MAKSİMUM DEBİNİN UÇ DEĞER TEORİSİ İLE TAHMİNİ: MANAVGAT ÇAYI ÖRNEĞİ. Kazim GENÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK

Transkript

1 MAKSİMUM DEBİNİN UÇ DEĞER TEORİSİ İLE TAHMİNİ: MANAVGAT ÇAYI ÖRNEĞİ Kazim GENÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2011 ANKARA

2

3 MAKSİMUM DEBİNİN UÇ DEĞER TEORİSİ İLE TAHMİNİ: MANAVGAT ÇAYI ÖRNEĞİ Kazim GENÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2011 ANKARA

4 Kazim GENÇ tarafından hazırlanan MAKSİMUM DEBİNİN UÇ DEĞER TEORİSİ İLE TAHMİNİ: MANAVGAT ÇAYI ÖRNEĞİ adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi larak uygun lduğunu naylarım. Yrd. Dç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK Tez Danışmanı, İstatistik Anabilim Dalı.. Bu çalışma, jürimiz tarafından y birliği ile İstatistik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi larak kabul edilmiştir. Prf. Dr. M.Akif BAKIR İstatistik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi... Yrd. Dç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK İstatistik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi.. Yrd. Dç. Dr. Mehmet UYSAL İstatistik Anabilim Dalı, Hacettepe Üniversitesi... Tarih: 04/02/2011 Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini namıştır. Prf. Dr. Bilal TOKLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü...

5 TEZ BİLDİRİMİ Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun larak hazırlanan bu çalışmada bana ait lmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Kazim GENÇ

6 iv MAKSİMUM DEBİNİN UÇ DEĞER TEORİSİ İLE TAHMİNİ: MANAVGAT ÇAYI ÖRNEĞİ (Yüksek Lisans Tezi) Kazim GENÇ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Şubat 2011 ÖZET Rastlanma lasılığı düşük ancak etkileri büyük uç layların rtaya çıkma lasılıklarının tahmininde en çk kullanılan yöntemlerden birisi Uç Değer Terisidir. Bu çalışmada, Uç Değer Terisi tanıtılarak kullanım alanları hakkında bilgiler verilmiş, kullanılan mdeller ve parametre tahmin yöntemleri açıklanmıştır. Uygulama bölümünde, iki Akım Gözlem İstasynundan alınan yılları arası maksimum akış değerleri kullanılmıştır. Uç Değer Terisi yardımıyla, Akım Gözlem İstasynlarına ait veriler kullanılarak En Çk Olabilirlik ve Mmentler Yöntemi ile tahminler yapılmıştır. Bilim Kdu : Anahtar Kelimeler : Uç Değer Terisi, Gumbel Dağılımı, Fréchet Dağılımı, Weibull Dağılımı, Hidrlji Sayfa Adedi : 75 Tez Yöneticisi : Yard. Dç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK

7 v PREDICTING MAXIMUM DISCHARGE BY USING EXTREME VALUE THEORY: CASE STUDY MANAVGAT RIVER (M.Sc. Thesis) Kazim GENÇ GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY February 2011 ABSTRACT One f the mst cmmnly used methds in the predictin f extreme incidents whse prbabilities f ccurence is lw but their effects are significant is Extreme Value Thery. In this study, Exteme Value Thery and its areas f usage were intrduced, the mdels which were used in the field f Extreme Value Thery and Parameter Estimatin Methds were defined. In applicatin part, maximum discharge values frm tw flw bservatin statins between the years f 1964 and 2003 were used. With the help f Extreme Value Thery, predictins were btained by using these discharge values and the methds Maximum Likelihd and Mments. Science Cde : Key Wrds : Extreme Value Thery, Gumbel Distributin, Fréchet Distributin, Weibull Distributin, Hydrlgy Page Number : 75 Adviser : Assc. Prf. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK

8 vi TEŞEKKÜR Çalışmalarım byunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, umutsuzluğa düştüğüm anlarda hep yanımda lan sevgili hcam Yard. Dç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK a ve çalışmamı titizlikle inceleyen değerli hcam Prf. Dr. Mehmet Akif BAKIR a teşekkür eder, her türlü yardımlarını esirgemeyen aileme de snsuz şükranlarımı sunarım. Desteklerini hiçbir zaman benden esirgemeyen arkadaşlarım Onur ERDOĞAN ve Selçuk YAVUZKANAT a da değerli katkıları için ayrıca teşekkürü bir brç bilirim.

9 vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... v TEŞEKKÜR... vi İÇİNDEKİLER...vii ÇİZELGELERİN LİSTESİ... x ŞEKİLLERİN LİSTESİ...xii SİMGELER VE KISALTMALAR...xiiii 1. GİRİŞ UÇ DEĞER TEORİSİ Giriş Kullanım Alanları Literatür Taraması Yazılım Gereksinimleri PARAMETRE TAHMİN YÖNTEMLERİ Blk Maksima/Minima Yöntemi Dağılım özellikleri Parametre tahmini Olabilirlik ran testi ve sapma fnksiynu Tekrarlama seviyesi ve tekrarlama periydu Eşik Değer Yöntemi Dağılım özellikleri... 25

10 viii Sayfa Parametre Tahmini Tekrarlama seviyesi ve tekrarlama periydu UYGULAMA Tanımlayıcı İstatistikler ve Tanı Grafikleri En Çk Olabilirlik Yöntemi Mmentler Yöntemi Parametre Tahminlerinin Karşılaştırılması SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR EKLER EK-1. Manavgat-1 ve Sinanhca AGİ lere ait maksimum debi (m 3 /sn) değerleri ( ) EK-2. Manavgat-1 ve Sinanhca AGİ lere ait tanımlayıcı istatistikleri gösterir bilgisayar çıktısı EK-3. Manavgat-1 AGİ verisi için mdel uyumunu gösterir bilgisayar çıktısı EK-4. Sinanhca AGİ verisi için mdel uyumunu gösterir bilgisayar çıktısı EK-5. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ verileri için 50 yıl tekrarlama seviyelerini gösterir bilgisayar çıktısı 69 EK-6. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ verileri için 3 yıl ve 10 yıl tekrarlama seviyelerini gösterir bilgisayar çıktısı EK-7. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ verileri için 25 yıl ve 100 yıl tekrarlama seviyelerini gösterir bilgisayar çıktısı EK-8. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ verileri için farklı tekrarlama seviyeleri EK-9. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ verilerine ilişkin Birim Kök Testlerini gösterir bilgisayar çıktısı... 74

11 ix Sayfa ÖZGEÇMİŞ... 75

12 x ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çizelge Sayfa Çizelge 4.1. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ için maksimum debi (m 3 /sn) değerlerine ait tanımlayıcı istatistikler tablsu..33 Çizelge 4.2. Manavgat-1 AGİ mdel değerleri Çizelge 4.3. Sinanhca AGİ mdel değerleri Çizelge 4.4. Manavgat-1 AGİ 50 yıl tekrarlama seviyesi tablsu Çizelge 4.5. Sinanhca AGİ 50 yıl tekrarlama seviyesi tablsu Çizelge 4.6. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ için çeşitli tekrarlama seviyeleri Çizelge 4.7. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ için örnek istatistikleri Çizelge 4.8. Mmentler yöntemi parametre tahminleri Çizelge 4.9. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ için çeşitli tekrarlama seviyeleri.50 Çizelge Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ ye ilişkin parametre tahminleri Çizelge Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ ye ait en yüksek akış tahminleri Çizelge E.1. Veri tablsu Çizelge E.2. Farklı tekrarlama seviyeleri tablsu... 72

13 xi ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa Şekil 3.1. Blk Maksima/Minima örneği Şekil 3.2. Gumbel, Fréchet ve Weibull dağılımları Şekil 3.3. Eşik değer yöntemi - örnek Şekil 3.4. Paret dağılımına ait lasılık yğunluk fnksiynu Şekil 3.5. Farklı şekil parametreleri için tekrarlama seviyesi grafikleri Şekil 4.1. Maksimum debiler (m 3 /sn) Manavgat-1 AGİ ( ) Şekil 4.2. Maksimum debiler (m 3 /sn) Sinanhca AGİ ( ) Şekil 4.3. Manavgat-1 AGİ yıllık maksimum debiler (m 3 /sn) Şekil 4.4. Sinanhca AGİ yıllık maksimum debiler (m 3 /sn) Şekil 4.5. Manavgat-1 AGİ Tanı Grafikleri Şekil 4.6. Sinanhca AGİ Tanı Grafikleri Şekil 4.7. Manavgat-1 AGİ 50 yıl tekrarlama seviyesi için prfil labilirlik grafiği Şekil 4.8. Sinanhca AGİ 50 yıl tekrarlama seviyesi için prfil labilirlik grafiği Şekil 4.9. Manavgat-1 AGİ tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil Sinanhca AGİ tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil Manavgat-1 Gumbel lasılık grafiği Şekil Sinanhca Gumbel lasılık grafiği Şekil Manavgat-1 AGİ tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil Sinanhca AGİ tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil Manavgat-1 AGİ farklı tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri... 51

14 xii Şekil Sayfa Şekil Sinanhca AGİ farklı tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil Manavgat-1 AGİ için yğunluk fnksiynu karşılaştırma grafiği Şekil Sinanhca AGİ için yğunluk fnksiynu karşılaştırma grafiği... 54

15 xiii SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılan bazı simge ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmaktadır. Kısaltmalar Açıklama AGİ GPD GUD HES RMD T&G UDT Akım Gözlem İstasynu Genelleştirilmiş Paret Dağılımı Genelleştirilmiş Uç Değer Dağılımı Hidrelektrik Santral Riske Maruz Değer Türbin-Generatör Uç Değer Terisi

16 1 1. GİRİŞ Büyük etkileriyle dğal afetler gerçekleştiği zaman insanların ilk aklına gelen afetin tekrar ne zaman gerçekleşeceği, büyüklüğünün ne kadar lacağı ve bu afetlerden kaçınabilme yöntemlerinin neler lduğudur. Depremler, fırtınalar, seller ve aşırı kar yağışları gibi birçk dğa layı az rastlanan fakat etkileri ldukça yüksek lan laylardır. Az rastlanan bu layların istatistiksel larak mdellenmesi geleceğe ilişkin tahminlerin yapılabilmesi açısından önemlidir. Bu aşamadaki temel srunlardan biri eldeki az sayıda veriyle uzun dönemleri kapsayan tahminler yapmaya çalışmaktır. Örneğin, eldeki yüz yıllık sıcaklık verisi ile yüz yılda bir ölçülecek maksimum sıcaklık seviyesi araştırmacı tarafından tahmin edilmek istenebilir. İlk bakışta tahmini ve mdellenmesi ldukça zr gibi görünen bu tarz uç laylar (Extremes) Uç Değer Terisi (Extreme Value Thery) aracılığıyla mdellenebilmektedir. Dğal afetlerlerle ilgili layların yanında birçk alanda da Uç Değer Terisi (UDT) kullanılmaktadır. Fizik ten Kimya ya, İnşaat Mühendisliğinden Hidrlji ye muhtelif alanlarda araştırmacılar uç değerlerin davranışları üzerine daklanmaktadırlar. Örneğin, bir Hidrelektrik Santral (HES) inşaatında en önemli knulardan biri santrale gelen suyun rtalama debisidir. Çünkü HES için yatırım kararının alınıp alınmaması rtalama debiye bağlıdır. Bunun yanında, mühendisler için suyun maksimum debisi, santralin dayanıklılığın hesaplanmasında dikkat edilecek önemli hususlardan bir diğeri larak rtaya çıkmaktadır. Bu çalışmada, temel amaç uç değer terisini kısaca tanıtarak hidrlji alanında gerçek bir uygulamasını yapmaktır. Bu uygulama, Antalya ili, Akseki ilçesi sınırları içerisinde ve Manavgat Çayı ana klu üzerinde yer alan iki Akım Gözlem İstasynu (AGİ) den alınan maksimum debi değerlerinin mdellenmesine dayalıdır. Çalışmada kullanılacak veriler HES yapımını üstlenen firmadan temin edilmiş ve elde edilen snuçlar HES yapımını üstlenen firmanın mühendisleri ile paylaşılmıştır.

17 2 Çalışmanın, ikinci bölümünde, Uç Değer Terisi nin kısaca tanımı yapılarak, kullanım alanları ile daha önceden bu alanda yapılmış bazı çalışmalara değinilmiş ve UDT alanında ve bu çalışma özelinde kullanılan yazılımlar hakkında bilgi verilmiştir. Üçüncü bölümde uç değerlere ait dağılım özellikleri verilerek parametre tahmin yöntemleri hakkında bilgi verilmiştir. Dördüncü bölümde iki AGİ ye ait veriler üzerinde gerçek bir uygulama yapılmıştır. Sn bölümde ise uygulama prblemine ilişkin analizlerden elde edilen snuçlar tartışılmıştır.

18 3 2. UÇ DEĞER TEORİSİ Bu bölümde ilk larak, UDT ve mdellemede kullanılan yöntemler kısaca tanıtılacaktır. Daha snra UDT nin uygulama alanları hakkında bilgiler verilerek UDT alanında yapılan çalışmalara yer verilecektir. Bu bölümde sn larak UDT alanındaki mevcut yazılımlar (sftware) ve bu çalışmada kullanılan yazılımlar hakkında bilgiler yer almaktadır Giriş İstatistiksel araştırmalarda temel amaçlardan biri bilinmeyen yığına ilişkin karakteristikleri, örnek değerlerini kullanarak tahmin etmektir. Bu amaçla kullanılan istatistiksel yöntemlerin hemen hepsinde örnekte yer alan gözlemlerin tamamı dikkate alınır. Ancak öyle durumlar vardır ki araştırmacı yığının tamamı yerine yığının uç değerleriyle ilgilenebilir. Rassal bir sürecin uç değerleri, belirli bir zaman diliminde sürecin minimum ve maksimum değerlerini ifade eder [Gürsakal, 2007]. UDT bu uç değerlerin dağılımıyla ilgilenir. Uç değer yaklaşımı gözlemlerin tamamının lasılık fnksiynunu mdellemek yerine, dğrudan veride yer alan uç değerleri mdellemektedir. Uç değerlerin mdellenmesinde, blk maksima/minima, eşik değer, r inci sıralı istatistik ve nkta süreci gibi yöntemler kullanılmaktadır [Beirlant ve ark., 2004; Ktz ve Nadarajah, 2000; Castill ve ark., 2004; Gilleland ve Katz, 2005]. Bu yöntemler arasında en yaygın kullanılanlar blk maksima/minima ve eşik değer yöntemleridir. Blk maksima/minima yöntemi, belirli periytlarda rtaya çıkan maksimum/minimum gözlemlerin mdellenmesiyle ilgilenirken, eşik değer yönteminde daha önceden belirlenmiş bir eşik değeri aşan tüm gözlemlerin

19 4 mdellenmesi hedeflenmektedir. Bu yöntemler hakkında detaylı bilgi üçüncü bölümde verilmiştir. Blk maksima/minima yöntemlerinde uç değerlerin mdellenmesi için Genelleştirilmiş Uç Değer Dağılımı (Generalized Extreme Value Distributin) kullanılırken, eşik değer yönteminde Genelleştirilmiş Paret Dağılımı (Generalized Paret Distributin) kullanılmaktadır. Bu iki dağılıma uyum, mdelleme ve tanı grafiklerinin yrumlanması hakkında detaylı bilgi dördüncü bölümde verilmektedir Kullanım Alanları UDT, kyanus bilimi, hidrlji, çevresel araştırmalar, meterlji ve rüzgar hızları, finansman ve sigrtacılık, jelji ve sismik analizler, metalurji, inşaat mühendisliği, malzeme dayanımı, havaylu trafiği, çevre kirliliği gibi alanlarda bazı prblemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır. Gerek tarıma ve hayvanlara, gerekse de hayatın değişik alanında kullanılan materyallare verdiği zararlar bakımından uç meterljik laylar insan yaşamını birçk açıdan etkiler. Bu sebeple mühendisler, sıcaklık ve yağış gibi laylarda rtalama değerlerle ilgilenmek yerine çk yüksek veya çk düşük sıcaklıklara, çk fazla ya da çk az yağışlara daklanmaktadırlar. Bu az rastlanan meterljik layların gerçekleşme lasılıklarının tahmini, bu alanda yapılan analizlerin cevap vermesi gereken en önemli srulardan biridir. Daha detaylı bilgi için Ferr ve Segers (2003), Galambs ve Macri (2002) e başvurulabilir. Okyanus mühendisliği alanında, dizayn amaçlı prjelerde dalga byunun ana etken lduğu bilinen bir gerçektir. Bununla beraber, açık deniz platfrmlarının dizaynları, dalgakıranlar, bentler ve diğer liman yapılarında en yüksek dalgaların lasılık dağılımının bilinmesi ldukça önemlidir. Bu nedenle 1950 li yılların snlarından itibaren kyanus mühendisliği alanında UDT birçk ülkede uygulama alanı bulmuştur. Battjes (1977), Brgman (1973) ün yaptığı çalışmalar söz knusu alandaki uygulamalara örnek çalışmalardır.

20 5 Bir bina ya da herhangi bir mühendislik yapısının, çk yüksek şiddette gerçekleşen depremlere dayanıp dayanamayacağını tasarım aşamasında alınan kararlar belirler. Dlayısıyla yapılacak hesaplamalarda en yüksek deprem şiddeti ve bu depremin gerçekleşme lasılığı en önemli girdilerden biridir. Benzer şekilde nükleer santral inşasına karar verilecek bölge seçiminde de sismik laylar hakkında bilgi sahibi lunması gerekir. Bu knularda daha detaylı bilgi Ang (1973) ve Hasfer (1972) çalışmalarında bulunmaktadır. Risk Tespiti çalışmalarında az da rastlansa sel lasılıklarını tanımlamak devamlı süregelen bir ihtiyaç lmuştur. Sel analizi çalışmaları, birçk mühendislik prjesinde ve özellikle de taşkın kruma prjelerinin eknmik analizlerinde büyük önem taşır. Bununla birlikte, dünyanın birçk köşesinde can ve mal kaybına neden lan seller ve özellikle de sellerin tekrarlama seviyeleri (return level) uç değer analizinin yğunlaştığı çalışma alanlarından biri haline gelmiştir. Bensn (1968), Chw (1964), Tdrvic (1970) bu tarz prblemlerin çözümüne yönelik çalışmalardan bazılarıdır. UDT nin en sık kullanıldığı alanlardan biri de sigrtacılık çalışmalarıdır. Bazı prtföyler sigrta şirketlerinin varlığını devam ettirmesini tehlikeye atacak kadar büyük risklere sahip labilirler. Depremler, kasırgalar, uçak kazaları ve bunun gibi laylardan snra sigrta pliçeleri üzerinden ödenecek tazminatlar sigrta şirketlerini ldukça zr durumlara skarlar. Sigrta şirketleri yarattığı çevresel etkiler, iş kaybı, can ve mal kaybı gibi snuçlar dğuran endüstriyel yangınlar için düzenlenmiş pliçelerdeki tazminatlar gibi gerçekleşme ihtimali az gibi gözüken bu tarz uç laylar hakkında kendisini muhtemel ödeme yükümlülükleri karşısında krumak için daha fazla bilgi sahibi lmak zrundadırlar. Bu amaçla risk yöneticileri 1990 lardan bu yana Riske Maruz Değer kavramını kullanmaktadırlar. Riske Maruz Değer (RMD), belirlenen bir zaman aralığında, belirli bir lasılıkla, finansal bir varlığın veya prtföyün değerinde meydana gelebilecek en fazla kayıp larak tanımlanabilir [Akkaya ve ark., 2008]. UDT de riske maruz değer hesaplanmasında sık kullanılan yöntemlerden biridir. UDT yaklaşımı ile verilerin tamamının lasılık fnksiynunu mdelledikten snra uç değerleri elde etmek yerine, dğrudan dağılımın uç değerleri mdellenerek RMD hesaplamaları yapılır. Bu knuda yürütülen çalışmalaradan

21 6 bazıları, Önalan (2003), Neftci (2000), Embrechts, Kluppelberg ve Miksch (1999) dur. UDT nin kullanıldığı alanlardan bir diğeri de malzeme dayanımıdır. Birçk mühendislik prbleminde, ana malzemenin dayanımı, malzemeden alınacak küçük örneklerle labratuar rtamında yapılan testler vasıtasıyla tahmin edilmek istenir. Bu tarz durumlarda, küçük örneklerden daha büyük lanlarına snuçları genişletmek gerekir. Bu anlamda, UDT, byut etkisinin azaltılması bakımından ldukça faydalı lmakta ve güvenilir snuçlar vermektedir. Bu alanda yapılan çalışmalardan bazıları Tilly ve Mss (1982), Warner ve Hulsbs (1966) dır. Hızla artan nüfusun rtaya çıkardığı çevresel srunlar veya kimyasal ve nükleer çalışmaların snucunda rtaya çıkan prblemler, havanın, nehirlerin, sahillerin kirlenmesi bakımından birçk ülke için rtak prblem haline gelmiştir. Bu ylla devletler, kirletme knsantrasynu bakımından kritik seviyeler belirlemişlerdir. Bu seviyelerin belirlenmesinde en yüksek kirlilik düzeyleri, bu düzeylerin belirlenmesi ve dlayısıyla bu düzeyleri aşan değerlerin mdellenmesi önemli rl ynamaktadır. Bu amaçla yapılan çalışmalardan bazıları, Chandra ve Singpurwalla (1981), Barlw ve Singpurwalla (1973) dir. Gerek içme ve sulama suyu prjelerinde gerekse de elektrik üretimine dönük prjelerde sınırlı miktarlardaki suların etkin kullanımı çk önemli bir husustur. Giriş bölümünde de belirtildiği gibi yatırım karar anında, gelen suyun rtalama debisi HES yatırımın yıllık rtalama getirisi veya yatırımın geri dönüş süresi hesaplanmasında kullanılsa da santral güvenliği ve santral dayanıklılığı knularında suyun maksimum debisi de dikkat edilecek diğer bir önemli husustur. HES ler, suyun ptansiyel enerjisinin türbin kanatlarında mekanik enerjiye ve mekanik enerjinin de jeneratörlerde elektrik enerjisine dönüştürüldüğü yerlerdir. Gerek yatırım döneminde gerekse de işletme döneminde taşkın risklerini minimuma indirmek HES yatırımlarının eknmik sürdürülebirliğini sağlamak açısından hayati önem teşkil etmektedir.

22 7 Esasen bir dğa layı lan taşkınlar, insanğlunun dğa düzenine bir müdahalesi yluyla da rtaya çıkabilmektedir. Burada önemli lan husus mühendislik yaklaşımlarıyla taşkın risklerini rtaya kymak ve riske dayalı tasarım ve planlamalara yönelmektir [Onuşluel ve Harmancığlu, 2002]. Hidrlji alanında UDT kullanımına yer veren çalışmalardan bazıları Beard (1962), Bensn (1968), Castill ve Ark. (2004), Chw (1964), Gumbel (1958) ve Tdrvic (1970) dir. Tüm bu örneklerin dışında UDT nin uygulama alanı bulduğu metalurjiden, elektriksel izlasyna, havaalanı trafiğinden, krzyn direncine kadar sayısız knu vardır. Gerçekleşme ihtimali düşük lan uç layların lduğu her prblemde teri uygulanabilmektedir Literatür Taraması Uç değerler üzerine yapılan çalışmaların kökeni Niclas Bernulli nin rjinden rtalama en yüksek uzaklığı tartıştığı 1709 yılına kadar götürülebilir. Ancak, bu knu hakkında ilk ihtiyaçlar Astrnmi alanında araştırmalar yürüten bilim adamları tarafından hissedilmiştir. İlk makaleler ise Fuller (1914) ve Griffith (1921) tarafından terinin matematiksel byutu ve uygulama alanları üzerine lmuştur. Genel Terinin sistematik larak bir gelişim kazanmaya başlamasının ise Vn Brtkiewicz (1922) makalesiyle lduğu kabul edilmektedir. Bu makalesinde Brtkiewicz nrmal dağılımdan seçilen rassal örneklerin açıklıklarının dağılımlarından bahsetmektedir. Brtkiewicz in bu makalesinin önemi, en büyük değerlerin dağılımından ilk kez bahsedilmesidir. UDT literatüründe ana başvuru kaynaklarından biri lan kitabında Gumbel, Brtkiewicz anısına bir ünite adamıştır [Ktz ve Nadarajah, 2000]. Bir diğer önemli çalışma ise en büyük değerlerin asimpttik dağılımları üzerine Fréchet (1927) tarafından yazılan makaledir. Tippett ve Fisher (1928) Fréchet in makalesindekinin aksine uç değerler için bir mümkün limit dağılımı yerine üç

23 8 mümkün limit dağılımı lduğunu göstermiştir [Fisher ve Tippett, 1928]. Vn Mises (1936), üç tip limit dağılımını basitleştirmiştir ler ve 1930 ların rtalarındaki terik gelişmeler, 1930 ların snlarında ve 1940 larda, insan yaşamı, radyaktif emisynlar, malzeme dayanımı, sel analizi, sismik analizler ve yağış analizleri gibi alanlardaki uç değerlerin dağılımları üzerine yazılmış pratik uygulamaları içeren birçk makale ile geliştirilmiştir. Özellikle Alman matematikçi Gumbel, başta iklimbilim ve hidrlji alanlarında lmak üzere terinin uygulanmasına yönelik larak 1958 yılında çıkardığı Uç Değerler İstatistiği (Statistics f Extremes) kitabı ile uç değer analizine birçk önemli katkı yapmıştır [Ktz ve Nadarajah, 2000]. Jenkinsn (1955) üç uç değer dağılımının sadece tek bir parametrik frmla yazılabileceğini göstermiştir. Bu dağılıma Genelleştirilmiş Uç Değer Dağılımı (GUD) adı verilmektedir. Pickands (1971) her bir periytta sadece tek bir gözleme daklanmak yerine birden çk gözlemi hesaplamalara katan ve böylece bilgi kaybında azalışa neden lan eşik değer kavramını literatüre yerleştirmiştir. Snrasında Pickands (1975) eşik değer yaklaşımını Genelleştirilmiş Paret Dağılımı (GPD) ile açıklamıştır. Davisn ve Smith (1990) eşik aşan değerleri mdellemek için GPD üzerine Nkta Süreci (Pint Prcess) yöntemini getirmiştir. De Haan ve Resnick (1977) tek değişkenli rassal değişkenlerin mdellenmesinden çk değişkenli rassal değişkenlerin mdellenmesi üzerine bazı yaklaşımları tartışmıştır. Ancak dağılımın parametrelerini kesin karakterize edememişlerdir. De Haan (1985) çk değişkenli rassal değişkenler için uç değerleri limitte çk değişkenli bir pissn süreciyle ilişkilendirmiştir. Cles ve Tawn (1991) çk değişkenli uç değer mdelleri için bir dönüşüm ile Pissn süreci vasıtasıyla parametrik mdeller üreten bir yöntem geliştirmiştir. Ferr ve Segers (2003) uç değerlerin kümelenerek mdellenmesi üzerine bir takım yeni yaklaşımlar getirmişlerdir. Heffernan ve Tawn (2004) çk değişkenli uç değerler için bazı kşullu yaklaşımlar geliştirmişlerdir.

24 9 Günümüzde birçk araştırmacı UDT alanında çalışmalar yürütmektedir. Oluşturulan uluslararası çalışma grupları vastasıyla her yıl birçk çalıştay ve knferans düzenlenmektedir. Bu knferanslardan altıncısı Haziran 2009 tarihleri arasında Frt Cllins, Clrad, ABD de yapılmıştır. Yedinci knferans 27 Haziran 1 Temmuz 2011 tarihleri arasında Fransa nın Lyn kentinde düzenlenecektir. Bu knferanslar hakkında detaylı bilgi adresinde bulunabilir Yazılım Gereksinimleri Gerek istatistiksel mdelleme için gerekse de kullanılacak hesaplama ve grafikler açısından pek az istatistiksel yazılımda dğrudan uç değer analizine yönelik bölümler bulunmaktadır. Cles (2001) kitabında kullandığı veri setlerini S-Plus prgramına eklediği fnksiynlar ile analiz etmiştir. Snrasında Birleşik Amerika Ulusal Bilim Vakfı (NSF) bünyesindeki Ulusal Meterljik Araştırma Merkezi (NCAR), gerçekleştirdiği bir prje ile ücretsiz bir istatistiksel yazılım lan R-Prject prgramına ExtRemes adlı bir mdül eklemek suretiyle uç değer analizlerinin uygulanabilmesine lanak sağlamıştır. Mdülün eklendiği R-Prject prgramı tamamen ücretsiz bir istatistiksel yazılım lup istatistiksel hesaplama ve grafik işleme için geliştirilmiş bir dil ve prgramdır. R prgramı içerisinde çalışan ExtRemes mdülü ise UDT nin uygulanmasını sağlamaktadır. Bu mdül, internet adresinden ücretsiz larak temin edilebilmektedir [Gilleland ve Katz, 2005]. Uç değer dağılımlarının yer aldığı bir başka prgram ise EasyFit prgramıdır. R ExtRemes mdülüne göre kullanımı daha klay lan bu prgram gerçekleştirdiği analizler bakımından ExtRemes mdülüne göre daha sınırlıdır. Ancak EasyFit yazılımı özellikle dağılımlara ilişkin grafiklerin elde edilmesinde ve eldeki herhangi bir veri setine dağılım uydurma (fit) knusunda ldukça yetenekli bir prgramdır. EasyFit prgramının dezavantajı prgramın 500$ civarındaki fiyatıdır.

25 10 Yukarıda verilen iki prgramın yanında uç değerlerin mdellenmesi için MATLAB prgramında yer alan İstatistiksel Paket (Statistics Tlbx) da kullanılabilir. Sn larak, Gençay, Selçuk ve Ulugülyağcı (2003) uç değerlerin analizi için EVIM adlı bir yazılım geliştirmişlerdir. Bu çalışmada yer alan analizlerde ve grafiklerin luşturulmasında R ExtRemes mdülü, EasyFit, MATLAB ve Micrsft Excel prgramları kullanılmıştır.

26 11 3. PARAMETRE TAHMİN YÖNTEMLERİ Bu bölümde, blk maksima/minima ile eşik değer yöntemleri tanıtılacaktır. Her yöntem için kullanılan dağılımların özellikleri verilerek tahmin yöntemleri tartışılacaktır. Bağımsız ve aynı dağılıma sahip rasgele değişkenlerin maksimum/minimum istatistiklerinin dağılımlarının yetersiz kaldığı durumlarda limit dağılımlarına bakılır [Karadayı, 2004]. Dlayısıyla maksimum/minimum istatistiklerinin hangi limit dağılımlarına yakınsadığının tespiti halinde parametre tahmininde hangi lasılık dağılımlarının kullanılacağı belirlenebilir. Blk maksima/minima yöntemleri için üç farklı limit dağılım ailesi bulunmaktadır. Bunlar, Gumbel, Fréchet ve Weibull dağılımlarıdır. Bu bölümde Gumbel, Fréchet ve Weibull dağılımları tanıtıldıktan snra, bu üç dağılım ailesini tek bir ailede birleştiren GUD un özellikleri ile tahmin yöntemleri hakkında bilgi verilecektir. Daha snra eşik değer yöntemi için GPD ve tahmin yöntemleri tartışılacaktır. Parametre tahminleri için literatürde, En Çk Olabilirlik Yöntemi (The Maximum Likelihd Methd), Mmentler Yöntemi (The Methd f Mments), Olasılık Ağırlıklı Mmentler Yöntemi (The Prbability-Weighted Mments Methd), Budama Yöntemi (The Truncatin Methd) ve Bayesçi Çıkarsama (Bayesian Inference) gibi birçk yöntem vardır [Cles, 2003; Castill ve ark., 2004]. Her bir yöntemin avantajları ve dezavantajları bulunmaktadır. Bu yöntemlerden en yaygın kullanılanı en çk labilirlik yöntemidir. Parametre tahmin yöntemleri hakkında daha detaylı bilgi Castill ve ark. (2004) den alınabilir. Bu çalışmada daha çk en çk labilirlik yöntemi üzerinde durulacaktır. Ancak, elde edilen tahminlerin karşılaştırılması için uygulama bölümünde mmentler yönteminden de faydalanılacaktır. Ayrıca parametre ve tekrarlama seviyelerinin tahminleri de elde edilerek yrumlanacaktır.

27 Blk Maksima/Minima Yöntemi X rassal değişkeninin her bir periytta 4 gözlemden luşan 3 periyt için aldığı değerler Şekil 3.1 deki gibi lsun. Her periyta ait en büyük gözlemlerin luşturduğu blğa Blk Maksima, her periyta ait en küçük gözlemlerin luşturduğu blğa ise Blk Minima denir. Örneğin, blk genişliği dört birim lan bir veri kümesi ele alınsın. Bu veriye ait çizim Şekil 3.1'de verilmiştir BLOK 1 BLOK 2 BLOK 3 X i Şekil 3.1. Blk Maksima/Minima örneği Buna göre, Şekil 3.1 de görülen X 3, X 5, X 10 gözlemleri blk maksimayı, X, X gözlemleri blk minimayı luşturur. Blk maksima/minima yönteminde 1 X 7, 12 amaç bu tip gözlemlerinin mdellenmesidir. Bu tür analizlerde blk genişliklerinin belirlenmesi önemli bir husustur. Gerekli landan daha geniş blklar luşturmak tahminlerin varyansını arttırmakta, daha dar blklar luşturmak ise tahminlerin yanlılığını arttırmaktadır [Cles, 2001].

28 13 Bu bölümde blk maksima için anlatılan tahmin yöntemlerinin tamamı blk minima yöntemi için de geçerlidir Dağılım özellikleri X rtak lasılık dağılım fnksiynları F lan bağımsız rassal 1, X 2,..., X n değişkenler lsun. Ayrıca, M = max( X, X,...,X ) şeklinde verilsin. Burada n n 1 2 n belli bir periyttaki gözlem sayısını gösterirken, M n, periyttaki maksimum değere karşılık gelir. Örneğin, n bir yıl içindeki gözlem sayısına eşit ise maksimum değeri ifade eder. Bu durumda, M n yıllık P ( M n = )] n z ) = P( X 1 z; X 2 z;...; X n z ) [ F( z (3.1) larak yazılabilir [Cles, 2001 ]. F in dağılımı bilinmediği sürece Eş. 3.1 ile verilen kşullu lasılığın ve dlayısıyla maksimum değerlerin dağılımı belirlenemez. F eldeki veriden yaklaşık larak tahmin edilebilir. Ancak, sadece F de rtaya çıkabilecek ufak sapmalar, nedenle, alternatif bir yöntem F n için çk daha büyük sapmalara neden lur. Bu F z)] n iken [ F ( z)] davranışını incelemektir. n [ ( in dağılım özelliklerini bulmak için n lim[ F( z)] n n 1 F( z) = 1 = 0 F( z) < 1 (3.2) lacağı açıktır. Görüldüğü gibi bu limit dağılımı sadece 1 ve 0 değerini almaktadır. Bu durum bzulma (dejenerelik) durumu larak adlandırılır [Ktz ve Nadarajah, 2000]. Bu durumu önlemek için örneğin, M M b * n n n = (3.3) an

29 14 * gibi bir dğrusal dönüşüm ( M n = anm n + bn ) uygulanabilir. Burada a n > 0 ve b n sabitlerdir. Uygun seçilen a n ve b n, n büyüdükçe M * n in knum ve ölçek parametrelerini dengeler. Böylece M n için F tahmin edilirken karşılaşılan zrluklardan kaçınılmış lur. Bu durumda n snsuza giderken, M n bn P an z G(z) (3.4) şeklindeki * M n gibi bir indirgenmiş maksimum değer için kümülatif dağılım fnksiynu aşağıda gösterilen üç dağılımından birine aittir [Cles, 2001; Ktz ve Nadarajah, 2000; Castill ve ark., 2004 ]. z µ G(z) = exp exp, < z < (3.5) σ 0, G(z) = z µ exp σ ξ, z µ z > µ (3.6) z µ ξ exp, z < µ G(z) = σ (3.7) 1, z µ Burada σ > 0 ve ξ > 0 dır. Yukarıdaki üç dağılım fnksiynu da kümülatif dağılım fnksiynlarıdır. Genel larak Eş. 3.5 Gumbel tipi, Eş. 3.6 Fréchet tipi ve Eş. 3.7 Weibull tipi larak adlandırılmaktadır. Her üç dağılımda da knum ( µ ) ve ölçek parametreleri (σ ) bulunmaktadır. Eş. 3.6 ve Eş. 3.7 de ayrıca şekil parametresi (ξ ) bulunmaktadır.

30 15 Bu üç dağılım ailesi Jenkinsn (1955) tarafından tek bir dağılıma dönüştürülmüştür. Bu dağılım Genelleştirilmiş Uç Değer Dağılımı (GUD) larak adlandırılır ve aşağıdaki gibi ifade edilir. 1 ξ z µ exp 1 + ξ ξ 0 σ G(z) = z µ exp exp ξ = 0 σ (3.8) Burada 0 ξ durumu için { : 1+ ξ ( z µ ) / σ )} > 0 < ξ < şeklinde tanımlıdır. z ve < µ <, σ > 0, Burada, ξ şekil parametresi dağılımın kuyruğunun şeklini belirler. ξ > 0 durumunda kalın kuyruklu bir dağılım lan Fréchet dağılımına, ξ = 0 durumunda rta kuyruklu bir dağılım lan Gumbel dağılımına ve ξ < 0 durumunda ise ince kuyruklu bir dağılım lan Weibull dağılımına karşılık gelmektedir. Şekil 3.2 de bu dağılımlara ait lasılık fnksiynlarının çizimleri verilmiştir.

31 Şekil 3.2. Gumbel, Fréchet ve Weibull dağılımları 16

32 17 Şekil 3.2 de üst satırda yer alan lasılık yğunluk fnksiynlarına ilişkin grafikler GUD dan ilgili knum, ölçek ve şekil parametreleri girilerek, alt satırda yer alan lasılık yğunluk fnksiynlarına ilişkin grafikler ise dğrudan ilgili uç değer dağılımının parametreleri girilerek EasyFit ve MATLAB prgramları ile elde edilmiştir. Burada GUD(1,1,0) ile ifade edilen ve knum parametresi µ = 0, ölçek parametresi σ = 1 ve şekil parametresi ξ = 1 larak gösterilen dağılımın, Fréchet (1,1) ile ifade edilen ve knum parametresi µ = 0, ölçek parametresi σ = 1 ve şekil parametresi ξ = 1 larak gösterilen dağılımla bire bir aynı lduğu görülmektedir. Benzer yrum diğer dağılımlar için de yapılabilmektedir. Blk maksima yönteminde, eldeki verinin üç dağılım ailesinden hangisine uyacağının nasıl belirleneceği önemli bir prblemdir [Cles, 2001]. Bu sebeple verinin GUD a fit edilmesi nktasında öncelikle şekil parametresinin anlamlı lup lmadığı kntrl edilmelidir. Şekil parametresinin anlamsız lması dğrudan Gumbel dağılımına işaret eder. Şekil parametresinin anlamlı çıkması durumunda ise şekil parametresinin pzitif veya negatif lması durumu göz önünde bulundurularak ve tanı grafikleri kullanılarak veriye en uygun dağılım tespit edilir Parametre tahmini En çk labilirlik yöntemi: Z Genelleştirilmiş uç değer dağılımına sahip bağımsız rassal değişkenler 1,Z 2,..., Z m lsun. ξ 0 için Genelleştirilmiş Uç Değer dağılımına ait en çk labilirlik fnksiynu aşağıdaki gibidir. m m 1 z j µ z j µ = = l( µ, σ, ξ ) = mlg σ 1 + lg 1 + ξ 1 + ξ (3.9) ξ j 1 σ j 1 σ 1 ξ burada,

33 18 z j µ 1 + ξ > 0, j = 1,2,..., m (3.10) σ şeklindedir ve z maksimum değerlerin dizisi lup, m periyt sayısını göstermektedir. Ayrıca ξ = 0 durumu için en çk labilirlik fnksiynu aşağıdaki gibidir. m z m j µ z j µ l( µ, σ ) = mlg σ exp (3.11) σ σ = = j 1 j 1 Eş. 3.9 ve Eş deki labilirlik fnksiynlarından elde edilen denklemler analitik larak çözülemediğinden dlayı bu fnksiynların maksimize edilmesi için Nelder- Mead algritması, Gradyent yöntemi gibi bazı nümerik ptimizasyn yöntemleri kullanılmaktadır [Gilleland ve Katz, 2005]. Eş. 3.9 ve Eş deki labilirlik fnksiynları maksimize edilerek genelleştirilmiş uç değer dağılımına ait parametre tahminleri elde edilir. Mmentler yöntemi: Bu yöntemde yığın parametre sayısı kadar yığın mmentinin örnek mmentlerine eşitlenmesi ve rtak çözümüyle parametre tahmini gerçekleştirilir. Parametreleri µ ve σ ve dağılım fnksiynu Gumbel lan bir yığından X rasgele bir örnek seçilsin. Bilinmeyen yığın parametreleri için 1,X 2,..., X n E ( x ) = 0, 57772σ + µ (3.12) ve

34 π Var ( x) = σ ( ) (3.13) 6 lduğunu göstermiştir [Reiss ve Thmas, 1997]. Gumbel dağılımı için iki adet yığın parametresi bulunduğundan parametre tahmininde yığın parametrelerini örnek rtalaması ve varyansına eşitlemek yeterlidir. Bu durumda, x = 0, ˆ σ + ˆ µ (3.14) ve S 2 2 π 2 = ˆ σ ( ) (3.15) 6 larak yazılabilir. O halde, S 6 ˆ σ = π (3.16) ˆ µ = x 0, ˆ σ (3.17) şeklinde belirlenir [Reiss ve Thmas, 1997] Olabilirlik ran testi ve sapma fnksiynu Mdel seçimi hususunda, eldeki verinin iki parametreli bir dağılıma mı yksa üç parametreli bir dağılıma mı uydurulmasının daha uygun lduğunun belirlenmesi, ya da başka bir deyişle eldeki veri için Gumbel dağılımının uygun bir dağılım lup lmadığının tespiti amacıyla labilirlik ran test istatistiği kullanılır. Olabilirlik ran test istatistiği ( D ) aşağıdaki biçimde ifade edilir. { ( M ) ( )} D = (3.18) M 0

35 20 Burada, M 1 alternatif mdeli (alternative mdel) M 0 ise test edilecek mdeli (null mdel) göstermektedir. Dlayısıyla M ) ve M ) sırasıyla alternatif mdel ve ( 1 ( 0 test edilecek mdel için en çk labilirlik fnksiynlarının aldığı değerlerdir. k, M 0 mdelindeki parametre sayısı ile M 1 mdelindeki parametre sayısı arasındaki fark lmak üzere, 2 D < χ k k > 0 (3.19) lması durumunda veri için M 1 mdeli, aksi durumda M 0 mdeli daha uygun bir mdeldir [Cles, 2001]. Parametreler için güven aralıklarının luşturulmasında da labilirlik ranından yararlanılır. Bunun için sapma fnksiynu D( θ ), { ( ˆ θ ) ( )} D( θ ) = 2 0 θ (3.20) larak tanımlanır. Burada (θ ), θ parametre vektörü ile maksimize edilen labilirlik fnksiynu, ( ˆ θ 0 ) parametre tahminlerinden luşan 0 ˆθ vektörü ile maksimize edilen labilirlik fnksiynunu göstermektedir. d, 0 ˆθ vektöründeki parametre sayısını gösternek üzere, D( θ χ (3.21) 0 ) ~ 2 d şeklindedir. O halde, θ 0 için ( 1 α ) güven düzeyi, C α { θ : D( θ ) c } = (3.22) α

36 21 eşitliği ile ifade edilir. Burada c α, 2001]. χ dağılımı ile ( 1 α ) güven düzeyidir [Cles, 2 d Tekrarlama seviyesi ve tekrarlama periydu UDT kullanılırken sık duyulan kavramlardan biri de, araştırmaların en önemli amaçlarından birini luşturan, araştırma knusu layın bir snraki meydana geliş zamanı veya aynı şekilde herhangi bir yıl için layın gerçekleşme lasılığıdır. Ayrıca, belirli bir seviye için layın tekrar gerçekleşme süresi rtalama larak hesaplanmak istenebilir. Belirtilen bütün bu değerlerin tahmin edilmesinde tekrarlama düzeyi (seviyesi) ve tekrarlama periydu kavramları kullanılır. M n, bir yılda gözlenen en büyük değer lsun. lasılığı, M n in bir z eşik değerini aşması P( M n > z ) = 1 F( z ) = p (3.23) lacaktır. t, lay için belirlenen eşik değer aşılana kadar geçen periyt sayısı lsun. p : O yıl için belirlenen eşik değerin (z) aşılması lasılığı ( 1 p ) : O yıl için belirlenen eşik değerin (z) aşılmaması lasılığı lmak üzere, P(T = t ) = ( 1 p ) t 1 p t = 1, 2,... (3.24) yazılabilir. Burada t gemetrik dağılıma sahip bir rasgele değişken lur. Bu rasgele değişkenin beklenen değeri, 1 E(T ) = (3.25) p

37 22 lacaktır. Ayrıca, Eş den, 1 E (T ) = = T 1 F( z ) (3.26) lur. Burada T tekrarlama periydudur. Yani, rtalama T yılda bir defa z den büyük M lacaktır. Eş da F ( z ) yalnız bırakılırsa, n F( z ) T 1 = (3.27) T lacağı açıktır. Sn larak, Eş 3.8 ile verilen Genelleştirilmiş Uç Değer dağılımından aşağıdaki denklem elde edilir. z T σ T 1 µ 1 lg( ) ξ T = T 1 µ σ lg lg( ) T ξ, ξ 0 ξ = 0, (3.28) benzer şekilde, z p σ µ = ξ µ σ lg ξ [ 1 { lg( 1 p )} ], ξ 0 { lg( 1 p )} ξ = 0, (3.29) larak da ifade edilebilir. Burada G( z p ) = 1 p lup genel terminljide z p, 1 / p tekrarlama periyduna ilişkin tekrarlama seviyesi (Return Level) larak adlandırılır. Tekrarlama seviyesi ( z p ), rtalama larak her 1 / p yılda gelmesi beklenen maksimum değerdir. Daha önemlisi ise verilen herhangi bir yıl için z p nin yıllık maksimum tarafından aşılması lasılığı p kadardır [Cles, 2001]. Bir başka

38 23 ifadeyle, tekrarlama periydu (Return Perid), X rassal değişkeninin belirlenen bir değere (tekrarlama seviyesi) eşit ve daha büyük bir değer elde edebilmek için gerekli rtalama gözlem sayısıdır [Yegülalp ve Wane, 1961]. Eş da = lg( 1 p ) larak tanımlanırsa, y p z p ξ [ 1 y p ], σ µ = ξ µ σ lg y p, ξ 0 ξ = 0, (3.30) şeklinde de ifade edilebilir. lg y p değerlerine karşı z p değerlerinin grafiği tekrarlama seviyesi grafiği larak adlandırılır. Bu grafik, mdel sunumu ve mdel geçerliliğini srgulamada sıklıkla kullanılır. GUD için tekrarlama seviyesine ait en çk labilirlik tahmini ise, 0 < p < 1 kşuluyla aşağıdaki gibi yazılabilir. ξ [ 1 y ], ˆ σ ˆ µ ˆ p ξ 0 ẑ = ˆ ξ p (3.31) ˆ µ ˆ σ lg y, ˆ p ξ = 0 ( ˆ µ, ˆ, σ ˆ ξ ) nin varyans-kvaryans matrisi V lmak üzere, ẑ p nin delta metdu kullanılarak hesaplanan varyansı ise aşağıdaki gibidir. Var( ẑ p ) = z V z (3.32) T p p Burada,

39 24 z T p z p z p z p =,, µ σ ξ = -1 ξ ξ 1 ξ [ 1,-ξ ( 1 y ), σξ ( y ), σξ y lg y ] 2 1 p p p p (3.33) Genellikle uygulamada p nin küçük değerlerine karşılık gelen uzun dönem tekrarlama periytları ile ilgilenilir. Özellikle uzun vadeli tekrarlama periytları için ilk etapta yapılan ençk labilirlik tahminleri iyi snuçlar vermeyebilir. Bu tür durumlarda, daha başarılı tahminler için uygun Prfil Olabilirlik (Prfile Likelihd) Fnksiynu kullanılmalıdır. µ, σ ve ξ parametrelerinden herhangi birinin Prfil Olabilirlik Yöntemi ile tahmini ldukça basittir. Örneğin biçim parametresi ξ için labilirlik tahminini elde etmek amacıyla ilk larak ξ = ξ0 lacak şekilde sabit bir sayı alınır ve Eş. 3.9 da yerine yazılır. Geriye kalan µ, σ parametreleri için fnksiyn maksimize edilir. Bu işlem ξ 0 ın farklı değerlerinden luşan bir kümesi için tekrar edilir. Benzer şekilde maksimize edilmiş lg-labilirlik fnksiynunun değerleri ξ için biçim lglabilirlik tahminlerini luşturur. Bu şekilde ξ için bir güven aralığı luşturulması sağlanır Eşik Değer Yöntemi Blk maksima/minima yöntemi kullanarak sadece blklara ilişkin maksimum değerleri mdellemekle, özellikle bir periytta birden fazla uç layın gerçekleştiği durumlarda veri setinin geriye kalan büyük bir kısmı ihmal edildiğinden veri ve bilgi kaybı sözknusu labilmektedir. Bu tür durumlar için kullanılabilecek yöntemlerden birisi eşik değer yöntemidir. X rassal değişkeninin aldığı değerler, Şekil 3.3 deki gibi lsun. Bu yöntemde veri seti tek bir periyt gibi değerlendirilir ve önceden belirlenen eşik değerini aşan

40 25 gözlemler dikkate alınır. Örneğin, eşik değerin 30 lduğu bir çalışma için değişken değerleri Şekil 3.3 deki gibi lsun X i Şekil 3.3. Eşik değer yöntemi - örnek Şekil 3.3 de X 3,X 5,X 7,X 10, X 12 gözlemleri belirlenen eşik değeri aşmaktadır. Dlayısıyla eşik değer yönteminde amaç bu gözlemleri mdellemektir. Bununla birlikte, eşik değer seçimi ldukça önemli bir husustur. Çk düşük bir eşik değer seçmek parametre tahminlerinin yanlılığını artırırken, çk yüksek bir eşik değer seçmek ise parametre tahminlerinin varyansını arttırabilir [Cles, 2001]. Bu çalışmada eşik değerin seçimine ilişkin ayrıntılara girilmemiştir. Ayrıntılı bilgi için Cles (2001), Davisn (2009) bakılabilir Dağılım özellikleri X bağımsız ve aynı dağılımlı rassal değişkenler lsun ve marjinal 1,X 2,..., X n dağılım fnksiynları F ile gösterilsin. Burada, X i ler, eşik değer u yu aşan uç laylar lsun ve X i, X serisinde keyfi bir dönemi ifade etsin. Bu durumda uç layların stkastik davranışı aşağıdaki kşullu lasılık gibidir [Cles, 2001].

41 26 1 F( u + y ) P > 1 F( u ) { X > u + y X > u} =, y 0 (3.34) Burada, F in dağılımının bilinmesi durumunda Eş ile verilen kşullu lasılığa ve dlayısıyla eşiği aşan değerlerin dağılımına da ulaşılabilir. Bu nedenle, Eş ile verilen kşullu lasılık için blk maksima yönteminde lduğu gibi yaklaşık bir dağılım bulunabilir. Eş. 3.4 te µ, σ, ξ için { M z} G( z ) P n = (3.35) biçiminde verilmişti. Burada, 1 z µ ξ G ( z ) = exp 1 + ξ (3.36) σ şeklindedir. Yeterince büyük u için, X > u lmak kşuluyla ( X u ) nın dağılım fnksiynu aşağıdaki gibidir [Ktz ve Nadarajah, 2000 ]. y ξ ~, H( y ) = σ y 1 exp( ~ ), σ 1 ξ ξ 0 ξ = 0 (3.37) y burada, y > 0, 1 + ξ ~ > 0 ve σ ~ σ = σ + ξ( u µ ) (3.38) şeklindedir.

42 27 Eş ile tanımlanan dağılım ailesi Genelleştirilmiş Paret Dağılımı (GPD) larak adlandırılır [Pickands, 1975]. Şekil 3.4 de örnek lasılık yğunluk fnksiynlarına ait bir grafik yer almaktadır. Şekil 3.4. Paret dağılımına ait lasılık yğunluk fnksiynu Şekil 3.4 de şekil parametresinin (ξ ) farklı değerleri için knum parametresi ( µ = 0 ), ölçek parametresi ( σ = 1) lan üç GPD yer almaktadır. Mavi çizgi ile gösterilen dağılımda şekil parametresi ( ξ = 0, 25 ), yeşil çizgi ile gösterilen dağılımda şekil parametresi ( ξ = 0 ), kırmızı çizgi ile gösterilen dağılımda şekil parametresi ( ξ = 1) larak alınmıştır Parametre Tahmini Uygun bir eşik değer belirlendikten snra Genelleştirilmiş Paret Dağılımının parametreleri en çk labilirlik yöntemi ile tahmin edilebilir. y eşik değer 1, y2,..., yk u yu aşan k değer lsun. ξ 0 için lg-labilirlik fnksiynu Eş daki gibidir. y i k 1 l( σ, ξ ) = k lg σ ( 1 + ) lg 1 + ξ (3.39) ξ i= 1 σ

43 28 burada, y 1 + ξ i > 0, i = 1, 2,, k (3.40) σ Ayrıca ξ = 0 durumu için en çk labilirlik fnksiynu Eş deki gibidir. l( k 1 σ ) = k lgσ σ y i (3.41) i= 1 Eş ve 3.41 in her ikisi de analitik larak maksimize edilemez. Bu yüzden fnksiynların maksimize edilmesi için Nelder-Mead, Gradyent, Benzetimli Tavlama gibi bazı nümerik ptimizasyn yöntemleri kullanılabilmektedir [Gilleland ve Katz, 2005] Tekrarlama seviyesi ve tekrarlama periydu Bir önceki bölümde de belirtildiği gibi uç değer mdellerinde daha geçerli lan parametre tahminlerinden ziyade tekrarlama düzeyleri gibi nicelikleri hesaplamaktır. Bir X değişkeni tarafından eşik değer u yu aşan gözlemler için parametreleri σ ve ξ lan GPD uygun bir mdel larak kabul edilsin ( x > u ). O halde, P x u ξ > = 1 + ξ, σ (3.42) { X x X > u} 1 için ς u = P( X > u ) ise, x m rtalama her m gözlemde aşılma seviyesi, 1 ξ x m u 1 ς u 1 + ξ = (3.43) σ m

44 29 lur. Buradan ξ [( mς ) 1] σ x m = u + u ξ 0 (3.44) ξ ve x m = u + σ lg( mς ) ξ = 0 (3.45) u yazılır. x m, m gözlem tekrarlama seviyesidir. Eş ve Eş için, x m in m ile lgaritmik ölçekteki grafikleri GUD mdeline bağlı tekrarlama seviyesi grafikleriyle aynı niteliksel snuçları verir. Bu grafiklerde de, ξ = 0 durumunda tekrarlama seviyesi çizgisi dğrusal, ξ > 0 durumunda tekrarlama seviyesi çizgisi knkav ve ξ < 0 durumunda tekrarlama seviyesi çizgisi knvekstir. Bu durumu görmek için R ExtRemes mdülünde ξ = 0, 5, ξ = 0, ξ = 0, 5 lacak şekilde üç adet n = 100 birimlik örneklem simülasyn yluyla üretilmiştir. Bu örneklere ilişkin tanı grafiklerinden alınan tekrarlama seviyeleri grafikleri Şekil 3.5 de yer almaktadır.

45 30 Şekil 3.5. Farklı şekil parametreleri için tekrarlama seviyesi grafikleri Şekil 3.5 de en üstte yer alan tekrarlama seviyesi grafiğinde şekil parametresi ξ = 0,5 larak alınmıştır. Görüldüğü gibi bu grafikte rtada yer alan eğri knkav biçimdedir. Ortada yer alan tekrarlama seviyesi grafiğinde şekil parametresi ξ = 0 larak alınmıştır. Görüldüğü gibi bu grafikte rtada yer alan eğri dğrusala yakın biçimdedir. En altta yer alan tekrarlama seviyesi grafiğinde ise şekil parametresi ξ = 0,5 larak alınmıştır. Bu grafikte rtada yer alan eğri knveks biçimdedir.

46 31 Sunum açısından tekrarlama seviyelerini çğu zaman yıl ölçeğinde vermek daha uygundur [Cles, 2001]. Bu yüzden m gözlem tekrarlama seviyesi yerine N yıl tekrarlama seviyesi daha çk tercih edilir. N yıl tekrarlama seviyesi, her N yılda bir aşılması beklenen seviyedir. Bu durumda her yıl için n y gözlem varsa m gözlem tekrar sayısı m = N n lacağından N yıl tekrarlama seviyesi aşağıdaki gibi y tanımlanır. ξ [( ς ) 1] σ z N = u + Nn y u ξ 0 (3.46) ξ ve z N = u + σ lg( Nn ς ) ξ = 0 (3.47) y u v i,j, σˆ ve ξˆ nin varyans kvaryans matrisinin elemanlarını ifade etsin. Bu durumda ( ς, ˆ σ, ˆ ξ ) nin varyans-kvaryans matrisi, ˆ u V ˆ ς u( 1 ˆ ς u ) / n = 0 0 v v 0 1, 1 2, 1 0 v1, 2 v 2, 2 (3.48) lmak üzere, xˆ m nin varyansı aşağıdaki gibidir. Var( xˆ m T ) x V x, (3.49) m m Burada, x T m xm = ς u = xm xm,, σ ξ ξ ξ 1-1 ξ 2 ξ 1 ξ [ σm ( ς ),ξ {( mς ) 1}, σξ {( mς ) 1} + σξ ( mς ) lg( mς )], u u u u u (3.50)

47 32 4. UYGULAMA Bu çalışmada kullanılan veri seti, Elektrik İşleri Etüt İdaresi Genel Müdürlüğünün Türkiye geneli hidrljik çalışmalar için sınıflandırdığı 25 ana akarsu havzasından Müteferrik Orta Akdeniz Suları Havzası nda yer alan Manavgat Çayı Sinanhca AGİ ve Manavgat-1 Regülatör Bölgesi AGİ yılları arası maksimum akış (debi) değerlerinden (m 3 /sn) luşmaktadır. Dlayısıyla her bir yıl, bir periydu luşturmaktadır. Kullanılan veri kümeleri Ek-1 de yer almaktadır. Uygulama bölümünün ilk altbölümünde tanımlayıcı istatistikler ve tanı grafikleri verilmiştir. İkinci altbölümde R ExtRemes mdülü ve en çk labilirlik yöntemi, üçüncü altbölümde ise Micrsft Excel 2007 prgramı ve mmentler yöntemi kullanılarak değerlendirmeler yapılmıştır. Sn alt bölümde ise iki parametre tahmin yöntemi karşılaştırılmıştır Tanımlayıcı İstatistikler ve Tanı Grafikleri Bu altbölümde tanımlayıcı istatistikler ve zamana bağlı grafikler verilerek veri yapısı incelenmiştir. Bu incelemenin amacı verinin tkrelasyn, durağanlık v.b. varsayımları sağlayıp sağlamadığını kntrl etmektir. Bu kntrller yapıldıktan snra, uç değer analizinde verilerin incelenmesinde yaygın larak kullanılan Q-Q, P-P, tekrarlama seviyesi ve yğunluk grafiği gibi tanı grafikleri de verilerek yrumlanmıştır. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ veri kümeleri için R ExtRemes mdülü ile en çk labilirlik yöntemi kullanılarak parametre tahminleri yapılmış, uygun uç değer dağılımları bulunması nktasında tanı grafiklerinden faydalanılmıştır. Ayrıca, parametre tahminleri kullanılarak her iki AGİ için de tekrarlama seviyeleri hesaplanmıştır. Hesaplanan tekrarlama seviyelerine ilişkin grafikler ve yrumları da bu alt bölümde yer almaktadır.

48 33 Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ veri kümelerine ilişkin tanımlayıcı istatistikler Çizelge 4.1 de yer almaktadır. Burada yer alan değişkenler; Manavgat-1, Manavgat- 1 AGİ için sene içinde kaydedilmiş maksimum debi; Sinanhca, Sinanhca AGİ için sene içinde kaydedilmiş maksimum debi şeklindedir. Çizelge 4.1 de ayrıca veri kümelerine ilişkin gözlem sayıları ve her iki veri kümesi için rtalamalar, standart sapmalar, gözlem dönemi byunca rtaya çıkan yıllık maksimum değerlerin minimum/maksimum değerleri ve medyanları yer almaktadır. Çizelge 4.1. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ için maksimum debi (m 3 /sn) değerlerine ait tanımlayıcı istatistikler tablsu Manavgat-1 Sinanhca N Ortalama 74, ,1 Standart Sapma 37,81 167,92 Minimum Medyan Maksimum Çizelge 4.1 de görüleceği gibi rtalama maksimum debi Manavgat-1 AGİ için 74, 775 m 3 /sn; Sinanhca AGİ için 447, 1 m 3 /sn dir. Ayrıca gözlem dönemi byunca Manavgat-1 AGİ için gözlenmiş maksimum debi 155 m 3 /sn; Sinanhca AGİ için ise 754 m 3 /sn dir. Manavgat-1 ve Sinanhca AGİ ları için gözlem dönemi byunca maksimum debi değerleri sırasıyla Şekil 4.1 ve Şekil 4.2 de yer almaktadır.

49 YIL M1 Şekil 4.1. Maksimum debiler (m 3 /sn) Manavgat-1 AGİ ( ) YIL S Şekil 4.2. Maksimum debiler (m 3 /sn) Sinanhca AGİ ( ) Grafiklerden de görüldüğü gibi maksimum debi değerleri ile gözlem yılları arasında dğrusal bir ilişki yktur.

50 35 Gözlem değerlerinin zaman byunca bir trend içerip içermediği hususu önemlidir. Eğer zaman içerisinde bir trend sözknusu ise tahminlerde trend içeren mdellerin kullanılması gerekir [Castill ve ark., 2004]. Gözlemlerin trend bakımından durağanlık durumunu incelemek için luşturulan grafiklerse Şekil 4.3 ve Şekil 4.4 de yer almaktadır. Maksimum Debi Yıl Şekil 4.3. Manavgat-1 AGİ yıllık maksimum debiler (m 3 /sn) Maksimum Debi Yıl Şekil 4.4. Sinanhca AGİ yıllık maksimum debiler (m 3 /sn)

51 36 Şekil 4.3 ve Şekil 4.4 e göre her iki veri kümesi için de gözlem dönemi byunca rtalama değerde durağanlık söz knusu lduğu yani veri kümelerinde trend lmadığı söylenebilir. Ancak yine de kesin bir kanaate varmak için her iki AGİ ye ilişkin veriye de E-views prgramında Birim Kök Testi ne tabi tutulmuştur. Testler snucunda da her iki AGİ ye ilişkin veri kümesinde de trend lmadığı tespit edilmiştir. Bu testlere ilişkin bilgisayar çıktıları EK-9 da yer almaktadır. Çalışılan veri kümelerinde trend lması durumunda da R ExtRemes prgramı trendli mdellemelere imkan sağlamaktadır. Eldeki verinin Genelleştirilmiş Uç Değer Dağılımına uyguluğunun testi nktasında dağılıma ilişkin özellikleri net larak görebilmek için öncelikle tanı grafikleri kullanılır. Tanı grafiklerinden P-P (Prbability Plt) ve Q-Q (Quantile Plt) grafikleri verinin üstel dağılım ailesinden gelip gelmediğini kntrl etmek için kullanılır. ~ Exp( a) lmak üzere P-P grafiği T i i {( i /( n + 1 ), 1 e );i,...,n } t = 1 (4.1) ikili değerlerini içerecek şekilde çizilirken, Q-Q grafiği, {( lg( 1 i /( n + 1)),ti );i = 1,...,n } (4.2) ikili değerlerini dikkate alarak çizilir. Eğer veri üstel dağılım ailesinden geliyrsa nktaların düz bir çizgi etrafında çizgiye yakın bir şekilde dağılması beklenir [Cles, 2001]. Tekrarlama Seviyesi Grafiği ise tekrarlama periytlarının tekrarlama seviyeleri karşısındaki davranışını % 95 güven aralığı içerisinde göstermektedir. Tekrarlama seviyesi, rtalama her m yılda bir tekrarlanması beklenen seviyedir. Bu grafikte

52 37 rtada yer alan çizgi her bir tekrarlama periydu için rtalama tekrarlama seviyesini gösterir. Bu çizgi aynı zamanda verinin dağılımı hakkında da bilgi verir. Bu çizginin knkav bir yapıda lması Fréchet, knveks yapıda lması Weibull ve düz bir çizgiye yakın lması ise Gumbel dağılımına işaret eder. Sn larak, Yğunluk Grafikleri (Density Plt) ise fit edilen (veri kümesinin uydurulduğu) mdelin lasılık yğunluk fnksiynu ile veri kümeine ilişkin histgramı karşılaştırmaya yarayan grafiklerdir. Ancak, histgram seçimindeki aralıkların seçimden seçime değişebilmesinden dlayı daha az bilgi vericidirler [Cles, 2001]. Manavgat-1 AGİ için elde edilen tanı grafikleri Şekil-4.3 de yer almaktadır. Prbability Plt Quantile Plt Mdel Empirical Empirical Mdel Return Level Plt Density Plt Return Level f(z) Return Perid z Şekil 4.5. Manavgat-1 AGİ Tanı Grafikleri

53 38 Üst kısımda yer alan P-P ve Q-Q grafiklerinden görüldüğü gibi nktaların rtadaki çizgi etrafında dağılması Manavgat-1 AGİ ye ilişkin verilerin üstel dağılım ailesinden geldiğine işaret etmektedir. Sl altta yer alan tekrarlama seviyesi grafiğinde rtada yer alan çizginin dğrusala yakın bir yapıda lması ve sağ altta yer alan yğunluk grafiğindeki lasılık yğunluk fnksiynunun şekli eldeki verinin Gumbel dağılımına büyük ölçüde uyduğunu göstermektedir. Yğunluk grafiğinde veriye ilişkin histgram da aynı şekilde fit edilen (uydurulan) mdelin lasılık yğunluk fnksiynu ile büyük ölçüde örtüşmektedir. Sinanhca AGİ için elde edilen tanı grafikleri ise Şekil-4.4 de yer almaktadır. Prbability Plt Quantile Plt Mdel Empirical Empirical Mdel Return Level Plt Density Plt Return Level f(z) Return Perid z Şekil 4.6. Sinanhca AGİ Tanı Grafikleri

54 39 Sinanhca AGİ de ise yine P-P ve Q-Q grafikleri verilerin üstel dağılım ailesinden geldiğine işaret etmektedir. Sl altta yer alan tekrarlama seviyesi grafiğinde rtada yer alan çizginin hafif bir knvekslik lmakla birlikte dğrusala yakın bir yapıda lması Gumbel dağılımına uyumu göstermektedir. Sağ altta yer alan yğunluk grafiğindeki lasılık yğunluk fnksiynunun şekli eldeki verinin Gumbel dağılımına uyduğunu göstermektedir En Çk Olabilirlik Yöntemi Bu alt bölümde Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ veri kümeleri için R ExtRemes mdülü ile en çk labilirlik yöntemi kullanılarak parametre tahminleri yapılmıştır. Uygun uç değer dağılımları bulunması nktasında labilirlik ran testinden faydalanılmıştır. Ayrıca, parametre tahminleri kullanılarak her iki AGİ için de tekrarlama seviyeleri hesaplanmıştır. Hesaplanan tekrarlama seviyelerine ilişkin grafikler ve yrumları da bu alt bölümde yer almaktadır. Tanı grafiklerinden her iki AGİ için de verilerin Gumbel dağılıma uyduğu görülmektedir. Ancak hangi Gumbel dağılımın yani hangi knum ve ölçek parametrelerine sahip dağılımın eldeki veriyi fit ettiğini tespit etmek için parametre tahminleri gerçekleştirilmelidir. Bu anlamda, ilk larak H : ξ 0 hiptezi ile maksimum debi değerlerinin 0 = luşturduğu dağılımın kuramsal larak Gumbel tip dağılıma uygunluğu test edilmelidir. Manavgat-1 AGİ için elde edilen mdel çıktıları Çizelge 4.2 de yer almaktadır.

55 40 Çizelge 4.2. Manavgat-1 AGİ parametre tahminleri Olabilirlik ran testi için p-değeri 0,509 En çk labilirlik Stand. Hata µˆ 55,85 5,18 σˆ 27,21 4,07 ξˆ 0,11 0,17 Negatif lg-labilirlik : Varyans-Kvaryans Matrisi 26, , 0, , 16, 53 0, 27 0, 41 0, 27 0, 03 Çizelge 4.2 de görüldüğü gibi Manavgat-1 AGİ debi değerleri için, p = 0, 509 > 0, 05 lduğundan H 0 reddedilememiştir. Dlayısıyla Manavgat-1 debi değerlerinin Gumbel dağılımına uyduğu %95 güven düzeyinde söylenebilir. Manavgat-1 AGİ için GUD knum parametresinin tahmini ˆ µ = 55, 85 m 3 /sn ve ölçek parametresinin tahmini ˆ σ = 27, 2 m 3 /sn larak elde edilmiştir. Çizelgede ayrıca bu tahminlere ilişkin standart hatalar da yer almaktadır. Bu tahminler için negatif en çk labilirlik değeri 198,05 larak elde edilmiştir. Ayrıca parametrelere ilişkin varyanskvaryans matrisinin ana köşegeni üzerinde yer alan değerlerin karekökleri de parametre tahminlerine ilişkin standart hata değerlerine karşılık gelmektedir. Snuç larak, incelenen dönemde Manavgat-1 debi verisi için maksimum debi seviyesinin rtalama 55,85 m 3 /sn düzeyinde lduğu ve maksimum debi değerlerinin 27, 2 m 3 /sn lik bir standart sapma ile rtalama etrafında tplandığı söylenebilir. Şekil parametresinin istatistiki larak anlamsız lması, eldeki veri setinin üç asimpttik dağılımdan Gumbel dağılımına uygun lduğunu göstermektedir. Sinanhca AGİ için elde edilen mdel çıktıları ise Çizelge 4.3 de yer almaktadır.

56 41 Çizelge 4.3. Sinanhca AGİ parametre tahminleri Olabilirlik ran testi için p-değeri 0,257 En çk labilirlik Stand. Hata µˆ 384,17 30,03 σˆ 155,53 23,41 ξˆ -0,23 0,19 Negatif lg-labilirlik : Varyans-Kvaryans Matrisi 90153, 217, 54 3, , , 07 3, 07 3, 07 3, 07 0, 03 Görüldüğü gibi, p = 0, 257 > 0, 05 lduğu için H 0 reddedilememiştir. Dlayısıyla verinin Gumbel dağılımına uyduğu %95 güven düzeyinde söylenebilir. GUD için knum parametresinin tahmini ˆ µ = 384, 17 m 3 /sn, ölçek parametresinin tahmini ˆ σ = 155, 53 m 3 /sn larak elde edilmiştir. Çizelge 4.3 de ayrıca bu tahminlere ilişkin standart hatalar da yer almaktadır. Bu tahminler için negatif en çk labilirlik değeri 260,40 larak elde edilmiştir. Parametrelere ilişkin varyans-kvaryans matrisinin ana köşegeni üzerinde yer alan değerlerin karekökleri de parametre tahminlerine ait standart hata değerlerini göstermektedir. Snuç larak, incelenen dönemde Sinanhca debi verisi için maksimum debi seviyesinin rtalama 384,17 m 3 /sn düzeyinde lduğu ve maksimum debi değerlerinin 155,53 m 3 /sn lik bir standart sapma ile rtalama etrafında tplandığı söylenebilir. Şekil parametresinin istatistiki larak anlamsız lması, eldeki veri setinin üç asimpttik dağılımdan Gumbel dağılımına uygun lduğunu göstermektedir.

57 42 Manavgat-1 AGİ için 50 yıl tekrarlama seviyesi ve güven aralıkları aşağıdaki gibi elde edilmiştir. Verilerin dağılımı Gumbel dağılımına uyduğundan şekil parametresi için güven aralıkları hesaplanmamıştır. Çizelge 4.4. Manavgat-1 AGİ 50 yıl tekrarlama seviyesi tablsu Tekrarlama Seviyesi Güven Aralığı Alt Sınırı Güven Aralığı Üst Sınırı 189,21 140,57 318,31 Çizelge 4.4 den de görüldüğü üzere 50-yıl tekrarlama seviyesi 189, 21 m 3 /sn ve bu tahmin için %95 lik güven aralıkları da ( 140 ; 318 ) larak tahmin edilmiştir. Yani rtalama larak her 50 yılda bir kez Manavgat-1 AGİ ye 189, 21 m 3 /sn akış gelmesi beklenir. Başka bir ifadeyle herhangi bir yıl için 189, 21 m 3 /sn akış gelme lasılığı ( 1 / 50 ) = 0, 02 dir. 50 yıl tekrarlama seviyesi için prfil labilirlik grafiği aşağıdaki gibidir. Şekil 4.7. Manavgat-1 AGİ 50 yıl tekrarlama seviyesi için prfil labilirlik grafiği

58 43 Şekil 4.7 de yer alan eğri prfil labilirlik fnksiynunun aldığı değerleri göstermektedir. Tekrarlama seviyesinin 189 lduğu yerde prfil labilirlik fnksiynunun aldığı değerinin maksimum seviyeye ulaştığı açıkca görülmektedir. Kesikli çizgiler ise 50 yıl tekrarlama seviyesine ilişkin tahmin değerinin güven aralığının alt ve üst sınırlarını göstermektedir. Gumbel dağılımı simetrik bir dağılım lmadığından tekrarlama seviyesine ilişkin luşturulan güven aralıkları da simetrik lmayan bir yapıdadır. Prfil labilirlik yöntemi ile güven aralıkları luşturmak için, Eş da µ yalnız bırakılarak, µ nün z p ye bağlı bir fnksiynu elde edilir. Bu fnksiyn, labilirlik fnksiynunda yerine yazılarak, GUD mdeli luşturulur. Ardından Bölüm de ifade edilen şekilde z p için güven aralığı elde edilir. Aynı şekilde, Sinanhca AGİ için 50 yıl tekrarlama seviyesi ve güven aralıkları aşağıdaki gibi elde edilmiştir. Çizelge 4.5. Sinanhca AGİ 50 yıl tekrarlama seviyesi tablsu Tekrarlama Seviyesi Güven Aralığı Alt Sınırı Güven Aralığı Üst Sınırı 788,15 700, ,03 Çizelge 4.5 den de görüldüğü üzere 50-yıl tekrarlama seviyesi 788, 15 m 3 /sn ve bu tahmin için %95 lik güven aralıkları da ( 700 ; 1035 ) larak tahmin edilmiştir. Yani rtalama larak her 50 yılda bir kez Sinanhca AGİ ye 788, 15 m 3 /sn akış gelmesi beklenir. Başka bir ifadeyle herhangi bir yıl için 788, 15 m 3 /sn akış gelme lasılığı ( 1 / 50 ) = 0, 02 kadardır. 50 yıl tekrarlama seviyesi için prfil labilirlik grafiği aşağıdaki gibidir.

59 44 Şekil 4.8. Sinanhca AGİ 50 yıl tekrarlama seviyesi için prfil labilirlik grafiği Buna göre, tekrarlama seviyesinin 788 lduğu yerde prfil labilirlik fnksiynunun aldığı değerinin maksimum seviyeye ulaştığı açıkca görülmektedir. Ayrıca, tekrarlama seviyesi için güven aralığının alt sınırının 700, üst sınırının 1035 lduğu görülmektedir. Çizelge 4.6. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ için çeşitli tekrarlama seviyeleri Manavgat-1 AGİ Sinanhca AGİ Tekrarlama Tekrarlama Tekrarlama Alt Sınır Üst Sınır Periydu Seviyesi Seviyesi Alt Sınır Üst Sınır 3 81,71 68,63 97,63 511,22 446,90 577, ,55 103,95 168,95 658,78 594,05 769, ,64 126,45 243,91 738,85 664,93 914, ,21 140,57 318,31 788,15 700, , ,90 152,24 409,86 829,96 723, ,99 Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ ye ilişkin çeşitli tekrarlama periytlarını ve tekrarlama seviyelerini gösterir şekiller sırasıyla Şekil 4.9 ve Şekil 4.10 da yer almaktadır.

60 Tekrarlama Seviyesi Tekrarlama Periytu Şekil 4.9. Manavgat-1 AGİ tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil 4.9 da x ekseni yılları, y ekseni m 3 /sn cinsinden akış miktarlarını göstermektedir. Ortadaki çizgi tekrarlama periytları ve nlara karşılık gelen tekrarlama seviyelerini, kesikli çizgiler ise tekrarlama seviyelerinin üst ve alt güven sınırlarını göstermektedir. Tekrarlama periytu arttıkça, güven aralığının asimetrik bir biçimde genişlediği görülmektedir. Bu asimetrik genişleme prfil lg-labilirlik fnksiynu kullanımından ve ilerleyen tekrarlama periytlarının daha az bilgi sağlayacı lmasından kaynaklanmaktadır. Grafikten de görüldüğü gibi rtalama larak her 100 yılda bir kez Manavgat-1 AGİ ye 219, 90 m 3 /sn akış gelmesi beklenir. Yani herhangi bir yıl için Manavgat-1 AGİ ye 219, 90 m 3 /sn akış gelmesi lasılığı ( 1 / 100 ) = 0, 01 kadardır. Bir başka örnek larak, herhangi bir yılda Manavgat-1 AGİ ye m 3 /sn akış gelmesi lasılığı ( 1 / 3) = 0, 33 kadardır. Yani rtalama larak her 3 yılda bir kez Manavgat-1 AGİ ye 81, 71 m 3 /sn akış gelmesi beklenir.

61 Tekrarlama Seviyesi Tekrarlama Periytu Şekil Sinanhca AGİ tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil 4.10 da da görüldüğü gibi rtalama larak her 25 yılda bir kez Sinanhca AGİ ye 738, 85 m 3 /sn akış gelmesi beklenir. Yani herhangi bir yıl için Sinanhca AGİ ye 738, 85 m 3 /sn akış gelmesi lasılığı ( 1 / 25 ) = 0, 04 kadardır. Bir başka örnek larak, herhangi bir yılda Sinanhca AGİ ye 658, 78 m 3 /sn akış gelmesi lasılığı ( 1 / 10 ) = 0, 01 kadardır. Yani rtalama larak her 10 yılda bir kez Sinanhca AGİ ye 658, 78 m 3 /sn akış gelmesi beklenir Mmentler Yöntemi Bu alt bölümde Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ veri kümeleri için Micrsft Excel prgramı yardımıyla ve mmentler yöntemi kullanılarak parametre tahminleri yapılmış ve bu parametre tahminleri kullanılarak her iki AGİ için de tekrarlama seviyeleri hesaplanmıştır. Mmentler yöntemine ilişkin tahminlerin hazır prgramlarda bulunmamasından dlayı Micrsft Excel prgramı yardımıyla hesaplamalar elde yapılmıştır. Bu sayede en çk labilirlik tahminleri ile mmentler yöntemi tahminleri karşılaştırılabilmiştir.

62 47 Öncelikle veri kümesini luşturan örneğin uç değer dağılımlarından birine sahip bir yığından gelip gelmediğinin kntrlü için bir önceki bölümde lduğu gibi lasılık grafiğinden (prbability plt) yararlanılır. Eğer bu grafiktedeki nktalar düz bir çizgiyi andırıyrsa dağılım uç değer dağılımlarına fit edilebilir [Cles, 2001]. Bir önceki bölümden verinin Gumbel dağılımına uyduğu göz önünde bulundurulursa bir Gumbel lasılık grafiği çizilebilir. Bu grafik, x ekseninde yıllık maksimum akım değerlerinin, y ekseninde ise Gumbel kümülatif dağılım fnksiynunun tersi kullanılarak hesaplanmış değerlerin bulunduğu ikililerden luşmaktadır. Burada G 1 ( x ) Eş. 4.3 deki gibidir. 1 G ( x ) = µ σ.ln(ln( 1/ x )) (4.3) Gözlenen {X 1, X 2, X 3,, X n } değerleri küçükten büyüğe dğru sıralanarak X < < sıralı istatistikleri elde edilir. Bu değerler grafiğin (1) X (2) < X (3) ) < X (n) -1 x eksenini luşturur. Grafiğin y değerleri ise, y = G (i/(n + )) şeklinde hesaplanır. i 1 Burada n veri kümesinde yer alan gözlem sayısıdır. Bu şekilde Eş. 4.4 deki n sayıda ikiliye ulaşılır. (X (X (X,G (1/(n + -1 (1) 1,G ))) (i/(n + ))) (4.4) -1 (i) 1,G (n/(n + -1 (n) 1 ))) Bu nktada Gumbel dağılımının parametreleri grafikte dğrunun ekseni kestiği nktayı ve dğrunun eğimini etkilediğinden bu parametrelere ihtiyaç duymaksızın (X (i),- ln(ln((n + 1)/i)) ikilileri ile grafiğin dğrusallığı kntrl edilebilir. Bu şekilde luşturulan grafikler aşağıda yer almaktadır.

63 G -1 (x) Yıllık maksimum debi seviyeleri m 3 /sn Şekil Manavgat-1 Gumbel uyum grafiği G -1 (x) Yıllık maksimum debi seviyeleri m 3 /sn Şekil Sinanhca Gumbel uyum grafiği Şekil-4.11 ve Şekil-4.12 de görülen uyum grafiklerinde gözlemler dğrusala ldukça yakın lduğundan Gumbel dağılımı her iki AGİ gözlemleri için de anlamlı bir dağılım larak değerlendirilebilir. Hazır prgramlarda, verinin Gumbel dağılımına uygunluğu incelenememekte ve dağılımın parametreleri mmentler yöntemi ile

64 49 tahmin edilememektedir. Bu amaçla hesaplamalar Micrsft Excel prgramında yapılmıştır. Gumbel dağılımının iki parametresi lmasından dlayı parametre tahminleri bölüm 3 de açıklandığı gibi gerçekleştirilebilir. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ için x, örnek rtalamaları ve 2 S, örnek varyansları aşağıdaki gibidir. Çizelge 4.7. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ için örnek istatistikleri Manavgat-1 AGİ Sinanhca AGİ x 74,77 447,10 2 S 1429, ,02 Örnek rtalaması ve örnek varyansı değerleri Eş ve Eş kullanılarak her iki AGİ için de iki bilinmeyenli iki denkleme ulaşılır. Bu denklemler aşağıdaki gibidir. Manavgat-1 AGİ için, 314, 74, 77 = 0, ˆ σ + µ ve 1429, = σ ( ) (4.5) 6 Sinanhca AGİ için, 314, 447, 10 = 0, ˆ σ + µ ve 28197, = σ ( ) (4.6) 6 Bu denklemlerin çözülmesiyle Gumbel dağılımı için elde edilmiş parametre tahminleri Çizelge 4.8. de verilmektedir. Çizelge 4.8. Mmentler yöntemi parametre tahminleri Manavgat-1 AGİ Sinanhca AGİ µˆ 57,76 371,53 σˆ 29,48 130,93

65 50 O halde Eş ve parametre tahminleri kullanılarak T = 3, T = 10, T = 25, T = 50 ve T = 100 için tekrarlama seviyeleri hesaplanabilir. Bu şekilde hesaplanan tekrarlama seviyelerine ilişkin tahminler Çizelge 4.9 da yer almaktadır. Çizelge 4.9. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ için çeşitli tekrarlama seviyeleri Tekrarlama Seviyesi (m 3 /sn) Tekrarlama Periydu Manavgat-1 AGİ Sinanhca AGİ 3 84,37 489, ,10 666, ,05 790, ,78 882, ,37 973,81 Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ ye ilişkin tekrarlama periytları ve tekrarlama seviyelerini gösterir şekiller sırasıyla Şekil 4.13 ve Şekil 4.14 de yer almaktadır. 250 Tekrarlama Seviyesi Tekrarlama Periytu Şekil Manavgat-1 AGİ tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil 4.13 da da görüldüğü gibi rtalama larak her 100 yılda bir kez Manavgat-1 AGİ ye 193, 37 m 3 /sn akış gelmesi beklenir. Herhangi bir yılda Manavgat-1 AGİ ye 84, 37 m 3 /sn akış gelmesi lasılığı ise ( 1 / 3) = 0, 33 kadardır.

66 Tekrarlama Seviyesi Tekrarlama Periytu Şekil Sinanhca AGİ tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil 4.14 de de görüldüğü gibi rtalama larak her 25 yılda bir kez Sinanhca AGİ ye 790, 30 m 3 /sn akış gelmesi beklenir. Herhangi bir yılda Sinanhca AGİ ye 666, 16 m 3 /sn akış gelmesi lasılığı ise ( 1 / 10 ) = 0, 1 kadardır. Mmentler yöntemi kullanılarak elde edilen farklı tekrarlama periytları ve bu periytlara ilişkin tekrarlama seviyeleri EK-8 de yer almaktadır. Bu değerler kullanılarak luşturulan grafikler ise Şekil 4.15 ve Şekil 4.16 da yer almaktadır. 250 Tekrarlama Seviyesi Tekrarlama Periytu Şekil Manavgat-1 AGİ farklı tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri

67 52 Şekil 4.15, ˆ µ = 57, 76 ve ˆ σ = 29, 48 parametre tahminleri için Manavgat-1 AGİ ye yönelik yıllık tekrarlama seviyelerinden luşturulmuştur Tekrarlama Seviyesi Tekrarlama Periytu Şekil Sinanhca AGİ farklı tekrarlama periyt ve tekrarlama seviyeleri Şekil 4.16, ˆ µ = 371, 53 ve ˆ σ = 130, 93 parametre tahminleri için Sinanhca AGİ ye yönelik yıllık tekrarlama seviyelerinden luşturulmuştur. Şekil 4.15 ve Şekil 4.16 dan görüldüğü gibi tekrarlama periydu uzadıkça beklenen tekrarlama seviyesi değeri de artmaktadır Parametre Tahminlerinin Karşılaştırılması Önceki iki alt bölümde Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ ye ait parametre tahminleri Çizelge 4.10 daki gibi bulunmuştu. Çizelge Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ ye ilişkin parametre tahminleri Manavgat-1 AGİ Sinanhca AGİ Mmentler yöntemi En çk labilirlik yöntemi Mmentler yöntemi En çk labilirlik yöntemi µˆ 57,76 55,85 371,53 384,17 σˆ 29,48 27,21 130,93 155,53

68 53 Belirlenen parametre tahminleri kullanılarak elde edilen lasılıklarla luşturulan lasılık yğunluk fnksiynu grafikleri Şekil 4.17 ve Şekil 4.18 de yer almaktadır. 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, MY EOY Şekil Manavgat-1 AGİ için yğunluk fnksiynu karşılaştırma grafiği Şekil 4.17 de x ekseninde maksimum debiler (m 3 /sn), y ekseninde ise maksimum debilerin alması beklenen lasılıklar bulunmaktadır. Mavi eğri mmentler yöntemi ile tahmin edilen fnksiyna ait lasılık değerlerini, pembe eğri ise en çk labilirlik yöntemi ile tahmin edilen fnksiyna ait lasılık değerlerini göstermektedir. Yapılan tahminler açısından yöntemler arasında büyük bir farklılık bulunmadığı gözlemlenmektedir.

69 54 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, MY EOY Şekil Sinanhca AGİ için yğunluk fnksiynu karşılaştırma grafiği Şekil 4.18 de x ekseninde maksimum debiler (m 3 /sn), y ekseninde ise maksimum debilerin alması beklenen lasılıklar bulunmaktadır. Mavi eğri mmentler yöntemi ile tahmin edilen fnksiyna ait lasılık değerlerini, pembe eğri ise en çk labilirlik yöntemi ile tahmin edilen fnksiyna ait lasılık değerlerini göstermektedir. Yapılan tahminler açısından yöntemler arasında büyük bir farklılık bulunmadığı gözlemlenmektedir. Gözlem dönemi byunca gözlenmiş maksimum debinin Manavgat-1 AGİ için 155 m 3 /sn; Sinanhca AGİ için ise 754 m 3 /sn lduğu belirtilmişti. O halde, Herhangi bir yıl için Manavgat-1 AGİ de 155 m 3 /sn ve herhangi bir yıl için Sinanhca AGİ de 754 m 3 /sn akış gelmesi ihtimalleri ne kadardır? srularının cevabına yönelik, Manavgat-1 AGİ için, P( X j > 155 ) = 1 G( 155 ) (4.7) lasılığının ve Sinanhca AGİ için, P( X j > 754 ) = 1 G( 754 ) (4.8)

70 55 lasılığının bulunması yeterlidir. Bu lasılıklar Micrsft Excel prgramı yardımıyla her iki yöntem parametre tahminleri için de Çizelge 4.11 deki gibi bulunmuştur. Çizelge Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ ye ait en yüksek akış tahminleri Manavgat-1 AGİ Sinanhca AGİ Mmentler yöntemi En çk labililik yöntemi Mmentler yöntemi En çk labililik yöntemi Olasılık 0,036 0,026 0,052 0,089 Tekrarlama Periydu O halde herhangi bir yıl için Manavgat-1 AGİ de 155 m 3 /sn ve daha büyük bir debi gelmesi lasılığı mmentler yöntemi tahminine göre 0, 036, en çk labilirlik yöntemi tahminine göre ise 0, 026 dır. Aynı şekilde herhangi bir yıl için Sinanhca AGİ de 754 m 3 /sn ve daha büyük bir debi gelmesi lasılığı lasılığı mmentler yöntemi tahminine göre 0, 052, en çk labilirlik yöntemi tahminine göre ise 0, 089 dur. Başka bir deyişle Manavgat-1 AGİ de 155 m 3 /sn ve daha büyük bir akışın mmentler yöntemi tahminine göre 28 yılda bir, en çk labilirlik yöntemi tahminine göre ise 39 yılda bir kez gelmesi beklenir. Sinanhca AGİ de ise 754 m 3 /sn ve daha büyük bir akışın mmentler yöntemi tahminine göre 19 yılda bir, en çk labilirlik yöntemi tahminine göre ise 11 yılda bir gelmesi beklenir. Literatürde labilirlik temelli yöntemler kullanılarak yapılan tahminlerin daha güvenilir lduğu kabul edilmektedir [Cles, 2001; Karadayı, 2004].

71 56 5. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada, UDT tanıtılarak, teride kullanan mdeller hakkında bilgi verilmiştir. Ayrıca örnek bir hidrljik veri kümesi üzerinde mdel ve parametre tahminlerinin elde edilmesi ile yrumlanması üzerinde durulmuştur. Çalışmada kullanılan parametre tahmin yöntemleri mmentler yöntemi ve ençk labilirlik yöntemidir. Bunun yanında, UDT de yaygın larak kullanılan bazı tanı grafiklerinin elde edilmesi ve nasıl yrumlanacakları hakkında bilgiler verilmiştir. Yapılan istatitiksel analizlerde, her iki AGİ için de gözlem değerlerinin bilinen uç değer dağılımlarından Gumbel dağılıma uyduğu kullanılan her iki prgram ve her iki yöntemde de görülmüştür. En çk labilirlik tahminleri ile mmentler yöntemi tahminleri arasında büyük farklar bulunmamaktadır. Ancak parametre tahminleri arasındaki ufak farklar bile UDT alanında tekrarlama seviyelerinin ve tekrarlama periytlarının tahmininde büyük farklar luşturmaktadır. Özellikle tekrarlama periydunun büyük değerlerinde (50 yıl ve daha uzun dönemlerde) yöntemler arasındaki farklar giderek artmaktadır. Örneğin her iki AGİ için de 10 yıl tekrarlama seviyesi ele alındığında, Manavgat-1 AGİ için 10 yıl tekrarlama seviyesinin en çk labilirlik yöntemi tahmini 125, 55 m 3 /sn iken mmentler yöntemi tahmini 124, 10 m 3 /sn dir. Aynı AGİ için 100 yıl tekrarlama seviyesi ele alındığında ise en çk labilirlik yöntemi tahmini 219, 90 m 3 /sn iken mmentler yöntemi tahmini 193, 37 m 3 /sn dir. Bu tür HES yatırımlarında tekrarlama seviyelerinin göz önünde bulundurulacağı alanlardan ilki HES maliyetinin yaklaşık yarısını luşturan elektrmekanik teçhizat (türbin-generatör ya da T&G) güçleri belirlenme aşamasıdır. Bu aşamada, santrale gelebilecek rtalama debiler dikkate alınarak yatırımların geri dönüş süreleri hesaplanmaktadır. T&G belirleme aşamasında küçük seçilen T&G, tasarım debisi üzerindeki suyu kullanmadan atacak, bu ylla üretim kaybına yl açacaktır. Öte taraftan büyük seçilen T&G tam yüke hiç çıkamadığından kaynak israf edilmiş lacak, bu da yatırımın geri dönüş süresini etkileyecektir. Bu nktada santrale

72 57 gelebilecek maksimum su seviyelerinin tahmin edilmesi yatırımların geri dönüş sürelerinin tahminine de katkı sağlayacaktır. Örnek hidrljik veri kümesinde Manavgat Çayı Sinanhca AGİ ve Manavgat-1 Regülatör Bölgesi AGİ lere ait yıllık maksimum debi değerleri kullanılmıştır. Her iki AGİ için hesaplanan tüm tekrarlama seviyeleri ve tekrarlama periytlarından farklı amaçlarla faydalanılabilir. Ancak, 3 ve 50 yıl tekrarlama seviyeleri bu tez çalışmasına uygulama knusu lan prje için tahmin edilmesi daha önemli seviyelerdir. Çalışmada ele alınan HES lerin, yaklaşık 3 yıl sürmesi beklenen inşaat aşaması snunda 50 yıllık işletme dönemine geçmesi planlanmıştır. Buna göre birinci evre lan inşaat süresince şantiye geçici tesis yerlerinin, 3 yıl tekrarlama seviyeleri dikkate alınarak kurulması can ve mal kaybının önlenmesi açısından önemlidir. Öte yandan 3 yıl tekrarlama seviyelerinin tahmini, yine inşaat aşamasında geçici larak kullanılan derivasyn (dere üzerindeki çalışmalar için suyun yönünün değiştirildiği kanal) yapısının taşıma kapasitesinin seçimi açısından büyük önem taşımaktadır. Manavgat-1 AGİ için 3 yıl tekrarlama seviyesi en çk labilirlik yöntemi ile 81, 71 m 3 /sn, mmentler yöntemi ile 84, 37 m 3 /sn larak tahmin edilmiştir. Sinanhca AGİ 3 yıl tekrarlama seviyesi ise en çk labilirlik yöntemi ile 511, 22 m 3 /sn, mmentler yöntemi ile 489, 72 m 3 /sn larak tahmin edilmiştir. Dlayısıyla şantiye geçici tesis yerlerinin seçimi ve derivasyn yapısının taşıma kapasitesinin seçimi aşamalarında yapılacak hesaplamalarda 3 yıl tekrarlama seviyelerinin göz önünde bulundurulmasında fayda lacağı düşünülmektedir. İkinci evre lan işletme safhasında gelebilecek maksimum debilere göre byutlandırılmamış yapılar, gerek santral binası içindeki işletme persneli, gerekse yapıların alt ktlarındaki yerleşim yerlerindeki insanlar için tehdit luşturacaktır. Bu anlamda, 50 yıl tekrarlama seviyelerinin tahmini santral güvenliği açısından hesaplamalarda dikkat edilmesi gereken bir husustur. Manavgat-1 AGİ için 50 yıl tekrarlama seviyesi en çk labilirlik yöntemi ile 189, 21 m 3 /sn, mmentler yöntemi

73 58 ile 172, 78 m 3 /sn larak tahmin edilmiştir. Sinanhca AGİ 50 yıl tekrarlama seviyesi ise en çk labilirlik yöntemi ile 788, 15 m 3 /sn, mmentler yöntemi ile 882, 39 m 3 /sn larak tahmin edilmiştir. Dlayısıyla, santral yapılarına ait inşaat hesaplamalarında 50 yıl tekrarlama seviyelerinin göz önünde bulundurulmasında fayda lacağı düşünülmektedir. Gözlem dönemi byunca rastlanılan en yüksek debi miktarlarına herhangi bir yıl için tekrar rastlanma lasılıkları da her iki parametre tahmin yöntemi ile tahmin edilmiştir. Buna göre, herhangi bir yıl için Manavgat-1 AGİ de 155 m 3 /sn ve daha büyük bir debi gelmesi lasılığı mmentler yöntemi ile 0, 036, en çk labilirlik yöntemi ile 0, 026 larak tahmin edilmiştir. Aynı şekilde herhangi bir yıl için Sinanhca AGİ de 754 m 3 /sn ve daha büyük bir debi gelmesi lasılığı mmentler yöntemi ile 0, 052, en çk labilirlik yöntemi ile 0, 089 larak tahmin edilmiştir. Snuç larak hidrelektrik santrallerin krunması amacıyla UDT kullanılarak belirli tekrarlama periytlarına ilişkin belirli tekrarlama seviyelerinin istatistiksel yöntemlerle tahmin edilmesi, bu sayede gerek inşaat gerekse de işletme aşamasında santrale gelebilecek en fazla su miktarlarının tahmin edilmesi, santral dizayn aşamasında gerçekleştirilecek risk analizi çalışmalarına katkıda bulunacaktır. Bu sayede, özellikle işletme döneminde gerçekleşebilecek lası can kayıpları ve hasarları önleyecek tedbirlerin tasarım aşamasında alınması sağlanmış lacak, ayrıca üretim kayıpları da azaltılacaktır. Bu çalışmada ele alınan analizlerde ve kullanılan yöntemlerde gözlemlerin birbirinden bağımsız lduğu durumlar dikkate alınmıştır. Bağımlı gözlemlerde ise farklı tahmin yöntemleri kullanılmaktadır. Bu çalışmanın sınırlılıklarından birisi yıllarındaki maksimum debi değerlerine ilişkin verilerle çalışılmasıdır. Daha ayrıntılı ölçümlere ulaşılamadığı için eşik değer yöntemine ilişkin tahminler yapılamamıştır.

74 59 UDT alanında bundan snra yapılacak çalışmalarda çk değişkenli durumlar incelenebilir. Farklı parametre tahmin yöntemleri ele alınarak etkinlikleri karşılaştırılabilir. Bağımlı gözlemler için geliştirilen yöntemler tanıtılabilir. Durağan lmayan zaman serileri için kullanılan yöntemler ele alınabilir.

75 60 KAYNAKLAR 1. Akkaya, G. C., Tükenmez, M. N., Kutay, N., Kabakçı, A., Pazar risk mdeli : bir riske maruz deger ve stres testi uygulaması, Ege Akademik Bakıs Dergisi, 8 (2): (2008). 2. Ang, A. H. S., Structural risk analysis and reliability based design, Jurnal f the Structural Divisin, 99: (1973). 3. Barlw, R. E., Singpurwalla, N. D., Averaging Time and Maxima Fr Dependent Observatins, Triangle Universities Cnsrtium n Air Pllutin, Nrth Carlina (1973). 4. Battjes, J. A., Prbabilistic aspects f cean waves, Internatinal Research Seminar On Safety Of Structures Under Dynamic Lading, Trndheim (1977). 5. Beard, L. R., Statistical Methds in Hidrlgy, U.S. Army Crps f Engineers, Sacrament, (1962). 6. Beirlant, J., Gegebeur, Y., Teugels, J., Segers, J., Statistics f Extremes Thery and Applicatins, Jhn Wiley and Sns, Chichester, , (2004). 7. Bensn, M., Unifrm fld-frequency estimating methds fr federal agencies, Water Resurces Research, 5: (1968). 8. Brgman, L. E., Prbabilities fr highest wave in hurricane, Prceedings f the American Sciety f Civil Engineers, 99: (1973). 9. Brtkiewicz vn, L., Variatinsbreite und mittlerer fehler, Sitzungsberichte d. Berliner Math. Ges., 21: 3-11 (1922). 10. Castill, E., Hadi, A. S., Balakrishnan, N., Sarabia, J. M., Extreme Value and Related Mdels with Applicatins in Engineering and Science, Jhn Wiley and Sns, New Jersey, 3-9, 63-71, , , , (2004). 11. Chandra, M., Singpurwalla, N. D., Relatinships between sme ntins which are cmmn t reliability thery and ecnmics, Mathematics f Operatins Research, 6: (1981). 12. Chw, V. T., Handbk f Applied Hydrlgy, McGraw-Hill, New Yrk, (1964). 13. Cles S., An Intrductin t Statistical Mdeling f Extreme Values, Springer, Lndn, 1-4, 31-43, 45-49, 54-66, (2001).

76 Cles, S.,G., Tawn, J. A., Mdelling multivariate extreme events, Jurnal Of The Ryal Statistical Sciety, B (53): (1991). 15. Davisn, A., A Sketch Of Statistics f Spatial Extremes, Spatial Extremes and Applicatins, Lausanne, (2009). 16. Davisn, A. C., Smith, R. L., Mdels fr exceedances ver high threshlds, Jurnal f The Ryal Statistical Sciety, B (52) : (1990). 17. Embrechts, P., Klüppelberg, C., Miksch, T., Mdelling Extremal Events fr Insurance and Finance, Springer, New Yrk, (1997). 18. Ferr C. A. T., Segers J., Inference fr clusters f extreme values, Jurnal Of The Ryal Statistical Sciety, B (65): (2003). 19. Fisher, R., Tippett, L., Limiting frms f the frequency distributin f the largest r smallest member f a sample, Prceedings f the Cambridge Philsphical Sciety, 24: (1928). 20. Fréchet, M., Sur la li de prbabilité de l'écart maximum, Annales De La Sciete Plnaise De Mathematique, Krakv, 6: (1927). 21. Fuller, W. E., Fld flws, American Sciety f Civil Engineers Transactins, 1293: (1914). 22. Galambs, J., Macri N., Clsure t classical extreme value mdel and predictin f extreme winds, Jurnal f Structural Engineering, 128: (2002) 23. Gençay, R., Selçuk, F., Ulugulyagci, A., High vlatility, thick tails and extreme value thery in value-at-risk estimatin, Insurance: Mathematics and Ecnmics, 33: (2003). 24. Gilleland, E., Katz R. W., Extremes Tlkit (ExtRemes): Weather and Climate Applicatins f Extreme Value Statistics, Natinal Center fr Atmspheric Research (NCAR), Clrad, 37-51, 52-73, 81-96, (2005). 25. Griffith, A. A., The phenmena f rupture and flw in slids, Philsphical Transactins f the Ryal Sciety, 221: (1921). 26. Gumbel, E. J., Statistics f Extremes, Clumbia Univ. Press, New Yrk, (1958). 27. Haan de, L., Resnick, S. I., Limit thery fr multidimensinal sample extremes, Prbability Thery and Related Field, 40: (1977).

77 Haan de, L., Extremes in higher dimensins: the mdel and sme statistics, Prceedings Of The 45th Sessin Of The Internatinal Statistics Institute, Amsterdam, (1985). 29. Hasfer, A. M., Wind-lad design based n statistics, Prceedings f the Instutin f Civil Engineers, 51: (1972). 30. Heffernan, J., Tawn, J.A., A cnditinal apprach fr multivariate extreme values (with discussin), Jurnal f the Ryal Statistical Sciety, 66: (2004). 31. Jenkinsn, A. F., The frequency distributin f the annual maximum (r minimum) values f meterlgical elements, Quarterly Jurnal f the Ryal Meterlgical Sciety, 81: (1955). 32. Karadayı, N., Uç değer dağılımları ve uygulamaları, Yüksek Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Knya, 1-3, (1993). 33. Ktz, S., Nadarajah, S., Extreme Value Distributins: Thery and Applicatins, Imperial Cllege Press, Lndn, 1-13, 61-93, (2000). 34. Neftci, S. N., Value at risk calculatins, extreme events, and tail estimatin, Jurnal f Derivatives, 7 (3): (2000). 35. Önalan Ö., Finansal risk ynetiminde ekstrem değer terisi, T.C. Marmara Universitesi I.I.B.F. Dergisi, 1: (2003) 36. Pickands, J., The tw-dimensinal pissn prcess and extremal prcesses, Jurnal f Applied Prbability, 8: (1971). 37. Pickands, J., Statistical inference using extreme rder statistics, The Annals f Statistics, 3: (1975). 38. Reiss, R. D., Thmas M., Statistical Analysis f Extreme Values, Birkhauser Verlag, Bstn, 17-20, 95-98, (1997). 39. Tilly, G. P., Mss, D.S., Lng endurance fatigue f steel reinfrcement, IABSE Reprt, Lausanne, 37: (1982). 40. Tdrvic, P., On sme prblems invlving randm number f randm variables, Annals f Mathetnatical Statistics, 41: (1970). 41. Onuşluel, G. ve Harmancığlu, B. N., 2002, Su kaynaklı dğal afet: taşkın, TMH - Türkiye Mühendislik Haberleri, 420: (2002). 42. Vn Mises, R., La distributin de la plus grande de n valeurs, Selected Papers f Richard vn Mises, Amer. Math. Sc., 2: (1964).

78 Warner, R. F., Hulsbs, C. L., Fatigue prperties f prestressing strand, PCI- Jurnal, 11: (1966). 44. Yegülalp, T. M., Wane, M. T., Ekstrem değerler istatistiğinin deney snuçlarına uygulanması, Madencilik, 8 (2): (1969). 45. İnternet : Malatya İnönü Üniversitesi 8. Eknmetri ve İstatistik Kngresi (2011)

79 EKLER 64

80 65 EK-1. Manavgat-1 ve Sinanhca AGİ lere ait maksimum debi (m 3 /sn) değerleri ( ) Çizelge E.1. Veri tablsu YIL Manavgat1 Sinanhca YIL Manavgat1 Sinanhca

81 EK-2. Manavgat-1 ve Sinanhca AGİ lere ait tanımlayıcı istatistikleri gösterir bilgisayar çıktısı 66

82 EK-3. Manavgat-1 AGİ verisi için mdel uyumunu gösterir bilgisayar çıktısı 67

83 EK-4. Sinanhca AGİ verisi için mdel uyumunu gösterir bilgisayar çıktısı 68

84 EK-5. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ verileri için 50 yıl tekrarlama seviyelerini gösterir bilgisayar çıktısı 69

85 EK-6. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ verileri için 3 yıl ve 10 yıl tekrarlama seviyelerini gösterir bilgisayar çıktısı 70

86 EK-7. Manavgat-1 AGİ ve Sinanhca AGİ verileri için 25 yıl ve 100 yıl tekrarlama seviyelerini gösterir bilgisayar çıktısı 71