dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir."

Ilker Kinali
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 SAYISAL İNTEGRASYON TEK KATLI İNTEGRASYON Sayısal integrasyon çok geniş bir konudur. Burada problemli olmayan (genelde integrantın tekilliği olmayan, fazla salınım yapmayan, yaklaşım problemi bulunmayan) integrallerde sıkça kullanılan iki önemli integrasyon kuralından (integrasyon yöntemleri genellikle integrasyon formülleri veya integrasyon kuralları adı ile anılırlar) bahsedilecektir. Bu iki kural; Newton-Cotes integrasyon formülleri grubundan, trapez ve Simpson kurallarıdır. Bu iki integrasyon kuralında integrasyon aralığı (Simpson kuralında çift sayıda olmak üzere) eşit parçalara bölünür. Trapez kuralı: Trapez kuralına göre; her bir aralıkta; integrali alınacak fonksiyon doğru olarak kabul edilir. Bir (a,b) aralığını h=(b-a)/n olmak üzere n eşit alt aralıklara bölelim. Fonksiyonun a=x, x, x3,., xi, xi+,, xn, b=xn+ noktalarındaki değerleri f, f, f3,., fi, fi+,, fn, fn+ olsun. Fonksiyonun xi, xi+ aralığındaki integrali; bu aralıktaki trapezin alanına eşittir. Bu alan, Ii h *( fi fi ) dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir. I h *( f f f3... fn fn ) Simpson kuralı: Simpson kuralına göre; bir fonksiyon xi-, xi, xi+ aralığında ikinci dereceden bir çokterimli olarak alınır. Bu çok terimlinin katsayıları; çokterimli verilen üç noktadan geçecek şekilde belirlendikten sonra, çokterimli verilen aralıkta integre edildiğinde, h aralık genişliği olmak üzere, aşağıdaki sonuç elde edilir, Ii h *( fi 4 fi fi ) 3

2 Mühendislikte Bilgisayar Uygulamaları Yukarıda görülen fi-, fi, fi+ değerleri fonksiyonun xi-, xi, xi+ noktalarındaki değerleridir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali için yukarıda verilen formül; her çift aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak aşağıdaki şekilde bulunur. I h *( f 4 f f3 4 f4... fn 4 fn fn ) 3 Simpson kuralının hassasiyeti trapez kuralına göre daha fazladır. Yukarıda verilen trapez ve Simpson kuralı formülleri tek formül olarak I b f ( x n ) dx i w ii f a şeklinde yazılabilir. Burada görülen wi katsayıları, ağırlık katsayıları olarak isimlendirilirler ve kullanılan yönteme göre değişirler. Trapez ve Simpson kuralından farklı integrasyon kuralları da ağırlık katsayıları kullanılarak formüle edilirler. Örnek olarak y=cos(πx/6) eğrisinin x=0 ile x=3 aralığında kalan parçasının geometrik merkezini Simpson kuralına göre ve aralığı 6 eşit parçaya bölerek hesaplayalım. Düzlemsel bir eğrinin geometrik merkezinin xg ve yg koordinatları şu formüller ile bulunur: Sy Sx xg yg Sx ydl, S y xdl L dl L L L L L Kartezyen koordinatlarda yay elemanlarının tanımı dl dy sin x dx dx 6 6 kullanılarak Sx, Sy ve L ifadeleri 7 dl dl S y dx w y dx x i i dx L i 7 dl dl S x dx w x dx y i i dx L i dl dl L dx w 7 i dx L i dx i i i

Sayısal İntegrasyon 3 şeklinde yazılırlar. Hesaplar şekil x de görülen tabloda yapılmıştır. B sütununa xi, C sütununa yi ve D sütununa (dl/dx)i değerleri yazılmıştır.

3 Sayısal İntegrasyon 3 şeklinde yazılırlar. Hesaplar şekil x de görülen tabloda yapılmıştır. B sütununa xi, C sütununa yi ve D sütununa (dl/dx)i değerleri yazılmıştır. Ayrıca hesaplamalarla ilgisi olmayan nokta numaraları A sütununa yazılmıştır. E ve F sütunundaki değerler sırası ile D,B ve D, C sütunundaki değerlerin çarpımına eşittir. G sütunundaki değerler ise integrasyon formülündeki ağırlık katsayılarıdır. Simpson kuralında bu katsayıları üç tanedir; aralık h=0,5 olduğunda 0,5/3=0,67; 4*0,5/3=0,667 ve *0,5/3=0,333 dir. H, I ve J sütunlarına G sütunun sıra ile D, E ve F sütunları ile çarpımları yazılmıştır. Sonunda 7 noktada bulunan değerlere toplanarak tabloda görüldüğü gibi eğrinin boyu, x ve y eksenlerine göre statik momentleri hesaplanmış ve daha sonra geometrik merkezinin koordinatları hesap edilmiştir. Şekil x İKİ KATLI İNTEGRASYON İki katlı integralin hesaplanması, b F( x) d G( y) f( x, y) dydx f( x, y) dxdy a F ( x) c G ( y) formlarından biri ile yapılır. Bu formlar arasındaki fark integrasyon sırasının değiştirilmesidir. Birinci form ardışık iki integrasyon şeklinde aşağıda verilen şekilde yazılır. f( x, y) dydx g( x) dx g( x) f( x, y) dy b F( x) b F( x) a F( x) a F( x)

4 4 Mühendislikte Bilgisayar Uygulamaları Bu yazım tarzından hareket ederek; çift katlı integral, aşağıda verilen şekilde ardışık iki tek katlı integrasyon yardımıyla hesaplanır. b g( x) dx n ( ) * ( ) ( ) F xi (, ) m i w i g x i g x i f x i y dy ( ) j w j f( x i, y j ) a F x n m i j * i j i j I w w f ( x, y ) i Yukarıda toplama işareti altındaki ağırlık katsayıları herhangi bir tek katlı integrasyondaki ağırlık katsayılarıdır. Çift katlı integrasyon, integrasyon sırası değiştirilerek, aşağıda verilen şekilde de sayısal olarak hesaplanabilir. I d h( y) dy n ( ) * ( ) ( ) G yj (, ) m j w j h y j h y j f x y j dx ( ) i w i f( x i, y j ) c G y j Örnek olarak 4 6xx yx dydx integralini Simpson kuralına göre x 0 x x doğrultusunda sekiz ve y doğrultusunda altı aralık alarak hesaplayalım. İntegrasyon sırası olarak önce y doğrultusu daha sonra x doğrultusu alınacaktır. x doğrultusunda sekiz aralık alınacağına göre bu doğrultudaki integrasyon formülü aşağıda verilmiştir ,5 g( x) dx [ g(0) 4 g(0,5) g() 4 g(,5) g() 4 g(,5) g(3) 4 g(3, 5) g(4)] 3 Yukarıda verilen g(xi) değerleri ise 6xixi g( xi) yxidy den bulunacaktır. xi xi x=0 ve x=4 için integralin alt ve üst sınırları birbirine eşit olduğundan g(0)=g(4)=0 dır. İntegralin değişken olan alt ve üst sınırları sıra ile F(x)=x x ve F(x)=6xx ifadelerinde x yerine 0,5; ;,5; ;,5; 3; 3,5 konularak bulunur. Alt ve üst sınırlar belirlendikten sonra integrasyon aralığı altıya bölünerek h değerleri bulunur. Her x için bulunan alt ve üst değerler ile h değerleri şekil x de görülen birinci tabloda ikinci, üçüncü ve dördüncü sütunlarında verilmiştir. Ayni tabloda her x için aralığı altıya bölen y değerleri görülmektedir. Tabloda görülen her x için aynı satırda görülen y nin en küçük değeri integrasyonun alt sınırı ve en büyük değeri ise integrasyonun üst sınırıdır. yi değerlerinin bulunuşu için şekil x deki tabloda E3 hücresine +$B3+$D3*(E$-) formülü girilip diğer hücrelere kopyalanmıştır. Şekil x de görülen ikinci tabloda g(xi) değerleri tablonun son sütununda hesaplanmıştır. g(0)=g(4)=0 olduğundan sütunda bu değerler göz önüne alınmamıştır. Her g(xi) ye karşı gelen hi ve xi değerleri birinci ve ikinci

Sayısal İntegrasyon 5 sütundadır. Bu değerler birinci tablodan aynen alınmıştır. Daha doğrusu C hücresine =D3 ve D hücresine =A3 yazılıp bu değerler C3:D8 erimine kopyalanmıştır.

5 Sayısal İntegrasyon 5 sütundadır. Bu değerler birinci tablodan aynen alınmıştır. Daha doğrusu C hücresine =D3 ve D hücresine =A3 yazılıp bu değerler C3:D8 erimine kopyalanmıştır. Şekil x Fonksiyonun Fij=xi*xi*yi değerleri E:I8 eriminde hesaplanmıştır. Hesaplamada xi, değerleri D:D8 eriminden yi değerleri ise E3:K9 eriminden alınacaktır. Bu nedenle E hücresine +($D^)*E3 yazılıp bu formül erimdeki diğer hücrelere kopyalanmıştır. Sonra g(xi) değerlerini bulmak için L hücresine Simpson formülü C*( E 4* F * G 4* H * I 4* J K)/ 3 şeklinde yazılıp bu formül G3:G8 erimine kopyalanmıştır. Bu şekilde belirli xi değerler için y değişkenine göre sayısal integral alınmıştır. İki katlı integral için g(xi) değerlerine Simpson kuralı uygulanacaktır. Bunun için L9 hücresine 4 0,5 g( x) dx [ g(0) 4 g(0,5) g() 4 g(,5) g() 4 g(,5) g(3) 4 g(3, 5) g(4)] 0 3 formülünün eşdeğeri olan( g(0)=g(4)=0 olduğunu göz önüne alınarak) 0,5*(4* L * L3 4* L4 * L5 4* L6 * L7 4* L8)/ 3 yazılır. İntegralin sonucu L9 hücresinde görüldüğü gibi 545,33 dür. Kesin sonuç 546,333 olup bulunan sonuçta yuvarlatma nedeniyle % 0,5 hata vardır.

6 6 Mühendislikte Bilgisayar Uygulamaları

Benzer belgeler

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması