Karışık Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Silindirik Olmayan Helisel Çubukların Serbest Titreşim Analizi

Transkript

1 Yedinci Uluslararası İnşaat Mühendisliğinde Gelişmeler Kongresi,11-13 Ekim 2006 Yıldız Teknik Üniversitesi, İstanul, Türkiye Karışık Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Silindirik Olmayan Helisel Çuukların Serest Titreşim Analizi Konuralp Girgin, Mehmet H. Omurtag İTÜ İnşaat Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, İstanul, Türkiye Öz Bu çalışmada silindirik olmayan helislerin serest titreşimi Timoshenko kiriş teorisinin gözönüne alındığı karışık sonlu elemanlar yöntemi ile incelenmektedir. Bu amaçla değişken eğrilikli eğrisel uzay çuukların eleman ve yayılı kütle matrisleri geliştirilmiştir. Hareket denklemleri Timoshenko kiriş kuramı ve Gatéaux diferansiyeli kullanılarak elde edilen karışık sonlu eleman formülasyonuna uygun ir fonksiyonelden yararlanmak suretiyle yazılmaktadır. Silindirik olmayan helis geometrisi, silindirik helisten uyarlanan yaklaşık geometri ile ifade edilmiştir. Silindirik olmayan helislerin serest titreşim analizinde yaklaşık geometri ile elde edilen frekanslar, literatürde kesin geometri kullanılarak elde edilen frekanslar ile karşılaştırılmış, sayısal sonuçların uyum içinde olduğu görülmüştür. Anahtar sözcükler: Silindirik olmayan helisler, Serest titreşim, Timoshenko kiriş kuramı, Karışık sonlu eleman Giriş Makina ve araçların önemli elemanlarından irisi olması nedeniyle makina mühendisliğinde çeşitli uygulama alanları ulunan helisel çuuklar, inşaat mühendisliği uygulamalarında ise mimari gereksinimlerden dolayı özellikle merdivenlerin tasarımında tercih edilmektedir. Literatürde helisel çuuklar ile ilgili çok sayıda çalışma ulunmaktadır. Helisel yayların dinamik analizi ile ilgili ilk diferansiyel denklemler Love (1899) tarafından verilmiştir. Epstein (1947) çeşitli dinamik sınır koşulları için konik helisel yayların uzamasını ve doğal frekanslarını teorik olarak elde etmiş, ayrıca yaptığı deneysel çalışma ile elde ettiği teorik sonuçları doğrulamıştır. Cinemre (1960) izotrop malzemeden yapılmış silindirik helisel yayların statik analizinde taşıma matrisi yönteminden yararlanmıştır. Wittrick (1966) yarı sonsuz yaylarda dalga yayılımı üzerinde çalışarak, dönme atalet momentinin etkisini ve kayma deformasyonlarını gözönüne alan yaklaşık çözümler önermiştir. Mottershead (1980) helisel çuuk ve

2 yayların dinamik analizinde sonlu elemanlar yöntemini kullanmıştır. Deneysel çalışması ile elde ettiği sayısal sonuçlar, teorik çalışma ile elde ettikleri ile uyum içindedir. Mottershead (1982) Wittrick in diferansiyel denklemlerini Lagrange-Green şekildeğiştirme ağıntılarını kullanarak sonlu deplasman teorisini gözönüne alacak şekilde genişletmiş ve yayılı geometrik riitlik matrislerini elde elde etmiştir. Barel ve hiperolik helislerin serest titreşim analizinde Nagaya ve arkadaşları (1986) Myklestad yöntemini kullanmışlardır. Ayrıca deneysel çalışmalarında uldukları frekansları, nümerik çalışmalarında elde ettikleri frekanslar ile karşılaştırmışlardır. Aköz ve arkadaşları (1991) statik analiz amacıyla uzay çuuklar için Timoshenko kiriş teorisine dayanan ve karışık sonlu eleman formülasyonuna uygun ir fonksiyonel geliştirmişlerdir. Omurtag ve Aköz (1992), Aköz ve arkadaşları (1991) tarafından elde edilen fonksiyoneli silindirik helisel çuukların statik analizine uyarlamışlardır. Yıldırım (1996) taşıma matrisi yöntemini kullanarak nümerik ir algoritma geliştirmiş, helisel yayların serest titreşimini etkileyen parametreleri kayma, urulma atalet momenti etkilerini de dikkate almak suretiyle incelemiştir. Yıldırım ve İnce (1997) silindirik olmayan helislerin serest titreşimini taşıma matrisi yöntemi ve tamamlayıcı fonksiyonları kullanarak dönme atalet momentinin yanısıra kayma ve uzama şekildeğiştirme etkilerini de gözönüne alarak incelemişlerdir. Yıldırım (1997) silindirik olmayan helisel yayların serest titreşim analizinde yayılı parametre modelini kullanarak kesin nümerik sonuçlar elde etmiştir. Busool and Eisenerger (2002) terim sayısı 200 den az olan şekil fonksiyonlarını kullanarak değişken kesitli silindirik olmayan helislerin dinamik riitlik matrisini elde etmişlerdir. Çalışmalarında uzama ve kayma deformasyonları ile irlikte dönel atalet momentinin etkisini de gözönüne almışlardır. Bu çalışma, silindirik helislerin statik analizi amacıyla Omurtag ve Aköz (1992) ün kesin helis geometrisini göz önüne almak suretiyle geliştirdikleri fonksiyonele dayanmaktadır. Silindirik olmayan helis geometrisi, eğrilik ve yay oylarındaki değişimlerin göz önüne alındığı yaklaşık geometri ile ifade edilmektedir. Silindirik olmayan helislerin yayılı kütle matrisinin elde edilmesinde dönel atalet momentleri ve urulma atalet momentinin etkisi dikkate alınırken, karışık sonlu eleman matrisinin elde edilmesinde ise Timoshenko kiriş teorisi gözönüne alınmıştır. Çuuk sonlu elemanda kayma etkileri de gözönüne alınaildiğinden, sözkonusu eleman nispeten kalın helisel çuuklar için de kullanılailmekte ve ayrıca ince çuuklar da karşılaşılailen kayma kilitlenmesi proleminin aşılmasına da olanak sağlamaktadır. Bu çalışmada silindirik helisten uyarlanan yaklaşık helis geometrisi ile elde edilen serest titreşim frekansları, literatürde kesin helis geometrisinin dikkate alındığı çalışmalarda ulunan frekanslarla karşılaştırılmış ve sonuçların uyum içinde olduğu görülmüştür. Ayrıca, literatürde mevcut olmayan örneklerin serest titreşim frekanslarının doğrulanması amacıyla SAP2000 ilgisayar programından yararlanılmıştır. Alan Denklemleri ve Fonksiyonel Bu çalışma kapsamında elastik, homoen ve izotrop uzay çuuklar irinci mertee kuramı içinde incelenmiştir. Silindirik olmayan helis geometrisi, silindirik helis geometrisinden uyarlanan yaklaşık geometri ile ifade edilmektedir. 2

3 Silindirik Olmayan Helis Geometrisi R( ϕ) helisel çuuğun x eksenindeki aşlangıç noktasından itiaren ölçülen ϕ açısına ağlı olarak değişen dairesel ir yarıçaptır. ϕ açısı parametre olarak seçilirse helisin parametrik denklemi x= R( ϕ)cosα, y= R( ϕ)sinα, z= p( ϕ) ϕ, p( ϕ) = R( ϕ)tan( α ) şeklinde olup, urada p( ϕ ) irim radyan için helisin yükselme değerini, α ise helisin eğimini göstermektedir. Çuuk ekseni oyunca hareketli dik takım Frenet de irim vektörler t, n, olup, aralarındaki diferansiyel ilişkiler, dt dn d = χ n, = χt+ τ, = τ n (1) ds ds ds şeklindedir (İnan, 1966), (1) de χ helisin eğriliğini, τ helisin taii urulmasını göstermektedir. Silindirik heliste alan denklemleri, dt dm ρau + p= 0 ; + t T ρiω + m= 0 (2) ds ds dir. (2) de A çuuk kesit alanını, I eylemsizlik momentini, u dik kesitin ağırlık merkezindeki ötelenme vektörünü, Ω ağırlık merkezinden geçen eksenler etrafındaki 2 2 dönme vektörünü, T kuvvet vektörünü, M moment vektörünü ve u = u/ t ifade etmektedir. Timoshenko (1921) kiriş kuramına göre kinematik ilişkiler, = du dω γ +t Ω ve d d κ = 0 s s (3) olup, (3) de, γ irim kayma açısı vektörü ve κ irim dönme vektörüdür. Bünye ağıntıları CT γ γ = 0 ve CM κ κ = 0 içiminde yazılır. Burada Hooke yasasına uyan homoen izotrop çuuk için kompliyans matrislerine ait sıfırdan farklı köşegen terimleri Cγ =, Cγ =, Cγ = EA GA n GA Cκ =, Cκ =, Cκ = EIt EIn EI (4) dir. Burada E elastisite modülü, G kayma modülü, A kesit alanı olmak üzere itiari kayma alanları A n = A/ k n, A = A/ k şeklinde yazılır. k n, k ise kayma alanı saitleridir. It, In, Isırasıyla (, tn, ) eksenlerine göre eylemsizlik momentleridir. Fonksiyonel Omurtag ve Aköz (1992), daha önce Aköz ve arkadaşları (1991) tarafından elde edilen fonksiyoneli silindirik helisel çuukların statik hesaı amacıyla geliştirmişlerdir. Bu çalışmada, silindirik helisel çuukların serest titreşim analizi için söz konusu fonksiyonel, 3

4 dt dm 1 1 I( y) = u,,,,, 2 2 ds + t Ω T Ω ds CMM κ CTT γ ρaω uu, ρω IΩΩ, ( T Tˆ, u) + ( M Mˆ, u) + uˆ, T + Ωˆ, M σ σ ε ε (5) olarak ifade edilmiştir, ρ özkütle, ω doğal açısal frekans ve I = { It In I } eylemsizlik momenti vektörüdür. (5) deki uˆ, Ωˆ, TM ˆ, ˆ sınırlarda ilinen değerler için sıfırdan farklı olup, ε ve σ alt indisli terimler sırasıyla geometrik ve dinamik sınır koşullarıdır. Karışık sonlu eleman formülasyonuna uygun (5) den hareketle silindirik olmayan helislerin dinamik analizi için aşağıda açıklanan yaklaşık çözüm yöntemi geliştirilmiştir. Sonlu Eleman Matrisleri Sonlu Eleman Formülasyonu Fonksiyonelde irinci merteeden türevler olduğu için, doğrusal şekil fonksiyonları, i ψ = ϕ ϕ i ve ψ = ϕ ϕ, ( ϕi ϕ ϕ) Δϕ Δϕ (6) kullanıldı. Burada eğrisel elemanın düğüm noktaları alt indis olarak i ve şeklinde gösterilmiştir, Δ ϕ = ϕ ϕ i ve eleman yay oyu s e = ( ciψ i + cψ ) Δϕ dir. Eğer helis silindirik değilse, R= R( ϕ) olur ve eleman düğüm noktalarında yarıçaplar R i R dir. Her ir düğüm noktası için p i, p, c i, c, χ i, χ, τ i, τ elli olup, eleman içindeki değişimleri, şekil fonksiyonlarından yararlanılarak e e e τ = τψ + τ ψ, χ = χψ + χ ψ, c = cψ + cψ i i i i i i (7) şeklinde yazılır. Sonuç olarak eleman matrisi ile değişkenler vektörü, ˆ χ k k ut χ τ k kˆ k u n τ k kˆ u ˆ χ k k 0 Ω t c χ ˆ τ k k k k Ω n e c τ k { x} = 0 0 k 0 0 k kˆ Ω Tt kk Tn kk c, T kk M t km 0 0 M n simetrik km 0 c k, M m (8) 4

5 dir. (6) ifadesindeki tüm alt kare matrisler 2 2 oyutunda olup, k = (9) fonksiyoneldeki sınır terimlerinden eleman matrisine gelen sınır koşullarıdır. (8) deki altmatrislerde kullanılan üst indislerin anlamı, kii = dδ ϕ (3 ci + c )/12 ki = ki = dδ ϕ ( ci + c )/12 k = dδ ϕ ( ci + 3 c )/12 (10) k 3 (4 ) (3 2 )/60 ii = Δ ϕ ci di + d + c di + d ki = ki =Δ ϕ ci (3di + 2 d ) + c (2di + 3 d )/60 k =Δ ϕ ci (2di + 3 d ) + 3 c( di + 4 d )/60 (11) c, dir. (10) da d saiti; k k için 1/ AE, k k için 1/ GA n, k k için 1/ GA, k m c, için 1/ GI t, k m için 1/ EI n, k m için 1/ EI dir. (11) de düğüm noktasına ait sait d χ τ c değerleri; k için χ, k için τ olup, k için d = 1 dir. Kütle matrisi mu u m c, u m Ω m mω c, e mω m = simetrik (12) olarak elde edilir. (12) de, mii = dδ ϕ (3 ci + c )/12 mi = mi = dδ ϕ ( ci + c )/12 m = dδ ϕ( ci + 3 c )/12 (13) olup, urada d saiti, m için I dir. c, Ω u m, u m ve c, u m için ρ A ve m için I t, Ω m için I n, Ω 5

6 Sonlu eleman çözüm yöntemi 2 Sonlu eleman yönteminde serest titreşim prolemi ( K ω M){ w} = { 0 } içiminde ir özdeğer prolemine indirgenir. Burada ω çuuğun açısal doğal frekansları, K sistem matrisi, M sistem kütle matrisi, wu,ω ( ) yer değiştirmeler ile dönmelerden oluşan ir kolon vektörüdür. Serest titreşim durumunda karışık sonlu eleman formülasyonu, { } { } { } {} K11 K F 0 = K K ω 0 m w 0 (14) içimindedir. (11) deki { F } kuvvetler ile momentlere ait kolon vektördür. İndirgeme işlemi { F} vektörüne uygulanırsa, indirgenmiş denklem takımı, ( K * 2 m ){ w} = { 0} ω (15) * T 1 * olur. Burada K = K22 K12 K11 K 12 olup, K indirgenmiş sistem matrisidir. (15) ir özdeğer programı kullanılarak çözülür. Özdeğerler doğal açısal frekansları, özvektörler ise mod şekillerini ifade eder. Örnekler Bu ölümde örnek olarak seçilen helislerin geometrik özelliklerini ifade eden üyüklükler Şekil 1 de görülmektedir. Silindirik olmayan helislerin eksen eğrisi üzerindeki herhangi ir noktanın yatay yarıçapı: Şekil 1 Silindirik olmayan helislerdeki yarıçaplar Barel veya hiperolik helislerde : R( ϕ) = R ( ) ( ) 2 1+ R2 R 1 1 ϕ/ nπ R( ϕ) = R + R R ϕ/ 2nπ Konik helislerde : ( ) ( ) ağıntılarının yardımıyla hesaplanır. Burada ϕ yatay açı, n ise helisin tur sayısıdır. 6

7 Örnek 1 İki ucu ankastre olan konik helis ekseni oyunca sait daire kesitlidir ve kesit çapı d = 2mm dir. Helisin geometrik üyüklükleri, R 1 = 25mm, tur sayısı n = 6.5, yükselme açısı α = 4.8 o dir Malzeme özelliklerinden elastisite modülü E = 210 GPa, poisson oranı υ = 0.3, yoğunluk ρ = 7850 (kg/m 3 ) ve kayma alanları saiti k = 1.1 olarak verilmektedir. Bu çalışmada sunulan formülasyonun sayısal uygulamaları için geliştirilen ilgisayar programı kullanılarak konik helisin R 2 / R 1 = 0.4 değeri için eleman sayısına ağlı olarak irinci mod frekansının değişimi Şekil 2 de gösterilmiştir. R2/ R1= 0.4oranı için u çalışma ile elde edilen ilk altı moda ait doğal frekanslar literatürde mevcut olan çalışmalar ve SAP2000 ilgisayar programı ile elde edilen frekanslar ile karşılaştırılmış, sonuçlar Talo 1 de özetlenmiştir. f (Hz.) SAP Eleman HL programı -100 Eleman Eleman sayısı (n) Şekil 2 R2/ R1= 0.4olan konik heliste irinci mod frekansının eleman sayısına göre değişimi Talo 1 R 2 /R 1 =0.40 olan konik helisin serest titreşimine ait frekans değerleri Örnek 2 Yıldırım Sap2000 HL Mod İnce Eleman sayısı Eleman sayısı (1997) İki ucu ankastre olan arel helis ekseni oyunca sait dikdörtgen kesitlidir, kesit oyutları = 2mmve h = 1mm dir. Helisin geometrik üyüklükleri R 1 = 25 mm, tur sayısı n = 6.5, yükselme açısı α = 4.8 o dir. Malzeme özelliklerinden elastisite modülü 7

8 E = 210 GPa, poisson oranı υ = 0.3, yoğunluk ρ = 7850 (kg/m 3 ) ve kayma alanları saiti k = 1.2 olarak verilmiştir. Barel heliste R2/ R 1 oranının seçilen değerleri için u çalışma ile elde edilen ilk altı moda ait doğal frekanslar SAP2000 ilgisayar programı ile elde edilen frekanslar ile karşılaştırılmış, sonuçlar Talo 2 de özetlenmiştir. R / R = 0.4için ilk altı mod şekli Şekil 3 de görülmektedir. 2 1 Talo 2 Barel helisin ilk altı moduna ait doğal frekanslar (Hz.) Bu çalışma SAP2000 Rölatif farklılık % (A) (B) (C) R 2 /R 1 Mod N=100 N=100 N=1000 (B A)/A (C A)/A Örnek 3 İki ucu ankastre olan hiperolik helis ekseni oyunca sait kare kesitlidir, kesit oyutu = h =2mm dir. Helisin geometrik üyüklükleri R 1 = 13mm, tur sayısı n = 6.5, yükselme açısı α = 4.8 o dir. Malzeme özelliklerinden olan elastisite modülü E = 210 GPa, poisson oranı υ = 0.3, yoğunluk ρ = 7850 (kg/m 3 ) ve kayma alanı saitleri k = 1.2 dir. Hiperolik heliste R2/ R 1 oranının seçilen değerleri için u çalışma ile elde edilen ilk altı moda ait doğal frekanslar SAP2000 ilgisayar programı ile elde edilen frekanslar ile karşılaştırılmış, sonuçlar Talo 3 de özetlenmiştir. 8

9 Mod 1 Mod 2 Mod 3 Mod 4 Mod 5 Mod 6 Şekil 3 R2/ R 1= 0.4 olan arel helisin serest titreşim durumundaki mod şekilleri Talo 3 Hiperoloid helisin ilk altı moduna ait doğal frekanslar (Hz.) Bu çalışma SAP2000 (A) (B) (C) Rölatif farklılık % R 2 /R 1 Mod N=100 N=100 N=1000 (B A)/A (C A)/A

10 Sonuçlar Bu çalışmada, Omurtag ve Aköz (1992) tarafından silindirik helisel çuukların statik hesaı için verilmiş olan karışık sonlu eleman formülasyonu, silindirik olmayan helislerde serest titreşim prolemini çözecek şekilde geliştirilmiştir. Helisel çuukların eleman matrisleri, Timoshenko çuuk kuramına göre elde edilmiştir. Daha hassas sonuçların elde edileilmesi için, topak kütle (lumped mass) matrisi yerine yayılı kütle matrisi (consistent mass) yöntemi kullanılmıştır. Bu çalışmada silindirik olmayan helislerdeki eğrilik değişimleri, şekil fonksiyonları yardımıyla gözönüne alınmaktadır. Sunulan çalışmada elde edilen sayısal sonuçlar, hem literatürde mevcut olan çalışmalarla hem de SAP2000 programı ile karşılaştırılmış ve sonuçların uyum içinde olduğu görülmüştür. Bu çalışmada, silindirik helisten uyarlanarak silindirik olmayan helisler için geliştirilen yaklaşık geometrinin esas alındığı karışık sonlu eleman formülasyonu ile hesaplanan frekanslar, literatürde kesin geometrinin gözönüne alındığı araştırmalar ile elde edilen frekanslarla karşılaştırılmış, aynı sayıda eleman kullanılarak çok yakın sonuçlara ulaşılaildiği görülmüştür. Ayrıca, eğrisel karışık sonlu elemanlar ile hesap yapılması durumunda, doğru eksenli elemanların gözönüne alındığı yerdeğiştirme esaslı sonlu eleman programlarına göre çok daha az sayıda eleman kullanılması ile gerçeğe yakın frekanslar elde edileilmektedir. Kaynaklar A.E.M. Love, The propagation of waves of elastic displacement along a helical wire, Transactions of the Camridge Philosophical Society, 18, (1899), pp I. Epstein, The motion of conical coil springs, Journal.of Applied Physics, 18, (1947), pp V. Cinemre, Başlangıç değerleri metodu ile helisel çuukların statik hesaı, Doktora Tezi, İTÜ İnşaat Fakültesi, W.H. Wittrick, On elastic wave propagation in helical spring, International Journal of Mechanical Sciences, 8, (1966), pp J.E. Mottershead., Finite elements for dynamical analysis of helical rods, International Journal of Mechanical Sciences, 22, (1980), pp J.E. Mottershead, The large displacements and dynamic staility of springs using helical finite elements, International Journal of Mechanical Sciences, 24/9, (1982), pp K. Nagaya, S.Takeda, Y. Nakata, Free viration of coil springs of aritrary shape, International Journal of Numerical Methods in Engineering, 23, (1986), pp A.Y. Aköz, M.H. Omurtag, A.N. Doğruoğlu, The mixed finite element formulation for three dimensional ars, International Journal of Solids Structures, 28, (1991), pp M.H. Omurtag, A.Y. Aköz, The mixed finite element solution of helical eams with variale cross-section under aritrary loading, Computers & Structures, 43, (1992), pp V. Yıldırım, Investigation of parameters affecting free viration frequency of helical springs, Journal of Numerical Methods in Engineering, 39(1), (1996), pp V. Yıldırım, N. İnce, Natural frequencies of helical springs of aritrary shape, Journal of Sound and Viration, 204(2), (1997), pp V. Yıldırım, Free viration analysis of non-cylindrical coil springs y comined use of the transfer matrix and complementary functions methods, Communications in Numerical Methods in Engineering, 13, (1997), pp W. Busool, M. Eisenerger, Free viration of helicoidal eams of aritrary shape and variale cross section, Journal of Viration and Acoustics, 124, ASME, 2002, pp S.P. Timoshenko, On the correction for shear of the differential equation for transverse viration of prismatic ars, Philosophical Magazine, 41, (1921), pp SAP2000, Structural analysis program, CSI, Berkeley, USA,