Parçacık kinematiği. Gökhan Ünel - Univ. Irvine UPHDYO V

Transkript

1 Parçacık kinematiği Gökhan Ünel - Univ. Irvine UPHDYO V

2 Giriş İnsan etrafını merak eder, gözlemlerini açıklamak ister. kedi bile merak eder! Doğayı mantıkla anyabileceğimizi düşünme nedenleri: Sebep sonuç ilişkisi ve tekrar edilebilirlik. Doğayı sorgulamanın yolu : deney yapmak Paradigma: temel yapıtaşlarını ve bunların nasıl etkileştiklerini anlarsam, bunları birleştirip doğanın tamamını da anlayabilirim. Örnek: bir dildeki kelimeleri ve dilbilgisi kurallarını anlarsam, okuduğumu anlarım ve istediğimi anlatırım Doğadaki temel yapıtaşları ve etkileşme kuralları nelerdir? Gözlemlediğimiz parçacıklar temel midir? Temel yapıtaşlarını bulmak için çeşit deney yapabiliriz: bir parçacığı al duran başka bir parçacığa vur. iki parçacığı birbirlerine çarptır.

3 bilimsel yöntem Doğayı bilimsel yöntemle anlamaya çalışıyoruz aletlerimiz : biribiriyle etkileşen parçacıklar şartlar : parcacıklar ışık hızına yakın hızdalar uzayımız : 3 mekan + 1 zaman. bildiklerimiz: momentum ve enerji korumunu, özel görelilik Temel tanımlar uzay yönlerime x,y,z zaman yönüme t diyeyim bir cismin yerini x,y,z ve t ile belirtirim. (saat 3, taksimde!) gözlem yaptığım RF Özel Görelilik iki RF arasında dönüşümü açıklar S ve ondan v hızıyla x yönünde uzaklaşan S olsun. S ve S de aynı olayın yerini yazabilirim S <==> S dönüşümüne Lorentz Dönüşümü denir 3

4 Lorentz Dönüşümü Aynı olayın S daki yerini bulayım: geri dönmek için v yerine -v kullan Bu formülden hemen öğrendiklerimiz aynı anda göreli bir kavramdır x1 ve x arası uzaklık RF göredir t1 ve t arası zaman aralığı RF göredir hızları toplamak için basit toplama kullanamam. Yararlı tanımlamalar x 1 =x, x =y, x 3 =z x 0 =ct β=v/c bunları kullanınca eşitlikler basitleşir. Zararlı tanımlamalar x 1 =x, x =y, x 3 =z x 4 =ict 4

5 devam matris olarak yazarsak Başka neyi böyle yazabilirim? (Enerji ve momentumlar), (hızlar) Bunlar ne böyle? 4 elemanı olan ve Lorentz dönüşümlerine uyan cisimlere Lorentz vektörü denir. X ve/veya P S <==> S dönüşümü altında değişmez kalan var mı? evet bu: veya bu: - Lorentz Değişmezi 5

6 ee? ne işime yarar bu? Enerji momentum (Em) kısmına bakalım. E=γmc p=γmv O halde Em 4 vektörü : p 0 =E/c p 1 =γmv 1 p =γmv p 3 =γmv 3 olarak yazılabilir. Nedir bunun değişmezi? E /c - p = m c Yani kütle bir Lorentz Değişmezidir. Örnek: S okulda deney yaptığım yer olsun ve bir kozmik muonu inceleyim. Kozmik muonun bozunması geçen zamanı, enerjisini, momentumunu ölçebilirim. Deneyimi muonun üstüne kurabilseydim, buna da S derdim. S da p=0 ve E=mc olacak. Ancak her tarafta da aynı kütleyi ölçerim Bu arada: E=γmc = eğer v<<c ise Newton yaklaşımı kullanabilirim: E 6

7 Ayrıntılar Lorentz değişmezini tanımlamak için kullandığımız hesabı bir matris işlemi olarak düşünebiliriz. bu +--- veya -+++ matrisine metrik denir. En genel hali g, + veya - lerden oluşan hali de η ile gösterilir. Lorentz vektörleri arasındaki çarpım işleminde kullanılır. Tekrar edilen yunan harflerini toplam anlamında kullanırsak covaryant contravaryant Artık herhangi iki LV çarpabilirim, sonuç bir sayı olmalıdır. 7

8 Öğrendiklerimizi kullanalım Çarpışmalar, bozunumlar vb Enerji momentum korunum yasaları ile incelenir En basit durumu A + B --> C + D olarak gösterirsek A+B nin enerjisi C+D ninkine eşit olmalıdır, aynı şekilde olay öncesi ve sonrası momentumlar eşit olmalıdır. Bizim ilgilendiğimiz konular yüksek hızda v c olur. Önceki sayfalardaki bilgileri kullanmalıyız Örnek: π -> μ ν bozunumunu inceleyelim, π duruyor olsun. μ momentumu nedir? E - p c = m c 4 ν kütlesiz kabul edelim ( E ν = p ν c ) momentum korunumunu yazalım: enerji korumunu yazalım: denklemden p μ çözülür 8

9 aynı soru - LV yöntemi Bozunum parçacıkların 4 boyutlu LV ü kullanılarak yazılır. (büyük harfleri LV olarak kullanalım: p (3) P (4) boyutlu olsun. P π = P μ + P ν μ tek bırakıp denklemin karesini alalım. P μ = (P π - P ν ) kareyi açalım P μ = P π + P ν -P π.p ν. LV çarpımıdır, momentum LV = kütle m μ c = m π c + 0 -(E π /c *E ν /c -0) E π =m π c m μ c = m π c -(m π E ν ) ama E ν = p ν c= p μ c p μ = (m π c - m μ c )/m π LV ile çözüm daha derli toplu olur. Özellikle c=1 almak daha da iyi olur. 9

10 A B Terimler/durumlar A B Lab sistemi : deney yaptığımız RF. Sabit hedef deneyi E A enerjili, m A kütleli ve p A momentumlu A parçacığı durmakta olan m B kütleli B parçacığına çarpsın. (c=1) sistemin toplam enerjisine s dersem s=(p A +P B ) = P A +P B P A.P B =m A +m B +(E A m B +0) s=m A +m B +E A m B Çarpışma deneyi E A enerjili, m A kütleli ve p A momentumlu A parçacığı, zıt yönden gelen E B enerjili, m B kütleli ve p B momentumlu B parçacığına çarpsın. (c=1) s=(p A +P B ) = P A +P B P A.P B =m A +m B +(E A E B -p A.p B ) s=m A +m B +(E A E B + p A p B cosθ) Kütle merkezi RF: toplam (3)momentumun 0 olduğu RF p A =-p B 10

11 A B C Bozunumu P A = P B +P C E = p + m E B =? İpucu: eşitliği kullan, bilinmeyeni, bulunamayanı tek bırak!! P A - P B =P C kareye kaldır! (P A - P B ) =(P C ) m A + m B -(E A E B -p A p B ) = m C m A + m B - m C = (m A E B ) E B = ( m A + m B - m C )/ m A Mesela W bozunumu böyle çözülür. Ancak bu A durgun oldugunda geçerlidir. A nın hareketli olduğu durumda LT ile lab RFe taşımak gerekir. Buna boost denir. 11

12 Lab ve KM / örnek Eğer demet enerjisi kütleye göre büyükse, kütle ihmal edilebilir (E p) ve eğer çarpışma açısı ufaksa (kafa kafaya, cosθ 1) s (E A E B + pa pb ) 4E A E B örnek1 - LHC : 7TeV p 7 TeV p s= 14TeV örnek -LHeC: 7TeV p 60 GeV e- s=1.3tev protonu demetimin enerjisi en az ne olsun ki duran başka bir protona çarpınca 3 proton 1 de anti-proton çıksın? --> 4 süreç, cisim girer, 4 cisim çıkar. en az : KM de son ürünlerin duruyor olması, p=0 demektir. proton kütlesine m diyelim, c=1 olsun (P1+P) = (P3+P4+P5+P6) P1 +P +P1.P= P3 +P4 +P5 +P6 +P3.P4 +P3.P5+P3.P6 +P4.P5 +P4.P6+P5.P6 m + m +(Em-p.0) = 4m + *6m Em = (16-) m E = 14m/ = 7m m yapmak için 6m verdim 1 sabit hedef deneyi enerjiyi harcıyor!!

13 çarpıştırıcı Genel durum: A + B --> C + D özel ve güzel durumlar: A ve B aynı cins parçacıklar ve kafa kafaya çarpışırlar. Mandelstam değişkenlerini tanımlamak adettir. LD dirler. s=(p A + P B ) t=(p A - P C ) u=(p A - P D ) s+t+u hesaplayalım 3P A +P B +P C +P D +(P A P B -P A P C -P A P D ) 4vektör toplamı B -C -D = -A 3P A +P B +P C +P D +P A (P B -P C -P D ) 3P A +P B +P C +P D -P A P A +P B +P C +P D =m A +m B +m C +m D En özel durum A + A --> A + A s=(p A +P A ) =m A +(E A + p A ) = 4(m A + p A ) 13 E A = m A + p A çarpıştırıcı da px, py, pz pek kullanılmaz, pt, pz, φ tercih edilir. px= pt cos(φ)

14 compton saçılması λ ve λ arasındaki ilişkiyi saçılma açısı cinsinden bulunuz. c=1 Foton için: E=hc/λ E=p enerji, momentum(x) momentum (y) : 3 denklem θ, φ, p 4 üç bilinmeyen, birbirinin içine koy çöz, bol sabırlar dilerim. Veya LV kullanalım, ilgilenmediğimiz 4ü tek başına bırakalım (P 1 +P -P 3 ) = (P 4 ) P 1 +P +P 1. P -P 1. P 3 -P. P 3 = m 0 + m +E 1 m -(E 1 E 3 -E 1 E 3 cosθ) -(me 3 ) = m E 1 m = E 1 E 3 (1-cosθ) + me 3 E 3 (m +E 1 (1-cosθ)) = E 1 m E 1 =h/λ E 3 =h/λ λ(m + (1-cosθ) h/λ) = mλ λ( + (1-cosθ) h/mλ) = λ = λ + (1-cosθ) h/m 14 m nin compton dalga boyu

15 Bu işleri bilgisayara yaptırsak moda program: root. c/c++ programlama diliyle kullanılıyor TLorentzVector mu1, mu, Zrec; mu1.setptetaphim( Muon_PT, Muon_Eta, Muon_Phi, mmu ); pt, η, φ, m deneysel olarak ölçülen değerlerdir. LV sınıfı + - işaretlerinden anlar Zmm=mu1+mu; Yeni LV den ilgili değerler alınır Zmm.M() ; Çözümleme yaparken dağılımlar böyle elde edilir. hızlandırıcı enerjisi ne olursa olsun eğer 91 GeV de tepe varsa bu Z bozonudur. 15 Invariant Mass for jj µµ inv mass jj inv mass jjinvm Entries 588 Mean RMS Underflow 0 Overflow GeV

16 bitti Dikkatiniz için hepinize, davetiniz için bütün kurullara teşekkürler, Ödevler (c=1 ve hatta h=1 sisteminde çalışınız.) Simetrik çarpışma ve sabit hedef deneylerinde yeni parçacık üretmek için kullanılabilir enerjinin gelen demet enerjisiyle bağantıları nedir? parçacık kütlesi ufak alınız. A-->B C bozumununda B veya C nin momentumunu A,B,C kütleleri cinsinden bulunuz. Birbirine çarpan demetin arasındaki açı θ olsun. Eğer parçacık kütleleri ihmal edilirse s denklemi nedir? 16 Yedek sayfalar

17 yedekler Hız Toplamı sabitler > Lorentz katsayısı c=1 v ɣ ,