Olas l ksal ev Stabilitesi Analizlerinde Yerel De i kenli in Etkisi

Transkript

1 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon Olaslksal ev Stabilitesi Analizlerinde Yerel Deikenliin Etkisi H. Gören, E. Tekin, S. O. Akba, Gazi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, naat Mühendislii Bölümü, Ankara Özet Bu çalmada granüler malzemeden oluan bir evin yenilme olasl basit yöntemler ve göreceli olarak daha ileri olaslksal analizler ile incelenmitir. Özellikle zemin parametrelerinde yerel ortalama kullanmnn sonuçlar üzerindeki etkisi deerlendirilmitir. Basit yaklamda klasik ev stabilitesi analiz yöntemleri uygulanm ve sadece içsel sürtünme açs rastsal deiken olarak ele alnmtr. leri olaslksal analiz ile kastedilen, rastsal saha teorisini elastoplastik davran ile birletiren rastsal sonlu elemanlar yöntemidir. Bu yöntem, geleneksel olaslksal ev stabilitesi analizlerine kyasla birçok avantaja sahiptir. En önemlisi, ev yenilme mekanizmasn, doal biçimde en kritik mekanizmay seçerek belirleme imkann sunmaktadr. Gerçekletirilen analizler, mükemmel korelasyon kabulü ile yerel deikenlii ihmal eden geleneksel ev stabilitesi yöntemlerinin güvenli tarafta kalmayan sonuçlar ortaya çkartabileceini ortaya koymutur. Giri Belirsizliklerin ve olaslksal analizlerin geoteknik mühendisliinde halen en önemli yer tuttuu çalma alanlarndan birinin ev stabilitesi problemleri olduu söylenebilir li yllardan itibaren literatürde ev stabilitesinin olaslk teorisi dahilinde deerlendirildii çalmalara rastlamak mümkün olmu, bu gelimeye yazlm firmalar da programlarna genellikle ev yenilme olasln hesaplama imkan sunan modüller koyarak ayak uydurmaya çalmlardr. Her ne kadar bu gelimeler umut verici olsa da, olaslksal analizlerde öneminin tartmasz olduu açk olan ve mekansal korelasyon ya da otokorelasyon ile temsil edilen yerel deikenliin uygulamada önemli yer tutan ve olaslksal analiz gerçekletirme kapasitesine sahip ev stabilitesi yazlmlarnn hemen hiçbirinde göz önüne alnamyor olmas dikkat çekici bir unsurdur. Bu balamda, Griffiths ve Fenton (2004) ve Griffiths vd. (2009) tarafndan yaplan çalmalarda, söz konusu yazarlar tarafndan gelitirilen rastsal sonlu eleman yöntemi (RFEM) sonuçlar ve yerel deikenliin etkisini göz önünde bulundurmayan geleneksel analitik olaslksal analizler (FORM birinci derece güvenilirlik yöntemi) karlatrlm, mukavemet parametrelerinin varyasyon katsays (COV) baz snr deerleri atnda, geleneksel yöntem ile güvenli tarafta kalmayan sonuçlara ulald gözlenmitir. Yerel deikenlik nadir de olsan baz aratrmaclar tarafndan limit denge yöntemi ile birletirilmi (örn. Low vd. 2007), gerçekletirilen tüm çalmalar, dalgalanma ölçei olarak da adlandrlan ve hangi mesafeye dek iki noktann özelliklerinin anlaml ekilde korele olduunu betimleyen mekansal korelasyon mesafesindeki artn yenilme olasln da artrdn ortaya çkartmtr. Bu sonuca Griffiths vd. (2009), yaplan çalmalarn sadece bir boyuttaki rastsal saha etkisini göz önüne aldn belirterek ve yenilme olaslnn baz

2 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon durumlarda yerel deikenliin yan sra deikenlerin varyans deerine de bal olduunu belirterek kar çkmlardr. Yukardaki açklamalardan da görüldüü üzere, yerel deikenliin olaslksal ev stabilitesi deerlendirmeleri üzerinde önemli etkisi olduu bilinmekle birlikte, bu etkinin yön ve deeri halen tartmaya açk bir konudur. Bu noktalardan hareketle, bu çalmada kohezyonsuz malzemeden oluan bir ev için öncelikle RFEM sonuçlar ile uygulamada kendine geni yer tutan ev stabilitesi analiz programlarndan Rocscience Slide ile gerçekletirilmi olaslksal analizlerden elde edilenler karlatrlmtr. Sonuçlar, yerel deikenliin ihmalinin yenilme olasl üzerindeki etkisi çerçevesinde deerlendirilmitir. Ayn zamanda, geoteknik parametrelerin farkl varyans katsaylar için, yenilme olaslnn korelasyon mesafesi ile deiimi incelenmitir. Teori Rastsal alanda deiebilirliin kullanl ölçüsü korelasyon mesafesidir (). Bazen dalgalanma ölçei olarak da adlandrlmaktadr (Vanmarcke, 1983; Tekin ve Akba, 2010). belirli bir mesafedeki noktalarn anlaml ekilde korele olduunu (örnein %20 den fazla) gösterir. Tersi olarak iki nokta mesafesinden uzak ise aralarnda bir korelasyonun olmad söylenebilir. Matematiksel olarak korelasyon mesafesi korelasyon fonksiyonunun altnda kalan alana eittir (Vanmarcke, 1984): (1) Burada () korelasyon fonksiyonudur. Markov korelasyon fonksiyonu basitliinden dolay yaygn olarak kullanlmaktadr (Fenton ve Griffiths, 2008). Çünkü tahmin edilecek koullu olaslklar sadece var olan diziye baldr: (2) Burada X(t) rastsal alan oluturan dizilerdir. Sadece X(t n-3 ), X(t n-4 ),... biliniyorsa ve X(t n+1 ) ile ilgili olan koullu olasln deeri bilinmek isteniyorsa Markov korelasyon fonksiyonu aadaki biçimi alr: (3) Burada = rastsal alanda bulunan iki nokta arasndaki mesafedir. Aadaki birinci derece türevsel ifadenin çözümünü gerektir: (4) Burada c ve katsaylar, W(t) sfr ortalamal, G 0 younluklu beyaz gürültü girdisidir. Beyaz gürültü girdisinin çözümü için birçok rastsal deikenin X 1 = X(t 1 ), X 2 = X(t 2 ) gibi sonsuz t dizisinin bir araya gelerek X(t) rastsal alann oluturmaktadr. Herbirinin marjinal dalm f x (x) ise, herbir dizi bamsz olduundan birleik dalmlar, marjinal dalmlarn çarpmna eittir: (5) X(t 1 ) vex(t 2 ) noktalar arasndaki kovaryans fonksiyonu aadaki gibidir: (6)

3 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon Yukardaki ifade için benzetim yardmyla beyaz gürültü elde edilir. Problemin çözümü ise Ornstein-Uhlenbeck ilemi olarak isimlendirilir (Uhlenbeck ve Ornstein, 1930). Küçük korelasyon mesafeleri rastsal alann düzensiz ve ani deimesini, büyük korelasyon mesafeleri ise daha yava ve daha az farkllk göstermesini salar. Örnein arazide = ile farkllk gösteren iki noktann korelasyonlar e -2 = 0.13 e düer. Dier taraftan Markov ileminin varyans fonksiyonu: (7) ve tek tarafl spektrum younluk fonksiyonu (G()) aadaki gibi tanmlanr: (8) Markov korelasyon fonksiyonun türevi süreksizdir ve sonsuz deikendir. Rastsal Sonlu Elemanlar Yöntemi Yukardaki geometrik özellikleri betimlemeye yardmc olan eitlikler problemin olaslksal olarak tanmlanmasn salar. Olaslksal geometriden yola çkarak Fenton ve Griffiths rastgele alan benzetimini sonlu elemanlar yöntemi ile birletirmi Rastsal Sonlu Elemanlar Yöntemini (RFEM: Random Finite Element Method) oluturmulardr (Fenton ve Griffiths, 2008). Problemin geometrik özellikleri yukarda anlatlan yöntemlerle rastsal parametrelere dönütürülür (ekil 1). ekil 1 de, örnein, daha koyu olan elemanlar içsel sürtünme açsnn daha yüksek deerlerini sembolize etmektedir. RFEM ile zeminin rastsal davran szma (Griffiths ve Fenton, 1993; Griffiths ve Fenton, 1997), s temellerin oturmas (Paice, Griffiths ve Fenton, 1996; Fenton ve Griffiths, 2002), s temellerin tama gücü (Griffiths, Fenton ve Manoharan, 2002; Fenton ve Griffiths, 2003), ev stabilitesi (Chok ve ark., 2007; Griffiths, Huang ve Fenton, 2010) gibi geoteknik problemlere uygulanmtr. ekil 1 RFEM kullanlarak modellenmi ev (yatay / düey = 2) Rastsal Sonlu Elemanlar Yöntemi ile ev Stabilitesi Analizi Bu çalmada ele alnan kohezyonsuz zeminden müteekkil ev için, olaslksal ev stabilitesi analizlerinde kullanlan zemin parametrelerideerleri ve varyans katsaylar Tablo 1 de verilmitir (Phoon ve Kulhawy, 1999). Ortalama içsel sürtünme açs 30, içsel sürtünme açs varyans katsays için (COV ) %5 - %15 aral, ortalama elastisite modülü 4150 kn/m 2, elastisite modülü varyans katsays için (COV E ) %15 - %65 aral kullanlarak oluturulan ev analiz parametreleri Tablo 2 de tanmlanmtr. RFEM 2 boyutlu ev stabilitesi için

4 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon yatay/düey: 2/1 ev geometrisi tanmlanmtr. Yazlmda Markov fonksiyonu ile korelasyon mesafesi 0.2, 1 ve 5 için hesaplamalar yaplmtr. Tablo 2 de belirtilen analizler için yenilme olaslklar (P f ) ve bunlara karlk gelen standart sapmalar () Tablo 3 de verilmitir. Yenilme olaslnn korelasyon mesafesi ile deiim gösterdii açk biçimde görülebilmektedir. Tablo 1 Olaslksal ev stabilitesi analizlerinde kullanlan zemin parametreleri Parametre Dalm Ortalama, Deiim Katsays, COV (%) Kohezyon, c [kn/m 2 ] Deterministik çsel Sürtünme Açc, [] Lognormal Dilatasyon Açs, [] Deterministik 0 - Birim Arlk, [kn/m 3 ] Deterministik Elastisite Modülü, E 35 Lognormal 4150 [kn/m 2 ] Poisson Oran, Deterministik Analiz No Tablo 2 Olaslksal ev stabilitesi analizleri ev Yatay / Düey çsel sürtünme Açs [] Ortalam a, COV (%) Elastisite Modülü, [kn/m 2 ] COVE (%)

5 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon Tablo 3 Korelasyon mesafesine bal olarak yenilme olaslklar Analiz No Korelasyon Mesafesi = 0.2 = 1 = 5 Pf Pf Pf

6 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon ekil 2 Elastisite modülü ve içsel sürtünme açs varyans katsays ile yenilme olasl deiimi ekil 2 de ev yenilme olasl deerleri, = 1 için içsel sürtünme açs ve elastisite modülünün varyans katsays ile deiimi gösterilmektedir. Sabit korelasyon mesafesi için, geoteknik parametrelerdeki deikenlik arttkça yenilme olaslnn da yükseldii gözlenmektedir. Olaslksal Limit Denge Analizi Rocscience Slide yazlm Monte Carlo / Latin Hypercube benzetim yöntemlerini kullanarak olaslksal analiz yapmaya imkan vermektedir. Zemin dayanm parametreleri, yükler, yeralt su seviyesi, çekme çatla rastgele deiken olarak tanmlanabilmektedir. Yazlm olaslksal analizleri iki yöntemle gerçekletirmektedir. Birinci yöntemde kayma yüzeyi deterministik olarak minimum güvenlik katsaysn verecek ekilde hesaplanmaktadr. Kayma yüzeyi belirlendikten sonra örnekleme yaplarak göçme olasl ve güvenilirlik indeksi hesaplanmaktadr. Dier yöntemde ise herbir rastsal deiken takm için minimum güvenlik katsaysn veren kayma yüzeyi hesaplanr. Rastsal deiken takmlar için hesaplanan kritik yüzeyler bir bant oluturur. Yenilme olasl, minimum güvenlik katsays 1'den küçük hesaplanan benzetim saysnn toplam benzetim saysna bölünmesi ile elde edilir. Çalmann ikinci aamasnda Tablo 1 de verilen zemin parametreleri Slide yazlmnda Monte Carlo örnekleme yöntemi kullanlarak 1000 adet benzetim yaplarak gerçekletrilmitir. Olaslksal analiz için global minimum yaklam seçilmitir. Problem 200 dilime bölünerek basitletirilmi Bishop yöntemi uygulanmtr. Bu analizden mükemmel korelasyon kabulü yapld unutulmamaldr. Basitletirilmi Bishop yönteminde elastisite modülü kullanlmadndan, analiz sonuçlar içsel sürtünme açs deiim katsaysnn %5, %10 ve %15 olan deerleri için Tablo 4 de verilmitir. Tablo 4 COVphi %5, %10, %15 için yenilme olaslklar Analiz No Basitletirilmi Bishop COV (%) Determini stik FS FS FS Pf Tablo 4 de verilen yenilme olasl örnein 1-6 nolu analizlerde 1000 adet hesap yaplan kayma yüzeyi için 8 tanesinin yenildiini ifade etmektedir. Slide yazlm içsel sürtünme açsn deterministik deerlendirdiinde güvenlik katsaysn bütün analizler için olarak hesaplamtr. Oysa olaslksal parametrelerle hesap yapldnda örnein 1-6 nolu analizler için güvenlik katsays ortalamas 1.157, standart sapmas 0.067, minimum güvenlik katsays 0.962, maksimum güvenlik katsays tür (ekil 3). Deerlendirme altnda tutulan 2:1 geometriye sahip kohezyonsuz evin = 0.2, 1, 5 deerlerindeki RFEM ve Slide analizlerine gore yenilme olaslklar, içsel sürtünme açs varyans katsays %10 için ekil 4 de; COV = %15 için ise ekil 5 de gösterilmitir.

7 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon FS(deterministik)=1.155 FS(ortalama)=1.158 a. Analiz 1-6 için FS b. Analiz 1-6 için FS frekanslar FS(deterministik)=1.155 FS(ortalama)=1.161 c. Analiz 7-12 için FS d. Analiz 7-12 için FS frekanslar FS(deterministik)=1.155 FS(ortalama)=1.166 e. Analiz için FS f. Analiz için FS frekanslar ekil 3 Güvenlik katsaylar deiimleri ve frekanslar

8 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon 0,120 0,100 YenilmeOlasl,Pf 0,080 0,060 0,040 RFEM,Theta=5 RFEM,Theta=0.2 RFEM,Theta=1 Slide 0,020 0, COVE(%) ekil 4 COV = %10 ve = 0.2, 1, 5 için yenilme olasklar deiimi 0,300 0,250 YenilmeOlasl,Pf 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000 RFEM,Theta=5 RFEM,Theta=0.2 RFEM,Theta=1 Slide COVE(%) ekil 5 COV = %15 ve = 0.2, 1, 5 için yenilme olasklar deiimi

9 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon Sonuç ve Öneriler Bu çalmada ortalama içsel sürtünme açs 30 o ve eimi yatay/düey: 2/1 olarak tanmlanan kohezyonsuz malzemeden oluan bir ev için rastsal sonlu eleman analizleri ve Rocscience Slide ile gerçekletirilmi olaslksal analizlerden elde edilen sonuçlar karlatrlmtr. Sonuçlar aadaki biçimde özetlenebilir: Sabit korelasyon mesafesi için, geoteknik parametrelerdeki deikenlik arttkça yenilme olaslnn da yükseldii gözlenmektedir. Korelasyon mesafesi, yenilme olasl üzerinde önemli etkiye sahiptir. Daha önce gerçekletirilen çalmalarn birçounda öne sürülenin aksine, korelasyon mesafesinin artmas ile yenilme olaslnda kesin bir yükselme gözlenmemi, bir çok durumda en yüksek yenilme ihtimali ara korelasyon mesafesi deerlerinde ortaya çkmtr. COV = %10 seçildiinde, olaslksal limit denge analizinden elde edilen yenilme olaslklarnn incelenen tüm korelasyon mesafeleri ve modül deikenlii deerleri için, rastsal sonlu eleman analizine oranla daha yüksek yenilme olasl ortaya koyduu görülmütür. çsel sürtünme açsnn varyans katsays %15 e yükseltildiinde ise, korelasyon mesafesinin göreceli olarak daha yüksek deerleri olan 1 ve 5 için, zemin modülünün varyans katsaysna bal olarak limit denge analizinin güvensiz tarafta kalan deerler verebildii gözelnmitir. Bu sonuç, yenilme olaslnn yerel deikenliin yan sra geoteknik deikenlerin varyans deerine de bal olduu savn desteklemektedir. Kaynaklar Chok, Y.H., Jaksa, M.B., Griffiths, D.V., Fenton, G.A. ve Kaggwa, W.S., A parametric study on reliability of spatially random cohesive slopes, Australian Geomechanics, 42(2), , (2007). Fenton, G.A. ve Griffiths, D.V., Bearing capacity prediction of spatially random c - soils, Canadian Geotechnical Journal, 40(1), , (2003). Fenton, G.A. ve Griffiths, D.V., Probabilistic foundation settlement on spatially random soil, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 128(5), , (2002). Fenton, G.A. ve Griffiths, D.V., "Risk assessment in geotechnical engineering", John Wiley and Sons, Canada, (2008). Griffiths, D.V. ve Fenton, G.A., Seepage beneath water retaining structures founded on spatially random soil, Géotechnique, 43(6), , (1993). Griffiths, D.V.ve Fenton, G.A., Three-dimensional seepage through spatially random soil, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 123(2), , (1997). Griffiths, D.V.ve Fenton, G.A., Probabilistic slope stability analysis by finite elements, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 130(5), , (1997). Griffiths, D.V., Fenton, G.A. ve Manoharan, N., Bearing capacity of a rough rigid strip footing on cohesive soil -- a probabilistic study, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 128(9), (2002). Griffiths, D.V., Huang, J. ve Fenton, G.A., Influence of spatial variability on slope reliability using 2-D random fields,, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 135(10), (2009). Griffiths, D.V., Huang, J., ve Fenton, G.A., Probabilistic infinite slope analysis, Computers and Geotechnics, 38(4), , (2010). Low, B.K, Lacasse, S. ve Nadim, F., Slope reliability analysis accounting for spatial variation, Georisk, 1, , (2007). Paice, G.M., Griffiths, D.V., ve Fenton, G.A., Finite element modeling of settlements on spatially random soil, ASCE Journal of Geotechnical Engineering, 122(9), , (1996).

10 Takn ve Heyelan Sempozyumu / Ekim 2013, Trabzon Phoon, K.K. ve Kulhawy, F.H., "Characterization of geotechnical variability", Canadian Geotechnical Journal, 36(4): (1999). Tekin, E. ve Akba, S. O., Killi Zeminlerde Dalgalanma Ölçeinin CPT Sonuçlarna Dayal Belirlenmesi, Zemin Mekanii ve Temel Mühendislii Onüçüncü Ulusal Kongresi, stanbul, (2010). Uhlenbeck, G. E. ve Ornstein, L. S., "On the theory of Brownian Motion", Phys.Rev., 36: , (1930). Vanmarcke, E., "Random fields: analysis and synthesis", Cambridge, MA, MIT Press, 394 p., (1983).