Ta k nlar n Ötelenmesinde Diferansiyel Kuadratur Yöntemi

Transkript

1 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon Taknlarn Ötelenmesinde Diferansiyel Kuadratur Yöntemi Doç. Dr. Birol KAYA*, Yrd. Doç. Dr. Asl ÜLKE ** *Dokuz Eylül Üniversitesi, naat Mühendislii Bölümü, zmir - birol.kaya@deu.edu.tr **OndokuzMay Üniversitesi, naat Mühendislii Bölümü, Samsun - asli.ulke@omu.edu.tr ÖZET Taknlarn ötelenmesinde, hidrolik yöntemler St.Venant denklemlerinin farkl kabuller altnda çözümüne dayanmaktadr. Kinematik Dalga Modeli, Difüzyon Dalga Modeli ve Dinamik Dalga Modeli gibi yaklamlarla ve farkl nümerik çözüm yöntemleri kullanlarak çözüm yaplabilmektedir. Bu çalmada, hidrolik mühendisliinde son yllarda kullanm yaygnlaan Diferansiyel Kuadratur Metodu (DKM) kullanlarak, kinematik ve difüzyon dalga yaklamlar ile taknlarn ötelenmesine yönelik örnekler verilmektedir. Sonuçlar DKM unun dier saysal çözüm yöntemlerine iyi bir alternatif olabileceini göstermektedir. Differential Quadrature Method for Flood Routing ABSTRACT Hydraulic methods in flood routing problems are based on the solutions of St. Venant equations under different assumptions. St. Venant equations can be linearized mathematically with some assumptions like kinematic wave approach, diffusion wave approach and dynamic wave approach. In this study some examples are given for flood routing using the differential quadrature method (DKM) for the numerical solution of diffusion and kinematic wave equations. Results indicate that, the DKM can be a good alternative for the numerical methods. 1. GR Açk kanallardaki kararsz, tedrici deiken akmlarn hesab için gelitirilen St.Venant denklemleri dorudan integre edilemediinden sonlu elemanlar, sonlu farklar, sonlu hacimler gibi saysal çözüm teknikleri ile çözülmektedir. Dorusal olmayan denklem takm eklinde St. Venant denklemlerinin çözümü denklemler dorusallatrlarak da yaplabilmektedir. St. Venant denklemlerinin çözümünde problemin niteliine göre baz terimler ihmal edilebilmekte ve böylece farkl dalga yaklamlar ortaya çkmaktadr [1, 2]. Bu çalmada dorusallatrlm St.Venant denklemlerinin çözümü amacyla DKM metodu anlatlmakta ve iki örnek üzerinde sonuçlar verilmektedir. Bu çalmada kullanlan DKM metodu Bellman vd. (1971) tarafndan gelitirilmitir [3]. Bu yöntem herhangi bir sistemin diferansiyel formda elde edilmi denklemlerinin, mevcut snr/balangç koullarn da denklemlere dahil ederek, çözümünü önermektedir. Shu ve Richards (1992) baz akkanlar mekanii uygulamalar ve plak ve kirilerin burkulmas ve eilmesi alannda DKM yöntemini kullanarak çalmalar yapmlardr [4]. Son zamanlarda yaplan baz çalmalarda [5] s iletimi, akkanlar mekanii gibi baz alanlarda karlalan

2 - 6 - Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon balangç deer problemlerinde diferansiyel kuadratür yönteminin uygulama prensipleri vurgulanmtr. Civalek (24) ince düzlemlerin ve elastik kolonlarn burkulma analizi üzerinde hem DKM hem de harmonik DKM uygulamtr [6]. Shu ve dierleri (23), DKM metodunu esas alan lokal radyal tabanl bir fonksiyon gelitirmilerdir [7]. Yine Shu ve dierleri (24), iki eksantrik silindir arasndaki çevrinti akmn DKM modeli ile analiz etmilerdir [8]. Lo ve dierleri (25), yaptklar çalmada Navier Stokes denklemlerinin hzçevrinti formunu genelletirilmi DKM ile çözmülerdir [9]. Ding ve dierleri (26), DKM yöntemini üç boyutlu sktrlamaz akm problemlerine uygulamlardr [1]. Kaya ve Arsoy (21) DKM metodunu bir boyutlu yeraltsuyu akm problemlerinin çözümünde kullanmtr [11]. Hashemi ve dierleri de dorusal olmayan Saint Venant denklemlerinin çözümünde artml DKM yöntemine bavurmulardr [12, 13]. Kaya ve Arsoy (21) St.Venant denklemlerini dorusallatrarak DKM ile kanallardaki uzun dalgalarn yaynmn incelemiler [14], Kaya (21) ise adveksiyon difüzyon denkleminin çözümünde DKM metodunu uygulamtr [15]. 2. ST. VENANT DENKLEMLER ve DKM LE ÇÖZÜM Açk kanallardaki kararsz akmlarn çözümünde St.Venant denklemleri, farkl yaklamlar (kinematik dalga, ataletsiz dalga, arlk dalgas, yar kararl dinamik dalga) ile birlikte kullanlabilmektedir. Bu yaklamlar yerel ivme, konvektif ivme, basnç deiimi, yerçekimi ve sürtünme etkilerine bal olarak tanmlanmaktadr. Pratikte, ya, szma ve filtrasyonun yanal akmnn takna neden olan boalma oran nispeten küçük olduundan ihmal edilebilmekte ve prizmatik kanallardaki bir boyutlu, kararsz, tedrici deiken açk kanal akmlarn tanmlayan temel denklemler; A Q t x (1) Q (QV) y ga - ga(s Sf ) t x x (2) ile ifade edilebilmektedir. Burada Q debi, y akm derinlii, A kesit alan, q: kanal boyunca birim uzunluk için net yanal debi (filtre, szma, ya vs), Vx yanal akmn hznn x bileeni, S kanal taban eimi, Sf sürtünme eimi, x boyuna koordinat ve t de zaman göstermektedir. St. Venant denklemlerinin çözümünde Kinematik dalga, Ataletsiz dalga, Arlk dalgas, Yar kararl dinamik dalga, Dinamik dalga yaklamlar kullanlabilmektedir [1, 16]: Momentum denklemindeki (Denk.2) yerel ve konvektif ivme atalet terimlerinin ihmal edilmesi ve (1) denklemi ile birletirilmesiyle (Ataletsiz dalga yaklam) Q t Q C x D h 2 Q 2 x (3) difüzyon denklemi elde edilmektedir. Bu yaklam, daha önceki birçok aratrmada, difüzyon dalga yaklam olarak tanmlanmtr. Dier yandan, difüzyon dalgasnn atalet etkilerine de sahip olabilecei baz aratrmaclar tarafndan da belirtilmitir [17, 18]. Ayrca, St.Venant denklemlerinin dorusallatrlmas ve denklemdeki 3. dereceden terimlerin ihmal edilmesi durumunda da deiik dalga yaklamlar için difüzyon dalga denklemi elde edilebilmektedir. Dinamik dalga için Dh hidrolik difüzivite katsays D h C u C 2 Fr u u 2S A B (4)

3 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon yar kararl dinamik dalga için; D h C u A 2 1 (1 ) Fr 2 (5) u 2S B ataletsiz dalga yaklam için; u D h (6) 2S B A ve kinematik dalga yaklamnda ise; D (7) h olmaktadr. Bu denklemlerde u: akm hz, A:kesit alan, B:su yüzeyi genilii, says olmakta ve kinematik dalga hz Fr:Froude S f / A C u (8) S / Q f kesitin geometrisine ve Sf bantsna bal olarak belirlenebilmektedir. Difüzyon dalga denklemi, DKM ile çözüm için kapal çözüm yaklam ile R r1 A r, s Q i, r N N (2) C B j i - D B, h j, i Q j, s j1 j 1 (9) i 1, 2,..., N ve s 1, 2,..., R eklinde yazlabilmektedir. Burada N: x dorultusundaki düüm says, R ise zaman ekseninde hesap noktas says olmaktadr. Snr koullar tanmlanarak, yazlan denklem takm çözüldüünde Q deerleri belirlenmektedir. Örnein balangç ve memba snr koullar ( Q(x,) ve Q(,t) ) deerlerinin bilinmesi durumunda (9) denklemi R N N (2) Ar, sq i, r C B j, i - Dh B j, i Q j, s r 2 j2 j2 (1) A Q - Q 1, s i,1 2 cb - D B 1, i h 1, i 1, s ekline dönümektedir. A ve B arlk katsaylarnn hesab için farkl yaklamlar bulunmaktadr. Bu çalmada N-1. dereceden polinom kullanlarak elde edilen katsaylar kullanlmtr [4]. Hesap noktalarnn belirlenmesinde ise dalga problemlerinde iyi sonuçlar verdiinden dolay Chebyshev-Gauss- Lobatto nokta dalm uygulanmtr [16].

4 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon 3. DFERANSYEL KUADRATUR METODU (DKM) DKM yöntemi ilk defa Bellman tarafndan ortaya konulmutur. Bir fonksiyonun bir deikene göre r. türevinin çözüm aralnn herhangi bir noktasndaki deerinin, çözüm aralnn bütün noktalarndaki fonksiyon deerlerinin arlkl bir lineer toplam eklinde ifade edilmekte ve r x u r xxi N j1 A ( r) ij u( x ) j i 12,,..., N (11) eklinde yazlmaktadr. Burada xj deiken bölgesindeki noktalar, u(xj) bu noktalardaki fonksiyon deerlerini, ve A (r) ij, r. dereceden türev için arlk katsaylarn ifade eder[3]. Arlk katsaylarnn belirlenmesi konusunda Shu ve di., tarafndan önemli çalmalar yaplm ve çözümler önerilmitir [4, 7, 8, 19, 2, 21]. Fizik ve mühendislikte karlalan balangç deer ve snr deer problemleri için sonlu farklar ve sonlu elemanlar yöntemlerine alternatif, farkl bir yaklamdr. Diferansiyel kuadrature yönteminde çözümün hassasiyeti baz problem türlerinde sinir koularna bal olsa da (snr deer problemlerinde) genelde bu hassasiyet düüm noktalarnn seçimine ve saysna baldr. Daha önce yaplan çalmalar göstermitir ki; lineer türden denklemler ve homojen snr koullarna sahip problemlerde eit aralkl seçilen düüm noktalar çözüm hassasiyeti açsndan yeterlidir. Bununla birlikte titreim problemlerinde daha çok bir dier tür (Chebyshev-Gauss-Lobatto) düüm nokta seçiminin daha uygun olduu gösterilmitir. Zamana bal denklemlerde ve balangç deer problemlerinde ise eit aralkl olmayan türden düüm nokta seçimi en uygun çözümleri türetmitir. Herhangi bir problem için en etkili seçimin bilinmesi analiz süresini ksaltacaktr [22]. 4. UYGULAMA ÖRNEKLER 4.1. Uygulama Örnei 1 Bu hipotetik örnek Bajracharya ve Barry (1997) nin çalmasndan alnmtr [23]. t (, t) t exp 1 Q (12) Balangç artlar Q ( x,) Qi kabul edilmekte, Cve Dhdeerleri ise srasyla 1 m/s ve 1 m 2 /s dir. DKM sonuçlar t=5 sn için ekil 1 de verilmektedir. Burada Nx x yönündeki adm noktalarnn saysn Nt ise t yönündeki adm noktalarnn saysn vermektedir. ekil 2 ve 3 de ise srasyla problemin Ekplisit Sonlu Farklarla (EFDM) ve Implicit Sonlu Farklarla (IFDM) çözümleri verilmektedir.

5 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon Q(m 3 /sec) Nx - Nt X(m) ekil 1.Farkl hesap noktas saylarna göre DKM çözümleri 3 Q(m 3 /sec) Nx-Nt X(m) ekil 2. Farkl hesap noktas saylarna göre EFDM çözümleri

6 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon 3 Q(m 3 /sec) Nx-Nt X(m) ekil 3. Farkl hesap noktas saylarna göre IFDM çözümleri ekil 4 de ise DKM nin EFDM ve IFDM yöntemleri ile karlatrlmas görülmektedir. Bu üç farkl yöntemden elde edilen sonuçlara göre EFDM ve IFDM sonuçlar hesap nokta saylarndan hayli etkilenmektedir. Bununla birlikte DKM sonuçlar az saydaki bir hesap nokta saysyla bile hzlca yaknsamakta, sonuca ulamaktadr. 35 Q(m 3 /sec) Method (Nx-Nt) DQM (4-51) EFDM(21-51) IFDM(21-51) DQM (1-15) EFDM(11-11) IFDM(11-11) X(m) ekil 4. DKM, EFDM ve IFDM yöntemlerinden elde edilen sonuçlar Ayrca EFDM ve IFDM yöntemlerinde sonuçlarn stabilitesi seçilen x ve t deerlerine fazlasyla baldr. Çözümlerin ksa zamanda yaknsamas için bu deerlerin düzgün seçilmesi

7 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon gerekir. Literatür incelendiinde DKM çözümleri için belirlenmi pratik bir deer olmad görülür bununla birlikte 1 ile 45 arasnda bir deer almak uygun olmaktadr Uygulama Örnei 2 Bu çalmada DKM yöntemi, Avusturya New South Wales de Murumbidgee Akarsuyu ndaki Gundagai ve Wagga Wagga istasyonlar arasnda meydana gelmi gerçek bir takn olaylarna uygulanmtr. Gundagai memba, Wagga Wagga istasyonu ise mansap istasyonudur. ki istasyon arasndaki mesafe 12 km olup, yatak eimi %.32 dir. Akarsuda 1916 ylndan 1978 e kadar birçok takn olay yaanm ve saatlik ölçümler yaplmtr. Uygulama da, sabit C ve Dh kullanlarak çözülen DKM ile Sivapalan ve di. (1997) de yer alan 23 Austos- 7 Eylül 1964 tarihleri arasnda meydana gelen takn ölçümlerinden yararlanlmtr [17]. Sivapalan ve di (1997) de dorusal difüzyon dalga denklemini kullanarak sonlu fark denklemlerini çözmüler ve ekil 5 de verilen sonuçlar elde etmilerdir [17]. Ayn ekil üzerinde DKM kullanlarak elde edilen sonuçlar ve ölçüm deerleri de görülmektedir Q(m 3 /s) DQM 1-3 Sivapalan (1997) Ölçüm t (saat) ekil 5. WaggaWagga 23 Austos- 7 Eylül 1964 takn saysal çözüm ve ölçüm sonuçlar DKM ile yaplan çözümde ise farkl hesap noktas saylar kullanlm ve sonuçlar üzerindeki etkisi ortaya konulmaya çallmtr. ekil 6 da Nx: x ekseni nokta says, Nt: t ekseni nokta says olmak üzere farkl deerler için elde edilen baz sonuçlar görülmektedir. Elde edilen sonuçlar incelendiinde Nx deerlerinin arttrlmasnn sonuçlar üzerinde önemli etkisinin olmad görülmektedir. Nt deerlerinin arttrlmasyla sonuçlarn hzl bir ekilde sabit bir deere yaklat görülmektedir. Hesap noktasnn pik deerin olutuu zamana rastlamamas durumlarnda hesaplanan pik deerlerde küçük farkllklar görülmektedir. Yeterli hassasiyette bir çözüm için Nt deerinin 25 alnmas yeterli olmaktadr (ekil 7). Benzer problemler üzerinde yaplan çalmalarda hesap noktas saysnn bu mertebelerde alnmasyla analitik çözüme oldukça yakn sonuçlar alnd, çözümün hesap noktas saysna bal olarak hzl bir ekilde analitik çözüme yaknsad görülmütür. Analitik çözüme göre DKM ile ayn hata oranna sahip sonlu fark çözümlerinde ise çok daha fazla hesap noktas dikkate almak gerekmektedir [16].

8 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon Q(m 3 /sec) DQM 1-1 DQM 2-1 DQM 1-3 DQM 2-3 DQM 1-5 DQM Time(h) ekil 6. DKM metodunda farkl Nx ve Nt deerleri kullanlarak elde edilen sonuçlar 5. SONUÇ VE ÖNERLER DKM hidrolik mühendislii alannda son yllarda kullanlmaya balanan bir yöntemdir. Az sayda hesap noktas kullanlarak analitik çözümlere oldukça yakn sonuçlar elde edilebilmektedir. Bu durum sonlu fark çözümlerine göre önemli bir üstünlüüdür Qpik (m 3 /sec) Nx=2 Nx=1 Nt ekil 7. Farkl Nx ve Nt deerleri için elde edilen takn pik deerinin deiimi DKM un uygulanmasnda dikkat edilmesi gereken en önemli nokta arlk katsaylarnn belirlenmesi için fonksiyonun ve hesap noktas dalmnn seçilmesidir. Taknlarn ötelenmesi problemlerinde, hidrolik modellerin DKM ile çözülmesi durumunda sonlu fark

9 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon yaklamlarna nazaran çok daha az hesap noktas kullanlmasna ramen, gerçek deerlere daha yakn sonuçlarn elde edilebildii görülmektedir. KAYNAKLAR [1] Yen, B.C ve Tsai, C.W. On NoninertiaWaveVersusDiffusionWave in Flood Routing, Journal of Hydrology, 244, 97-14, 21. [2] Hayami, S., On ThePropagation of FloodWaves, Bulletin of thedisasterprevention ResearchInstitute, Kyoto University 1, 1-16, [3] Bellman, R. ve Casti, J., DifferentialQuadratureandLong-Termntegration, Journal of Mathematical Analysis And Applications. 34, , [4] Shu, C., ve Richards, B.E., Application of GeneralizedDifferentialQuadraturetoSolveTwoDimensionalIncompressibleNavier- StokesEquations, International JournalForNumericalMethodsInFluids, 15, , [5] Fung, T.C., GeneralizedLagrangeFunctionsandWeightingCoefficientFormulaeforTheHarmonicDifferen tialquadraturemethod, Int. J. Numer. Meth. Engng, 57, , 23. [6] Civalek, Ö., Application of DifferentialQuadrature (DQ) andharmonicdifferentialquadrature (HDQ) forbuckling Analysis of ThinsotropicPlatesandElasticColumns, EngineeringStructures, 26, , 24. [7] Shu, C., Ding, H. ve Yeo K.S., LocalRadialBasisFunction- BasedDifferentialQuadratureMethodandIts Application tosolvetwo- DimensionalncompressibleNavier StokesEquations, Comput. MethodsAppl. Mech. Engrg., 192, , 23. [8] Shu, C.,Wang, L., Chew,Y.T.veZhao, N., NumericalStudy of EccentricCouette Taylor FlowsandEffect of Eccentricity on FlowPatterns, Theoret. Comput. Fluid Dynamics, 18, 43 59, 24. [9] Lo, D.C.,Young, D.L., ve Murugesan, K., GDQ Methodfor Natural Convection in a CubicCavity Using Velocity-VorticityFormulation, NumericalHeat Transfer, Part B, 48, , 25. [1] Ding, H.,Shu, C., Yeo, K.S.ve Xu, D., NumericalComputation of Three- DimensionalIncompressibleViscousFlows in ThePrimitiveVariable Form bylocalmultiquadricdifferentialquadraturemethod, Comput. MethodsAppl. Mech. Engrg. 195, , 26. [11] Kaya, B, Arsoy, Y. DifferentialQuadrature Solution foronedimensionalaquiferflow, Mathematical andcomputational Applications, AssociationforScientificResearch, Vol 16, 211. [12]Hashemi, M.R.,Abedini, M.J.ve Malekzadeh, P., NumericalModelling of LongWaves in ShallowWater Using ncrementaldifferentialquadraturemethod, Ocean Engineering, 33, , 26. [13] Hashemi, M.R.,Abedini, M.J.ve Malekzadeh, P., A DifferentialQuadrature Analysis of Unsteady Open Channel Flow, Applied Mathematical Modelling, 31, , 27. [14] Kaya, B.,Arsoy, Y., "DifferentialQuadratureMethodforLinearLongWavePropagation in Open Channels", WavePropagation in Materialsfor Modern Applications, Ed.:AndreyPetrin, ISBN , PublishedbyIntech, Vukovar, Crotia, (21), p [15] Kaya, B., Solution of theadvectiondiffusionequationusingthedifferentialquadraturemethod, KSCE Journal of CivilEngineering, Vol.14, No.1., , 21.

10 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 213, Trabzon [16] Kaya, B.,Arisoy, Y. ve Ulke, A., DifferentialQuadratureMethod (DKM) fornumerical Solution of thediffusionwave Model, Journal of FloodEngineering, Vol.1, No.2, 21. [17] Sivapalan, M.,Bates, B.C.ve Larsen, J.E., A Generalized, Non-Linear, DiffusionWaveEquation: Theoretical Development and Application, Journal of Hydrology, 192, 1-16, [18] Ponce, V.M., GeneralizedDiffusionWaveEquationwithInertialEffects, WaterResourcesResearch, 26 (5), , 199. [19] Shu, C., DifferentialQuadratureandIts Application in Engineering, Springer- VerlagLondon Limited, 2. [2] Shu, C., ve Chew Y.T., Fourier Expansion-BasedDifferentialQuadratureandIts Application tohelmholtzeigenvalueproblems, Communications in NumericalMethods in Engineering, 13, , [21] Shu, C.,Yao, Q., Yeo, K.S. ve Zhu, Y.D., Numerical Analysis of FlowandThermalFields in ArbitraryEccentricAnnulusbyDifferentialQuadratureMethod, HeatandMass Transfer, 38, , Springer-Verlag, 22. [22] Civalek, Ö., Çok Serbestlik Dereceli Sistemlerin Harmonik Diferansiyel Quadrature (HDQ) Metodu ile Lineer ve Lineer Olmayan Dinamik Analizi, Doktora Tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 23. [23] Bajracharya K., BarryD.A., Accuracy criteria for linearized diffusion wave flood routing, Journal of Hydrology 195: 2-217, 1997.