Sorunun varlığı durumunda hata terimi varyans-kovaryans matrisi Var, Cov(u) = E(uu') = σ 2 I n şeklinde yazılamıyor fakat

Transkript

1 8. DEĞİŞEN VARYANS SORUNU (HETEROSCEDASTICITY) 8.. Değşen Varyans Sorunu Nedr? Matrslerle yan Y = β u Y = β β β 3 3 β k k u, = n genel doğrusal modeln ele alalım. Hata term çn yapılan varsayımlardan brs E(uu') = u I = I (hata termlernn varyansı sabttr ve aralarındak kovaryans sıfırdır) varsayımıdır: E(uuuu ) = Değşen varyans sorunu se hata termlernn varyansları brbrnden farklı olduğu durumda vardır: Var(u ) = E(u ) Sorunun varlığı durumunda hata term varyans-kovaryans matrs Var, Cov(u) = E(uu') = I n şeklnde yazılamıyor fakat Var, Cov(u) = E(uu') = Ω = n olarak yazılablyor se değşen varyans sorunu var demektr. Her br hata term çn E(u ) = =,,, n dr ve her br hata term varyansı farklıdır. 8-

2 Değşen varyans sorunu genellkle yatay kest verleryle tahmn yapıldığında ortaya çıkar. Hata termlernn varyanslarının değşken olmasının bazı nedenler aşağıdak gbdr. ) Hataların öğrenldğ durumlar: nsanlar öğrendkler çn hataları zaman çnde azalır. Ör. Klavye kullanımı arttıkça yazım hataları sayısı azalır. ) Gelr arttıkça nsanların gelrn harcamak çn daha fazla seçm alanı olur. Örneğn bağımlı değşken gıda harcamaları olsun ve açıklayıcı değşkenler br sabt ve harcanablr gelr olsun. Gıda çn Engel eğrsnn poztf eğml olması beklenr. Yan ortalamada daha yüksek gelrllern gıda harcamalarının daha yüksek olması beklenr. Aynı zamanda yüksek gelrl haneler arasında harcama farklılıklarının düşük gelrller arasında olduğundan daha yüksek olması beklenr. Dolayısıyla hata termnn (u ) varyansı gelrle brlkte artar. C Y Gerçekleşen tüketm değerleryle tahmn edlen (çzg üzerndek) tüketm değerler arasındak fark, hata term tahmnn vermektedr ve gelr arttıkça bunlar da büyümektedr. Bu durumda hata termnn varyansı da gderek artmaktadır. Benzer bçmde frmaların karları veya frma büyüklüğü (çalışan sayısı) arttıkça kar payı da ğıtımı gb kararlarında daha fazla değşkenlk gösterrler. ) Ver toplama teknkler gelştkçe hata varyansları azalır. Ör. Daha gelşmş ver şleme teknkler olan bankaların müşterler le lgl verdkler blgler daha az hata çerr. v) Aşırı uçlar (outlers): örneklemdek dğer gözlemlere göre çok farklı olan gözlemler değşen varyansa neden olablr. v) Spesfkasyon hataları olması durumunda, özellkle dışlanan değşken varsa değşen varyans sorunu ortaya çıkablr. 8-

3 v) ARCH : Otoregresf koşullu değşen varyans (Autoregressve Condtonal Heteroscedastcty) Değşen varyans sorunu zaman serleryle yapılan tahmnlerde de ortaya çıkablr. Özellkle enflasyon, hsse sened fyatları, dövz kurları gb volatltenn zaman çnde değştğ verlerde gözlenmektedr. Hata term varyansları hem geçmş dönemlern hata termler le lşkldr hem de dalgalanmalar gösterr. Hata termlernn t dönemndek koşullu varyansı: E(u t u t-, u t-,, u t-p ) = t = α α u t- α u t- α p u t-p (8.) Bu modelnn makul olması çn (8.) nn poztf olması, bunun çn de tüm katsayıların poztf olması gerekr. Çünkü varyans negatf değer alamaz. (8.) dek genel model ARCH(p) sürecn yansıtır. Bu durumda örneğn ARCH() t = α α u t- dr. 8-3

4 8.. Değşen Varyans Sorunu EKK Tahmn Edclern Nasıl Etkler?. E(u) = ve E('u) = varsayımları geçerl olmayı sürdürdükler çn sapmasızlık özelllğn korunur.. EKK tahmn edcs etknlk özelllğn kaybeder. Çünkü Var,Cov (ββ) = E{[ββ-E(ββ)][ ββ-e(ββ)]'} = E{[(') - 'u -E((') - 'u))][(') - 'u -E((') - 'u))]'} = E{[(') - 'u][(') - 'u]'} = E{(') - 'uu'(') - } = (') - ' E(uu')(') - = (') - ' Ω(') - = (') - 'Ω(') - Bu durumda değşen varyans sorunu daha büyük varyansa neden olur ve daha küçük varyansa sahp tahmn edcler vardır. (E(uu') = I n olsaydı Var,Cov (ββ) = (') - 'I(') - = (') - olurdu) 3. EKK tahmn edcsnn hesaplanan varyans ve standart hataları yanlış br fadeye dayanacak, dolayısıyla t ve F statstkler sapmalı olacak, testler güvenlr olmaktan çıkacaktır: Hata termlernn varyansının ( uu ) tahmn edcs uu nn kk Var(ββ jj ) aşağı doğru, t statstkler yukarı doğru sapmalı olur. aşağı doğru sapmalı olur. Dolayısıyla Dğer yandan R ve F statstğ de yukarı doğru sapmalıdır. 8-4

5 8.3. Değşen Varyans Sorununun Varlığı Saptanablr m? Bçmsel Olmayan Yöntemler Elmzdek çalışmanın ntelğ br pucu vereblr: Daha öncek çalışmalar göstermştr k tüketmn gelrle açıklandığı tahmnlerde değşen varyans sorunu vardır. Bu nedenle tüketm denklem tahmnnde bu sorunun olmasını beklerz. Kest verler tahmnlernde heterojen brmler varsa bu sorun sözkonusu olacaktır: örneğn yatırımların bağımlı çıktı, faz vs. nn açıklayıcı değşken olduğu denklemde küçük, orta ve büyük ölçekl şletmeler aynı örneklemde yer alıyorsa bu sorundan şüphelenmelyz. Grafk yöntem: Değşen varyansla lgl önceden elmzde blg yoksa hata tahmn karelernn grafğ ncelenerek sstematk br şekl verp vermedğne bakılablr. Hata tahmnler hata termler le aynı değldr fakat özellkle örneklem büyüklüğü yeternce genşse y br tahmnn verr. Dkey eksende hata tahmn kareler, yatay eksende Y nn tahmn değerler varken: Brnc grafkte Ŷ le û arasında sstematk br lşk görünmemektedr. Ama dğerlernde vardır: örneğn 3. de doğrusal br lşk 4. ve 5. de karesel br lşk vardır. Grafk özellkle. grafkte olduğu gb br lşk göstermyorsa yatay eksende açıklayıcı değşkenlerden brnn olduğu grafk de kullanılablr. 8-5

6 8.3.. Bçmsel Yöntemler. Goldfeld-Quandt Test Hata term varyansındak değşmeler açıklayıcı değşkenlerden brs le lşklendrleblyorsa bu test uygulanablr. Y = β β β 3 3 β k k u, 8-6 = n modelnde Var(u) dyelm k değşken (veya örneğn kares) le lşkldr. Test brkaç aşamada uygulanır: - Önce bu değşken küçükten büyüğe doğru sıralanmalıdır. Sonra, bağımlı değşken ve dğer açıklayıcı değşken verler de değşkennn sıralanmış verlerne karşılık gelecek şeklde yenden düzenlenmeldr. - Yen sıralanmış verlern ortasındak c adet ver atılmalıdır ve c n/6 olmalıdır. Kalan n-c gözlem k eşt sayıda (=(n-c)/) olmalıdır. Ör. n = 4 se n/6 6 dersek 4-6=34 kye bölüneblr: n = n = Yukarıda verlen denklem n ve n ver le k kez tahmn edlmeldr. n adet ver le yapılan tahmnde KKT = Σ û n adet ver le yapılan tahmnde KKT = Σ û bulunmalıdır. Burada KKT düşük varyanslı grup, KKT yüksek varyanslı gruptur. 4- Burada test edlecek hpotez aşağıdak gbdr: H : = H : Kullanılacak statstk F h RSS/(n = RSS /(n k) k) Eğer u normal dağılmışsa ve sabt varyans varsayımı geçerl se F h F tab = F(n -k, n -k) tablo değer le karşılaştırılmalıdır. F h > F tab se H reddedlr, varyansın sabt olmadığına karar verlr. Bu testn gücü c değerne bağlıdır: c büyük olursa yardımcı denklemlern serbestlk dereces azalır; küçük olursa gözlemler arasındak farklılığı belrlemek zordur. Goldfeld-Quandt testnn olumsuz yönü, hata term varyansının br açıklayıcı değşkenle lşklendrlmesdr. Özellkle çok açıklayıcı değşken olması durumunda bu lşklendrme kolay olmayablr.

7 . Whte Test Whte test br LM testdr ve dğer LM testlernde olduğu gb asıl denkleme ek olarak br yardımcı denklem tahmn gerektrr. Testn arkasındak temel düşünce şudur: Eğer sabt varyans varsa E(u ) = dır ve ler veya lern fonksyonu olan değşkenler u y açıklamaz. Bu nedenle sol taraf değşkennn u, sağ taraf değşkenlernn lern br fonksyonu olduğu br yardımcı denklem tahmn edlr. Değşen varyans sorunundan şüphelenlyor ama formu hakkında br fkrmz yoksa Whte test uygun br testtr. Asıl denklem aşağıdak gb olsun Y = β β β 3 3 β k k u, = n - Asıl denklem tahmn edlerek hata tahmn kareler bulunur: - Aşağıdak yardımcı denklem tahmn edlr: û û = α α α k k α k α k k α k 3 v Yan asıl denklemn hata tahmn karelernn bağımlı, açıklayıcı değşkenlern kendler, kareler ve çarpımlarının açıklayıcı değşken olduğu denklem tahmn edlr. Açıklayıcı değşkenlern daha yüksek dereceler de kullanılablr. Asıl denklemde sabt term olsa da olmasa da yardımcı denklemde vardır. Bu yardımcı denklem çn R hesaplanır. Buna R Y dyelm. 3- Boş hpotez değşen varyans olmadığı şeklndedr: H : α = α 3 = = α k = H : α, α 3,, α k R Y nn n le çarpımı asmptotk olarak k-kare dağılımına sahptr ve serbestlk dereces yardımcı denklemde yer alan sabt dışındak açıklayıcı değşken sayısıdır. nr Y χ (kf-) (burada f asıl denklemde bulunmayıp yardımcı denklemde bulunan değşken sayısıdır) 4- Eğer hesaplanan χ değer tablo değernden büyükse H reddedlr. Yan değşen varyans sorunu var demektr. Eğer büyük değlse değşen varyans sorunu yoktur. 8-7

8 Test edlen hpotez bakımından düşünülürse Whte test Goldfeld-Quandt testnden daha geneldr. Olumsuz tarafı: çok sayıda açıklayıcı değşken olduğunda yardımcı denklemde serbestlk dereces hızla düşer. Test statstğnn anlamlı bulunduğu durumlarda bunun neden değşen varyans olmak zorunda değldr, tanımlama hataları da olablr veya ks brden olablr. Hangsnn olduğunu blmek se zordur. 3. ARCH-LM Test Engle ARCH sorununun varlığını test etmek çn br LM test önermştr. Dğer LM testlernde olduğu gb ARCH çn yapılan LM testnde de asıl denkleme ek olarak br yardımcı denklem tahmn edlr. Asıl denklem ve yardımcı denklem sırasıyla şöyledr: Y t = β β t β 3 t3 β k tk u t, t = n û = a c û c û c p e t t t- t- û t-p Yardımcı denklemdek geckme sayısı p araştırmacıya kalmıştır ancak üç aylık verler kullanılıyorsa geckme sayısı 4 e çıkablr. Whte testnde olduğu gb test statstğ olarak χ dağılımlı değşkenler kullanılablr: χ (p) nr Y H : c, c,, c p = H : c, c,, c p Hesaplanan değer tablo değernden büyükse H reddedlr ve modelde ARCH vardır sonucuna ulaşılır. 8-8

9 8.4. Değşen Varyans Sorununun Çözümü Var mıdır? Değşen varyans sorununu nasıl çözeceğmz, değşen varyansın formunu belrleyp belrleyemedğmze bağlıdır. Değşen varyans sorununun nasıl çözüleceğne geçmeden önce daha önce belrttğmz br şey tekrarlayalım: değşen varyans model spesfkasyonunun yanlış olmasından kaynaklanablr. Vernn logartmasının alınması değşen varyans sorununun azalmasını veya ortadan kalkmasını sağlayablr. Bu nedenle ele alacağımız metodları uygulamadan önce spesfkasyonun doğru olduğundan emn olmak gerekr. Değşen varyansın formu tam olarak blnyorsa GEKK yöntem kullanılır. Değşen varyansın formunu blmyorsak veya tahmn edemyorsak Whte standart hatalar kullanılır u değerler blnyorsa: Genelleştrlmş EKK (GEKK) Yöntem (Generalzed Least Squares - GLS) Değşen varyans sorununda hata term varyans-kovaryans matrsnn Var, Cov(u) = E(uu') = I n yerne Var, Cov(u) = E(uu') = Ω = n geçmektedr. GEKK yöntem asıl denklemden br dönüştürülmüş denklem elde edp bu dönüştürülmüş denklem EKK le tahmn etmek anlamına gelmektedr. Bu durumda dönüştürülmüş denklem aşağıdak gbdr. Y = β β,... β k k, e Dönüştürülmüş denklemn hata term e = u / dr ve e nn varyansı : Var(e ) = E(e ) = E(u / ) = (/ )E(u ) = (/ ) = dr ve sabttr. 8-9

10 8- Dönüştürülmüş denklemn EKK le tahmn edlmes, asıl denklemn GEKK le tahmn edlmes anlamına gelmektedr. Buradak dönüştürülmüş denklemn EKK uygulanması Ağırlıklı EKK (weghted least squares) olarak adlandırılır. Çünkü her br gözlem hata term varyansının ters le ağırlıklandırılmıştır. Ağırlıklı EKK, daha genel br yöntem olan GEKK n özel br durumudur. Daha sonrak bölümlerde GEKK n farklı özel durumlarını da ele alacağız. Ağırlıklı EKK da ağırlıkların kullanılması şu anlama gelr: yüksek varyansa sahp gözlemler tahmnde daha düşük ağırlığa sahptr. Daha genel olarak şu söyleneblr: en yüksek kaltedek gözlemlere en yüksek ağırlık verlr, en düşük kaltedek gözlemlere en düşük ağırlık verlr. Bazı durumlarda Var, Cov(u) = E(uu') = Ω = = n n Olduğu varsayılır. Yan her br hata term çn E(u ) = dr. Yan her br varyansın gb sabt br kısmı vardır fakat nedenyle her br varyans brbrnden farklıdır: Var(u ) =, Var(u ) =, Var(u n ) = n Bu durumda dönüştürülmüş denklem şöyle fade edeblrz: k, k, u β... β β Y = veya k, k, e β... β β Y = dönüştürülmüş denklemn hata term e = u / e nn varyansı : Var(e ) = E(e ) = E(u / ) = (/ )E(u ) = / = dr ve sabttr.

11 8.4.. u değerler blnmyorsa: GEKK yöntemnn bu şeklde uygulanablmes çn Ω değerlernn blnmes gerekr. Bu değerlern blnmemes durumunda üç yöntem uygulanablr. - Değşen varyans le lgl varsayım Ω genellkle blnmedğ çn hata term varyansının açıklayıcı değşkenlerden brs le lşkl olarak değştğ varsayımı yapılır: Örneğn a- Hata termler varyansı le orantılıdır: Var(u ) = ( = ) Bu durumda Ω matrs şu şeklde tanımlanmış olmaktadır: Ω=,,,n Sonuç olarak dönüştürülmüş model şu şekldedr: Y, k, = β β... β k e e = u /,,, e nn varyansı : Var(e ) = E(e ) = E(u /, ) = (/, )E(u ) = /, = dr (sabt) b- Hata termler varyansı le orantılıdır: Var(u ) =, ( = ) dönüştürülmüş model: Y, = β, β,... β k k,, e e = u /, 8-

12 - Whte değşen varyansla tutarlı varyansları (Whte s heteroscedastcty-consstent varances and Standard errors) Whte göstermştr k büyük örneklemlerde gerçek parametre değerler le lgl statstk çıkarımlarda bulunulablr. Bu yöntemde katsayı varyans kovaryans matrsnn hesaplanmasında, yerne onun tahmn olarak (Whte cov matrs: (') - [Σ = n u x x ']( ) - ) û kullanılır. Pek çok ekonometr paket Whte değşen varyansla tutarlı varyansları ve standart hataları vermektedr. Bu değerler EKK değerlernden büyük veya küçük olablr. Bu yöntemn uygulanablmes çn büyük örneklem olması gerekr. 8-