H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s

Transkript

1 Yer Kök Eğrileri R(s) K H(s) V (s) V s R s = K H s 1 K H s B s =1için B(s) Şekil13 Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. b s H s = a s a s K b s =0 a s K b s =0 n a(s) polinomunun en büyük derecesi ve m b(s) polinomunun en büyük derecesidir. K sıfıra doğru yaklaştıkca a(s)=0'dır kapalı çevrim sistemin kutupları H(s)'in kutuplarıdır, benzer şekilde K sonsuza doğru yaklaştıkca b(s)=0'dır kapalı çevrim sistemin kutupları H(s)'in sıfırlarıdır. Kapalı çevrim sistem n kutba sahiptir. Bundan dolayı köklerin yer eğrisi yada yer kök eğrisi n kola sahiptir. Her kol üzerinde kazanç 0'dan büyükdür, kollar dışında kazanç 0'dan küçükdür (bu kısımla ilgilenmeyiz). Her kol, gerçel eksene göre bir açıyla (çıkış açısı), H(s)'in kutuplarıyla başlar ve, gerçel eksene göre bir açıyla (varış açısı), H(s) sıfırlarına doğru gider. Eğer H(s)'in kutup sayısı sıfır sayısından fazla ise H(s) sonsuzda n- m sıfıra sahipdir, bundan dolayı H(s)'in limiti sıfırdır. Bu durumda yer kök eğrisinin asimptotlarının (sonsuza giden kol) sayısı kutup sayısından sıfır sayısı çıkarılarak bulunur. Rlocus() fonksiyonuyla yer kök eğrisi MATLAB'da çizilebilir. Parametre olarak transfer fonksonuna ait pay ve payda katsayıları, durum eşitliklerine ait A,B,C,D matrisleri, LTI objesi girilebilir. Yer kök eğrisi gerçel eksene göre simetrikdir. Yer kök yer eğrilerinin gerçel eksene göre simetrik olmalarından dolayı varış ve çıkış noktaları ya gerçel eksen üzerinde yada sanal çift halinde s (konjuge) düzlemi üzerinde bulunurlar. Eğer kök yer eğrisi gerçel eksen üzerinde yer alan iki kutup arasında yer alıyorsa bu iki kutup arasında en azından 1 çıkış noktası vardır. Benzer şekilde kök yer eğrisi gerçel eksen üzerinde yer alan iki sıfır arasında yer alıyorsa bu iki kutup arasında en azından 1 varış noktası vardır. Sanal eksene yakın olan kutuplar (yada kollar) kapalı çevrim dinamik sistemin kararlılığı ve dinamik 39/115

2 davranışı üzerinde, en büyük aşım artacağından ve sönümleme azalacağından dolayı, daha büyük etkiye sahipdir ve baskın kol olarak adlandırılırlar. Bundan dolayı kutupların konumuna göre sistem 1. veya. dereceden sistem gibi davranabilir. Bu noktada n. dereceden sistemlere ait tepkileri hatırlamak gereklidir. Birinci dereceden sistemin basamak tepkisinde birinci terim zorlanmış tepki (kararlı halde) ve ikinci terim doğal tepki (geçici halde) olarak iki kısımdan oluşmaktadır. Sistem sınırlamaları c(t) üzerinde belirtilir. K G s = C s R s = K R s =u t için C s = c t =K 1 e t / u t 1 s s s 1/ İkinci dereceden sistemin transfer fonksiyonu w n doğal frekans ve ζ sönümleme parametrelerini içermektedir. Sistem üzerinde olan tasarım ölçütleri dikkate alındığında aşağıdaki denklemler elde edilir. w n G s = C s R s = s w n s w n 1,aşırı sönümleme,ikireel ayrık kutup 1, sönümlenmemiş durum,konjuge kutuplar =1,kritik sönümleme,aynı yerde iki kutup s= w n ± j w n 1 kutuplar Basamak tepkisi R s = 1 s w C s = n C s = 1 s w n s s w n s w n s 1 w n 1 s w n w n 1 L 1 c t =1 1 e wn t cos w n 1 t, =arctan / 1 =arccos 1 Basamak tepkisi R s = 1 s vec 0 =0başlangıç koşulları w n s C s = L 1 ċ t = e wn t sin w s w n w n 1 n 1 t 1 T p = enbüyük aşım zamanı,c t ' nin zamana göretürevi sıfıra eşitlenerek bulunur w n 1 M p =1 e / 1 /tan =1 e M p enbüyük aşım =arctan / 1 =arccos enbüyük aşım zamanıt p,c t ' de yerinekoyulduğunda bulunur. yani c T p w n 40/115

3 %±hataiçin yerleşme zamanı1.0=1 e / 1 T s = ln w n T s = k w n k=4 Yükselme zamanıt r = w n c t ' nin sondeğerinin 10değerinden 90 değerineulaşdığı zamandır ln M p W n 1.8 T r 1 ln M p T r yükselme zamanı, M p %olarak enbüyük aşım Bandgenişiği w BW =w n =w BW = 4 T s Şekil14 Örneğin verilen sistem için %5 den az aşım ve 1 s yükselme zamanı, kutuplar taralı bölgede olacak şekilde K orantısal kazanç değerini değiştirerek elde edilebilir. ζ sönümleme oranı ve w n doğal frekansdır. Şekil14'de verilen S düzlemi en büyük aşım, yerleşme ve yükselme zamanı sınırlamalarını 41/115

4 karşılamaktadır. clc; num=[1 5]; denum=[ ]; tf(num,denum) [z,p,k]=tfzpk(num,denum) rlocus(num,denum); %grid on; axis('equal'); axis([ ]) hold on; x=-:1:3; y1=tan(pi/3)*x+11.7*tan(pi/3); y=-tan(pi/3)*x-11.7*tan(pi/3); plot(x,y,x,y1) text(-10,-3,'\leftarrow asimptot','horizontalalignment','left') text(-10,+3,'\leftarrow asimptot1','horizontalalignment','left') zeta=0.7; wn=1.8; sgrid(zeta,wn) [kd,poles]=rlocfind(num,denum) title('kok Yer Egrisi') ylabel('sanal Eksen') xlabel('gercel Eksen') grid on; [num, den]=cloop((kd)*num,denum); figure(); step(num,den) >> z = p = i i i k = 1 4/115

5 Select a point in the graphics window selected_point = i kd = poles = i i i i Şekil15 43/115

6 Şekil16 (1 dereceden sisteme benzer cevap) Şekil17 ( dereceden sisteme benzer cevap) 44/115

7 W n 1.8 T r ln M p 1 ln M p T r yükselme zamanı, M p %olarak enbüyük aşım Yukarıdaki denklemden, %5 den az aşım ve 1 s yükselme zamanı için, ζ sönümleme oranının 0.7'den daha büyük olması ve doğal frekansın 1.8 den büyük olması gereklidir. Şekil9'daki 45 derecelik zeta=0.7 karşılık gelen kesikli iki çizginin arasında ζ>0.7 ve kesikli yarım çember w n =1.8 dışında w n >1.8. Bu iki bölgenin kesişimi dizaynla ilgili sınırlamaları karşılayan kutup değerlerini vermektedir ve MATLAB'da sgrid(zeta,wn) şeklinde bulunmaktadır. Bu bölgeden istediğiniz değeri tıklayarak seçebilirsiniz. Şekil30'da birim basamak tepkisine olan cevabın sınırlamaları karşıladığı gösterilmiştir. Verilen yer kök eğrisi için i, i, 0 ve açık çevrim kutuplarından başlayan 4 adet kol vardır. Kollardan biri -5'de olan açık çevrim sıfırında son bulur. Diğer üç kol K sonsuza giderken (3 adet sıfır burada bulunmaktadır) sonsuza gider. K=0 iken Açık çevrim kutuplarının toplamı -40 dır. Kutup sayısı sıfır sayısından daha fazla olduğundan K değişirken kutupların toplamı sabit kalır. (rlocfind() ile seçilen noktaya göre tüm kutupların toplamının -40 olarak sabit kaldığı görülmektedir). Yine aynı şekilde kutıpların sağ yarı düzleme geçdiği değerler rlocfind() komutu ile istenilen noktanın üzerine tıklanarak MATLAB'da bulunabilir. Kolların yönleri kutupların toplamının sabit kalmasını sağlayacak şekildedir. z i = r i z i açık çevrim kutupları r i öz yapısaldenklemin kökleri Gerçek eksen üzerindeki kolları bulmak için açık çevrim kutup ve sıfırlarına bakılır. Gerçel eksen üzerindeki en solda yer alan sıfır yada kutup'un sağında yer alan kutup ve sıfır sayısı tek ise o bölgeden yer kök eğrisi geçmektedir, eğer çiftse o bölgeden yer kök eğrisi geçmemektedir. Bu işlem en sağdaki sıfır yada kutup'a kadar devam eder ve bu işleme sanal kutup yada sıfırlar dahil edilmez. Örneğe baktığımızda -5 deki sıfırın sağında 3 tane kutup bulunmaktadır, bundan dolayı gerçel eksen üzerindeki -5'in solundaki bu bölgeden yer kök eğrisi geçmektedir. Diğer durumlar benzer şekilde bulunabilir. = 180 k 1 n m yer kök eğrisine ait asimptot açıları k=0,1,,,n m 1 = kutup i sıfır i n m asimptotların gerçel eksenden geçdiği noktalar G=[( )-(-5)]/(4-1)=-35/3=-11.7 noktasında yer kök eğrisine ait asimptotlar 45/115

8 kesişirler. Asimptot açıları 60(k+1)=60,180,300(-60) derecedir. Yer kök eğrisinin gerçel eksenden ayrılma noktası 1+KH(s)=0 özyapısal denklem eşitliğinden K elde edildikten sonra, türevi sıfıra eşitlenerek s değerleri bulunur. 1 K H s =0 1 K = H K = H / H =0 H =0 ' lar bulunur % gercel ekseni kesen noktalar bulunur clc syms x g=((x+5)/(x.^4+40*x.^3+500*x.^+x.*1500)); a=diff(g); t=double(solve(diff(g))) %g=[ ]; %roots(g) %get(0,'format') %format short e %s0=[-50 10] %t=fzero(fun,s0) [(s+5)/(s^4+40*s^3+500*s^+1500*s)]'=0 -.93, -17.1, i, i Gerçel ekseni ayrılma noktaları -.93 ve dir. Kutupların yada sıfırların (varış) çıkış açıları, yer kök eğrisi üzerinde bulunan herhangi bir s noktasına açı koşulu uygulanarak bulunabilir. Test edilen nokta için sıfırların açılarından kutupların ang s 5 ang s i ang s i ang s ang s 4.34 =180,k=0 s=0 yakınındakibir noktatest edildiğinde 0 =180 yada 180 s= 4.34 yakınındaki bir noktatest edildiğinde 4.34 = =0 s= 5 yakınındaki bir nokta test edildiğinde 5 = = 180 yada180 s= i yakınındaki bir nokta test edildiğinde i = s= i yakınındaki bir nokta test edildiğinde i =74.69 clc % eslenik kutuplari icin acilarin bulunmasi % diger kutup ve sifirlara ait acilar benzer sekilde bulunabilir. c= i 46/115

9 teta1=(angle(c+5)-angle(c i)-angle(c)-angle(c+4.34))*180/pi-180; teta1=mod(teta1,360)-360 c= i teta=(angle(c+5)-angle(c i)-angle(c)-angle(c+4.34))*180/pi-180 % Routh-Hourwitz testinde s'e ait denklemin kokleri g=[ ]; roots(g) % Routh-Hourwitz testinde s^'e ait denklemin kokleri k=[ ]; roots(k) açıları çıkarılarak istenilen kutup'a yada sıfıra ait ayrılama açısı bulunabilir. Eşlenik kutupların açıları ters işaretlidir. z i pi = k kutup'undan sol tarafa doğru K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre 180 derecedir kutup'undan sağ tarafa doğru K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre 0 derecedir. -5 sıfır'ından sol tarafa doğru K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre 180 derecedir i kutup'undan güneydoğu yönünde K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre derecedir i kutup'undan kuzeydoğu yönünde K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre derecedir. Gene bu durumları MATLAB'da yer kök eğrisi üzerine tıklayarak ve ilgili renkli yer kök eğrisini takip ederek teyid edebilirsiniz. Kök yer eğrisinin sanal ekseni kesdiği noktaları bulmak için Routh-Hourwitz kararlılık koşulu uygulanır. 1+KH(s)=0 den kararlılık sınırındaki k değeri ve buradan s'in sanal ekseni kesdiği noktalar bulunur. s 4 40 s s 1500 k s 5 K =0 s k s K 0 s K 40 5 K 0 s 8000 K K 1500 K K /115

10 8000 K K 1500 K s=0 0= K 9000 K K=1148, 48 K 0olmalı Örneğin tabloya ait üçüncü satır (40x500-(1500+K)x1)/40 şeklinde yazılır K 40 s 5 K=0 K =1148için 0=707 s s= i, i s satırına ait denklem çözüldüğünde, yer kök eğrisi sanal ekseni K=1148 iken keser, ve s^ satırına ait denklem çözüldüğünde, yer kök eğrisi sanal ekseni i, i noktalarında keser. Farklı sayıda gerçel yada sanal kutup ve sıfır olması durumunda, benzer şekilde yer kök eğrisi bulunabilir. Sisteme bir kutup ilavesi baskın kutup'u sağ yarı düzleme doğru ve sıfır ilavesi baskın kutup'u sol yarı düzleme doğru hareket ettirir. Grafiklerden de anlaşılacağı gibi yer kök eğrileri geçici ve durağan hal tepkilerine ait bilgileri ortaya koyar. Diğer tarafda bode grafikleri sadece durağan tepkisiyle ilgilenmektedir. Bundan dolayı yer kök eğrileri daha iyi analiz sağlamaktadır. Simülasyon dosyaları eklerdedir. Sonuçlar 1. Tüm kutupların gerçel olması durumunda sistem tepkisi aşırı sönümlüdür.. Sistem yanıtı, s süzleminde sanal eksene yakın olan kutuplar tarafından belirlenir. 3. Baskın kutuplar s düzleminde sola doğru gittikçe geçici hal tepkisi iyileşir sönüm artar aşım azalır, sistemin band genişliği artar. 4. Yükselme zamanı ve band genişliği ters orantılıdır. 5. Bir sıfırın bir kutbun yanında bulunmasından dolayı, kutup sistem yanıtını çok az etkiler, ve bu durum sıfır-kutup silmesi olarak adlandırılır. Routh Hourwitz Kararlılık Testi Bu test karakteristik denkleme ait köklerin sağ yarı düzlemde yer alıp almadığını belirler ve sanal eksen üzerinde bulunan ve sağ yarı düzlemde bulunan köklerin sayısını verir. H(s) polinomuna ait köklerin sol yarı düzlemde bulunabilmesi için polinomdaki tüm katsayılar aynı işaretli olmalıdır ve hiçbir katsayı sıfır olmamalıdır. Bu yeterli koşul değildir ve kararlılık testi için Routh-Hourwitz testi uygulanmaktadır. H s =a 4 s 4 a 3 s 3 a s a 1 s a 0 48/115