Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0

Transkript

1 SİERPİNSKİ ÜÇGENİ Polonyalı matematiçi Waclaw Sierpinsi ( ) yılında Sierpinsi üçgeni veya Sierpinsi şapası denilen bir fratal tanıttı. Sierpinsi üçgeni fratalların il örneğidir ve tremalarla oluşturulur. Trema (yer değiştiren parçalar) fratal oluşturuluren atılan parçalara denir. Bu şelin 12. yüzyılda bir ilisede süsleme olara çizili olduğu bilinmetedir. Şeil Sierpinsi Şapası Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0 diyelim. Üçgenin enarlarının orta notalarını birleştirme suretiyle üçgeni birbirine eş faat daha üçü dört eşenar üçgene ayıralım.

2 Bu üçü üçgenlerin enar uzunluları 1 2 dir. Ortadai üçgen çıarılıp atılıyor (faat enarları alıyor). Geri alan cümleye S 1 derse, S1 S0 dır. Geri alan 3 üçgenin her biri enar uzunluları 1 4 olan eşenar üçgenlere ayrılır ve ortada alan parçalar atılır. Kalan ümeye S 2 denirse S2 S0 dır. Bu şeilde devam edilirse bir Sierpinsi Üçgenidir. Dizi azalandır yani, dır. Dolasıyla limit Araesitidir. S ümesi 3 S dizisi elde edilir. Bu S dizisinin limitine S derse bu limit S0 S1 S2... S N S tane birbirine eş eşenar üçgenden oluşur. Bu üçgenlerin her birinin enar uzunluğu 1 2 dır. Bu nedenle S nın toplam alanı olur. için S 0 dır. Bu demetir i Sierpinsi üçgeninin toplam alanı 0 dır. S da 3 tane üçgen vardır, bunlardan herbirinin üç enarı vardır ve bu enarların her birinin 1 uzunluğu da 2 dır. Bu nedenle S nin toplam uzunluğu en azından toplam uzunlu a gider. Yani S nin toplam uzunluğu dur.(yolaçan2008) O halde S nin ebatının ölçülmesinde toplam uzunlu da ço elverişli değildir. Uzunlu 1 boyutlu bir cümlenin ebadının ölçülmesinde elverişlidir. İçi ile birlite bir are, 2 boyutlu olup uzunluğa sahiptir, zira böyle bir are istediğiniz adar ayrı doğru parçası içerir. Benzer biçimde göreceğiz i Sierpinsi üçgeninin boyutu da 1 den büyütür. dır. 3 parçadan oluşan üçültme atsayısı (1/2) olan Sierpinsi üçgeninin boyutu;

3 olduğu görülür. log3 D 1 log 1/ 2 log3 log SİERPİNSKİ VE PASCAL Blaise Pascal ( ) büyü bir Fransız matematiçisidir. Henüz 20 yaşında ien modern bilgisayarlara öncülü eden, tamsayıların toplamı ile ilgili on meani maine urmuştur. Günümüzde Pascal Üçgeni olara bilinen aritmeti üçgen aslında onun buluşu değildir. Avrupa dai il aritmeti üçgen 1527 lerde görülmüştür. Pascal, aritmeti üçgenin, 1654 te Pierre de Format ile birlite şans oyunlarındai ihtimallerle ilgili bazı problemlerin çözümünde ullandı. Pascal ın ortaya oyduğu Pascal üçgeni ile Sierpinsi üçgeni arasında ilişi vardır. Pascal üçgeninin içinde Sierpinsi üçgeni bulunur.

4 Şeil Pascal Üçgeni Pascal üçgeni içindei te ve çift sayılar farlı renge boyanırsa Pascal üçgeninden Sierpinsi üçgeni elde edilmiş olur. Şeil Pascal Üçgeni ve Sierpinsi Üçgeni

5 1.4. KOCH KARTANESİ İsveçli matematiçi Helge von Koch, 1904 yılında Koch artanesini ortaya atmıştır. Koch artanesi ile düzgün olmayan süreli eğrilerden ve teğet çizgilerden bağımsız olan eğrilerin nasıl oluşturulabileceğine dair bir gösterim tasarlanmıştır. Teğet avramı diferansiyel ve doğru hesaplar için gerelidir. Bu bağlamda Koch artanesi matematisel bir çılgınlı, adeta uralları yıan bir şey olara sunulmuştur. Üçgenlere ayrılara bir afes biçiminde çizilmiş bir sayfa alalım. I. Adım: Geniş bir eşenar üçgen çizelim. II. Adım: Altı adet sivri öşesi olan bir yıldız elde etme için; 1. Üçgenin bir enarını üç eşit parçaya ayıralım ve ortadai parçayı alalım. 2. Boşta alan ii uca aldığımız bu parçadan birer tane bağlayalım ve uçlarını üçgenin dış tarafında birleştirelim. 3. Bu işi eşenar üçgenin diğer ii enarı üzerinde de yapalım. Böylece eşenar üçgenden altı öşeli bir yıldız elde etmiş oluruz. Ortaya çıan bu yıldızın sahip olduğu altı eşenar üçgenin her birinde II. Adım terarlanara iinci terardai şeli elde ederiz. Bu işe devam ederse çevre uzunluğu sonsuz olan bir grafi elde ederiz. Şu halde Koch Kartanesinin ilginç arateristiği onun çevresidir. Normalde, bir geometri şelin çevresini büyütürseniz alanını da büyütmüş olursunuz. Eğer çevresi ço uzun olan bir are alırsanız alanı da ço büyü olan bir are almış olursunuz. Şimdi burada ne olduğuna baalım: 1. Bir eşenar üçgenin bir enarını üç eşit parçaya böldü ve ortadaini çıardı.

6 2. Çıardığımız parça ile eşit uzunlulu ii parçayı bir V harfi gibi birleştirere üçgenin enarında boş alan ii ucu bağladı. 3. Bu işi üçgenin her enarı için de yaptı ve böylece devam etti. Şeil Koch Kartanesi Çevre uzunluğu 9 birim olan bir eşenar üçgen ile başlarsa elde ettiğimiz diğer şeillerin çevre uzunluları ne adar olur? Şeil Orijinal üçgenin çevresi 3x3=9 birimdir. İinci üçgenin her enarının uzunluğunun 4 birim olduğunu düşünürse çevresinin uzunluğu 4x3=12 birim olur.

7 bir atı mıdır? Burada bir algoritma var mıdır? Her şelin çevresi bir öncei şelin çevresinin Şimdi bu işi ço defa terarladığımızı düşünelim.çevrenin uzunluğu terarladıça büyüyecetir. Pei ya alan? Böylece diyebiliriz i sonsuz uzunlulu bir çevre sonlu bir alanı sınırlar. O halde, Koch Kartanesinde sonsuz uzunlulu bir çevre sonlu büyülüte bir alanı çevreler. Koch artanesinin çevresi her adımda büyüren çevrelediği alan sınırlı alır. Şimdi bu alanın hesabına baalım : Şeil Yuarıdai alana baalım. Sarı renli olara görülen esas üçgene il terarda elenen ırmızı renli üç üçü üçgen ve iinci terarda ortaya çıan onii mavi daha üçü üçgen artanesini oluşturmatadır. O zaman Koch Kartanesinin alanını hesaplama işi bir toplama işidir. Buna göre önce esas üçgenin alanını buluruz ve buna üç ırmızı üçgenlerin alanları toplamını eleriz ve bu sonucada onii mavi üçgenin alanları toplamını eleme yeterlidir. Alanın hesaplanmasında, üçgenlerin oluşturduğu afesin üçgenlerini ele alalım. Esas sarı üçgenin içinde yer alan üçgenlerin sayısı 81 dir. Dolayısıyla, sarı üçgenin alanı 81 üçgen

8 birimidir. Her bir ırmızı üçgenin alanıda 9 üçgen birimidir. Bunların toplamıda 3x9=27 üçgen birimi eder. Her bir mavi üçgenin alanı 1 üçgen birimi olduğuna göre onii mavi üçgenin alanları toplamı 12 üçgen birimi eder. Bütün bu bilgileri bir tabloda gösterelim. Terar no Bir üçgenin Elenen Elenen alanların Toplam alan alanı üçgenlerin sayısı mitarı üçgen birimi üçgen birimi 108 üçgen birimi üçgen birimi 120 üçgen birimi Buradan görüyoruz i, her bir üçgenin alanı bir öncei adımdainin 1/9 u dur. Elenen üçgenlerin sayısı bir öncei sayının 4 atıdır TERS KARTANESİ Ters artanesi fratalı Koch artanesi fratalının işginç bir değişimi olacatır. I. Adım: Büyü bir eşenar üçgen çizilir. II. Adım: Üçgenin bir enarı üç eşit parçaya bölünür ve ortadai parça atılır. Bu parçalardan bir tane daha bulunara V şelinde eleyip çıarılan yeni üçgenin içine doğru doldurulur, üçgenin geri alan ii enarına da aynı işlem uygulanır. Böylece bir fırılda şeli elde edilir.

9 III. Adım: Bu yöntem fırıldata yer alan yeni üçgenlerle terarlanır. (Hacısalihoğlu ve Yaz 2002). Ters artanesinin boyutu D = 1.26 dır. Bu durum belendi bir durumdur. Çünü bu fratalların formülleri aynıdır. Faat ters ar tanesinde üçgenler içe doğru oluşmatadır. Şeil 1.5. Ters artanesi