BÖLÜM 1 ÖLÇME BİLGİSİNE GİRİŞ

Transkript

1 BÖLÜM 1 ÖLÇME BİLGİSİNE GİRİŞ Kavramsal Kazanımlar: Yeryuvarının matematiksel ve fiziksel şekli, jeodezik metrolojinin konusu ve ölçü büyüklükleri, belirsizlik ve hata kavramı, koordinat sistemleri ve ölçüler ile koordinatlar arasındaki fonksiyonel ilişkiler. Uygulamalar: Belirsizlik hesabı Ölçüler ile bilinmeyenler arasındaki fonksiyonel hesaplamalar 1.1 Yerin Şekli ve Büyüklüğü Alman bilim adamı Helmert, 1880 yılında jeodeziyi fiziksel yeryüzünün ölçülmesi ve tasviri bilimi şeklinde tanımlamıştır. Jeodezinin görevi fiziksel yeryüzünün geometrisinin belirlenmesidir şeklinde tanımlanabilir. Yeryüzünün tamamının ya da bir kısmının şekil, büyüklük ve konum bakımından belirlenmesi jeodezinin amacını oluşturmaktadır. Yeryüzünün ölçülmesi, hesabı ve çiziminde kullanılan araç ve yöntemlerin incelenmesi de jeodezinin konusunu oluşturur. Yeryüzünün şekli, karaların altından da devam ettiği varsayılan denge halindeki deniz yüzeyinin oluşturduğu kapalı bir şekildir. Jeoit adı verilen bu şekil yer yuvarının fiziksel şeklidir. Jeoit, geometrik bir şekil değildir. Jeoide en yakın geometrik şekil dönel elipsoittir. Elipsoit yer yuvarının matematiksel şeklidir. Şekil 1.1 Fiziksel yeryüzü, jeoit ve elipsoit 1-8

2 Ölçmeye ve izdüşüme temel oluşturan yüzeylerin farklı özellikleri, fiziksel yeryüzünün geometrik bir yüzey üzerine izdüşürülmesini karmaşık bir işlem haline getirmektedir. Jeoit üzerindeki hesaplamaların güçlüğü nedeniyle, ölçülecek alanın büyüklüğüne bağlı olarak, konum ölçmeleri için yeryüzünün şekli; elipsoit, küre ya da düzlem olarak alınabilir. Yükseklik ölçmeleri için başlangıç (referans) yüzeyi olarak, ölçülecek alanın büyüklüğüne bağlı olmaksızın denge halindeki deniz yüzeyi, yani jeoit alınır. Tablo 1.1 Referans yüzeyleri Alanın Büyüklüğü Yatay Konum Düşey Konum Büyük alanlar >5.000 km 2 Elipsoit Jeoit Orta büyüklükte < km 2 Küre Jeoit Bölgesel < 50 km 2 veya 10 km 10 km Düzlem Jeoit Jeoit, gerçek yeryüzüne göre daha basit olmakla birlikte izdüşüm için yeterince uygun değildir. Bu nedenle dünyanın şekline en yakın ve jeoidi en iyi temsil edebilen elipsoitler kullanılabilir. Bu elipsoitler, dünyanın yalnızca bir bölümünde jeoide en iyi uyan "Bölgesel Elipsoit" olabileceği gibi, Dünyanın tümünü temsil eden "Dünya Elipsoidi" şeklinde de olabilir. Tablo 1.2 Dünya elipsoitleri Elipsoit Büyük Eksen (m) Basıklık Clarke Hayford GRS WGS

3 1.2 Jeodezik Metroloji Metroloji kelime olarak Yunanca METRON kelimesinden türetilmiş olup, Türkçe karşılığı Ölçüm Bilimi dir. Metrolojinin amacı bütün ölçme sistemlerinin temeli olan Uluslararası Birimler Sistemi (SI) ve SI dan türetilen ölçüm birimlerini tanımlayarak bilim ve teknolojinin kullanımına sunmak ve yapılan bütün ölçümlerin güvenirliğini ve doğruluğunu sağlamaktır. Metroloji günlük hayatımızın doğal ve hayati bir parçası olmuştur: Kahve ve kereste ağırlık veya boyut ile satın alınır; su, elektrik ve ısı ölçülür ve bunlar bizim şahsi bütçemizi etkiler. Polis radarları ve olası ekonomik sonuçları gibi banyo tartısı da ruh halimizi etkiler. Hasta sağlığının tehlikeye atılmaması için, ilaçtaki aktif madde miktarı, kan numunesi ölçümleri ve cerrahın kullandığı lazerin etkisi kesin olarak bilinmelidir. Ölçü ve ağırlıklara dayandırmadan herhangi bir şeyi tanımlamak neredeyse imkansızdır; güneşli saatler, vücut ağırlığı, mektup ağırlıkları, oda sıcaklığı, lastik hava basıncı vs.. Bunlara ek olarak, ölçü ve ağırlıklara aynı derecede bağımlı olan ticaret ve yasal düzenlemeler de mevcuttur. Pilot, yüksekliğini, rotasını, yakıt sarfiyatını ve hızını dikkatlice gözlemler, gıda denetçileri bakteri içeriğini ölçer, denizcilik yetkilileri üretilen araçların suda yüzebilme özelliğini test eder, şirketler ölçü ve ağırlıklara dayanarak hammadde satın alır ve ürünlerini aynı birimlerle belirtir. Metrolojinin en önemli alanlarından biride uzunluk ve açı ölçümlerin yapıldığı boyutsal metrolojidir. Boyutsal metrolojinin temel çalışma alanları: Frekans kararlı lazer ve frekans ölçümleri, mastar blokları ve interferometrik ölçümler, açı ölçümleri, yüzey pürüzlülüğü ölçümleri, nanometroloji, çap ve form ölçümleri, uzun mesafe ölçümleri, endüstriyel ölçümler ve optik takımlama ölçümleridir. Yukarıda adı geçen boyutsal metroloji uygulamalarının ölçme skalası üzerinde örnekler ile anlatımı aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. 1-10

4 Şekil 1.2 Jeodezik metrolojinin ölçüm bilimindeki yeri Sonuç olarak, bilim tamamen ölçüme bağlıdır. Jeologlar, depremlerin arkasındaki çok büyük kuvvetler kendilerini hissettirdiğinde şok dalgalarını ölçerler, astronomlar yıldızların yaşlarını belirlemek için uzaklardan gelen zayıfıışığı sabırla ölçerler, atomik fizikçiler saniyenin milyonda birinde ölçümler yapıp en sonunda sonsuz küçüklükteki parçacıkların varlığını kanıtladıkları zaman mutlu olurlar. Harita Mühendisleri yeryüzün tamamını veya bir kısmını ölçerler. 1-11

5 Jeodezik Metroloji kavramı ise Harita Mühendisliğinde kullanılan doğrultu, uzunluk, yükseklik farkı ve baz vektörleri gibi temel ölçü büyüklerinin ölçülmesi ve bu büyüklüklere ilişkin belirsizlik değerlerinin hesaplanması ile ilgilenen bilim dalı olarak tanımlanabilir. Metroloji Boyutsal Metroloji Jeodezik Metroloji Şekil 1.3 Jeodezik metroloji zinciri 1.3 Ölçüm Belirsizliği Ölçüm bilimi anlamına gelen metrolojide, temel unsurlardan biri de ölçümün ne kadar doğrulukta yapıldığının bilinmesidir. Ölçüm sonuçlarının doğru değerlendirilmesi sonuçların güvenilirliğine bağlıdır. Ölçülen aynı büyüklüğün değeri ölçümden ölçüme farklılık gösterir. Her ölçümün sonucunda verilen sayı mutlaka belli bir şüphe içerir. Bu sebeple ölçüm sonucu verilirken ölçülen veya hesaplanan değerin belirsizliği her zaman verilmelidir. Genel anlamda ölçüm sonucu, ölçülen bir büyüklük için yaklaşık bir değer veya tahmindir. Dolayısıyla ölçüm sonucu ancak belirli bir güven seviyesindeki ölçüm belirsizliği ile beraber verildiğinde tamamlanmış olur. Ölçüm belirsizliğini hangi şekilde ve ne amaçla kullanıldığını açıklamak için basit bir uzunluk ölçümü karşılaştırma örneğini inceleyelim. 5 farklı kişi L=100 m uzunluğundaki bir uzunluğu ölçtüğünü varsayalım. Her bir kişinin yaptığı ölçümler ve belirsizlik değerleri aşağıdaki tabloda verilmektedir. 1-12

6 Tablo 1.3 Ölçüm karşılaştırma sonuçları Kişi Ölçüm Sonucu (m) Belirsizlik (m) Ortalamadan Sapma (m) A B C D E L ORT = L A+L B +L C +L D +L E = v i =L i -L ORT Ölçüm sonucu elde edilen belirsizliklere bakıldığında en doğru sonucun belirsizlikleri en küçük değerler olan A ve C kişilerinin yaptıkları ölçüler olduğu söylenir. Ancak uzunluk ölçümü karşılaştırma sonuçlarının değerlendirme aşamasında daha önemli bir kriter daha vardır. Bu kritere göre kişilerin ölçtükleri değerlerin ortalama değerden farkı olan her bir ölçüme gelecek olan düzeltme değerlerinin o ölçünün belirsizlik değerinden küçük olmalıdır. İkinci kritere göre değerlendirme yapılırsa C kişisinin yaptığı ölçülerin daha tatmin edici olduğu sonucuna varılır. Şekil 1.4 Ortalama değer ve ölçüm belirsizliği 1-13

7 Ölçüm belirsizliği, ölçülen büyüklüğün gerçek değer etrafında bulunabileceği aralığı tanımlayan tahmini değerdir. Ölçüm belirsizliği, genel olarak birçok bileşeni içerir. Bu bileşenlerin bir kısmı, ölçüm sonucunda elde edilen verilerin istatistiksel dağılımı incelenerek deneysel standart sapma yardımıyla karakterize edilebilir. Diğer bileşenlerin tahmini ise sadece tecrübeye veya eldeki diğer bilgilere dayandırılabilir. 1- Kaba Hatalar: Ölçme aletindeki yanlış okuma hatası, yanlış hedefe bakmaktan doğan hatalar gibi ölçü yapanın dikkatsizliği, yorgunluğu vb. nedenlerle ortaya çıkabilecek hatalardır. Kaba hatalar kontrol ölçmeleriyle kolayca ortaya çıkarılabilir. 2- Sistematik Hata: Ölçme sonuçlarına aynı yönde etkiyen hatalardır. Bu hataların büyüklüğü ve işaretleri belli bir parametreye bağlıdır. Bu parametrelerin etkileri ortadan kaldırılmadan ölçmeler ne kadar tekrar edilirse edilsin bu tür hatalar ortadan kalkmaz. Bu tür hataların etkisinin ortadan kaldırılabilmesi için, bazen hataya neden olan parametrelerin bilinmesi ve ölçme düzeninin ona göre seçilmesi gerekir. Örneğin, açıların dürbünün iki durumunda ölçülmesiyle bazı eksen hataları nedeniyle oluşan sistematik ölçü hatasının etkisi ortadan kaldırılır. Bazen de sistematik hataya neden olan parametre ölçülerek, sistematik hatanın miktarı hesaplanabilir ve ölçme sonuçlarına bir düzeltme getirilerek bu hatanın etkisi ortadan kaldırılabilir. Örneğin, ölçme anındaki hava sıcaklığı ölçülerek çelik şerit metrenin sıcaklık nedeniyle genleşmesi hesaplanarak ölçme sonuçlarına düzeltme getirilebilir. Bazen de sistematik hataya neden olan parametrelerin giderilmesi veya en aza indirilmesi mümkün olur. Örneğin, ölçmelerden önce aletlerin kontrol edilmesi ve hatalarının giderilmesiyle, bu nedenle oluşacak olan sistematik hatalar önlenmiş olur. Şekil 1.5 Sistematik hata 1-14

8 3- Rastlantısal Hata: Kaba ve düzenli olmayan diğer bütün hatalar rastlantısal hata olarak adlandırılırlar ve bu hatalar, kontrol ölçmeleriyle de ortaya çıkartılamaz. Hataların işaretleri bazen artı bazen de eksi olabilir. Rastlantısal hataların etkisini azaltabilmek için aynı büyüklüğe ait ölçüler, yeterince tekrarlanır ve bunların ortalaması alınır. Şekil 1.6 Rastlantısal hata Doğruluk (Accuracy): Ölçülen büyüklüğün, gerçek değeri ile ölçüm sonucu arasındaki uyuşumun yakınlığıdır. Bir ölçümün doğruluğu niteleyici bir kavramdır. Bu nedenle, rakamsal olarak ifade edilmemeli, rakamlar ölçümün belirsizliği için verilmelidir. Doğruluk sistematik hatanın bir gösterimidir. Kesinlik (Precision): Belirli koşullar altında aynı veya benzer nesneler üzerinde tekrarlanan ölçümler ile elde edilen göstergeler veya ölçülen büyüklük değerleri arasındaki uyuşmanın yakınlığıdır. Ölçüm kesinliği belirli ölçüm koşulları altında varyans ve standart sapma gibi tutarsızlık ölçütleri ile ifade edilir. Kesinlik rastlantısal ölçü sapmasının bir gösterimidir. Şekil 1.7 Doğruluk ve kesinlik kavramlarının gösterimi 1-15

9 1.3.1 Standart Sapma Hesabı Şekil 1.8 Doğruluk ve kesinlik kavramlarının gösterimi Bir büyüklüğün gerçek değeri sonsuz sayıda ölçü yapılamayacağı için genellikle belirlenemez. Bazı durumlarda ise örneğin, bir düzlem üçgenin iç açıları toplamının olması gibi bilinebilir. Bir büyüklük, rastgele bir şekilde genellikle (n ) iken aynı doğrulukta, birbirinden bağımsız ve sadece rastlantısal ölçü sapmalarıyla yüklü ölçülerden belirlenmek istenirse, her bir L i ölçüsü, gerçek değer olarak adlandırılan ortalama değer X den sapar. 1-16

10 Şekil 1.9 Standart sapma Genellikle belirli sayıda (n) ölçü olduğundan gerçek değere en yakın olan ve kesin değer olarak adlandırılan aritmetik ortalama kullanılır. 1 1 x = ( L1 + L2 + + Ln ) = [L] (1.1) n n Aritmetik ortalamanın elde edilmesinden sonra arta kalan hatalar için düzeltme eşitlikleri, v1 = x L1 v2 = x L2 vn = x Ln (1.2) olarak yazılır. Hata ve düzeltme ters işaretli kavramlar olup düzeltme, hatanın ters işaretlisidir. Bu durumda; Hata = ölçü değeri kesin değer Düzeltme = kesin değer ölçü değeri dir. Düzeltmelerin karelerinin toplamının [ vv ] minimum olması yani, n [vv] = [v ] = v + v + + v = min (1.3) koşulu geçerlidir. Bu aynı zamanda, aritmetik ortalamalardan özel bir durum için türetilen, en küçük kareler yönteminin temel ilkesidir. 1-17

11 Standart sapma olarak ifade edilen yaklaşık veya tahmini bir istatistik değeri olarak s = [vv] n 1 (1.4) elde edilir. Elde edilen aritmetik ortalamanın standart sapması ise aşağıdaki eşitlik ile bulunur. ÖRNEK: s x = s n (1.5) Bir uzunluk 6 kez ölçülmüş ve değerleri tabloda verilmiştir. Ölçülen uzunluğun ortalama değerini ve belirsizliğini hesaplayınız. L i v (mm) v.v (mm 2 ) Σ Ortalama değer: x = ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 ) = [L] = = m n n 6 Bir ölçünün standart sapması: [vv] s = = = 4.3 mm n 1 5 Ortalama değerin standart belirsizliği: s 4.3 s x = = = 1.7 mm n

12 1.3.2 Çift Ölçülerden Standart Sapma Hesabı Çok kez n tane aynı tür büyüklük ( açı, kenar, yükseklik farkı, alan vb. ) güvenilir olması için her biri aynı duyarlıkta ikişer kez ölçülür. L i ilk ölçü serisini ve L ı i ikinci ölçü serisini göstermek üzere ölçü çiftleri arasındaki fark ı d i = L i L i (1.6) olur. Tek tek gözlenen her bir ölçünün standart sapması s = [ dd] 2n (1.7) ve her iki ölçmeden elde edilen bir ortalama ölçünün standart sapması olarak elde edilir. ÖRNEK: [ dd] s 1 s m = = (1.8) 2 2 n Bir kenar çelik şerit metre ile gidiş-dönüş şeklinde 5 kez ölçülerek aşağıdaki tablonun 1. ve 2. sütunlarındaki değerler elde ediliyor. Bir ölçünün, bir çift ölçüden elde edilecek değerin ve kesin değerin standart sapmasını hesaplayınız. L Gidiş Dönüş d dd m m cm cm Σ = 8 Bir ölçünün standart sapması: [ dd] 8 s = = = 0.9 cm 2n

13 Bir çift ölçünün standart sapması: s 0.9 s m = = = 0.6 cm 2 2 Kesin değerin standart sapması: s s = m n x = cm Koordinat Sistemleri Arazi veya harita üzerindeki bir noktanın kabul edilen bir başlangıç sistemine göre yerini bulmak için haritalara çizilen çizgilere koordinat sistemi denir. Bu sistemde noktanın yerini belirlemeye yarayan elemanlara da koordinat denir Coğrafi Koordinat Sistemi Elipsoit üzerinde coğrafi koordinat sistemi (φ, λ) ve kartezyen dik koordinatlar (X, Y, Z) Şekil 1.10 Elipsoit üzerinde coğrafi koordinat sistemi Kartezyen dik koordinatlardan coğrafi koordinatlara geçiş ve tersi elipsoit üzerindeki enine ve boyuna doğrultuda farklı eğrilik yarıçapları olması nedeniyle daha karmaşıktır. Bu konu 3. yarıyılda Geometrik Jeodezi dersinde detaylı olarak ele alınacaktır. 1-20

14 1.4.2 Kartezyen Dik Koordinat Sistemi Karşılıklı birbirine dik 3 referans düzlemi tarafından tanımlanan ve uzayda yer alan noktaların tanımlandığı bir koordinat sistemidir. Şekil 1.11 Kartezyen dik koordinat sistemi Projeksiyon Koordinat Sistemi Yerin şekli genel olarak dönel elipsoit (herhangi bir elipsin eksenlerinden biri etrafında döndürülmesi ile oluşan şekil) ya da daha basit anlamda küre kabul edilmektedir. Dünya ister dönel elipsoit, ister küre kabul edilsin, harita yapılırken bu eğri yüzey üzerindeki bilgilerin bir düzlem olan harita üzerine geçirilmesi söz konusudur. Böyle eğri yüzeyler üzerindeki bilgiler matematiksel ve geometrik kurallardan yararlanılarak harita düzlemlerine geçirilir. Bu işleme harita projeksiyonu denir. Harita projeksiyonunda, yeryüzü bilgileri doğrudan doğruya düzleme geçirilmeyebilir. Düzlem yerine, ana doğruları boyunca kesildiklerinde düzleme dönüşebilme özelliği gösteren koni ya da silindir gibi başka geometrik yüzeyler de kullanılabilir. Harita projeksiyonunda kullanılan düzlem ya da düzleme dönüşebilen diğer yardımcı yüzeylere projeksiyon yüzeyi denir. Dünya üzerinde bulunan ve harita yapımına konu olan bilgiler arasında uzunluk, alan ve şekil bakımından daima bir ilişki vardır. Bu bilgiler bir projeksiyon yüzeyine geçirildiğinde aralarında bulunan ilişkiler orijinal yüzeydeki gibi kalmaz, bazı değişmeler olur. Projeksiyonda ortaya çıkan değişme ve bozulmalara deformasyon denir. Değişik projeksiyon tiplerinde deformasyonların hesaplanabilme olanağı vardır. Harita üretiminde ilk önce coğrafi koordinat ağını oluşturan meridyen ve paralellerin 1-21

15 projeksiyon yüzeyinde gösterilmesi söz konusudur. Daha sonra yeryüzüne ait bilgiler projeksiyon yüzeyine aktarılır. Yeryüzüne ait bilgiler arasında uzunluk, alan ve şekil yönüyle olan ilişkilerden sadece bir tanesinin projeksiyon yüzeyine aktarıldığında değişmemesi istenir ve matematik bağıntılar buna göre kurulur. Deformasyon (bozulmalar); uzunlukta, alanda ve açıda olmak üzere üç grupta toplanmaktadır. Yeryüzünde belli yönlerdeki uzunluklar projeksiyon yüzeyinde de değişmeyip aynen kalıyorsa bu projeksiyona Uzunluk Koruyan Projeksiyon denir. Aynı şekilde alan değişmiyorsa Alan Koruyan Projeksiyon, şekiller benzer ise Konform ya da Açı Koruyan Projeksiyon denir. Harita projeksiyonları bu üç özellikten sadece birini taşırlar. Üç özelliği de gösteren bir harita projeksiyonu yoktur. Şekil 1.12 Projeksiyon türleri GAUSS-KRUGER Projeksiyonu Bu projeksiyon Konform Transversal Silindirik Projeksiyon adıyla da bilinir. Yani bu projeksiyon, açı koruyan bir izdüşüm sistemi olup ekvatora paralel olarak silindir üzerine yapılmaktadır. Silindir dilim orta meridyeni boyunca dünyaya teğet geçirilir ve silindir ekseni dünyanın dönme eksenine diktir. 1-22

16 Şekil 1.13 Gauss Krüger projeksiyonu Silindirin teğet olduğu dilim orta meridyeni boyunca uzunluk deformasyonu yoktur. Dilim orta meridyeninden uzaklaştıkça gittikçe artan deformasyonlar oluşur. Bunu önlemek için teğet meridyenden çok uzaklaşılmaması gerekir. Örneğin haritacılıkta en çok 3º uzağına kadar noktaların projeksiyonu yapılır. Haritası yapılacak alan büyükse daha çok sayıda silindir kullanılarak bölgenin projeksiyonu yapılabilir. Şekil 1.14 Gauss Krüger projeksiyonununda dilim orta meridyenleri Ülkemizde büyük ölçekli haritalar, 3 0 lik dilimdeki Gauss-Krüger projeksiyon düzleminde üretilmektedir. Bu projeksiyon düzlemi, ekseni Dünya nın dönme eksenine dik (transversal konum) ve dilim orta meridyeni boyunca teğet bir silindir yüzeyidir. Teğet meridyen aynı 1-23

17 zamanda projeksiyon dik koordinat sisteminin X eksenidir. Koordinat sisteminin başlangıç noktası ekvator üzerindedir. Dik koordinat sisteminde yeryüzü üzerindeki paraleller (enlem) ve meridyenler (boylam) yay şeklinde görülmektedir. Şekil 1.15 Projeksiyon düzleminde dik koordinat ağı Gauss Krüger koordinatlarından coğrafi koordinatlara, coğrafi koordinatlardan Gauss Krüger koordinatlarına geçiş mümkündür. UNIVERSAL TRANSVERSAL MERKATOR (UTM) Projeksiyonu UTM projeksiyonu Gauss-Krüger projeksiyonu esas alınarak geliştirilmiştir. Bu projeksiyon sisteminin başlıca özelliği açıların ve dilim orta meridyeni uzunluğunun doğru oluşudur. Orta meridyen ve ekvator doğru olarak izdüşürülür. UTM projeksiyonunda, 180 meridyeninden başlamak üzere dünya, 6 derecelik boylam aralıklı 60 dilime ayrılmıştır. Dilimler 1'den başlamak ve doğuya doğru artan sırada 60'a kadar numaralanmıştır. Her bir dilim bir projeksiyon sistemini belirtir. Silindir dilimin orta meridyeni boyunca dünyaya teğet geçirilir. Böylece bir dilimin 3 sağı ve 3 solu aynı bir dilim içinde yer alır. Türkiye toprakları dilim orta meridyeni 27, 33, 39 ve 45 olan dilimlerde bulunmaktadır ve bu dilimlerin numaraları 35, 36, 37 ve 38'dir. Bu dilimler 1: ve daha küçük ölçekli haritaların yapımı için esas alınır. Daha büyük ölçekli (örneğin 1:5000) haritaların yapımı için ise dilim genişlikleri 3 alınır. Böylece Türkiye için 27, 30, 33, 36, 39, 42 ve 45 dilim orta meridyenleri büyük ölçekli harita yapımında kullanılmaktadır. UTM projeksiyonunda bir dilime 84 kuzey paraleliyle 80 güney paraleli arasında kalan bölgelerin projeksiyonu yapılır. UTM projeksiyonunda uzunlukların anormal büyümesini (aşırı 1-24

18 deformasyonları) önlemek amacıyla x, y koordinat değerleri küçültme faktörü denen değeri ile çarpılarak kullanılır. Dilim orta meridyeninin solundaki y değerini eksi değerden kurtarmak için küçültme faktörü ile küçültülen y değerine metre değeri eklenir, y değerleri kuzey yarım kürede pozitif olduğu için herhangi bir sabit değer eklenmez. Ancak güney yarım küre için küçültme faktörü ile küçültülen y değerine metre eklenir. Bu şekilde elde edilen koordinatlara SAĞA ve YUKARI değerler denir. Türkiye'de üretim yetkisi Harita genel Komutanlığında 1:25 000, 1:50 000, 1: ve 1: ölçekli topoğrafik haritalar UTM projeksiyonu kullanılarak üretilir. sağa = DN(y.m yukarı = x.m ) (1.9) Şekil 1.16 Koordinat sistemleri Tablo 1.4 Kız Kulesinin Koordinatları Coğrafi Koordinatlar Kartezyen Dik Koordinatlar Projeksiyon Koordinatı φ= 41 o X= m Sağa= m λ= 29 o Y= m Yukarı= m Z= m 1.5 Ölçü Büyüklükleri İle Koordinatlar Arasındaki İlişki Harita Mühendisliğinde kullanılan temel ölçü büyüklükleri olan mesafe ve doğrultu ile bilinmeyenler olan koordinatlar arasındaki fonksiyonel ilişki aşağıdaki şekil ve eşitlikler yardımı ile kurulabilir. 1-25

19 Şekil 1.17 Dik koordinat sistemi x P2 =x P1 +s. cos t y P2 =y P1 +s. sin t (1.10) (1.11) ÖRNEK: Koordinatlar: NN Sağa (m) Yukarı (m) A B

20 Ölçüler: DN BN Doğrultu (gon) Mesafe (m) B A B C x C =x B +s BC. cos (t AB +β k.200gon) y C =y B +s BC. sin (t AB +β k.200gon) 1-27