BÖLÜM 2 FOURİER SERİLERİ (FS)

Transkript

1 BÖÜM FOURİER SERİERİ (FS) Bir ısı kyğıı ml bir çubuk (vy lvh) dğılımıı hsplmsı içi, bird çok rigomrik işlvlri kullılmsı Josph Fourir (768-83) rıd düşüülmüşür. ısı dğılımı, prçlı bir dirsiyl dklmdir. Fourir d öc bu problmi çözümü içi ısı kyğı, k bir siüs vy cosiüs dklmid oluşuğu vrsyılrk bsi çözümlr ypılbilmkdir. Fourir, bsi ol bu çözümlr yri, krmşık biçimd, birçok ısı kyklrı modllri kullmyı, si v cos rimlri ksyılr d klyrk, bir sri oluşurmyı düşümüşür. Oluşurul sriy Fourir srisi dı vrilmişir. Fourir srilrid kullıl si vy cos işlvlri dömli olmk zoruddır (bkz bölüm)... SİNY ÜRERİ Mühdislik llrıd, siyllr, şğıdki gibi sııldırılır. Sürkli siyllr: bğımsız dğişki ( vy x ) hr ıd ımlıdır (dğişk, boyu, prmr içi bkz k). Hrhgi bir dklmd hspl kurmsl dğrlr bu sıı girrlr. log kyı l cihzlrd sğl vrilr bu sııdır. yrık siyllr: Sürkli siyllri yrık/syısl durum girilmiş biçimidir. Buu içi örklm kurmıdki kurllr gçrlidir. Sürkli ol izlr, yrık durum girilmd, hiçbir syısl işlm uygulmz. Dömli (dömsl) siyllr: Dömlri kolylıkl bulu işlvlrdir. Siyl lizi d Yklşık dömsl siyllr: oplmlrd oluş izlri ork bir dömii bulummsı koşuludur. Siyli oluşur üm bsi siüsodillri dömlrii olmsı krşı, ork dömlrii bulummsıdır. Erji v güç siyllri: Bölüm 5 vrilckir. Glişigüzl siyllr: Gçmişki dğrlrid yrrlrk, glckki dğrlri hsplmy, ksi bğıısı olmy, siyllrdir. Örği Joizik, rzi gözlmlrid çok sık olrk bulu gürülülr, bu sıı girrlr. Bu grub gir izlri, isisiksl prmrlri (orlm, krsl orlm, dğişii-vrys, sdr spm, vb.) hsplrk, bilgilr diilir.

2 .. DÖNEMİ İŞEVER (PERIODI FUNIONS) üm "" dğrlri içi (.) () () ( Şkil. Dömli işlvlr şiliğii sğly işlv dömli olup, "" y döm (priyo) dilir (Şkil.). İşlv, rlıklrl yı dğri lrk,,,,... (.) dklmii sğlr. (.) dklmii sğlmy siyllr dömsizdir (priyodik). Bu dklml vril büyük dğri ( küçük rks) ml rks dilir. üm rigoomrik işlvlr dömlidir. rigoomrik olmy diğr dömli işlvlr d FS. kullılrk, si v cos rimlrii oplmı, cosw cosw (.3) olrk yzılbilir. oplmlrd oluş siyli dömi, w m w ld dilir. Yi siyli dömi, k bir dğr olckır. m = (.4) (.4) şiliği m v i EKOK. il buluur. EKOK. ck m v i m syı olmsı koşulud sğlır. Bulrd bir sii odlıklı, dvirli, köklü, vb. olmsı koşulud, işlv dömsizdir. Çükü EKOK bulubilmsi içi, m, dğrlri msyı olmk zoruddır. ck, dömli v dömsiz izlri rsıd d yr l siyllr vrdır. Bu ip, işlvlr yklşık dömsl işlv dı vrilckir (bkz örk.). Yklşık dömsl

3 işlvlrd, işlvi oluşur hr bir siyli yrı yrı dömlri olmsı krşı, (.4) bğıısıd vril m v i msyıı bulummsıd öürü, işlvi bir dömi yokur. Yklşık dömli işlvlr, bzı yyılrd, dömsiz olrk vrsyılmkdır. Örk. cos / 3 cos / 4 işlvi, ) bsi siüsodillri dömii, b) yi izi dömii, c) m olrk dömi görülbilcği zm uzuluğuu buluuz. ) w m 3 3 w 4 4 b) Yi izi dömi, siyli oluşur büyük dömli iz il yıdır (=8). c) 6 il 8 i EKOK 4 ür. Öylys, m 4, 3 ür. oplmlrd oluş siyli k bir dömi, 6m =4π vy =4π dir. Siyl kurmıd, kullıl üm izlri dömli olduğu vrsyılır. ck, gözlm sürsi içid, dömi mmlmmış olbilir. Örği, dömi s. ol lki izi ck /4 uzuluğu (.5 s) gözlmişir/hsplmışır. Bu izi dömi bilimmkdir. ck dömii olmdığı söylmz. Bu dl, oplm izi d dömi blirsizdir. Çükü, büyük döm ship olmsı grkirk, söz kousu iz dömii mmlymdığıd, oplm izi d dömi blirsizdir. Hrhgi bir siüsodili dömi büyüüldükç, rks küçülck (lçk rks yklşck) v izi dlglmsı yvşlyckır (bkz şkil.3). Döm sosuz büyüdüğüd, rks dğrii lckır (bkz şkil.). Örk.

4 cos cos işlvi, ) bsi siüsodillri dömii, b) yi izi dömii, c) m olrk dömi görülbilcği zm uzuluğuu buluuz. ) b) Yi iz, büyük döm ol,.68 s. il dömlidir. c) m v dğrlri m syı olrk ld dilmz. m/ is dvirli bir syıdır. Bu dl, oplmlrıd oluş izi ork bir dömi bulumz. m v dğrlrii m syı olrk bulummsı, bulrı dömlrii hiçbir zm birbirilrii kı olmycğıı gösrir. Bu dl, oplmlrd oluş izi ork bir dömlri yokur. Bu dl vril iz dömsiz vy yklşık dömsldir. Örk.3 Dömlri, =4. s, =.5 s, 3 olrk vril siüsodillri oplmıd oluş izi dömii buluuz. orlr dvirli olduklrıd, oplmlrd oluş iz dömsiz vy yklşık dömsldir. Örk.4

5 ()= (-+j) işlvii dömii buluuz. k bir işlv olduğu içi m= dir. Pydd j olmsıd öürü işlv dömsizdir. Örk.5 ()=cos(6)-si(4) işlvii dömii buluuz. θ+m θ+ Dömli işlvlrd cos(θ+m)=cosθ dır. m=6 =m/6=m/8, =4 =/4=/ dömli işlvlrd, k bir döm olmsı grkliliğid, oplmlrd oluş () işlvii k bir dömi olmlıdır (). Bu dl = = olmlıdır. EKOK=8 s. Vril siyl dömlidir v dömi s. dir. Örk.6 işlvii dömii buluuz. θ+m θ+ θ+k

6 EKOK=6 8m=6m=, 6=6=, 4k=6k=4 = = = 3 olmlıdır. =8m=8.=6 s. Örk.7 işlvii dömii buluuz. m= siyl, k bir siyldir. Dolyısıyl k bir dömi olckır. Bu dl m= dir. =/5 s. dir (ml döm). Örk.8 işlvii dömii buluuz. = = olmlıdır., or, bir m syı olmdığıd, siyli ork bir dömi yokur. Bu dl, Siyl dömsiz vy yklşık dömlidir... Dömli işlvlri özlliklri (.) dklmi il vril üm işlvlr, şğıdki özlliklri içrirlr. / ) d / / / d (.5) / koulurs

7 / / d d (.6) olrk buluur. b. d d (.7) koyulrk, ld dilir. c. g u du (.8) is ck, / / d koşuluu vrlığıd, g g (.9) bğıısı gçrlidir. c d. d c d (.) c koyulrk, ld dilir.. OROGON İŞEVER.. ım FS çılımlrıı ypılbilmsi içi siüs v kosiüs işlvlrii bzı özlliklrii bilimsi grkir. Bulrd ömlisi orogollik (diklik) koşulu v oluş orogol işlvlrdir. Bir işlv, b sıırlrı içid ϕ m () v ϕ () gibi iki yrı işlvd oluşuyors v bu iki işlv, rlrıd b m içi m d (.) r m içi şiliğii sğlıyors ϕ m v ϕ işlvlri (,b) rlığıd birbirlri orogoldir dir... Orogollik koşullrı Siüzoidl işlvlrd şğıd vril orogollik koşullrı vrdır.

8 / /' / /' cos mw d m içi (.) si mw d üm m dğrlri içi (.b) / cos m d (.c) / m mw cosw /' / m simw siwd / m /' (.d) / /' mw cosw si d üm m v dğrlri içi (.) Burd w dir (ml rks). Yukrıdki bğıılr;, cosw, cosw,...,cosw, siw, siw,..., siw dizisii / / rlığıd orogol olduğuu gösrir. ck bu dizi / rlığıd dik dğildir. Yi rlığı dğişmsi durumud orogollik ord klkr. Bu dl diklik söz dilirk, mulk rlık blirilmlidir. Örk:.9 (, cos, cos,..,cos) işlv dizisii [-,] rlığıd orogol olduğuu gösriiz. cos şiliği v (.) dklmidki m koşulu cosb cos B cos B kullılır. m-=, m+=b lırk, - - = buluur. olmsı diyl, vril dizi [-,] rlığıd orogoldir. Bzr biçimd, (si, si, si3, si) v (, cos, si, cos, si,.cos, si) dizilri [-,] rlığıd dikir. Prz içidki dizilr oroorml cüml d dilir.

9 yı dlrl d, si d, cos d olduğu gör /, si /, cos /, si /, cos /,... oroorml cümllrdir...3 Norm Bir oroorml cümld, cümlyi oluşur hr rim içi, (.3) koşulu sğlıyors, bu cümli ormu dir. (.4) olrk ımlır. Böylc, hr orogol dizid (. şiliklrii sğly), oroorml bir işlv dizisi bulubilir. Bşk bir dyişl, ormu ' şi ol bu dizi ORONORM ÜME, cümlyi oluşur hr bir işlv d NORMEŞİRİMİŞ İŞEV dir. Örk. (.8c) şiliğii vrlığıı gösriiz (.4 örğii sıırlrıı /,/ lırk çözümü). rigoomrid, cos cosb cos B cos B

10 / si sim w / m w m w m w / m w / m w si m sim si m m w m w si m si m sim dir. Eğr m is souç sıırdır. m durumud / /' cos olur v cos / mw cosw d cos mw d /' cos dır. Burd / /' cos buluur. mw d cosmw d / simw 4mw Örk. /' / 4mw si m si m sim / 4mw / / Φ= /p olrk vril bir prbolü -5 birim rsıd ormllşiriiz (Şkil.3). (.4) d yrrlrk, m 5 p d p p ld dilir. Burd d ormliz dilmiş işlv, 5 / / 5 m 65 p

11 Örk. ϕ ()=, işlvlrii, (-,) rlığıd dik olduğuu gösriiz. Orogollik koşulu (.) dklmi il vrilmişir. - - Örk.3 ()=- işlvi vrilmkdir. Bu işlvi (,3) rlığıd ormllşiriiz. Normllşirilmiş işlvi buluuz. Örk.4 ()= -/ işlvi vrilmkdir. Bu işlvi (,) rlığıd ormllşiriiz. Normllşirilmiş işlvi buluuz = =- Normllşirilmiş işlv=.3 SERİER, FOURİER SERİERİ (FS).3. Giriş Srilri çok kullım lı vrdır. Mühdislik, hrhgi bir gözlm soucu, ld dil vrilrd, yklşırm yömlrii d kullrk, mmiksl bir dklm ulşmk mcıyl kullılırlr. Örği, yükskliğ bğlı olrk, grvi gözlmlri ypıldığıı vrsylım (bu yöm grvid yoğuluk spmsıd kullılır). Söz kousu, dğılım şkil. d vrilmkdir.

12 h (m) h=. Δg+b Δg (m.gl) Şkil. Yükskliğ bğlı olrk grvi dğişimi mç, gözlm oklrıd gç olsılı doğruyu bulmkır. E Küçük Krlr yömi kullılrk, hsı z olck v b dğrlri spır v doğru dklmi ld dilir. Böylc gözlm oklrıd gç uygu doğru bulumuş olur. Bşk bir dyişl, gözlm oklrı bir doğruy yklşırılmışır. Eğr, gözlm ok dğılımı, bir prbol uygu olsydı, bu kz ikici drcd bir poliom yzılrk, b, c ksyılrı hsplrk poliomu dklmi buluckır. Gözlm dğrlri uygu bir işlv rmk yri, sri içi idlri si v cos içr rigoomrik srilr kullılır. Bu sri Fourir Srisi (FS.) olrk dldırılır. FS. lri -, + rlığıd yr l siyllrd kullılır. FS. lri, yzım biçimlri bğlı olrk şğıdki gibi gösrilir. FS. lrii rigoomrik ormu/gösrimi FS. lrii krmşık (ksposiyl) ormu/gösrimi FS. lrii hrmoik ormu/gösrimi FS lrii polr koordilr kullılrk ormu/gösrimi.3. Fourir srilrii rigoomrik ormu "" dömli bir işlv, şğıdki gibi, bir rigoomrik sri il gösrilbilir. cosw cosw... b siw b siw... (.5) (.5) vy (.6) dklmlri il ilgili çıklmlr: (.6). rim ol sbi bir rimdir. glikli, yy ks prll bir doğrudur. Frks bğımlı bir dğişiklik sumz (şkil.3). Yi w = dır. Bu dl, rks bilşi olmdığı içi, lkrik, rkslı kım (doğru kım, D, dirc curr) bilşi olrk ımlır. w ml rksır. ml rks: siyl içid görülbilck lçk rksır ( uzu döm). Doğrud rks ormı örklm rlığı il ilişkilidir. Frks ormı örklm rlığı, dır. Joizik siyllri lizid, vri

13 içidki uzu dlg boyudur (döm). Vri içidki büyük döm is vri boyuu kdisidir. cos v si içr rimlr is w, w, 3w,..w rkslı siüsodillrdir. Gliklri, ol v b, ümlv dklmlrid buluur. Glik w Şkil.3 doğru kım bilşi ( ) (.5) vy (.6) dklmlri, rigoomrik idlr kullılrk ypıl bir yklşırm yömidir. Bğımsız ks dir. ck, siyl lizid, bğımsız dğişk olrk w (w ) lıır, bu koşuld rks lizi ypılmış olur. Bşk bir dyişl, siyli çşili rkslrdki glik v vr bilgilri ulşılır. cos v si içr rimlr, FS lrii hrmoiklridir. Bu dl ypıl çılım hrmoik liz ismi vrilir. (.6) dklmi Örk.3 cosw (.7) olrk yzılbilir. Bu bğııd, cosw ci hrmoik işlvi dilir. So dklmd, :. hrmoiği gliği θ : Evr (z) çısıdır. gl rimi, () işlvii (.6) v (.7) bğıılrıd hrkl v θ i, v b cisid ld diiz. cos cos / b w b si w, b / il çrpılırs / b w b si w b / cosw b siw / b b cosw siw / / b b diğr yd,

14 cosw cos wcos siwsi / cosw cos siw si b.. b / cos w yzılbilir. Burd ksyılr, b b / siw dir. Öylys : b / (.8) cos si w cos siw si cos w si si b / b b bu bğıılrd d / b b / si w b / cos w b b vy si (.9) cos ld dilir. Yukrıdki yklşımlr göz öü lıdığıd d (.) olduğu görülür. Bu bğıılrd: içi w / dır (w ml çısl, ml çizgisl rks)..3.. rigoomrik Fourir srilrii k syılrıı bulumsı FS ksyılrı, hsp dil döm rlığı doğrud bğlıdır. Dömi dğişmsi durumud, ksyılr d dğişir. Burd döm olrk /, / lımışır. (.) dklmlri il vril orogollik koşullrı kullılrk (.6) dklmi il vril FS i ksyılrı hsplır. ksyısıı bulumsı: (.6) bğıısıı hr iki rıı -/, / rlığıd ümlvi lıırs

15 / / / d d cosw d b siw / / / / / şklii lır. Bu bğııd oplm il ümlvi yrlrii dğişirip orogollik koşullrı kullılırs [(.) v (.b) dklmlrid] / / d d / / d / d (.) / ld dilir. v b ksyılrıı bulumsı: (.6) bğıısıı hr iki rı cos(mw ) il çrpılrk, (-/,/) rlığıd ümlvi lıırs, / / d cosmw d cosmw d cosw cosmw / / b si w cosmw d / / / / oplm v ümlv işlvlrii öclik sırsı dğişirilrk v (.), (.c) v (.) dklmlri kullılrk, (.3) bğıısı / / / d cosmw d cosmw d cosw cosmw / w cosmw d b si / / / / cosmw d / / d olrk ld dilir. Bğııı sol rıdki m yri koulrk, souç, ksyısı, d d

16 / / cosmw d,,,... (.) buluur. Bzr yoll (.6) bğıısıı hr iki yı si(w ) il çrpılıp (-/,/) rsıd ümlvi lıdığıd, b ksyısı ld dilir. / b / simw d,,,... (.3) (.) bğıısı, () işlvii (-/,/) sıırlrı rsıd rimik orlmsıdır. No: w / / w Örk.4 şğıd vril () işlvii ()=(+) olduğuu vrsyrk şklii çiziiz, spkrum ormıdki rks bilşlrii buluuz v FS bğıısıı ld diiz. / / (.) bğıısıd (Şkil.4), () -/ / - Şkil.4 dömli, glikli kr dlg / / d dır. Burd dikk dilmsi grk ok (.) bğıısı orlm dğri vrdiğid v bu dğr d sıır olduğud ümlvi hsplmk grksizdir. (.) bğıısıd yrrlrk ksyısı,

17 / cosmw / / cosmw d cosmw si w w d w w siw / / w si si si si / d No: si si olrk buluur. (.3) dklmid yrrlrk b ksyısı b / siw d si w d siw d / / / cos / w w w w 4 cos cos cos cos w w w b cos ld dilir. So bğııd, çi is cos / w cosw cos cos cos cos v b, k is cos v 4 / b b 4 / çi k dir. Bulu, v b ksyılrı (.6) d yri kork FS çılımı ld dilir. ck burd v ksyılrı sıır olduğu içi FS çılımı sdc b ksyısıd hsplır. 4 siw 4 k 3 siw si3w si5w... 5 (.4) ld dilir. Bu problmd v ksyılrı sıırdır. Evr is (.9) bğıısıd buluur. olmsıd olrk ld dilir. - işlvi ck ±π/ d sosuz olur. Öylys ksyısıı olmmsı durumud (işlvi ylızc k işlv olmsı, çi bilşii bulummsı) vr / vy / 3 / dğri ship olckır.

18 () (s) () şkil.4 vril glikli, = dömli siyl () (s) (b). hrmoik w = Hz. =6.8 s. E büyük glik=4/= () (s) (c). hrmoik 3w =3 Hz. =.94 s. E büyük glik=4/3= () () () (s) (s) (s) (d) 3. hrmoik 5w =5 Hz. 3 =.57 s. E büyük glik=4/5=.6 () 4. hrmoik 5w =7 Hz. 4 =.898 s. E büyük glik=4/7=.8 Δ=.898/4=.4 s () ()= ()+ ()+ 3 ()+ 4 () Şkil.5 Örk.4 d ımsl olrk vril siyli hrmoiklri v siyl (.4 dklmi).

19 Eğr işlv burdki gibi k dğil d çi işlv olsydı, hsplckır. Bu koşuld yi vr sıır vy "π" rdy buluckır. FS çılımı iki yöd bkılbilir. v ) Şkil.4 vril sosuz uzuluklu, dömsl işlvi, rigoomrik srilr kullılrk, zm ormıd yklşırılmış dklmii ld dilmsidir (dklm.4, şkil.5). ) "w" ormıd çşili hrmoiklr i bilrdki (w, 3w, 5w,...) glik v vrs vr dğişimlridir. "F(w)" ı düşy, "w" ı d yy ks lımk üzr ld dil spkrumu, biz spkrum ormıdki gliklri durumuu gösrir. Eğr, vy lıırs, Glik Spkrumu olrk isimldirilir. Eğr, sl bilş vrs, vr spkrumu d ld dilckir. Evr spkrumu is dır. Şkil.5 ömlidir. () d vril = dömli ımsl siyli dklmi FS.lri kullılrk ld dilmişir (dklm.4). Bu bğııyı oluşur hr bir siüsodil, ou.,., 3., 4.,. hrmoiklridir. Bu problmd, ilk 4 hrmoik hsplrk çizilmişir. Hrmoiklri gliklri, ilgili şkillri ylrıddır.. i gliği.7 birimk, 4. d. y düşmüşür. Hrmoik syısı rıkç, gliklr hızlı olrk sömkdir. Hrmoiklri içid büyük döm,. y iir. Bu hrmoiği dömi, ımsl siyli dömi il yıdır. Bu döm, siyl içid bulubilck lçk rksır ( uzu döm). Bu rks ml Frks dı vrilir. Dh yüksk rkslı (kıs dömli) üm siyllr, bu siyli üzri bimişir. Bu dl, siyli dömi, kdisii oluşur dğişik dömli, siyllr içid, büyük döm ship siyli il yıdır soucu v yrgısı ulşılır. Grçk d, şkil.5. icldiğid, siyli ==6.8 s. il dömli olduğu görülür. Eğr, hrmoik syısı 4 dğil d dh çok olsydı, ld dilck şkil.5. y dh çok yklşckır. Bury dk, problm bir sriy çılım olrk bkılmışır. ck siyl lizid, problmi bu yöü il pk ilgililmz. Dh çok, hgi rks, gliklr v vrlri olduğu ömlidir. Frkslr i gliklr kullılrk, siyl, liz (kdid dh bsi siüsodillr yırm) dilmiş olur. Frks ormıd ypıl bu işm rks liz dilir. Frks lizid glik v vr spkrumu buluur. Bu problmd si içr rim (sl kısım) olmdığı içi vr spkrumu yokur. Şkil.5. d vril siyli glik spkrumu is şkil.6 d vrilmkdir. Eld dil glik spkrumud yrrlılrk liz dil siyli dklmi yzılbilir (bkz bölüm ). ()=.si(w) modli kullılrk v şkil.6 d yrrlılrk,

20 F(W) w (Hz) Şkil.6 Glik spkrumu ()=.7si()+.4si(3)+.6si(5)+.8si(7)+.. (.5) yzılbilir. (.5) şiliği, = lımsı koşulu il, (.4) dklmi il yıdır..3.3 Fourir srilrii krmşık (ksposiyl) ormu FS d rigoomrik işlvlr yri krmşık işlvlr kullılrk hsplmlr dh bsilşirilbilir. cosw b siw (.6) Eulr dklmlrid, cos (.7) si jw jw w jw jw w (.8) j bğıılrı (.6) d yri yzıldığıd, jw jw jw jw b (.9) (.9) bğıısıı içidki przlr çılıp yid düzlirs jw jw jb jb (.3)

21 ld dilir. (.3) bğıısıd jb jb,, (.3) kours, jw jw jw jw jw (.3) krmşık FS buluur.,, - ksyılrı, / d (.33) / /' /' jb cosw d j siw d / / / cos w - jsiw / d / jw jb d,, / (.34) yı şkild içi / jw jb d,, (.35) / ld dilir. (.34) v (.35) bğıılrı birbirlrii krmşık şliğidir (cojug). Yi: * (.36) dir (bkz bölüm k-). işlvi il dömli olduğud (.37) olrk yzılbilir. ksyısıı v b cisid dğri, (.38)

22 dır. yrıc vr d bulubiliyors (yoks, θ = dır)., (.39) (.4).3.3. Krmşık (ksposiyl) FS lrii orogolliği jw jmw v il vrilsi cosmw j mw m m si jmw cosmw jsimw * m b * m d r m m Örk.6 şğıd bğıısı vril sr dişi (şkil.7) işlvii krmşık FS çıız. () Şkil.7 sr dişi biçimidki dlg Bu işlvi krmşık FS; jw, w bğıılrıd yrrlrk, u d du jw dv v d jw jw döüşümlri kullılrk d jw jw d jw d

23 w jw w jw j j jw jw j j / j jw No:, =π/ is si()=, cos()= dır. / içi, j, / jsi / cos / j / j buluur. O zm / j j yzılbilir. FS is, w / j jw / j / j ld dilir. Örk.7 (.) örğidki souçlrı kullrk FS i rigooomrik şklii yzıız. (.3) bğıılrı: jb, jb, dır. Burd

24 / j / j / j j, jb, jb, yzılbilir. Burd d şğıdki bğıılr ulşılır.... 3w si 3 w si w si w si w si w si b w cos b, b / j / j Örk.8 ()=si 5 () i FS. çılımıı buluuz. No: Eulr bğıılrıı kullıız. o o o İki rimlii Biom çılımı şğıd vrilmkdir. Sriy çılımı:

25 Kosiüslü rimlr birbirilrii göürür (problmd vril işlv k olduğud, doğl olrk, kosiüslü rimlri oplmı sıır olmlıdır). Örk.9 ()= - işlvi (-,) rlığıd vrilmkdir. Bu işlvi =. v =. hrmoiklridki gliklrii buluuz. =- ml rks = dır. So dklmd yri yzılır. =. hrmoik, No:

26 si cos =. hrmoik, ld dilir. Eulr dklmlrid, j =, - j = dir. buluur..3.4 Fourir srilrii hrmoik ormu Hrmoik FS. (.4) (.4) olrk vrilir. Bu bğıılrd; : Doğru kım bilşidir. : Hrmoiklri gliğidir. ϕ : Evr çısıdır. (.43) (.44) (.45)

27 .3.5 Fourir srilrii kuupsl koordilr ormu Fourir srilri kuupsl koordilr kullılrk (.46) yzılır. So şilik, : () işlvii glik spkrumu ϕ(w) : () işlvii vr spkrumudur..5 SONU FOURİER SERİERİNE YKŞIM (.6) bğıısıı sıırlrı sosuzdur. Buu lmı, sosuz syıd hrmoiklri hsplmsı grkliliğidir. Uygulmd is olsı dğildir. Hrmoiklr sıırlı syıd hsplır. Kldı ki birkç hrmoik sor, yüksk rkslı siüsodillri gliklri çok küçülür. Bu dl, hrmoiklr sıırlı olrk hsplır. Örk.4 d hspl FS. i. hrmoiğii gliği 4/=.73,. i 4/(3)=.444, 3.ü 4/(5)=.546, 4.ü 4/(7)=.89 dır. Görüldüğü gibi glikl, hızl söümlmişir. ck, hrmoiklri sıırlı bir syıd ksilmsi ksilikl bir yılgıy yol çr. Bu yılgı, sosuz uzuluk v blirli bir hrmoik ksilmiş srilri rjilri yöüd ol rkıdır. Sosuz hrmoiğ ship ol işlv (), sıırlı hrmoiğ ship ol S k () olrk gösrilirs, sıırlı FS, S k cosw b siw (.47) yzılır. İki srii rjilri rsıdki rk, E k S vy E S (.48) k k k bu yklşımı yılgısıdır. So dklmd, k, hrmoik syıcısıdır. k içi yukrıdki rklr sıır gidrs, E k ()= E k ()= ()-S k ()= ()=S k () S k () dizisi d () dizisi yklşır. Burd: E k () : () v S k () işlvlri rsıdki rkır. E k () : iki işlvi rjilri rsıdki yılgıdır. Eğr blirli bir rlık, örği -/, / rlığıd dğişiyors, yılgı, (.45) dklmii -/, / rlığıd ümlvi lırk ld dilir.

28 / E k Ek Sk (.49) / / / (-/,/) rlığıd, yklşırmd dolyı doğ yılgı, E k / / k d b 4 E k / k d b / / d b E k (.5) 4 / olrk ld dilir. So dklm Prsvl Kurmı olrk biliir. Bu kouy bölüm 5 d yrıılı olrk dğiilckir..6 DIRIHE KOŞURI Pr Gusv ju Dirichl (85-859) srilri ykısklıklrı kousud, özllikl, hrhgi bir işlvi, rigoomrik srilr il gösrilbilmsi içi grkli koşullrı ory koymuşur. Bu koşullr, FS. lri çılımı grçklmsi v çılımı ykısklığı il ilişkili olrk zyı v kuvvli Dirichl koşullrıdır. Zyı Dirichl koşulu: blirli bir rlık, işlvi mulk ümlvii solu olmsı grklidir (.48 bğıısı). Bu koşul, FS. çılımıı grçklşmsii grilr. ck ykısm kousud, hr hgi bir yklşım sğlmz. Buu içi FS. kuvvli koşulu grçklşmsi grkir. (.5.) Kuvvli Dirichl koşulu: bir () işlvi, bir döm içid, sıırlı syıd miimum, mksimum v sürksizlik (şkil.8) oklrı ships (prçlı sürkli işlvlr, bu işlvlri sğd v sold limilri rklıdır) kuvvli koşul gçrlilik kzmışır. Bir işlvi, FS. lri çılbilmsi vy Fourir döüşümlrii lıbilmsi içi bu iki koşulu, grçklmiş olmsı zoruludur. (.5.b)

29 () ( +) ( -) Şkil.8 Prçlı, sürkli işlv.6 İŞEV ÜRERİ VE FS. İE İİŞKİERİ.6. k (odd ucios) v çi işlvlr (v ucios) k işlvlr: (-)=-() koşuluu sğly işlvlrdir. Bulr orji ks gör bkışıkır. Orji gör bkışık olmk; işlvi öc düşy ksd, dh sor d yy ksd klmsı lmıddır (şkil.9). Çi kısım olmdığı içi, FS bğıısıd, (.5) cos içr rimlr yokur. Bu dl, cos içr rimlr sıır olur. Dolyısıyl ksyılrıı içr rimlr sıırdır. Yi, =, = dır. FS. d ylızc si içr rimlr klır. Eld dil bu dklm siüs çılımı dilir. () (.53) (.54) Şkil.9 k işlv Çi işlvlr: (-)=() koşuluu sğly işlvlrdir. Bulr düşy ks gör bkışıkır (şkil.). k kısım olmdığı içi, (.6) bğıısıd, si içr kısım yokur. Bu dl, si rimlri sıır olur. Dolyısıyl b = dır. FS. d ylızc cos içr rimlr klır. Bu dklm kosiüs çılımı dilir. (.55)

30 Çıkrılck souç, ylızc k ol bir işlvi FS çılımı d kir v ylızc si lü rimlrd oluşur. Ylızc çi ol bir işlv içi d, bzr souc vrılır. ck gld krşılşıl işlvlr bu kdr bsi dğildir, k vy çi işlvlri oplmıd oluşur. Bilgi: Çi işlvlrd k işlvlrd (örk cos işlvi) (örk si işlvi) () Şkil. Çi işlv k v çi işlvlri çrpımı içi, bilgid vril dklmlrd yrrlılrk, (çi işlv) X (çi işlv) = çi işlv (çi işlv) X (k işlv) = k işlv (k işlv) X (k işlv) = çi işlv yzılbilir. ck, bir k v bir çi işlvi oplmı, k v d çiir..6. k v çi işlvlri oplmıd oluş (krışık) işlvlr Hrhgi bir işlv k v çi işlvlrii oplmıd oluşuyors, (.56) ç yzılır. (.56) bğıısıd kours: (-)= ç (-) + (-) ç() - ()

31 (.57) ç (.56) v (.57) bğıılrı r r oplıp çıkrılırs, ç (.58) ld dilir [ ç (), () işlvii çi; (), () işlvii k bilşidir]. (.58) bğıılrı, bsi, krışık işlvlri, bilşlrii bulumsıd kullılır. Örk. - << rlığıd ımlı ()= - bilşlrii buluuz. işlvi vrilmkdir (şkil.). k v çi () () B () Şkil. Sosuz rlık ımlı, - üsl işlvi (), ou çi (B) v k bilşlri ()

32 Örk. ım rlığı; vril işlvi (şkil.) k v çi bilşlri yırıız. Şkil. ) + ksd ımlı ()= - üsl işlvi, B) () i çi bilşi ) () i k bilşi Vril bğııd =- kours,

33 ç ç çi bilş buluur (şkil.b). Bzr şkild, xp xp xp xp xp xp ç k bilş (şkil.c) ld dilir. Problmd vril işlv krışık olmsı krşı bsiir v kolylıkl k v çi bilşlri yırmkdır. ck, işlvi dh krışık olmsı durumud, bu yol kullılmz. Buu yri FS. lri vy FD. kullılrk k v çi bilşlri yrılbilir (FS lri vy FD kullılmsı i rışm bölüm 3.3 v 3.5 ypılckır)..7 Yrım dlg bkışımı Dömli bir işlv ()=(+) koşuluu sğlr. Eğr; (.59) bğıısı gçrli is, dömli işlv k yrım dlg bkışımı shipir. Şkil.3 d yrım dlg bkışımı ship iki işlv vrilmişir. Yrım dlg bkışımıı olbilmsi içi; rimik orlmsı sıır olmlıdır. dlg - il çrpıldığıd, ld dil işlvi bkışık olmsı grkir. Kr dlg içi (şkil.3) yrım dlg bkışımıı çıklylım.

34 Dlgı dömi dir rimik orlmsı sıırdır. Yrım dlg bkışımı, işlv, zm ormıd grkli kydırmlrı yprk orijid bşlgıc girilir. Kr dlg, orijid bşlmkdır ck lıd vril işlv - yöd kydırılmlıdır. orijid, hm -, hm d + yöd, şi bir uzklık lırk iki ok spır ( v B oklrı). örği işlv - il çrpılırs, oksı B il yı doğruluy glir. Düşy ks gör bkışımı lıırs B oksı il çkışır. Bşk bir dyişl, hr iki ok oriji gör bkışıkır. Bu yrım dlg k bkışımıdır. () B -/ / () -/ / Şkil.3 Yrım dlg bkışımlı işlvlr İşlv (.55) dklmi bzr olrk (.6) koşuluu d sğlybilir. (.6) dklmi, yrım dlg çi bkışımıdır. Bkışık bir siyl; yrım dlg k bkışımı ship is FS. çılımıd v " ksyılrı sıırdır. b ksyılrı vrdır. Bu ksyılrd i çi dğrlri d sıırdır. Ylızc i k dğrlri (=., 3., 5.,..) içi b hrmoiklri hsplır.

35 Yrım dlg çi bkışımı ship is FS. çılımıd b li ksyılrı sıırdır. v " ksyılrıı hsplmsı yrlidir. Bu ksyılrd i k dğrlri d sıırdır. Ylızc i çi dğrlri (=., 4., 6.,..) içi b hrmoiklri hsplır..7 BKIŞIK İŞEVERİN FOURIER KSYIRI dömi il yil bir () işlvi, çi is Fourir ksyılrı ylızc kosiüslü rimlri içrir. Siüs içr rimlr sıır olur. cosw b siw (.6) / 4 cosmw d,,,... (.6) w dömi il yil bir () işlvi, k is Fourir ksyılrı ylızc siüslü rimlri içrir. Kosiüs içr rimlr sıır olur. b siw (.63) / 4 b siwd (.64) w.8 () DÖNEMİ İŞEVERİN FOURIER SERİSİ (-,) rlığıd ımlmış () dömli bir işlv kosiüs v siüs rimlri içr bir sriy çılbilir. (,) rlığıd ımlmış () dömli bir işlv is ylız kosiüs vy ylız siüs srisi çılır., d d (.65) döüşümlri ypılırs

36 (.66) ld dilir. τ dğişkii γ(τ) işlvi (-π,π) rlığıd ımlmış π dömli bir işlvdir. γ(τ) i FS v ksyılrı: cos b si (.67) d (.68) b cos d si d (.69) (.7) bğıılrıd;, d d döüşümlri ypılrk (.68), (.69) v (.7) bğıılrıd yri yzılır (bu bğıılrdki ümlvi sıırlrı d, olck şkild dğişirilir). d () d (.7) d cos () cos d (.7) v bzr şkild d,

37 b si d (.73) ld dilir. Böylc (-,) rlığıd Dirichl koşullrıı sğly () işlvi içi FS: cos bsi (.74) vy kısc: cos (.75) olrk yzılır. π/=w kours: cosw (.76) ld dilir. ( ) bğıısıd: / b b dir. (.76) şiliğid: cos w : Fourir srisii gl rimi. w : ml rks (siyl içid görülbil küçük rks). : Hrmoiği gliğidir v hiç bir zm olmz bu dl olrk gösrilir. ϕ : Evr çısıdır. Örk. (-,) rlığıd ımlı ()=- işlvii dömii bulu (Şkil.4), işlvi Fourir ksyılrıı hsplyıız. () - Şkil.4 ()=- işlvi

38 Foksiyo il rsıd ımlı olduğu gör döm dir. (.7), (.7) v (.73) kullılrk d d d cos 4cos d b si si d 3 4 cos cos 4 cos3 9 si... si si Örk.3 Dömli bir üçg dlgı ım rlığı v şkli şğıd vrilmkdir (Şkil.5). Vril işlvi FS çıız. ( k - - -/ / Şkil.5 Üçg dlg k k / İşlv k olduğud düşy ks gör rs bkışımlıdır v siüs srisi çılır Bu dl (.73) bğıısı kullılır.,

39 d si d si k d si d si k d si b / / / / dir. Bu dklmlrd, birici ümlvd v cos, du d dv d si, u dğişk döüşümlri ypılrk kısmi ümlvi lıır. si cos d cos k cos b / /. ümlv d bzr yol il buluur si 5 3 si 3 si 4k si b si 4k b si cos k si cos k b si cos d si /.9 FOURİER SERİSİNİN ÜREVİ (.77) (.77) dklmi il vril FS i ürvi şğıdki gibi buluur. '(), prçlı sürkli v ürilbilir bir işlv olduğud ' i FS:

40 ' cosw siw (.78) şklid olckır. si v cos ürvlri yi bzrldir. rigoomrik idlri bşlrı glck ksyılr dğişir. Bu dl, α, α v β ksyılrı hsplıp (.78) d yri kours '() işlvi, v b cisid buluur. / / ' d (hipoz) / / / /, / / ' cosw d dir. Bu bğııd cos w ' w u, dv siw d du, v döüşümlri ypılrk kısmi ümlvi lıırs; / / ' ' cosw d cosw d w siw / / / / d Eld dilir. yrıc / ' / cos / cos w siw d / / ' b / siw d olduğu bilimkdir. Burd, b / / ' siw d buluur. w b w b wb w b

41 =w b olrk ld dilir. / siw d / ümlvi d yı yol il lıırs w buluur. FS i ürvi ', w siw w b w ' (.79) cos olrk ld dilir. (.79) bğıısıd lşılcğı gibi FS i ürvi; srii Fourir ksyılrıı w il çrpılmsıd buluur. i r dğri krşılık v b yric küçük olmz is bşlgıçki sri ykısk olmsı krşı ld dil sri ırksk olur.. DİKDÖRGEN DG KRININ FREKNS SPEKRUMU (.34) bğıısıdki " " gliklri "w" çısl (vy çizgisl) rksı gör çşili "" dğrlri içi çizilirs dömli "()" işlvii glik spkrumu ld dilir. Eğr " " dğrlri "w" çısl rksı gör dğil d "ϕ " vr çısı gör çizilirs "()" işlvii vr spkrumu ld dilir. "" idislri m syısl dğrlr lcğıd glik v vr spkrumlrı "w " yrık dğrlrid (bilrd) görülür. Bu dl ld dil spkrumu yrık rks spkrumu vy çizgisl spkrum ismi vrilir. Örk.4 ım rlığı vril işlvi gliği, gişliği d ol dömli dikdörg dlg krıı (şkil.6) rks spkrumuu buluuz. () d - -/ -d/ d/ / Şkil.6 Dikdörg dlg krı

42 d / / d / d / v d / / (.34) d, d / d / jw d jw jw d /' d / jw jw jw d d j j Eulr bğıılrıd jsi dır. Burd, jw jsi jw d si w w d / buluur. Sğ r d / / w d / w il çrpılıp, wd si w d. w w d wd si d wd wd si w d wd w vy w w koulurs w d si d (.8) w d ld dilir. (.8) d w / yzılırs, d si d (.8) d ulşılır. (.8) v (.8) şiliklrii sğ rlrı "sic" işlvi olrk biliir. "sic" işlvi kullılrk,

43 d w si d c (.8) yzılbilir. (.8) d yrrlılrk () izii krmşık FS çılımı; d w d ( (.83) jw ) si c olrk ld dilir. So dör bğııd vr spkrumu yokur (vril dikdörg krı çi olduğud) v " " grçldir. "w " bğımsız dğişki gör " " çizildiğid yrık rks spkrumu ld dilir. Söz kousu problmd yrık rks spkrumuu ld mk içi, d v y dğrlr vrmk grkir. Örği; =5 birim, d /, / 4 içi bu hsplmlr, şğıd ypılmışır. w d / d 5 w 8,, / 4 / olrk buluur. " " i hsplmsıd wd si si 5si 5 5 wd 5 (.84) dklmid yrrlılır. Böylc hr bir "w " biidki " " dğrlri bulumuş olur. (.84) dklmii hsplmsıd şğıdki dımlr izlir.. Spkrum ormıdki örklm rlığı v bilri yri: w w w 8, 8, 6 yı örklm rlığı içi w w x8 d d bulubilir. Bilri yrlri is; w w d,,,...v w 8 d =,±,±,... v w =8π dğrlrii koulmsıyl ld dilir. b. " " i sıır olduğu yr bulurk sic işlvii sıırlrı hsplır. Buu içi sic işlvii köklrii bulumsı grkir. wd wd si si si olmlıdır.

44 si si 5 5 si si 5 si 5 5 buluur. Yi 5 vy w w 58 4 dğrid dır. c. vy w dki " " dğri bulumlıdır. wd si wd si blirsiz Hospil kurlı gör blirli durum sokulurs: 5 dır. Öylys = vy w d olur. d. (.84) şiliği kullılrk,,,..., 5 dğrlridki " " lr hsplır. = içi c dımıd = = içi = içi =3 içi =4 içi =5 içi,b,c,d dımlrıd bululr (Çizlg.) d vrilmişir.

45 3 4 5 w 8π 6π 4π 3 π 4π Çizlg. i hsplmsı Çizlg. i görüümü Şkil.7 d vrilmkdir w=8.=5 w =5w w Şkil.7 Dikdörg dlg krıı spkrumu Bu problmd vr spkrumu sıırdır. Çükü dikdörg dlg düşy ks gör bkışımlıdır. Bu dl "b " içr rimlr yokur. Bu problmd vri olmdığı şğıdki gibi d kılbilir. Krmşık FS ol (.3) bğıısı, jw dır. Bu dklmd, j yri koulurs, jw (.85) vryi d içr krmşık FS dklmi ld dilir. (.85) gl dklmi, bu problmdki FS çılımı ol (.83) il özdşlşirilirs

46 wd si c, j, w w j ld dilir. Eulr dklmlrid, cos jsi olmlıdır. Bu koşulu sğlmsı içi vr, vy 36 i m klrıdır.,, olmk zoruddır. Bşk bir dyişl Örk.5 Şkil.8 d vril "d" kdr kydırılmış dikdörg dlgı spkrumuu buluuz. () -/ / Şkil.8 d kdr ölmiş dikdörg dlgı spkrumu jw d d jw jw jw d d d jw d / jw d / jw şklid yzılıp jw d / przi lıırs: jw d / jw d / jw d / jw dır. Bir öcki örk, d / jw d / jsi w d / jw ld dilmişi.

47 jw jsi jw w d / d / wd / w d / w d / jw d / d si w d / (.86) olur. (.86) bğıısı, (.39) d yri yzılrk v bir öcki problmdki yklşım kullılrk glik v vr spkrumlrı ulşılır. d si wd / (.87) w d / xp jw d/ j d b / vr spkrumu w d d (.88) (d/, rdy cisiddir). İşlv bir öcki işlv il yı olmsı krşı "" ksid "d/" kdr kydırıldığıd ld dil spkrumu hm glik hm d vr spkrumu vrdır. Yi spkrumd sl bilş bulumkdır. Bu dl vr spkrumu vrdır. d /, / 4 s içi vr spkrumu Şkil.9 d vrilmkdir., ϕ 3/ /4 -/4-3/4 /4 / Şkil.9 d kdr ölmiş dikdörg dlg krıı vr spkrumu Örk.6 / / işlvii (şkil.) çiziiz, FS i buluuz.

48 () -/ / Şkil. ()= işlvi olduğud işlv kir, bu dl kosiüs içr rimlr yi, ksyılrı sıırdır. İşlv siüs srisi çılbilir. (3.8) v (3.9) bğıılrıd yrrlrk, / 4 b si w d dğişk döüşümü ypılrk u du d b b b b b b u dv u v w w w dv si cos cos w w w w v wd / w cosw w cosw w siw si v du w cosw w si w cos cos w cos k k / / si cos / cos w w w / cos d / w si.cos

49 dır. Sri b b siw 3 siw siw si3w si4w siw olrk ld dilir ÖDEVER. (.d) v (.) şiliklrii kılyıız.. (si, si, si3, si) v (, cos, si, cos, si,.cos, si) dizilrii [-,] rlığıd dik olduğuu gösriiz. 3. FS ksyılrıd b ksyısıı ksyısı bzr şkild vril yoll buluuz. 4. şğıd ımı vril dömli işlvi Fourir ksyılrıı buluuz v sriy çıız. 4 4,, 5. şğıd ıml işlvi şklii çizi, FS ksyılrıı bulrk sriy çıız. siw,,

50 6. (), <<π işlvi ilk 3 hrmoiğii hsplyıız, Zm ormıdki siüsodillri v siüsodillri oplmıı çiziiz. 7. kullrk gösriiz. olduğuu k v çi işlvlrii çrpımlrı özlliğii 8. si v il vril (Şkil.) işlvi: Şkil (.) ()= si() işlvi. Krmşık FS çıız. b. rigoomrik FS çıız. c. Hrmoik FS ksyılrıı hsplyıız. d. İlk üç mddyi rışıız. 9. ()= j işlvii k v çi bilşlri yırıız v çiziiz.. ()=4cos(5+)-si(4-π/4) işlvi dömlimidir? Dömli is dömii buluuz.. ()=si () işlvi dömlimidir? Dömli is dömii buluuz.. ()= j(/8) işlvi dömlimidir? Dömli is dömii buluuz. 3. işlvi dömlimidir? Dömli is dömii buluuz.

51 EK Boyu, prmr ımlrı Bir okd, diğr oky gid bir rcı, hız-zm diygrmı. drcd bir prbol dklmiyl gösrilsi (şkil E). Şkil E iki ok rsıd hrk d bir rcı hız-zm dğişimi Şkild, yy ksd (x) zm, zm bğlı olrk dğiş hızlr d düşy ksd gösrilsi. Hız-zm ilişkisi, bir prbol dklmiyl ımldığı gör (x)=x +bx+c (.) yzılbilir. is zm krşılık gl hız (x) dğişimi, (.) d bulubilir. Bu dl x ksi krşılık gl dğrlr, hiçbir ökoşul olmd, sçilbilir. Örği,, 5. vy 5.5 slridki hız dğrlri ld dilbilir. Bu dl x ksi; dğişk, bğımsız dğişk, boyu (x boyuu), srbs dğişk olrk dldırılır. (x), x bğlı olduğu içi bğımlı/bğlı dğişk, büyüklük, glik dilir., b, c is o oly i sbi dğrlrdir. ck olyı koşullrı dğişikç, bu ksyılr d dğişir. Örği şı cisi, hv koşullrı, yol koşullrı vb. dğişikç söz kousu, b,c syısl dğrlri d dğişckir. Bu syısl dğrlr, prmr, ksyı isimlri vrilir. Prmrlr, ıl oly içi sbi syılrdır. Bu dl ürvlri sıırdır. Oys dğişk gör ürv lıbilir.

52 k boyu üç boyu gçiş k boyulu bir şkild 3 v boyu gçilbilir. Şkil E d k boyulu bir Guss ğrisi görülmkdir. k dğişkli ol bu şkild, yoll 3 boyuluy gçilbilir. Şkil E k boyulu guss çıı 3 v boyulu olrk ld dilmsi. Şkil düşy ks boyuc dödürülür (şkil E dki sol ok). Böylc 3B Guss çı ld dilir (İspyol dsçı ği). Ç bir yöd uzılır (şkil E dki sğ ok). Şkild x boyuc uzılmışır. Üç boyulu şkillri kullılmsı prik dğildir. Mühdislik işlmlri, dh çok kğı düzlmid ypılır. Bu dl 3B. lu şkillr, B. idirilir. Buu içi plrid şğı doğru bsırmk v şdğrlr ship syısl dğrlri kourlmk grkir.

53 İspyol dsçı ği olrk gösril şkil uzuluklrı km. olrk ımls v içi dmir doldurulup yrlı gömüls, yri lıd, 3 boyulu dmir cvhri ld dilmiş olur. Bu dmir külsii yryüzüdki grvi, çkim bilşi yryüzüd ölçüls (vy bğıısıd hspls) dmir küli, yryüzüdki, düşy bilşii grvi dğişimi ld dilir (şkil E3). Şkil E3 Yrlıdki 3 boyulu, içi dmir il dolu, ypıı (İspyol dsçı ği şklidki) Eğr dğişim, ylızc, x yöüd ld diliyors, boyulu grvi dğişimi, hm x hm d y yöüd ld diliyors, boyulu grvi dğişimlri ld dilir. B. lu dğişimlr, Joizik omli hrisı dilir. Joizik, gld 3B. lu gözlmlr ypılmz. Hvd ypıl Joizik gözlmlrd bu kurlı dışı çıkılbilir. Hvd, birkç rklı yüksklik uçulrk gözlm ypılmsı durumud, düşy yöd d dğişimlr bulubilir. yrıc, posiyl llrd liik uzımlr kullılrk, düşy yölrdki dğişimlr hsplbilir (bkz. bölüm??).

54 J-Bpis Josph Fourir (768-83) Frsız izikçi v mmikçi Josph Fourir, siüsoidl olmy m dömli bir işlvi siüs v kosiüslri sosuz oplmı biçimd yzılcğıı gösrmişir. Dh doğrusu siüsoidl olmy dömli bir işvi, glik v rkslrı birbirlrid rklı ol birçok siüsodil dlglrı oplmı olrk gösrmişir. Josph Fourir bu kurmı, ilk olrk ml çubuk vy lvhdki ısı dklmlrii çözümüd kullmışır. Isı dklmi dirsiyl bir dklmdir v çözümü zordur. Fourir bu dklmi bsilşirrk siüs v kosiüslri ksyılrl birbiri klyrk krmşık bir ısı kyğı oluşurmyı mçlmışır. Kyğı sosuz y kdr sürcği vrsyımıd hrkl oluşurduğu bu rigoomrik sri Fourir Srisi olrk dldırılmkdır.

55 Pr Gusv ju Dirichl (85-859) Ülü lm mmikçidir. 85 d Dür d doğmuş, ğiimii Pris lmışır. Yüksk öğrimii mmik kousud ypmışır yıllrı, öğrciliğii so yıllrıdır, Bu dömd ömli mmikçilrl ilişkiy gçmişir. Bu mmikçilr rsıd çok Josph Fourir kdisi il ilişki kurmuşur yıllrıd, Brli Üivrsisid kdmisy olrk görv ypmışır. Bu yıllr, lmy ı mmik olrk çok ilri giiği yıllrdır. ju Dirichl, bir çok mkik v izik problmlri mmikl çok iyi ilişkildirmişir. Dirichl problmi olrk dldırıl v bir ümlvi kplı bir çvrdki dğrlriyl problmi çözmüşür. Bir diğr çlışmsı is Frm dklmlri il ilişki ypığı çlışmdır. Ömli bir diğr çlışmsı srilri ykısklığı il ilgili olıdır. Bir işlvi hgi koşullrd rigoomrik bir sri il gösrilcğii koşullrıı blirlmişir. ju Dirichl, 5 myıs859 d, 54 yşıd, Göig d ölmüşür.