Jeoid Yüksekliklerini Belirlemek İçin Kullanılan Enterpolasyon Metotlarının Trabzon İli Verilerine Uygulanması

Transkript

1 Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi Cilt: 8, No: 2, 2016 ( ) Electronic Journal of Map Technologies Vol: 8, No: 2, 2016 ( ) Geliş Tarihi: ; Kabul Tarihi: HARİTA TEKNOLOJİLERİ ELEKTRONİK DERGİSİ e-issn: doi: /hartek Makale (Article) Jeoid Yüksekliklerini Belirleek İçin Kullanılan Enterpolasyon Metotlarının Trabzon İli Verilerine Uygulanası Özge KARAASLAN 1, Eine TANIR KAYIKÇI 1, Yusuf AŞIK 2 1 Karadeniz Teknik Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Harita Mühendisliği Bölüü, Jeodezi Anabili Dalı, 61080, Trabzon 2 Güüşhane Üniversitesi, Mühendislik ve Doğa Bilileri Fakültesi, Harita Mühendisliği Bölüü, 29100, Güüşhane etanir@ktu.edu.tr Öz Mühendislik çalışalarında ortoetrik yükseklikler kullanılır. Bu yükseklikler yersel ölçülerle bulunası zaan alıcı, eek gerektiren ve aliyet gerektiren bir işledir. Fakat GNSS ölçülerinden elde edilen elipsoid yükseklikten ortoetrik yüksekliğe dönüşü daha az zaan alır ve kolaydır. Dönüşü içinse belirli kesinlik ve duyarlılıkta jeoid yükseklik değerlerinin bilinesi gerekektedir. Bu uygulaada Trabzon da Tapu ve Kadastro IX. Bölge Müdürlüğü nün yaptığı kadastro çalışalarında doğu-batı yönünde 80 k, kuzey-güney yönünde 30 k lik bir alanda oluşturuluş olan 600 adet C3 noktalarında ölçülüş olan elipsoidal ve ortoetrik yükseklikler kullanılıştır. Noktaların ITRF96 (International Terrestrial Reference Frae-Uluslararası Yersel Referans Ağı) datuuna dayalı 3-boyutlu kartezyen koordinatları ve Gauss Krüger projeksiyon koordinatları bilinektedir. Çalışada noktalar etotlara göre test ve dayanak noktaları olarak iki gruba ayrılıştır. Dayanak noktaları x ve y eksen yönlerindeki nokta dağılılarına ve ortoetrik yüksekliklerine bakılarak hoojen bir şekilde seçiliştir. Bu çalışada polino yüzeyleri ile enterpolasyon, ultikuadrik yüzeyler ile enterpolasyon, ağırlıklı ortalaa etodu ile elde edilen yüzeyler ile enterpolasyon etotları kullanılıştır. Seçilen dayanak noktalarında, bilinen elipsoidal ve ortoetrik yüksekliklerinin farkından hesaplanan jeoid yükseklikleri kullanılarak, farklı enterpolasyon etotlarıyla test noktaları için hesaplanan ortoetrik yüksekliklerin, bu noktalarda ki bilinen ortoetrik yüksekliklerden farkları hesaplanarak enterpolasyon etotları arasında karşılaştıralar yapılıştır. Anahtar Kelieler: Ağırlıklı Ortalaa, Jeoid Yüksekliği, Multikuadrik Enterpolasyon, Ortoetrik Yükseklik, Polino Yüzeyleri. Interpolation Method Used To Deterine The Height Of Geoid, Application Of The Trabzon City Data, Turkey Abstract Finding the spatial extent of known height used in engineering works quite tie-consuing process that requires a difficult and cost. But the less tie it takes the ellipsoid heights transforation into orthoetric height with GNSS easureents available and easier. It also has a certain precision and sensitivity for the conversion geoid height values ust be known. This practice in Trabzon Land Registry IX. Regional Directorate of cadastral works in east-west direction of 80 k, easured orthoetric and ellipsoidal heights in the 600 C3 point values created in an area 30 k long north-south direction is used. the point ITRF96 (International Terrestrial Reference Frae-International Terrestrial Reference Network) datus based on 3-diensional Cartesian coordinates and Gauss Krüger projection coordinates are known. The study is divided into two basis points according to the ethod and test points. Fulcrus x and y axis directions and the distribution of points is chosen uniforly reflected by the orthoetric height. In this study, the polynoial Bu akaleye atıf yapak için Karaaslan Ö., Tanır Kayıkçı E., Aşık Y. (2016). Jeoid Yüksekliklerini Belirleek İçin Kullanılan Enterpolasyon Metotlarının Trabzon İli Verilerine Uygulanası, Harita Teknolojileri Elek. Der., 8(2), , doi: /hartek

2 Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Jeoid Yüksekliklerini Belirleek İçin Kullanılan Enterpolasyon interpolation surfaces, interpolation with ultiquadratic surfaces with interpolation surface obtained by the ethod of weighted average ethod is used. in selected ainstay, known aware of the ellipsoidal and the orthoetric height using the calculated geoid height, calculated orthoetric heights for the test points with different interpolation ethods, at this point in the known calculating the difference fro the known height has ade coparisons between the interpolation ethod. Keywords: Weighted Average, Geoid Height, Multiquadric Interpolation, Orthoetric Height, Polynoial Surfaces. 1. GİRİŞ GPS sisteinden WGS84 elipsoidinde elde edilen koordinat ve yükseklik verilerinin geoetrik olarak bir anlaı vardır fakat direkt ühendislik işlelerinde kullanılaaaktadır. Mühendislik işlelerinde kullanılan yüksekliğin geoetrik anlaı yok iken GPS den elde edilen elipsoit yüksekliğindense jeoid yüksekliği kadar bir fark gösterir. Bunlar genel olarak iki gruba ayrılır: Bölgesel ve lokal jeoid belirlenesi. Lokal jeoid belirleyebilek için ortoetrik ve elipsoidal yükseklikleri bilinen dayanak noktaları gereklidir. Dayanak noktalarıyla belirlenen lokal jeoid yüzeyi yardıı ile enterpolasyon etotları kullanılarak diğer test noktaların ortoetrik yükseklikleri hesaplanabilir. [1-8]. Bu uygulaada ise seçtiğiiz dayanak noktalarından değişik enterpolasyon etotları kullanılarak bulunan ortoetrik yükseklikler ile ölçülen ortoetrik yükseklikler arasındaki istatistiki bilgiler (farkların aksiu, iniu değerleri ve standart sapaları gibi) inceleniştir. 2. LOKAL GEOİT BELİRLEME AMACIYLA YÜZEY MODELLERİNİN KULLANILMASI Ortoetrik ve elipsoidal yükseklikleri bilinen noktalardan yararlanılarak oluşturulan lokal bir jeoid yüzeyi yardıı ile test noktalarının jeoid yükseklikleri belirlenebilir. Bu yüzeylerin belirlenebilesi için kullanılan ana etotlar; Polino yüzeyleri (Birinci dereceden dik olan ve dik olayan polinolar, ikinci dereceden dik olan ve dik olayan polinolar ve daha yüksek dereceden dik olan ve dik olayan polinolar) ile enterpolasyon, Multikuadrik yüzeyler ile enterpolasyon, Ağırlıklı ortalaa etodu ile elde edilen yüzeyler ile enterpolasyon (esafenin karesinin tersi, esafenin tersi, v.b.) olarak isilendirilir Polino Yüzeyleri İle Enterpolasyon Jeoid belirleek için kullanılacak olan yüzey genelde iki değişkenli yüksek dereceden polinolarla belirtilir. Dik olan ve dik olayan polino çeşidine göre kullanılacak olan yüzey denkleleri değişik biçide hesaplanaktır. Dik polino genelde; n N(x, y) = a ij x i y j k k=0 j=k-i (1) i=0 biçiinde belirtilir. Burada x ve y jeoid yüksekliğini bildiğiiz noktaların düzle koordinatları, a ij polinoun katsayıları, n ise polinoun derecesidir. Bunlara göre dik lineer yüzey, N(x, y) = a 00 + a 01 y + a 10 x (2) 152

3 Karaaslan Ö., Tanır Kayıkçı E., Aşık Y. Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) biçiinde 3 bilineyenli polinola; dik kuadratik yüzey N(x, y) = a 00 + a 01 y + a 10 x + a 20 x 2 + a 11 xy+a 02 y 2 (3) biçiinde 6 bilineyenli polinola ve dik kübik yüzey ise N(x, y) = a 00 + a 01 y + a 10 x + a 20 x 2 + a 11 xy+a 5 y 2 +a 6 x 3 +a 7 x 2 y+a 8 xy 2 +a 9 y 3 (4) 9 bilineyenli polino şeklinde gösterilir. Dik olayan polino yüzeylerinin genel forülüyse, n n N(x, y) = a ij x i y j i=0 j=0 olarak belirtilir. 4 bilineyenli bi-lineer yüzey denklei; (5) N(x, y) = a 00 + a 01 y + a 10 x+a 11 xy (6) biçiinde gösterilir. Bi-kuadratik yüzey, N(x, y) = a 00 + a 01 y + a 10 x + a 11 xy + a 20 y 2 + a 21 x 2 y + a 20 x 2 + a 12 xy 2 + a 22 x 2 y 2 (7) biçiinde 9 bilineyenli polino olarak gösterilir. Bi-kübik yüzeyse, N(x, y) = a 00 + a 01 y + a 10 x + a 11 xy + a 02 y 2 + a 21 x 2 y + a 20 x 2 + a 12 xy 2 + a 22 x 2 y 2 + a 30 y 3 + a 13 xy 3 + a 23 x 2 y 3 + a 30 x 3 + a 31 x 3 y+a 32 x 3 y 2 + a 33 x 3 y 3 (8) olarak, 16 bilineyenli polino ile belirtilir. Uygulaa bölgesinden seçiliş olan dayanak noktalarından (2), (3), (4), (6), (7) ve (8) eşitliklerinde veriliş olan polino denklelerinden a ij katsayıları; ölçülen jeoid yüksekliği N(x, y) ölçü arasındaki farkın v i ve her dayanak noktası için polinodan elde edilecek olan jeoid yüksekliği N(x, y) hesap, v i 2 = (N(x, y) ölçü N(x, y) hesap ) 2 (9) biçiinde karelerinin toplaı iniu olacak şekilde dengeleeli olarak hesaplanır., dayanak noktası sayısıdır. Burada, v = Ax l (10) biçiinde ifade edilen düzelte denkle sisteindeyse A katsayılar atrisi satırdan ve (2), (3), (4), (6), (7) ve (8) eşitliklerinin sağ tarafındaki a ij katsayılarının çarpanlarından oluşur. l sabit vektörü ise her dayanak noktasında ölçülen jeoid yüksekliktir, x ise a ij katsayılarından oluşan bilineyenler vektörüdür. Katsayılar 6-7 haneli x ve y düzle koordinat değerlerinden, bunların çarpılarından, katlarından ve katlarının çarpılarından oluşan sayılar olduğundan dolayı ve a 0 = 1 olduğuna dikkat edilirse; A atrisinin kondisyonu bozuk bir atris olduğu görülecektir. Bunun içindir ki, (10) eşitliğindeki denkle sisteinden En Küçük Kareler ilkesine göre çözüünü buladan önce A katsayılar atrisinde ve l sabit vektöründe ötelee ve norlandıra işlelerinin yapılası gerekektedir. Bunun ardından; A T Ax =A T l (11) 153

4 Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Jeoid Yüksekliklerini Belirleek İçin Kullanılan Enterpolasyon Noral denkle sisteinden ise, x = (A T A) 1 A T l (12) a ij katsayılarını içeren x bilineyenler vektörü hesaplanır. Haritacılıkta kullanılan koordinatlar çok büyük değerler olduğu için koordinatlar norlandırılarak (küçültülerek) atris hesabında kullanılır. x i(norlandırılış) = x ortalaa x i 1000 a ij ler her yüzey için ayrı elde edilir ve polino katsayıları için hipotez testleri yardıı ile paraetre anlalılık testi yapılır [7,9-17] Multikuadrik Yüzeyler İle Enterpolasyon Bu etodunun aacı tü noktaların kullanarak arazi yüzeyini tek fonksiyonla gösterektir. Bu etotta dayanak noktalarından ( sayıda) yararlanılarak bir trend yüzeyi geçirilesi gerekektedir. Trend yüzeyi olaraksa herhangi bir dereceden bir polino seçilebilir. Seçtiğiiz polinoun bilineyen katsayılarıysa EKK etoduna göre hesaplanır. Dayanak noktalarının N i artık jeoid yükseklik değerleriyse N i = N i N(x i, y i ) = N i N trend,2,3,, (13) eşitliği ile hesaplanır. Düzle koordinatları (x e, y e ) olan enterpolasyon noktasındaki N e artık yükseklik değeri, N e = N e N(x e, y e ) = N e N trend (14) biçiinde yazılır. Aa bu eşitlikteki N e ve N e değerleri bilineektedir. Bu değerlerden birisinin bilinesi halinde diğeri hesaplanabilir. Burada artık yükseklik değerleri Multikuadrik Yüzey olarak bilinen, katsayıları tanılı yüzey denklelerinin toplaı olarak ifade edilektedir. En genel gösterii ile bir ultikuadrik yüzey forülü, N = c i [Q(x, y, x i, y i )] (15) biçiindedir. Buradaki c i, dayanak noktalarının biliniyor olan N i artık yükseklik değerlerinden hesaplanış olan bilineyen katsayıları, Q(x, y, x i, y i ) ise kernel fonksiyonu olarak adlandırılır. (15) eşitliğinden farklı ultikuadrik yüzey tipleri de kullanılabilir. Örneğin, dairesel paraboloit serilerinin toplaları, N = c i [(x x i ) 2 + (y y i ) 2 + γ 2 ] (16) biçiinde belirtilebilir. Bağıntılardaki γ keyfidir. (16) eşitliğinde γ = 0 alınacak olursa ultikuadrik yüzey, 154

5 Karaaslan Ö., Tanır Kayıkçı E., Aşık Y. Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) N = c i [(x x i ) 2 + (y y i ) 2 ] (17) şeklinde olur. Multikuadrik yüzey fonksiyonu olaraksa (17) yi seçersek bağıntıdaki c i katsayılarını hesaplaayabilek için sayıda dayanak noktasının biliniyor olan (x i, y i, N) değerlerinden yararlanılarak, N j = c i [(x j x i ) 2 + (y j y i ) 2 ] (18) ve a ij [(x j x i ) 2 + (y j y i ) 2 ] 1 2 i,j=1,2,3,, (19) ise sayıda lineer denkle sistei oluşturulur. (18) bağıntısı N 1 a 11 a 12 N N = [ 2 a 21 a 22 ] A=[ N a 1 a 2 a 1 a 2 ] a c 1 c 2 C=[ ] c (20) ise, şeklinde tekrardan yazılabilir. c i katsayılarıysa, N = AC (21) C = A 1 N (22) eşitliğinden hesaplanır. (14) eşitliğinde c i katsayılarını yerine koyarsak, enterpolasyon noktasındaki jeoid yüksekliği, N e = N trend + c i [(x e x i ) 2 + (y e y i ) 2 ] 1 2 (23) şeklinde hesaplanır. Burada (x e, y e ) ve (x i, y i ) enterpolasyon ve dayanak noktalarının koordinatlarıdır. [18-26] Ağırlıklı Ortalaa Metodu İle Elde Edilen Yüzeylerle Enterpolasyon Ağırlıklı ortalaa etodu noktasal enterpolasyon etodudur. Noktanın yüksekliği, çevresinde olan dayanak noktaları yardııyla ağırlıklı ortalaayla hesaplanır. Dayanak noktalarına verilesi gereken ağırlık değerinin bulunasındaysa enterpolasyon noktasıyla dayanak noktası arasındaki uzaklığın fonksiyonu kullanılır. Ağırlık değerleri P i, 155

6 Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Jeoid Yüksekliklerini Belirleek İçin Kullanılan Enterpolasyon P i = 1 d i k i = 1, 2,, k = 1, 2, 3, 4 (24) olarak hesaplanır. Burada k güç paraetresi olarak adlandırılır. d i ise dayanak noktasıyla enterpolasyon noktası arasındaki esafedir ve, d i = (x i x e ) 2 + (y i y e ) 2 (25) biçiinde hesaplanır. (x e, y e ) de enterpolasyon noktasının koordinatlarını ve (x i, y i ) herhangi bir dayanak noktasının koordinatlarını ifade etektedir. tane dayanak noktası olduğunu varsayarsak ağırlıklı ortalaa etoduna göre noktanın jeoid yüksekliği N e = P i N ip i (26) şeklinde hesaplanır. Burada N i, dayanak noktasının jeoid yüksekliği; N e, enterpolasyon noktasının jeoid yüksekliği;, enterpolasyon için kullanılan topla dayanak noktası sayısı ve P i, dayanak noktasına ait ağırlık değeridir. [27-30]. 3. UYGULAMA Çalışada Trabzon ilinde Tapu ve Kadastro IX. Bölge Müdürlüğü kadastro çalışaları kapsaında oluşturulan C3 noktalarının ölçülen ortoetrik ve elipsoidal yükseklik değerleri kullanılıştır (Şekil 1). Metotların nokta yoğunluğuna göre nasıl sonuçlar verdiğini inceleek için noktalardan, yükseklik ve koordinat bilgileri dikkate alınarak hoojen olarak seçilen farklı nokta grupları oluşturuluştur. Test ve dayanak noktası ayrıı yapılayan etotlarda noktalar hoojen olarak seçiliştir ve 287 nokta, 330 nokta, 600 nokta grupları ile hesaplaa yapılıştır. Dayanak noktalarından hesaplanan katsayılarla test noktalarının yüksekliğinin bulunası için hesap yapılan Polino Yüzeyleri ile Enterpolasyon Metodunda, 330 dayanak noktası ve 287 test noktasının seçiinde ise noktaların birbirinden bağısız olasına, noktaların yükseklik ve koordinat bilgilerine göre hoojen olasına dikkat ediliştir. Bahsedilen etotlarla test noktalarındaki jeoid yükseklikleri hesaplanıştır. Hesaplanan jeoid yükseklikleri ile ölçülerden elde ediliş olan jeoid yükseklikleri ile arasındaki farklara göre etotlar arasında irdeleelerde bulunuluştur. 156

7 Yükseklik Farkları (c) Karaaslan Ö., Tanır Kayıkçı E., Aşık Y. Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Şekil 1. Kullanılan noktaların dağılıı Polino yüzeyleri oluşturulurken farklı derecelerden dik olan ve dik olayan polinolar kullanılıştır. Seçtiğiiz 330 dayanak noktalarının yükseklikleri ile arasında değişekte iken, 287 test noktalarının yükseklikleri ile arasında değişektedir. Şekil 2 de 330 dayanak noktası kullanılarak elde edilen farklı dereceden polino yüzeyleri için 287 test noktasında elde edilen farkların grafikleri gösteriliştir. 3. dereceden dik polino yüzeyi için elde edilen farklar diğer polino yüzeylerine göre oldukça küçük değerler olduğu gözleniştir. Buna karşın 2. dereceden dik ve dik olayan polino yüzeyleri için farkların c civarında en büyük olduğu ve 3. dereceden dik olayan yüzeyler için farkların ise en büyük ve en küçük farklara göre 5 c civarında ortalaa değerler aldığı Şekil 2 den görülektedir Nokta Nuaraları Polino1 Polino2 Polino3 Olayan1 Olayan2 Olayan3 Şekil dayanak ve 287 test noktası için elde edilen sonuçlar () En küçük farkların elde edildiği 3. dereceden dik polino yüzeyi için değerlere detaylı bir şekilde bakıldığında aksiu 3 civarında farklar olduğu gözlenir (Şekil 3). 157

8 Yükseklik Farkları (c) Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Jeoid Yüksekliklerini Belirleek İçin Kullanılan Enterpolasyon Nokta Nuaraları Şekil dayanak ve 287 test noktası için elde edilen sonuçlar (c) Her bir polino yüzeyi için elde edilen utlak farkların utlak aksiu ve iniu değerlerine bakıldığında aksiu utlak farkın etre ile 2. dereceden dik polino yüzeyi için elde edildiği ve 1. derece dik olayan ve 2. derece dik olayan polino yüzeyi için utlak farkların aksiu değere çok yakın olacak şekilde arasında değerler aldığı görülektedir. Buna karşın utlak iniu utlak farkın 0.02 ile 3. derece dik polino yüzeyi için elde edildiği gözleniştir (Çizelge 1). Çizelge 1. Polino yüzeyleri ile enterpolasyonla 287 nokta için elde edilen aksiu iniu utlak farklar 1. Derece 2. Derece 3. Derece 2. Derece 3. Derece Dik Dik Dik Mutlak fark Dik Dik Olayan Olayan Olayan Maksiu Mutlak Fark () Miniu Mutlak Fark () Mutlak Farkların Ortalaası () Mutlak Farkların Standart Sapası () Polinoun yüzeylerinin derecesi arttıkça işle karaşası artış olduğundan ölçülen değerlere daha yakın sonuçlar elde ediliştir. Farkların değişi grafiğine bakıldığında belirli bölgelerde bariz büyük farkların olduğu bazı bölgelerde ise bu farkların oldukça küçüldüğü görülektedir. Yaptığıız çalışaya göre bölgeler arasında böylesine farkların oluşaası için ultikuadrik enterpolasyon etodunun uygulanasının Trabzon ili geneli için değil de ilçe bazında uygulanası daha da uygun olabilir. Paraetre anlalılıklarını irdeleek için; Sıfır Hipotezi (a i = 0) ve Seçenek Hipotezlerini (a i 0) test etek için test büyüklüğü T i hesaplanıştır. Hesaplanan test büyüklüğü ilgili tablo değeri ile kıyaslanıştır. Dayanak nokta sayısı 330 ve 287 test nokta noktası için oluşturulan polino yüzeylerinde yaptığıız hesaplar sonucunda 1. derece dik olayan, 2. derece dik ve dik olayan polino yüzeylerini tesil eden katsayıların birçoğunun anlasız olduğu sonucuna varılıştır. Buna karşın 3. Derece dik ve dik olayan polino yüzey katsayıları için son katsayı hariç diğer tü katsayıların anlalı olduğu sonucuna varılıştır (Çizelge 2). 158

9 Karaaslan Ö., Tanır Kayıkçı E., Aşık Y. Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Çizelge dayanak noktasına 287 test noktası için polino yüzeyleri katsayıları anlalılık Katsayılar 1.derece ortogonal olayan 2.derece ortogonal testi Katsayı Test Değerleri T i = a i a i 2.derece ortogonal olayan 3. derece ortogonal 3. derece ortogonal olayan a a a a a a a a a a a a a a a a Tablo Değeri t n u,1 α Çizelge 3 e bakacak olursak yaklaşık olarak aksiu 6 fark elde edilirken iniu 0.6 fark elde ediliştir. Çizelge 3. Multikuadrik enterpolasyonla 600 nokta için elde edilen aksiu iniu utlak farklar Maksiu Mutlak fark () Miniu Mutlak fark () Mutlak farkların Ortalaası () Mutlak farkların Standart Sapası () Şekil 4 de bazı bölgelerde büyük farkların olduğu bazı bölgelerde ise bu farkların oldukça küçük olduğu görülektedir. Böylesine farkların oluşaası için ultikuadrik enterpolasyon yönteinin uygulaası Trabzon ili geneli için değil de ilçe bazında uygulanası daha uygun olabilir. 159

10 Yükseklik Farkları () Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Jeoid Yüksekliklerini Belirleek İçin Kullanılan Enterpolasyon Nokta Nuaraları Şekil nokta için elde edilen sonuçlar () Şekil 4 ve Şekil 5 de ki ani değişilerin olduğu yerler Çizelge 4 de açıklandığı gibi noktaların yerlerinin ilçelere göre değiştiği yerlerdir Şekil 5. Multikuadrik enterpolasyon etoduyla 600 nokta kullanılarak elde edilen ortoetrik yükseklik farklarından oluşan yüzey (µ) 160

11 Karaaslan Ö., Tanır Kayıkçı E., Aşık Y. Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Çizelge 4. Kullanılan noktaların bulunduğu ilçeler Nokta Nuaraları Bulundukları İlçe Maksiu Ortoetrik Yükseklikler () Miniu Ortoetrik Yükseklikler () Maksiu ve Miniu Ortoetrik Yükseklikler Arasındaki Farklar () 1-14 Arsin Beşikdüzü Araklı Akçaabat Vakfıkebir Araklı Beşikdüzü Çaykara Hayrat Maçka Of Of-Sürene Çaykara Şalpazarı Vakfıkebir Yora Çizelge 5, 600 nokta için utlak farklı güç paraetresi tercihleri için elde edilen utlak farkların utlak değerlerinin aksiu ve iniu değerleri için sonuçları özetleektedir. Buradan da görüldüğü gibi aksiu utlak farkın etre ile k=1 güç paraetresi ile edildiği, iniu utlak farkın ise etre ile k=4 güç paraetresi seçii için elde ediliş olduğu görülektedir. Çizelge 5. Ağırlıklı ortalaa etoduyla 600 nokta kullanılarak elde edilen aksiu iniu utlak farklar k Güç Paraetresi Mutlak Fark Maksiu Mutlak Fark () Miniu Mutlak Fark () Mutlak Farkların Ortalaası () Mutlak Farkların Standart Sapası () Ağırlıklı ortalaa ile enterpolasyon etodu için yapılan son testte uygulaa alanındaki evcut tü noktalar kullanılıştır ve hesaplanan fark değerleri Şekil 6 de gösterilektedir. Güç paraetresi k=1 için elde edilen farkların diğer güç paraetresi seçilerinden elde edilen sonuçlara göre daha büyük olduğu görülektedir. Güç paraetresi k=3 ve k=4 için elde edilen farkların birbirlerine yakın değerler olduğu k=2 güç paraetresi için farklardan daha küçük olduğu da gözlenebilir (Şekil 6). 161

12 Yükseklik Farkları () Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Jeoid Yüksekliklerini Belirleek İçin Kullanılan Enterpolasyon Nokta Nuaraları k=4 K=3 K=2 K=1 Şekil nokta için elde edilen sonuçlar () Şekil 7 den ağırlıklı ortalaa ile enterpolasyon etoduyla elde edilen farklardan oluşan yüzey görülektedir. Şekil 7. Ağırlıklı ortalaa etoduyla k=4 seçilerek 600 nokta kullanılarak elde edilen ortoetrik yükseklik farklarından oluşan yüzey (c) 6. SONUÇLAR Bu çalışa sonucunda elde ettiğiiz sonuçlara göre, polino yüzeyleri ile enterpolasyon etodunda en uygun sonuç 3. dereceden dik olayan polino yüzeyi ile elde ediliştir. Ağırlıklı ortalaa etodu ile enterpolasyonda ise güç paraetresi k=4 seçilesi duruunda hesaplanan ortoetrik yükseklik değerinin ölçülen değerlere en yakın değerler olarak hesaplandığı görülüştür. Multikuadrik enterpolasyon etodunun daha yerel düzeydeki uygulaalar için daha uygun sonuçlar vereceği anlaına gelektedir. Tü etotlar arasından 3. Dereceden dik olayan polino yüzeyi ile enterpolasyon ile en uygun sonuçlar elde ediliştir. Teşekkür Çalışada kullanılan verilerin tein edildiği Trabzon Tapu ve Kadastro IX. Bölge Müdürlüğü ne katkılarından dolayı teşekkür ederiz. 162

13 Karaaslan Ö., Tanır Kayıkçı E., Aşık Y. Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Açıklaa Trabzon Tapu ve Kadastro IX. Bölge Müdürlüğü nden tein edilen verilerde topla 624 adet nokta bulunaktadır. Aa bazı noktalarda çok bariz kaba hatalar yapıldığı düşünüldüğünden onlar uygulaalarda kullanılaıştır. O yüzden uygulaalarda 287, 330 ve 600 noktadan oluşan hoojen seçiliş nokta grupları kullanılıştır. 7. KAYNAKLAR 1. Akiz, E., Yerci, M. (2009). Jeoid Kullanarak Elipsoit Yüksekliklerinden Ortoetrik Yükseklik Belirlee Yöntelerinin Doğruluk Araştırası, Harita Dergisi, 141, Aşık, E. (2013). Lokal Jeoit Belirleede Yapay Sinir Ağları Ve Kriging Yöntelerinin Karşılaştırılası, Yüksek Lisans Tezi, Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilileri Enstitüsü, Harita Mühendisliği Ana Bili Dalı, Afyon. 3. Çakır, L., Yılaz, N. (2014). Polynoials, Radial Basis Functions and Multilayer Perception Neural Network Metots in Local Geoid Deterination with GPS/Levelling, Measureent, 57( ). 4. Doğanalp, S., Selvi, H.Z. (2015). Local Geoid Deterination in Strip Area Projects by Using Polynoials, Least-squares Collocation and Radial Basis Functions, Measureent, 73(2015), El-Hallaq, M. A. (2012). Developent of a Local GPS-Leveling Jeoid Model for the Gaza Strip Area, International Journal of Eerging Technology and Advanced Engineering, (ISSN , Volue 2, Issue 3, March 2012) Islaic University of Gaza, Palestine. 6. Featherstone, W.E., Dentith, M.C., Kirby, J.F. (1998). Strategies for the Accurate Deterination of Orthoetric Heights fro GPS, Survey Review, 34, 267( ). 7. Kavzoğlu, T., Saka, M.H. (2005). Modelling Local GPS/Levelling Geoid Undulations Using Artificial Neural Network, Journal of Geodesy 78(2005), Yaprak, S., Arslan, E. (2008). Kriging Yöntei Ve Geoit Yüksekliklerinin Enterpolasyonu, Jeodezi Jeoinforasyon Ve Arazi Yönetii Dergisi, 98, Deranis, A., Rossikopoulos, D. (1991). Statistical Inference in Integrated Geodesy. In: Proceedings of the IUGG XXth General Assebly, International Association of Geodesy, August, 11-24, 1991, Vienna, Austria, Ocak 2015 de adresinden erişildi. 10. Draper, N.R., Sith, H. (1998). Applied Regression Analysis. 3rd edition Wiley Series, New York, p Fotopoulos, G. (2003). An Analysis on the Optial Cobination of Geoid, Orthoetric and Ellipsoidal Height Data, PhD dissertation, UCGE Report 20185, Geoatics Engineering Departent, University of Calgary, Canada. 12. Koch, K.R. (1999). Paraeter Estiation and Hypothesis Testing in Linear Models. 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, Gerany. 13. Lin, L. (2013). Orthoetric Height Iproveent in Tainan City using RTK GPS and Local Geoid Corrector Surface Models, Journal of Surveying Engineering-ASCE, 140(35-43). 14. Mava, A. (2011). Evaluation of EGM2008 in The State of Baden-Württeberg Using GPS and Leveling, Master Thesis, Stutgard, Gerany. 15. Tanır Kayıkçı, E., Karaaslan, Ö. (2015). Trabzon İli İçin Jeoid Ondülasyonları Belirlee Aacıyla Enterpolasyon Yöntelerinin Uygulanası, 15. Türkiye Harita Bilisel ve Teknik Kurultayı, Ankara, Türkiye, Mart Tuşat, E. (2011). A Coparison Of The geoid Height Obtained With Adaptive Neural Fuzzy Inference Systes And Metots Polynoial Coefficients, The International Journal of Physical Sciences Vol. 6 (4), Pp , ISSN

14 Harita Teknolojileri Elektronik Dergisi: HTED 2016(2) Jeoid Yüksekliklerini Belirleek İçin Kullanılan Enterpolasyon 17. Zengin Kazancı, S. (2014). Konusal Enterpolasyon Yöntelerinin Uygulanası: Karadeniz Bölgesi Günlük Ortalaa Sıcaklık Verileri Örneği, Yüksek Lisans Tezi, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Bilileri Enstitüsü, Harita Mühendisliği Ana Bili Dalı, Trabzon. 18. Buhann, M.D. (2000). Radial Bais Functions, Acta Nuerica (Cabridge University Press), 9(1-38). 19. Çakır, L. (2012). Ortoetrik Yüksekliklerin Dolaylı Olarak GPS Gözlelerinden Elde Edilesinde Kullanılan Yöntelerin İrdelenesi, Doktora Tezi, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Bilileri Enstitüsü, Harita Mühendisliği Ana Bili Dalı, Trabzon. 20. Franke, R., Hagen, H., Nielson, G.M. (1993). Repeated Knots in Least Squares Multiquadratic Functions, Technical Report NPS-MA , Naval Postgraduate School, Monterey CA, Hardy, R.L. (1971). Multiquadric Equations Of Topography And Other Irregular Surfaces, Journal Geophysical Research, 76( ). 22. Hardy, L.R. (1990). Theory of Applications of the Multiquadratic-biharonic Methot: 20 years of discovery , Coputers & Matheatics with Applications, 19, 8/9( ). 23. Karaaslan, Ö., Tanır Kayıkçı, E., Aşık, Y. (2016). Coparison of Local Geoid Height Surfaces, in the Province of Trabzon, Arabian Journal of Geosciences, 9(431), Şentürk, E. İnce, C. D., Özkeskin, B., (2014). Kocaeli İlinde GPS Nivelan Ölçüleriyle Yerel Jeoid Araştırası, 18. ATAG (Aktif Tektonik Araştıra Çalıştayı), Muğla. 25. Taktak, F. (2005). Afyonkarahisar da GPS Gözleleri ve Nivelan Ölçüleri Yardııyla Yerel Jeoid Profilinin Çıkarılası, Yüksek Lisans Tezi, Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilileri Enstitüsü, Harita Mühendisliği Ana Bili Dalı, Afyonkarahisar. 26. Yanalak, M., Baykal, O. (2001). Transforation of Ellipsoidal Heights to Local Levelling Heights, Journal of Surveying Engineering-ASCE. 127(90-103). 27. Başçiftçi, F. (2008). Lokal Jeoit Belirleede Yapay Sinir Ağları Ve Kriging Yöntelerinin Karşılaştırılası, Yüksek Lisans Tezi, Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilileri Enstitüsü, Harita Mühendisliği Ana Bili Dalı, Afyonkarahisar. 28. Erol, B., Çelik, R.N. (2006). Geoetric Modeling of Local Geoid with the Cobination of Different GPS/Leveling Data Sets in Western Turkey, in Proceedings CD of the Fifth International Syposiu Turkish-Geran Geodetic Days, March 28-31, 2006, Berlin, Gerany. 29. İnal, C., Turgut, B., Yiğit, C.Ö. (2002). Lokal Alanlarda Jeoit Ondülasyonlarının Belirlenesinde Kullanılan Enterpolasyon Yöntelerinin Karşılaştırılası, Selçuk Üniversitesi Jeodezi ve Fotograetri Mühendisliği Öğretiinde 30. Yıl Sepozyuu, Konya. 30. Karaaslan, Ö. (2015). Trabzon Ili Için Geoit Ondülasyonlari Belirlee Aaciyla Enterpolasyon Yöntelerinin Uygulanası, Yüksek Lisans Tezi, Güüşhane Üniversitesi Fen Bilileri Enstitüsü, Harita Mühendisliği Ana Bili Dalı, Güüşhane. 164