MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

Transkript

1 MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

2 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka

3 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri 6. Alt Grup 7. Halka 8. Halkanın basit özellikleri 9. Değişmeli ve birimli halkalar 10.Alıştırmalar

4 1. Matematik yapı Herhangi bir kümede tanımlanan bağıntılar ve işlemler bu kümede ile birlikte bir matematik yapı (matematik sistem) oluşturur. Bir A kümesinde tanımlanan bağıntılar veya işlemler α, β, γ, olsun. Bu bağıntı ve işlemler oluşturduğu matematik yapı A, α, β, γ, biçiminde gösterilir. Örnekler: 1. A kümesinde tanımlanan ve ikili işlemleri verilmiş olsun. A, ikilisi bir işlemli bir matematik yapıdır. A,, üçlüsi iki işlemli bir matematik yapıdır. 2. Doğal sayılar kümesi ile bu kümede tanımlanan toplama ve çarpma işlemleri ile sıralama bağyntısı bir matematik yapi oluşturur. N, +,,

5 2. Denk yapılar ve eş yapılar 1.Tanım: A kümesinde tanımlanan α bağıntısı ile B kümesinde tanımlanan β bağıntısı verilsin. Bu bağıntılardan her ikisi n-li bağıntı ise bu bağıntılara aynı türden bağıntılar denir. 1.Örnek: A={a, b, c}, α={(a,b), (a,c), (b,c)}, β={(a,a), (b,b), (c,c)} olsun. α ve β bağıntılarından her ikisi A da tanımlı ikili bağıntılardır. Buna göre bu bağıntılar aynı türdendir. 2.Tanım: A, α 1,α 2,α 3,, α n ve B, β 1, β 2,β 3,, β n matematik yapılar verilmiş olsun. {1,2,3,, n} kümesinin her i elemanı için α i ile β i aynı türden ise A, α 1,α 2,α 3,, α n ve B, β 1, β 2,β 3,, β n matematik yapılarına aynı türden matematik yapılar denir. 2.Örnek: N doğal sayılar kümesi, Z tam sayılar kümesi olsun. N, +,, ve Z, +,, matematik yapılar aynı türdendir.

6 3.Tanım: A kümesinde tanımlanan α bağıntısı ile B kümesinde tanımlanan β bağıntısı verilmiş olsun. Bu bağıntıların her ikisi n-li bağıntı olmak üzere x 1,x 2,x 3,, x n α f(x 1 ),f(x 2 ),f(x 3 ),, f(x n ) β Önermesi doğru olacak biçimde A dan B ye bir f fonksiyonu varsa, f fonksiyonuna α bağıntısını β bağıntısına dönüştüren bir fonksiyon denir. 4.Tanım: A, α 1,α 2,α 3,, α n ve B, β 1, β 2,β 3,, β n aynı türden iki matematik yapı, f:a B bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu {1,2,3,, n} kümesinin her i elemanı için α i bağıntısını β i bağıntısına dönüştürüyorsa, f fonksiyonuna denk yapı dönüşümü (homomorfizm) denir. Birebir ve örten bir denk yapı dönüşümüne eş yapı dönüşümü (izomorfizm) denir. 5.Tanım: Aynı türden iki matematik yapı arasında bir denk yapı dönüşümü (homomorfizm) varsa bu matematik yapılarına denk yapılar (homomorf yapılar) denir. Aynı türden iki matematik yapı arasında bir eş yapı dönüşümü (izomorfizm) varsa bu matematik yapılarına eş yapılar (izomorf) yapılar denir.

7 3. Grup 1.Tanım: G kümesinde tanımlanan o işlemi verilmiş olsun. G kümesi o işlemine göre kapalı ve o işleminin birleşme özelliği varsa (G,o) matematik yapısına yarı grup denir. 2.Tanım: (G,o) matematik yapısı aşağıdaki aksiyomları sağlarsa bu matematik yapıya grup denir. G1) G kümesi o işlemine göre kapalıdır. G2) o işleminin birleşme özelliği vardır. G3) G kümesinin o işlemine göre etkisiz (birim) elemanı vardır. G4) G nın her elemanının o işlemine göre tersi vardır. Bu tanıma göre (G,o) matematik yapısının grup olması için, G1) x, y G xoy G G2) x, y, z G xo yoz = xoy oz G3) x G ve e G xoe = eox = x G4) x G ve y G xoy = yox = e önermelerinin doğru olması gerektir ve yeterdir.

8 1.Örnek: Pozitif rasyonel sayılar kümesi Q ile gösteriliyor. x, y Q icin x y = xy 2 olduğuna göre Q, matematik yapısı gruptur. G1) x, y Q x y Q xy 2 Q x y Q G2) x, y, z Q x y z = xy xy z z = = 2 4 G3) x Q ve e Q : x e = e x = x xe Etkisiz eleman 2 dir. 2 x yz = x yz = x y z 4 2 = x xe=2x e=2. G4) x Q ve y Q x y = y x = 2 xy 2 =2 xy=4 y=4 x x Q için 4 x x=x 4 x =2. Buna göre Q kümesinin her x elemanının işlemine göre tersi vardır. 3.Tanım: (G,o) bir grup olsun. o işleminin değişme özelliği varsa (G,o) grubuna değişmeli grup veya Abel grubu denir. 1.Örnek: Q, 4.Tanım: (G,.) bir grup olsun. G kümesi sonlu bir küme ise gruba sonlu sıradan grup, G kümesi sonsuz cümle ise gruba sonsuz sıradan grup denir.

9 4. Grubun basit özellikleri 1.Teorem: (G,.) bir grup olsun. G nin. işlemine göre bir tek etkisiz (birim) elemanı vardır. 2.Teorem: (G,.) bir grup olsun. G nin her elemanının. işlemine göre bir tek tersi vardır. 3.Teorem: Herhangi bir grupta grup işleminin grup işleminin sadeleştirme özelliği vardır. İspat: (G,.) bir grup olsun. x, y, z G için x. z = y. z x = y ve x, y, z G için z. x = z. y x = y önermelerinin doğru olduğunu göstermek gerektir ve yeter. x. z = y. z (x. z). z 1 = y. z. z 1 x. z. z 1 = y. (z. z 1 ) birleşme özelliği x. e = y. e x = y

10 4.Teorem: (G,.) bir grup, a,b G olduğuna göre a.x=b ve y.a=b denklemlerinden her birinin G de bir ve yalniz bir çözümü vardır. İspat: a.x=b a 1. (a.x)=a 1.b (a 1. a).x=a 1.b x=a 1.b Bu önermelerin doğru olması a.x=b denkleminin G de bir ve yalnız bir çözümü olduğunu gösterir. Bu çözüm a 1.b dir. y.a=b (y. a). a 1 =b.a 1 y. (a 1. a)=b. a 1 y=b. a 1 5.Teorem: (G,.) bir grup, a G ise a 1 1 = a dır. İspat: G nin çarpma işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. Buna göre a. a 1 =e ve a 1 1. a 1 =e önermeleri doğru olur. Buradan a. a 1 = a 1 1. a 1 elde edilir. Son önermede a 1 ile sadeleştirme yapılırsa, a = a 1 1 bulunur. 6.Teorem: (G,.) bir grup, a, b G ise a. b 1 = b 1. a 1 İspat: (a.b).(b 1. a 1 )=a.(b.b 1 ). a 1 =(a.e).a 1 =a.a 1 = e (b 1. a 1 ). (a.b)=b 1.(a 1. a). b )=b 1 (e.b)=b 1 b = e Bir (G,.) grubunda G nin her elemanının bir tek tersi olduğundan a. b 1 = b 1. a 1 elde edilir.

11 5. Bir elemanın kuvvetleri 1.Tanım: (G,.) bir grup, a G ve n N olsun. G nin çarpma işlemine göre etkisiz elemanı e olduguna göre: a) a 0 = e b) a 1 = a c) n>1 için a n = a n 1. a d) n>1 için a n = (a 1 ) n dir. 1.Teorem: (G,.) bir grup a G olsun. n N için (a n ) 1 = (a 1 ) n dir. 2.Teorem: (G,.) bir grup olsun. a G ve n, m Z olduğuna göre, a m. a n =a m+n ve (a m ) n = a mn dir.

12 6. Alt Grup 1.Tanım: (G,.) bir grup, H kümesi G nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. (H,.) bir grup ise bu gruba(g,.) grubunun bir alt grubu denir. 1. Örnek: Z, + grubu R, + grubunun bir alt grubudur. 2. (G,.) bir grup olsun. G nin. işlemine göre etkisiz elemanı e olduguna göre (G,.) ve ({e},.) gruplarından her biri (G,.) grubunun birer alt grubudur. 2.Tanım: (G,.) bir grup,g nin. işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. (G,.) ve ({e},.) gruplarına (G,.) grubunun basit alt grupları denir. (G,.) grubunun basit alt gruplarından farklı bir alt grubu varsa buna grubun öz alt grubu denir. 1.Teorem: Herhangi bir alt grupta etkisiz eleman esas gruptaki etkisiz elemana eşittir. Alt grubun kümesine alt bir elemanın grup işlemine göre tersi bu elemanın esas grupta grup işlemine göre tersine eşittir. İspat: (H,.) grubu (G,.) grubunun bir alt grubu olsun. G nin. işlemine göre etkisiz elemanı e, H nin. işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. e. e = e = e.e dir. Buradan sadeleştirme ile e =e edilir. H nın x elemanının. işlemine göre H deki tersi x, G deki tersi x 1 olsun. x. x = x. x 1 = e dir. Buradan sadeleştirme ile x = x 1 elde edilir. 2.Teorem: (G,.) bir grup, H kümesi G nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. ((H,.) alt gruptur) ( x, y H, x. y 1 H) dir. İspat: ( ): ((H,.) alt grup (H,.) grup ( x, y H, x, y 1 H) ( x, y H, x. y 1 H) ( ): ( x, y H, x. y 1 H) önermesinin doğru olduğunu varsayalım. Bu önermede y yerine x alınırsa x. x 1 H yani e H elde edilir. Bu önermede x yerine e alınırsa, y H, y 1 H elde edilir. ( x, y H (x H ve y 1 H) x. (y 1 ) 1 H x.y H olduğundan H kümesi. işlemine göre kapalıdır.. işleminin birleşme özelliği acıktır. Öleyse, (H,.) bir gruptur. H G oldugundan (H,.) grubu (G,.) grubunun alt grubudur.

13 7. Halka 1.Tanım: Boş olmayan bir H kümesinde toplama ve çarpma diye adlandırılan ve sıra ile + ve. işaretleri ile gösterilen iki işlem tanımlanmış olsun. İki işlemli (H,+,.) matematik yapısı için aşağıdaki önermeler doğru ise bu matematik yapıya halka denir. H1) (H,+) değişmeli gruptur. H2) H kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. H3) Çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. H4) Çarpma işleminin toplama işlemine göre dağıtma özelliği vardır. 1.Örnek: H={a,b}. H kümesinde toplama ve çarpma işlemleri aşağıdaki çizelgelerde tanımlanmış tanımlanmış olsun. (H,+,.) bir halkadır. + a b a a b b b a. a b a a a b a b 2.Örnek: Z tam sayılar kümesi olsun. (Z,+,.) bir halkadır. 2.Tanım: (H,+,.) bir halka olsun. H kümesinin toplama işlemine göre etkisiz elemanına halkanın sıfırı denir. Bir halkanın sıfırı O veya e ile gösterilir. H nın bir x elemanının toplama işlemine göre tersi x ile gösterilir.

14 8. Halkanın basit özellikleri 1.Teorem: (H,+,.) halkasının sıfırı 0 olduğuna göre x H için x. 0 = 0. x = 0 İspat: 0+0=0 (0+0).x=0.x 0.x+0.x=0.x 0.x=0 x.(0+0)=x.0 x.0+x.0=x.0 x.0=0 2.Teorem: (H,+,.) bir halka olsun. a) x H için ( x) = x dir. b) x, y H için x + y = x + ( y) dir. c) x, y H için x. y = x. y = (x. y) dir. d) x, y H için x). ( y = x. y dir. İspat: Halkanın sıfırı 0 olsun. a) x H için x + ( x)=0 olduğundan x in toplama işlemine göre tersi (-x) dir. x H için x + ( x)=0 olduğundan x in toplama işlemine göre tersi x dir. (H,+) bir grup olduğundan H nın her x elemanının toplama işlemine göre bir ve yalnız bir tersi vardır. Buna göre x H için ( x) = x dir. b) x+y nin toplam işlemine göre tersi (x+y) dir. ((-x)+x)+((-y)+y)=0 (-x+x+(-y))+y=o (-x+(x+(-y)))+y=o ((-x)+(-y+x))+y=o [(-x)+(-y)]+(x+y)=o olduğundan x+y nin toplama işlemine göre tersi (-x)+(-y) dir. Bir grupta toplama işlemine göre bir tek tersi olduğundan -(x+y)=(-x)+(-y) dir. c) x.y nin toplama işlemine göre tersi (x.y) dir. Öte yandan y+(-y)=0 x.(y+(-y))=x.0 x.y + x.(-y)=x.0=0 olduğundan x.y nin toplama işlemine göre tersi x.(-y) dir. x.y nin toplama işlemine göre bir tek tersi olduğundan, x.(-y)=-(x.y) dir. (-x).y=-(x.y) oluğu benzer biçimde ispatlanır. d) (x.y)=x.(-y) -[(-x).y]=(-x).(-y) ve (x.y)=(-x).y -[(-x).y]=(-(-x)).(-y) dir. (-x)=x olduğuna göre [(-x).y]=(-x).(-y)=(-(-x)).y=x.y elde edilir. Yani (-x).(-y)=x.y

15 9. Değişmeli ve birimli halkalar 1.Tanım: (H,+,.) bir halka olsun. Çarpma işleminin değişme özelliği varsa halkaya değişmeli halka denir. 2.Tanım: (H,+,.) bir halka olsun. H nın çarpma işlemine göre etkisiz elemanı varsa halkaya birimli halka denir. Birimli halkanın birimi 1 veya e ile göstrerilir. H nın x elemanının çarpma işlemine göre tersi varsa bu eleman x 1 ile gösterilir. 1.Örnek: (Z,+,.) halkası değişmeli ve birimli bir halkadır. Bu halkanın birimi 1 dir. Z nin sadece 1 ve -1 elemanlarının çarpma işlemine göre tersi vardır. 2.Örnek: Çirt tam sayılar kümesi Ç olsun. (Ç,+,.) matematik yapısı değişmeli bir halkadır. Bu halka birimli değildir. Ç de çarpma işlemine göre tersi olan eleman yoktur.

16 10. Alıştırmalar 1.A={1} olduğuna göre, (A,.) matematik yapısının grup olduğunu gösteriniz. 2.G={a} ve a*a=a olduğuna göre, (G,*) matematik yapısının grup olduğunu gösteriniz. 3.G={a,b} ve a*a=a olmak üzere, G kümesinde * işlemi a*a=a,a*b=b, b*a=b ve b*b=a eşitlikler ile tanımlanıyor. (G,*) matematik yapısının grup olduğunu gösteriniz. 4.A={1,2,3,4} olmak üzere A kümesinde o işlemi «x y= xy nin 5 e bölümünden elde edilen kalan» biçiminde tanımlanıyor. (A, ) bir grup mudur? 5. x, y Z için x y=x+y-xy olduğuna göre, (Z, ) matematik yapısı grup mudur? 6. x, y Z için x y=x+y-1 olduğuna göre, (Z, ) matematik yapısı grup mudur? 7. G={3 x x Z} ve x, y Z için 3 x 3 y =3 x+y olduğuna göre, (G,*) matematik yapısının grup olduğunu gösteriniz. 8. x, y Z için x y=x+y-1, x y=x+y-xy olduğuna göre, (Z,, ) matematik yapısı halka mıdır? 9. Aşağıdaki kümelerden hangileri reel sayılar kümesinde tanımlanan toplama ve çarpma işlemlerine göre halkadır? a) 5n n Z} b) 1 2 m m Z} c) m 2n m, n Z} d) a + b 3 a, b Q}