FGATool - Kesir Dereceli Sistemler için Grafiksel Analiz Programı FGATool Graphical Analysis Tool for Fractional Order Systems

Transkript

1 FGATool - Kesir Dereceli Sistemler için Grafiksel Analiz Programı FGATool Graphical Analysis Tool for Fractional Order Systems Bilal Şenol 1, Celaleddin Yeroğlu 1 1 Bilgisayar Mühendisliği Bölümü İnönü Üniversitesi, Malatya {bilal.senol c.yeroglu}@inonu.edu.tr Özetçe Bu yayında, doktora tezi olarak geliştirilen, kesir dereceli belirsiz sistemlerin analizinde kullanılabilecek bir Matlab programı ve arayüzü tanıtılmıştır. Bu arayüz kullanılarak, kesir dereceli sistemlerin ve kesir dereceli belirsiz sistemlerin birim basamak cevabı ve frekans tepkisi grafikleri kolayca elde edilebilir. Ayrıca belirsiz ve belirsiz olmayan kesir dereceli polinomların tez kapsamında geliştirilen yöntemler ile kararlılık analizleri kolayca yapılabilir. Abstract This paper presents a Matlab toolbox and interface for analysis of fractional order uncertain systems which is developed as a Ph.D thesis. One can obtain step response and frequency response plots of fractional order systems and fractional order uncertain systems using the interface. Stability analysis of certain and uncertain fractional order polynomials with methods developed in the context of the Ph.D thesis can also be performed. 1. Giriş Derecesi keyfi seçilmiş integro-diferansiyel denklemlerle ifade edilen kesir dereceli sistemler, son yıllarda sistem teorisinde adını sıkça duymaya başladığımız konulardan biridir. Matematik alt yapısının daha iyi anlaşılması, kesir dereceli sistemler ile ilgilenen çalışmaların artmasına neden olmuştur. Özellikle son on yılda kesir dereceli matematik, kontrol teorisi dahil olmak üzere birçok alanda kendine yer bulmaktadır [1-4]. Kesir dereceli sistemlerin analizi önemli bir konu olmasına rağmen, klasik sistemler için sunulan analiz yöntemlerinin kesir dereceli sistemler için doğrudan kullanılamaması araştırmacıların karşısına bir zorluk olarak çıkmaktadır. Bu nedenle kesir dereceli sistemlerin analizinde kullanılabilecek bilgisayar programlarının geliştirilmesi literatüre önemli katkı sağlayacaktır. Klasik sistemlerin analizinde kullanılan, birim basamak tepkisi, Bode, Nyquist vb. grafiklerin yanısıra diğer analiz yöntemlerinin kesir dereceli sistemler için uyarlamaları önemlidir. Bu konuda şimdiye kadar yapılmış bazı çalışmalar mevcuttur. Örneğin CRONE arayüzü, literatürde yer alan, kesir dereceli sistemlerin analizinde kullanılabilecek bir programdır [5]. Bu arayüze ek olarak, Valerio tarafından sunulan ninteger arayüzü [6], bir Java uygulaması olan PIDLAB [7] ve başarılı bir analiz aracı olan FOMCON [8] örnek verilebilir. Yüksek lisans aşamasında geliştirdiğimiz kolay kullanımlı arayüz UFT-FOCS ise [9] da bulunabilir. Literatürde bulunan programlar oldukça kullanışlı olmasına rağmen, kesir dereceli matematik bilgisi gerektirmeden bütün araştırmacılara ve öğrencilere yönelik kolay kullanımlı ve anlaşılır arayüzlere ihtiyaç duyulmaktadır. Bu nedenle, bu yayında geliştirilen programın oldukça kolay kullanımlı, görselliği yüksek ve anlaşılır olmasına dikkat edilmiştir. Bu yayında bölüm 2 de tez kapsamında geliştirilen analiz yöntemleri ve bölüm 3'te FGATool pencereleri tanıtılmıştır. Bölüm 4 te programın kullanımı birkaç örnek üzerinde gösterilmiştir. Bölüm 5 te ise sonuçlar yer almaktadır. 2. Kesir Dereceli Belirsiz Sistemlerin Analiz Yöntemleri FGATool arayüzünün tez kapsamında geliştirilen analiz yöntemleri bu bölümde kısaca anlatılmıştır. Ayrıntılı bilgi [10]'da verilen doktora tezinde bulunabilir. Bu arayüz kullanılarak, kesir dereceli belirli ve belirsiz transfer fonksiyonlarının birim basamak tepkisi, Bode ve Nyquist analizlerinin elde edilmesinde [11]'den yararlanılmıştır. FGATool kapsamında olan analiz yöntemlerinden, Kesir dereceli belirsiz polinomların değer kümesi analizi [12]'de Değer kümesi analizinde hesaplama kolaylığı sağlayan 2q-konveks parpoligon yaklaşımı için [13]'e bakılabilir. Kesir dereceli sistemlerin 2q-konveks parpoligon yaklaşımı kullanılarak Bode ve Nyquist zarflarının elde edilme süreci [14, 15]'te bulunabilir. Kesir dereceli polinom ve transfer fonksiyonlarının kararlılık analizinde kullanılan kök bölgesi analizi [16]'da Hermite-Biehler teoremi ile kararlılık analizi [17]'de bulunabilir. Kesir dereceli polinomların gerçek kökleri ve frekans özellikleri analizi için doktora tezine bakılabilir [10]. 833

2 Doğrusal olmayan belirsizlik yapıları içeren kesir dereceli sistemlerin Bode ve Nyquist sınırlarının elde edilmesinde kullanılan süreç ise [18]'de bulunabilir. FGATool sürekli güncellemeye uygun bir arayüz olup zamanla kapsamındaki analiz araçlarının geliştirilmesi düşünülmektedir. 3. FGATool (Fractional Graphical Analysis Tool) Bu arayüz geliştirilirken dikkat edilen en önemli özellik kesir dereceli sistemler ile ilgilenen her araştırmacının kolayca kullanabileceği, görselliği ön planda tutan bir program oluşturulmasıydı. Bu nedenle, arayüz pencerelerinde, yazılardan çok şekiller kullanılmaya çalışılmıştır. FGATool arayüzü, internet adresinden indirilebilir. Program klasörü herhangi bir yere kopyalanarak Matlab komut satırına fgatool yazılması ile arayüz ekrana gelecektir. FGATool ana ekran görüntüsü Şekil 1 de Frekans özellikleri ile kararlılık analizi, yapılabilir. Bu pencere ile kesir dereceli polinomların gerçek kökleri de kolayca elde edilebilir. Şekil 3. FO Systems penceresinin genel FO Systems penceresinin özellikleri ve kullanımları aşağıda kısaca açıklanmıştır Step Response Step Response penceresi kullanılarak kesir dereceli sistemlerin birim basmak tepkisi elde edilebilir. Pencerenin genel görüntüsü Şekil 4 te Şekil 1. FGATool arayüzü ana ekran Arayüzün ana ekranında üç adet buton bulunmaktadır. Her pencerede bulunan butonu, o pencere için verilen yardım ekranını görüntüleyecektir. Örneğin ana pencere için verilen yardım ekranı Şekil 2 de Şekil 2. Ana pencere için verilen yardım ekranı. Yardım ekranından da görüldüğü gibi, kesir dereceli sistemlerin analizi için FO Systems, kesir dereceli belirsiz sistemler için FO Uncertain Systems butonuna tıklanmalıdır. Bu pencerelerin özellikleri ve kullanımları aşağıda 3.1. FO Systems Penceresi Kesir dereceli sistemlerin analizinde kullanılabilecek olan FO Systems penceresinin genel görüntüsü Şekil 3 te Bu pencere kullanılarak kesir dereceli sistemlerin; Birim basamak tepkisi, Bode, Nyquist, Nichols grafikleri kolayca elde edilebilir. Ayrıca kesir dereceli polinomların; Hermite-Biehler teoremi yardımıyla kararlılık analizi, Kök bölgesi yöntemi ile kararlılık analizi, Şekil 4. Step Response penceresinin genel Bu pencereye sistem girişi aşağıdaki şekilde yapılabilir. nc Pay katsayıları, n1 n2 n3 şeklinde. no Pay üsleri, n1 n2 n3 şeklinde. dc Payda katsayıları, d1 d 2 d 3 şeklinde. do Payda üsleri, şeklinde. d1 d 2 d3 t zaman, başlangıç : artış : bitiş şeklinde. Load From Workspace seçeneği ile, en son girilen sistem bilgileri ekrana yüklenir. Açık çevrim ve kapalı çevrim tercihi yapılarak, Plot butonu ile sistemin birim basamak tepkisi elde edilir. Grid seçeneği ile grafiğe grid çizgileri eklenebilir Bode, Nyquist, Nichols Bu pencere kullanılarak girilen kesir dereceli transfer fonksiyonunun Bode, Nyquist ve Nichols grafikleri elde edilebilir. Pencerenin ana görüntüsü Şekil 5 te Bode, Nyquist, Nichols penceresine transfer fonksiyonu girişi, Step Response penceresindekine benzer şekilde yapılır. Buradaki, istenen frekans aralığıdır. 834

3 Şekil 5. Bode, Nyquist, Nichols penceresi. bölgesinin kararlı ve kararsız kısımlarında kalan kökler pencere ekranında görülecektir. Unstable Roots listesinde herhangi bir kök olması durumunda girilen kesir dereceli polinomun kararsız olduğu sonucu çıkarılabilir Root Finder Bu pencere kullanılarak kesir dereceli polinomların gerçek kökleri bulunabilir. Root Finder penceresinin genel görüntüsü Şekil 8 de Hermite-Biehler Analysis Bu pencere kullanılarak girilen kesir dereceli bir polinomun Hermite-Biehler teoremi yardımıyla kararlılık analizi yapılabilir. Pencerenin genel görüntüsü Şekil 6 da Şekil 8. Root Finder penceresinin genel Şekil 6. Hermite-Biehler Analysis penceresinin genel Kesir dereceli polinom, * s^ * s^ 1 2 şeklinde girilmelidir. Plot butonuna tıklanarak, kesir dereceli polinomun tek ve çift kısımlarının frekansı boyunca çizimi ekrana gelecektir. Tek ve çift kısımların reel ekseni kestiği noktalar, yani tek ve çift kısımların kökleri pencere ekranında görülecektir. Elde edilen çizime göre kararlılık analizi, [17] den yararlanarak yapılabilir Root Region Analysis Bu pencere ile kesir dereceli polinomların, kök bölgesi yardımıyla kararlılık analizi yapılabilir. Bu yöntem hakkında ayrıntılı bilgi [16] da bulunabilir. Root Region Analysis penceresinin genel görüntüsü Şekil 7 de Kesir dereceli polinom girildikten sonra, kesir dereceleri tamsayı derecelere dönüştürecek en küçük m katsayısı da girilerek, Find butonu ile kökler hesaplanır. Bulunan kökler pencere üzerinde görülecektir. Kesir dereceli polinomların köklerinin bulunması hakkında bilgi [10] da bulunabilir Frequency Properties Bu pencere ile kesir dereceli polinomların frekans özellikleri yardımıyla kararlılık analizi yapılabilir. Pencerenin genel görüntüsü Şekil 9 da Kesir dereceli polinom ve frekans aralığı girilerek Pimag Plot butonu ile Preal j grafiği ekranda görülecektir. Bu grafik ile kararlılık analizi [10] da verildiği gibi yapılabilir. Şekil 9. Frequency Properties penceresinin genel Şekil 7. Root Region Analysis penceresinin genel Pencereye polinom girişi önceki bölümde gösterildiği gibi yapılır. m değeri, kesir dereceleri tamsayı derece yapacak en küçük ortak katsayıdır. Plot butonuna tıklandığında, kesir dereceli polinomun kök bölgesi kompleks düzlemin çeyrek bölgesi şeklinde ekranda görülecektir. Full View seçeneği ile kompleks düzlemin tamamı görüntülenebilir. Ayrıca, kök 3.2. FO Uncertain Systems Penceresi Kesir dereceli belirsiz polinom ve sistemlerin analizinde kullanılacak olan FO Uncertain Systems penceresinin genel görüntüsü Şekil 10 da Bu pencere kullanılarak kesir dereceli belirsiz sistemlerin; Birim basamak tepkisi, Bode, Nyquist grafikleri ve Bode, Nyquist zarfları kolayca elde edilebilir. Ayrıca kesir dereceli belirsiz polinomların; Hermite-Biehler teoremi yardımıyla kararlılık analizi, Kök bölgesi yöntemi ile kararlılık analizi, Değer kümesi yöntemi ile kararlılık analizi, 835

4 yapılabilir. Ayrıca doğrusal olmayan belirsizlik yapıları içeren kesir dereceli polinomların Bode ve Nyquist sınırları da elde edilebilir. Doğrusal ve doğrusal olmayan belirsizlik yapıları [12] de gösterilmiştir. Şekil 12. Bode, Nyquist Plots of FOUS penceresinin genel Hermite-Biehler Analysis Hermite-Biehler Analysis penceresinin genel görüntüsü Şekil 13 te Şekil 10. FO Uncertain Systems penceresinin genel FO Uncertain Systems penceresinin özellikleri ve kullanımları aşağıda kısaca açıklanmıştır Step Response Şekil11 de verilen pencere ile kesir dereceli belirsiz sistemlerin birim basamak tepkisi elde edilebilir. Bölüm de verilen pencereden tek farkı, bu pencerede sistem katsayılarının belirsiz olabileceğidir. Sistem üsleri no ve do, bölüm de verildiği gibi girilir. Sistem katsayıları girilirken ise belirsiz parametreler q1, q2, q 3, olarak yazılır. Enter Parameters butonuna tıklandığında, belirsiz parametrelerin alt ve üst limitlerinin girilmesi için kutucuklar görülecektir. Sampling alanı, belirsiz parametrelerin alt ve üst limitleri arasında kaç değer alınacağını belirtmektedir. Diğer seçenek ve butonlar önceki bölümlerde verilen işlevleri yerine getirmektedir. Şekil 11. Step Response of FOUS penceresinin genel Bode, Nyquist Bu pencere kullanılarak kesir dereceli belirsiz sistemlerin Bode ve Nyquist çizimleri elde edilebilir. Pencerenin genel görüntüsü Şekil 12 de Önceki bölümde verildiği gibi pay ve paydanın belirsiz katsayıları q1, q2, q 3, olarak girilerek sistem tanımlanabilir. Envelope seçeneği ile de girilen sistemin Bode ve Nyquist zarfları elde edilir. Şekil 13. Hermite-Biehler Analysis penceresinin genel Kesir dereceli belirsiz polinomların Hermite-Biehler teoremi ile kararlılık analizi için geliştirilen bu pencereye * s^ * s^ şeklinde polinom girişi 1 2 yapılır. Polinomdaki belirsiz katsayılar ise yerine i q i ile yazılmalıdır. Enter Parameters butonu ile belirsiz katsayıların alt ve üst limitleri girilerek Plot butonu ile istenen çizim elde edilir Root Region Analysis Bölüm te verilen kök bölgesi analizi, bu pencerede kesir dereceli belirsiz polinomlar için yapılmıştır. Belirsiz polinom ve belirsiz katsayılar girildikten sonra Plot butonu ile girilen kesir dereceli polinomun kök bölgesi elde edilecektir. Ayrıca, kararlı ve kararsız bölgede yer alan kökler pencere üzerinde görülecektir. Kesir dereceli belirsiz polinomlar için kök bölgesi analizi penceresi Şekil 14 te Value Set Analysis Bu pencere kullanılarak kesir dereceli belirsiz polinomların değer kümeleri elde edilebilir. Değer kümesinin sıfırı dışarıda bırakma prensibi ile birlikte kullanımı oldukça etkin bir kararlılık analiz yöntemidir [12]. Değişken katsayılarla oluşan farklı polinomların aynı çizim üzerinde incelenebilmesi için Color seçeneği ile farklı renkler seçilebilir. Değer kümesi analizi penceresinin genel görüntüsü Şekil 15 te 836

5 1 Gs () s q s q s (1) Belirsiz parametreler, q 1,2, q 2,3 olarak Bu sistem için Bode ve Nyquist zarfları elde edilmek isteniyor. Sistemin ilgili pencereye girişi Şekil 17 de gösterilmiştir. Şekil 14. Stability Analysis of FOUPs via Root Region penceresinin genel Şekil 17. Denklem 1 deki sistemin pencereye girişi. Bu giriş ile elde edilen Bode ve Nyquist zarfları sırasıyla Şekil 18 ve 19'da Şekil 15. Value Set Analysis penceresinin genel Nonlinear Uncertainty Nonlinear Uncertainty penceresinin genel görüntüsü Şekil 16 da Şekil 18. Denklem 1 de verilen sistemin Bode zarfı. Şekil 16. Nonlinear Uncertainty penceresinin genel Bu pencere kullanılarak doğrusal olmayan belirsizlik yapıları içeren kesir dereceli sistemlerin Bode ve Nyquist sınırları elde edilebilir. Bode ve Nyquist sınırları, sistemin Bode ve Nyquist çizimlerini kapsayan dış sınırlar olarak tanımlanabilir. Bu konuda ayrıntılı bilgi [18] de Transfer fonksiyonunun pay ve payda polinomları, belirsiz katsayılar q1, q2, q 3, olacak şekilde yazılarak sistem girişi yapılır. FGATool arayüzünün kısa tanıtımından sonra birkaç örnek ile uygulaması gösterilebilir. 4. Uygulama Örnekleri Örnek 1: Aşağıdaki kesir dereceli belirsiz transfer fonksiyonunu ele alalım. Şekil 19. Denklem 1 de verilen sistemin Nyquist zarfı. Örnek 2: Şimdi de aşağıda verilen kesir dereceli polinom ailesini ele alalım. P() s s q s q (2) Bu polinom ailesi için de belirsiz parametreler, q 1,2, q 2,3 olarak Denklem 2 de verilen poilnomun kök bölgesini elde etmek için gereken pencere 837

6 girişi ve analiz sonrası bulunan kökler Şekil 21 de ve polinom ailesinin kök bölgesi Şekil 22 de Şekil 20. Denklem 2 de verilen polinom ailesi için kök bölgesi analizi. Şekil 21. Denklem 2 de verilen polinom ailesinin kök bölgesi. Denklem 2 deki polinom ailesinin değer kümesini veya tek ve çift kısımlarının çizimlerini elde etmek için ise ilgili pencerelerde Load From Workspace seçeneği kullanılabilir. Böylece FGATool arayüzünün kullanımı kısaca anlatılmıştır. Görüldüğü gibi, programın kullanımının oldukça kolay ve anlaşılır olması literatürdeki benzer programlardan farkını ortaya koymaktadır. 5. Sonuçlar Bu yayında, kesir dereceli polinom ve sistemlerin analizi için doktora tezi kapsamında önerilen analiz yöntemlerinin kolay kullanımı için geliştirilen bir Matlab arayüzü tanıtılmıştır. Bu tez kapsamında doğrusal ve doğrusal olmayan belirsizlik yapıları içeren kesir dereceli sistemlerin analizi için geliştirilen yöntemler literatüre katkı sağlayacaktır. Bu yöntemlerin kolay kullanımı için geliştirilen programın oldukça basit ve anlaşılır olması ve kapsamlı analiz araçları içermesi nedeniyle literatürdeki analiz araçlarına farklı bir bakış açısı getireceği düşünülmektedir. Programın periyodik olarak güncellenecek versiyonları adresinde bulunabilir. [3] R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna, I. Petras, Fractional Order Systems, Modeling and Control Applications, World Scientific, [4] C. A. Monje, Y. Q. Chen, B. M. Vinagre, D. Xue, V. Feliu, Fractional Order Systems and Controls, Fundamentals and Applications, Springer, [5] A. Oustaloup, La Commande CRONE: Commande Robuste d Ordre Non Entier, Hermes, [6] D. Valerio, Ninteger v. 2.3 Fractional control toolbox for MatLab, [7] Č. Martin, S. Miloš, PID controller design on Internet: Department of Cybernetics, University of West Bohemia in Pilsen, [8] A. Tepljakov, Fractional Order Modeling and Control (FOMCON), last accessed April [9] B. Senol, C. Yeroglu, M. Erturkler, Development of a User Friendly Toolbox for Advanced Control Education, 2012 International Conference on Fractional Differetiation and its Applications (ICFDA), [10] B. Şenol, C. Yeroğlu, Kesir Dereceli Belirsiz Sistemler İçin Dayanıklı Analiz Araçlarının ve Arayüz Programlarının Geliştirilmesi, Doktora Tezi, [11] D. Xue, Y. Q. Chen, D. Atherton, Linear Feedback Control: Analysis and Design with MATLAB, SIAM Press, [12] B. Senol, C. Yeroglu, "Robust Stability Analysis of Fractional Order Uncertain Polynomials," 2012 International Conference on Fractional Differetiation and its Applications (ICFDA), [13] B. Senol, C. Yeroglu, "Computation of the value set of fractional order uncertain polynomials: A 2q convex parpolygonal approach," 2012 IEEE International Conference on Control Applications (CCA), [14] C. Yeroglu, B. Senol, Investigation of robust stability of fractional order multilinear affine systems: 2q-convex parpolygon approach, Systems & Control Letters, Cilt: 62, No: 10, s: , [15] B. Şenol, C. Yeroğlu, "2q-Konveks Parpoligon Yaklaşımını Kullanarak Kesir Dereceli Affine Belirsizlik Yapısındaki Sistemlerin Nyquist Zarflarının Elde Edilmesi," 2012 Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı (TOK12), Ekim, Niğde. [16] B. Senol, A. Ates, B. B. Alagoz, C. Yeroglu, A numerical investigation for robust stability of fractional-order uncertain systems, ISA Transactions, Cilt: 53, No:2 s: , [17] B. Senol, C. Yeroglu, N. Tan, "Analysis of Fractional Order Polynomials Using Hermite-Biehler Theorem," 2014 International Conference on Fractional Differetiation and its Applications (ICFDA), [18] B. Senol, C. Yeroglu, Frequency boundary of fractional order systems with nonlinear uncertainties, Journal of the Franklin Institute, Cilt: 350, No: 7, s: , Kaynakça [1] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, [2] I. Podlubny, Fractional-order systems and PI D controllers, IEEE Transactions on Automatic Control, Cilt: 44, No: 1, s: ,