. Denklem [2.9] da; [K] sistem matrisi, {Q} ise dış kuvvetlerdir. Bilinmeyenler vektörünün vektörel elamanları ise. {R} = {uvw P N Q K M T} T, (2.1) dir. {Q} yük vektörünü daha açık olarak yazmak istersek, {Q} - {P* + q x P y +q y Pz + q z Q } T, (2.11) dir. Denklem (2.11)deki vektörel büyüklükler; p k (k = x,y,z) tekil dış vektörü ve Qk(k = x,y,z) yayılı dış kuvvet vektörüdür. Sistem matrisi, kod numaraları tekniği ile her bir elemanın, sistemin olusturulmasmdaki katkısının belli bir kurala göre aktarılması ile meydana getirilir. 3. SAYISAL ÖRNEKLER İncelenecek örnekler, daha önce [1,2] de geniş olarak tartışılmış olan dört kenarından ankastre mesnetli (Şekil 1) ve mafsallı mesnetli düzgün yayılı yük etkisindeki hyparlardır. Dört kenarından ankestre mesnetli hypar için malzeme sabitleri ve geometrik büyüklükler; E = V/cm 2, ß -.39, R 12 = 81.29cm,ft -.635cm, a = b = 16.41cm, c = 3.31cm, q z =.6895İV/cm 2 ve dört kenarından mafsalla mesnetli hypar için E = 2685N/an 2, ju =.16, R\2 2286cm, h = 6.35cm, a = b = 457cm, q z =.2393JV/cm 2 dir. Örnek (1) : Değişken kesitli dört kenarında ankastre mesnetli hypar. 1299

6 İncelenen örnekte; ho merkezdeki, h\x = 16.41cm,F O deki h-^x =, Y = 16.41cm deki, ve son olarak h%x Y = 16.41cm deki kalınlıklar olacaktır. Hypar noktadan noktaya düzgün değişen kalınlığa sahiptir. Dört kenarında ankastre bağlı hyparm incelenen dörtte biri için sınır koşulları Şekil 4 de sunulmuştur. Beş farklı problem incelenecek ve sonuçlar sabit kesitli ile karşılaştırmya tabi tutulacaktır. Problem tipleri sırasıyla, Y=16.41 Ankastre: u=v=w= i i+z u=v=w= P=N=Q^O K=M= v= P=N= T= Ankastre: u=v=w= Şekil 4-. Y u=v= u=p=n=t= Y=1fi41 P=N=T= Dörttebiri incelenen, dört kenarında ankastre bağlı hypar için kullanılan sınır koşulları. (1 )/?,o h\ b,2 hz h.635cm, (Sabit kesitli durum[l,2]), (2)ho h,hı /i2.65cm,/i3 =.7cm, (d)h(i = h, h\ = /i2 =.7cm, h% =.75cm, (4)/Î-O h, h\ /i2.7cm., ^3.8cm, (5)/îo h,hı h'2.75c77i,/i3 =.85cm, (&)hi) h, hı ~ h%.8cm, /13 =.9cm. dır. Sonuçlar y için X ile X =.X a = 16.41cm aralığında K,Q,v) için şekil 5-7 de sabit kesitlinin sonuçları ile karşılaştırılmalı olarak görülmektedir. Önerilen değişken kesit yaklaşımın neticeleri, son derece makuldür. Örnek (2): Poisson oranının ihmal edilmesinin sonuçlar üzerindeki etkisi. İncelenecek birinci problem örnek 1 de verilmiş olan hyparn, Poisson oranlan pi =.,.2,.39 değerleri için, ikincisi ise dört kenarından basit mesnetlere oturan hyparm Poisson oranları ß =.,.16 değerleri için çözülmesi olacaktır. Dört kenarından ankastre bağlı hyparm incelenen dörtte biri için smır koşullan Şekil 4 de, dört kenarından basit mesnetli hyparm incelenen dörtte biri için sınır koşulları Şekil 8 de sunulmuştur. [4-7] de varılan yargılar, bu çalışmada verilen Tablo 1,2 deki sonuçların incelenmesi ile doğrulanmaktadır. Poisson oranının sıfır alınması, beklendiği üzere büyük ölçüde moment değerlerinde oynamalara sebep olmaktadır. Bu durum özellikle ankastre mesnetli hyparda ciddi farklılıkları doğurmaktadır. Sadece çökme sonuçlarmdaki farklılaşma nispeten daha küçük oranda ceryan etmektedir. 13

7 ^ X à Şekil 5. Eğilme momenti K nın, Y için X ekseni boyunca değişimi. K(N cm J cm), h(cm). (1) h a = hı h 2 hu = h.635 cm, (Sabit kesitli durum [1,2]), (2) h Q - h,hı =h 2 =.65 cm, h 3 =.7 cm, (S) h = h, h x = h 2 =.7 cm h 3.75 cm, (4) ho - h, hı = hı.7 cm, h 3.8 cm, (5) ho = h, h\ = h% =.75 cm, h% =.85 cm, (6) h h. hı h 2 =.8 cm, ^3 =.9 cm. S X/Xa Şekil 6. Düzlem içi kayma kuvveti Q nun, Y için X ekseni boyunca değişimi. Q(N/cm), h(cm). (1) ho = hı = h-2 hz = h.635 cm, (Sabit kesitli durum [1,2]), (2) ho h, hı h-2 =.65 cm,, hş =.7 cm, (3) h Q = h, hı h 2.7 cm, h : $ =.75 cm,, (4) ho h, hı h 2.7 cm, h$ =.8 cm, (o) ho = h, hı = h 2 =.75 cm, /ı 3.85 cm,, (6) ho h, hı - h 2 =.8 cm, h% =.9 cm. Tablo 1. Dört kenarında ankastre mesnetli hyparda değişik Poisson oranları ji için, eğilme x/x a , momentleri K,M nin X ekseni boyunca (y=) sayısal sonuçları,. K \ı = (N cm/cm) H IJ, M(N cm/cm) ß =.39 ß = ß ^

8 Tablo 2. Dört kenarında basit mesnetli hyparm çeşitli çökme w, düzlemiçi kayma kuvveti Q, ve eğilme momentleri K,M nin, X ekseninin başlangıç ve bitiş noktalarında değişik Poisson oranları fi için, sayısal sonuçları. w (cm) Q (N/cm) K (N cm/cm) M (n cm/cm) Poisson oranı (fi) XÔ.O YÔ.O X=457 cm YÔ.O Ü.O X/Xa Şekil 7. Çökme w nin, Y = için X ekseni boyunca değişimi. w(em),h(cm). (1) ho ~- h\ = h% ~ hs h =.635 cm, (Sabit kesitli durum jî,2]), (2) ho = h, hı ha.65 cm, h$.7 cm, (3) ho h, hı ~ h%.7 cm, h% =.75 cm, (4) h = h, h\ = h cm, h-$ =.8 cm, (5) ho = h, hı = h-2 =.75 cm, h$ =.85 cm, ("(î) /i-o = h, h\ = h% =.8 C771, /Î-:J = -9 cm. Y=16.41 Basit Mesn«: u=v=w= P=N= K=M= v= P=N= T= Basit Mesnet: v=w=b=k= u=v= P=N=T= u=p=n=t= Xğ=16.4i Şekil 8. Dörttebiri incelenen, dört kenarından basit mesnetlere oturan hypar için kullanılan sınır koşulları. 132

9 4. TARTIŞMA Daha önce önerilmiş olan HYP9 diktörtgen elemanı için, basitlikten taviz vermeden, düzgün değişen kalmhklı hypar için yeni bir formülasyon getirilmiştir. Yeni diktörtgen eleman matrisi kapalı yapıda elde edilmiş olduğundan bilgisayar programcılığında hem uygulanması çok kolay almakta, hemde sonuçların hassasiyeti açısından önemli bir faktör oluşturmaktadır. Yer değiştirmelerin kuvvetlerden bağımsız olarak elde edilebilmesi klasik deplasman modelindeki geri yerleştirme işleminden kullanıcıyı kurtarmakta ve bilgisayar zamanından da önemli sayılabilecek tasarruf sağlamaktadır. Sonuçlar mühendislik uygulamaları için tatminkar bulunmuştur. [*ı N M [*ı] = fs 3 ] = SR Alt matrisler : 4ab 9 a _ 3 a ~ 65 = [*6 a ~~ 3 & 6a _ 1 " 2 " S 5 "" Sim, " EK-A,[**] =!, [fc 4 ] = _ L " " l " ,N = J t Sim N T (A.l,a-g) -2-1 " Sim. 2 " Sim " >M = Û r i 6, [s 4 ] - b_ 6a " i Sim " Sim, " zm.2 (A.2,a-e) t "