Geçiş Eğrisi Olarak 4.Dereceden Parabol Geçi E risi Olarak 4.Dereceden Parabol

Transkript

1 hkm Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi 009/ Sayı 0 hkm Jeodezi,Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi 009/ Say 0 Geçiş ğrisi larak.dereceden Parabol Geçi risi larak.dereceden Parabol Atınç PIRTI Atnç PIRTI Özet Modern karayolu projelerinde geçi erisi, aliynman (doru) ve kurba (daireye) edeer bir güzergâh elemandr. Keskin kurblarda merkezkaç kuvvetinin ani deiimlerini önlemek için, geçi erisi uygulanmas zorunludur. Dünyann birçok ülkesinde geçi erisi olarak klotoid kullanm yaygndr. Bu çalmada, klotoidin yüksek hzlarda oluturduu sakncalarn giderilmesi amacyla dördüncü dereceden parabol (Bikuadratik parabol) geçi erisi olarak incelenmitir. Sonuç olarak yol dinamii bakmndan dördüncü dereceden parabol klotoide oranla, önemli avantajlar sunmaktadr. Anahtar Sözcükler.dereceden parabol, yol güzergâh, klotoid, geçi erisi Abstract: The Fourth Degree Parabola as Transition Curve The transition curves in the modern road construction are route elements equally crucial as alignment and curve (circular). In order to prevent the sudden change of the centrifugal force, the transition curve must be applied due to the impact of the motion in the sharp curve. ver the years the application of the clothoide has become widespread in many countries in the world. However, in this study, in order to eliminate the problems concerning the road dynamics, created by a clothoide for vehicles at high speed, the fourth degree parabola is examined. Thus, beside the clothoide, some important advantages relating to the road dynamics are obtained. Key Words Fourth Degree Parabola, Highway Route, Clothoide, Transition Curve. Giri Demiryolu, tramvay hatt, karayolu tasarmnda, bilindii gibi farkl erilie sahip geçki elemanlar arasna geçi erileri yerletirilir. Bunlarn ilevi, yolculuk konforunu iyiletirmek ve tatlardan kaynaklanan yol kaplamasndaki anmay en aza indirmektir. Bu eri sayesinde merkezkaç kuvvetinin tata olan etkileri belirli bir uzunluk boyunca datlm, dorudan daireye giri noktasndaki ani etki ortadan kaldrlm olur. Bu çalmada klotoidin yüksek hzlarda oluturduu sakncalardan dolay, geçi erisi olarak kullanlan. dereceden parabolün genel özellikleri incelenmitir.. Geçi risi larak Klotoid.. Genel Bilgiler ekil de görüldüü gibi klotoidin temelini, lineer artan bir erilik ve dever diyagram oluturmaktadr. Klotoidin herhangi bir noktasndaki erilii k k ya da () r R eitliiyle elde edilmektedir. Yukardaki eitliklerdeki k geçi erisinin herhangi bir noktasndaki erilik deerini ifade ederken, k geçi erisince balanlan dairenin erilik deerini, r geçi erisinin herhangi bir noktasndaki yarçap deerini ve R ise geçi erisi tarafndan balanlan daire yaynn yarçap deeridir. k = Klotoidin bitim noktasnn () erilik deeri = Balangç noktasndan () herhangi bir noktaya olan yay uzunluu = Klotoidin uzunluu dur. () eitlii yardmyla klotoidin genel denklemi R = R = A () olmaktadr. itlik deki A deeri klotoidin parametresidir ve sabittir. Klotoid geçi erisinde erilik, dever ve serbest yanal ivme diyagramlarndaki sçramalar (deiimler) küçülmü olmakla beraber fonksiyonlar balangç ve bitim noktalarnda süreksizdirler. Klotoidde yüksek hzlarda yolun güvenlii ve konforuna ilikin sakncalar ortaya çkmaktadr. Bunlar u ekilde sralanabilir: Geçi erisi boyunca, dönme hareketi balangç noktasnda aniden balamakta ve bitim noktasnda aniden son bulmaktadr. Dever diyagram, balangç ve bitim noktalarnda krklklar oluturur (ekil ). Bu noktalarda düey ivme ani deimeler gösterir. Bu durum, erilik ve dever arasndaki fonksiyonel ilikinin bozulmasna neden Yrd. Doç. Dr.., Yıldız Teknik Üniversitesi, Müh. Fak., Harita Mühendisliği Bölümü, Davutpaşa, İstanbul. -3-

2 Pırtı A., Geçiş ğrisi larak.dereceden Parabol hkm 009/ Sayı 0 Prt A. Geçi risi larak.dereceden Parabol hkm 009/, Say 0 olmaktadr. Böyle bir durumda rampa krk noktalarnn yuvarlatlmas öngörülmektedir. Serbest yanal ivmenin lineer artmas sonucu, geçi erisi boyunca sabit büyüklükte r S yanal sademesi (Serbest yanal da S m ivmenin birim zamandaki türevi rs=, sabit hz 3 dt s d d da için ise dt= den rs= s m V 3 ) elde edilir. V V d (d) s Klotoidde yanal sademe, balangç noktasnda aniden ortaya çkmakta ve bitim noktasnda yine aniden sfr olmaktadr (ekil ). Buna karlk rahat bir yolculuk için yanal sademenin süreklilik göstermesi istenmektedir (HNNCK vd. 990), (JACBS 987), (KASPR vd. 968), (TUD 989). Klotoidin yüksek hzlarda oluturduu sakncalar ve tekni- in günümüzdeki düzeyi dikkate alnarak, yüksek hz istenen yol inaatlarnda dördüncü dereceden parabol (Bikuadratik parabol), üstün geçi erileri arasnda yer almaktadr (WITT ve SCHMIDT 995), (HNNCK vd. 990)...Geçi risi larak Dördüncü Dereceden Parabol Dördüncü dereceden parabol, klotoide göre birtakm avantajlara sahip olan geçi erisidir. Bu eri iki ayr parabolden olumaktadr (ekil ) (HNNCK vd.990), (JACBS 987), (WITT ve SCHMIDT 995). Geçi erisinin birinci ksm () için erilik, k= a x (3) olup x = alnarak geçi erisinin M orta noktas, x M = () ve orta noktann erilii k M = R (5) olup, (5) eitlii (3) de yerine konursa; R a (6) R k a = R olmaktadr. in erilik eitlii, (7) u x ki (8) R elde edilmektedir. I için ise x = ve k = / R alnarak erilik, a s kii ( x) R R (9) a s x = x I (0) olarak tanmlanmaktadr. ekil. Klotoidde (a) konum, (b) erilik, (c) dever, (d) serbest yanal ivme, (e) yanal sademe diyagramlar için geçi erisi eitlii, dy = kdx tan () 0 dx -3-

3 hkm 009/ Sayı 0 hkm 009/, Say 0 Pırtı A., Geçiş ğrisi larak.dereceden Parabol Prt A. Geçi risi larak.dereceden Parabol y = kdx c (c = 0, y = 0, iken x = 0) () 0 0 Y M R (a) (b) (c) k u k I =k / u k / R I I / / P I k / Y I M k k / P M Y II I P II P II k I =k - k ( - ) / k II k =/ R I u II u k ( ) u u / u II u =c / R P M P II / (d) (e) a S r S a a S S / a S I ekil. Geçi erisi dördüncü dereceden parabolde (a) geçki yatay geometrisi, (b) erilik, (c) dever, (d) serbest yanal ivme ve (e) yanal sademe diyagramlar (JACBS 987) a S / a S a a S S a S ( ) / P M P II I a S = c 3 / R rs rs / rs rs rs / r r SMax S rs P M P II / / x y I = dx c x0 x0 R / / x Y = dx c x0 x0 R R () Genel denklemi, x y I =, x alnarak (3) 6R elde edilir (HNNCK vd. 990), (JACBS 987), (WITT ve SCHMIDT 995). I bölümü için eitlikler, x x Y = c (5) R 6R Y II = Y DAR Y.DR. PARAB (6) elde edilmektedir. Bu ekilde iki parabolün dördüncü dereceden denklemi, -33-

4 Pırtı A., Geçiş ğrisi larak.dereceden Parabol hkm 009/ Sayı 0 Prt A. Geçi risi larak.dereceden Parabol hkm 009/, Say 0 y I = y = x 6R = x 6R, x (7) P eklinde ortaya çkmaktadr (HNNCK vd. 990), (KASPR vd. 968), (WITT ve SCHMIDT 995), (JACBS 987). bölümü için geçi erisinin balangç noktasndan geçen teeti ekseni alnmakta ve koordinatlar hesaplanmaktadr. I bölümü için ise parabolün bitim noktas olan yi balangç ve dairenin geriye doru uzanmn ekseni alarak koordinatlar hesaplanmaktadr. Y M S R R P I P P Y S / R P P I P II M I y I y II T / T K Y P ekil 3. Dördüncü dereceden parabol Dördüncü dereceden parabolün ilk bölümü için () eitlik 3 uygulanarak gerekli Y deerleri elde edilebilmektedir. I bölümü için noktasndan P mesafede olan bir P noktas için aadaki eitlikler kullanlarak Y deerleri elde edilir (ekil 3). S = - P (8) y P = 6R ( = P alnarak ) (9) Y S = R (R+y P ) Cos S (0) Y P = Y S + R () Rakordman pay ve geçi erisinin dier asal elemanlar, R y M y M () x = x = için ym (3) 96R ym () 96R R = Y R ( - Cos ) (5) 8R = (6) R M = R Sin (7) T K = Y / Sin (8) T = Y Cot (9) -3-

5 hkm 009/ Sayı 0 hkm 009/, Say 0 Pırtı A., Geçiş ğrisi larak.dereceden Parabol Prt A. Geçi risi larak.dereceden Parabol eitlikleriyle elde edilir (ekil 3), (HNNCK vd. 990), (KASPR vd. 968), (WITT ve SCHMIDT 995), (JACBS 987). ekil 3 de gösterilen dördüncü dereceden parabol ( = 50 m, R=000 m), yaplan program yardmyla Tablo ve Tablo dehhhki koordinat deerleri hesaplanmtr. Tablo. bölümü için elde edilen koordinatlar ( noktasndaki teet esas alnarak) Dönüüm için temel tekil eden koordinatlar Balangca Mesafe (m) (m) Y (m) Tablo. I bölümü için elde edilen koordinatlar ( noktasndaki teet esas alnarak) Dönüüm için temel tekil eden koordinatlar Balangca Mesafe (m) I (m) Y (m) ve I nin aplikasyonu için gerekli olan dik koordinatlar, verilen R (yarçap) ve (Geçi erisi uzunluu) deerleri ile (3) ve (5) eitlikleri kullanlarak yaplan programda hesaplanmtr. Programda geçi erisinin uzunluu, metrelik eit yay parçalarna bölünerek koordinat deerleri bulunmutur (Tablo ve Tablo ). ve I koordinatlar arasnda Helmert koordinat dönüümü uygulanarak, dördüncü dereceden parabolün aplikasyon deerleri 50 m aralklarla Tablo 3 deki gibi elde edilmitir. Tablo 3. Dördüncü dereceden parabolün koordinatlar ve asal eleman deerleri (JACBS 987) (R=000 m, =50 m) Dördüncü Dereceden Parabol Balangca Mesafe (m) (m) Y (m) R M T K T gon.30 m.978 m m m Böylece geometrik açdan, geçi erisinin balangç ve bitim noktalarnda balanlan geçki elemanlarnn (Aliynman, Kurp) dever ve erilik diyagramlar için uygun geçie ulalm (ekil ) ve klotoide göre yol dinamii bakmndan aadaki avantajlar elde edilmitir. Tekerlek akslarnn dönme hz, erinin balangç noktasnda yava yava artmaya balamakta, geçi erisinin ortasnda en büyük deerine ulamakta ve bundan sonra yine yava yava bitim noktasnda sfra dümektedir. Dever diyagramnda krk noktalarn bulunmamas düey ivmedeki ani deiimleri önlemektedir. ekil deki yanal ivme diyagramna bakldnda düzenli ve sürekli bir gidi görülmektedir. Bu özelliklere karn geçi erisinin balangç ve bitim noktalarnda, ayrca geçi erisinin orta noktasnda r S yanal sademesinin sürekliliinin bozulmasyla, seyahat konformu konusunda kesin bir sonuca ulalamamaktadr (ekil ). Bu nedenlerden dolay dördüncü dereceden parabol, hzl demiryolu ve yol güzergâhlarnda, inaat üst yaps dikkate alnarak uygulanmaktadr (HNNCK vd. 990), (KASPR vd. 968), (WITT ve SCHMIDT 995), (JACBS 987)..3. ki ayn yönlü daire yay arasnda dördüncü dereceden parabol (Yumurta erisi olarak) R yarçapl daire yay ile R yarçapl daire yay arasna aadaki gibi geçi erisi uygulanmaktadr (ekil ). -35-

6 Pırtı A., Geçiş ğrisi larak.dereceden Parabol hkm 009/ Sayı 0 Prt A. Geçi risi larak.dereceden Parabol hkm 009/, Say 0 R II R I / y I R/ M R/ / y II I ekil. Ayn yönlü iki daire yay arasnda dördüncü dereceden parabolün yumurta erisi olarak uygulanmas ve erilik diyagram ekil 5. ki daire yay arasnda dördüncü dereceden parabolün matematiksel olarak hesaplama diyagram. -36-

7 hkm 009/ Sayı 0 hkm 009/, Say 0 Pırtı A., Geçiş ğrisi larak.dereceden Parabol Prt A. Geçi risi larak.dereceden Parabol ekil 6. Yumurta erisi olarak kullanlan dördüncü dereceden parabolde, herhangi bir P noktasnn koordinatlarn matematiksel olarak hesaplama diyagram. (8) eitlii esas alnarak için erilik denklemi, k x (k k) (30) R I için erilik denklemi Y Y (R R x x R ) (3) R 6 R (R R x x R ) (33) R 6 R k II x (k k) (3) R eklindedir (HNNCK vd. 990), (KASPR vd. 968), (WITT ve SCHMIDT 995), (JACBS 987). () eitlii alnarak elde edilen ve I ye ait genel denklem eitlikleri aada verilmitir. Rakordman pay, () eitliine göre, (R R ) R (3) 8R R elde edilmektedir. yayna göre ordinatlarn hesaplanmasnda, -37-

8 Pırtı A., Geçiş ğrisi larak.dereceden Parabol hkm 009/ Sayı 0 Prt A. Geçi risi larak.dereceden Parabol hkm 009/, Say 0 y x R ) x (R R ) y (35) 6 R 6 R R (R R eitlikleri kullanlmaktadr (HNNCK vd. 990), (KASPR vd. 968), (WITT ve SCHMIDT 995), (JACBS 987). Tablo. bölümü için elde edilen koordinatlar ( noktasndaki teet esas alnarak) Dönüüm için temel tekil eden koordinatlar Balangca (m) Y (m) Mesafe (m) Tablo 5. I bölümü için elde edilen koordinatlar ( noktasndaki teet esas alnarak) Dönüüm için temel tekil eden koordinatlar I Balangca (m) Y (m) Mesafe ekil 5 de yumurta erisi olarak tanmlanan dördüncü dereceden parabolün R = 00 m, R = 800 m ve = 300 m deerleri için yaplan program yardmyla Tablo ve Tablo 5 deki koordinat deerleri hesaplanmtr. ve parabol II için gerekli aplikasyon deerleri Helmert dönüümü kullanlarak Tablo 6 da ki gibi elde edilmitir. Tablo 6 da ayrca dördüncü dereceden parabolün koordinatlar ve asal eleman deerleri de verilmektedir. Tablo 6. Dördüncü Dereceden Parabol Balangca Mesafe (m) (m) Y (m) R M M M 9.89 gon m m m ve yarçaplar ile geçi erisi uzunluu deerleri verilmi olup, eitlik 3 de yerine konularak R deeri elde edilmitir. Geçi erisinin bitim noktasnn () koordinatlar aadaki eitliklerden hesaplanmaktadr. 00 (36) R 00 (37) R M M = d = R (R + R) (38) = 00 ( + ) (39) b = d Sin, c = R Cos (0) a = d Cos, e = R Sin () A = (R - R / ) Cos () B = (R - R / ) Sin (3) Y M = R A () M = B (5) Y = R a e (6) = b+ c (7) ekil 6 da yumurta erisinde noktasndan P mesafedeki bir P ara noktasnn koordinatlar, (36), (37), (38) eitliklerinden hesaplanmaktadr. P = 00 R P (8) -38-

9 hkm 009/ Sayı 0 hkm 009/, Say 0 Pırtı A., Geçiş ğrisi larak.dereceden Parabol Prt A. Geçi risi larak.dereceden Parabol = 00 ( + - P ) (9) b = d Sin (50) S = b / Cos, t = S Sin (5) y p P (R R ) 6 RR (5) a = d Cos = (R (R +R)) Cos (53) K = (R + S + y P ) Cos( + - P ) (5) Y P = R + t a K (55) P = (R + S + y P ) Sin( + - P ) (56) Sonuç Bir yolun tasarmndaki geometrik ve dinamik kstaslar dikkate alndnda, geçi erisinin uygulanmas zorunlu hale gelmektedir. Yol tasarmnda, geçi erisi güvenlik ve estetik bakmlardan zorunlu bir elemandr. Ayn ekilde yapay nehir ve kanal inaatnda da güzergâhn geçi erisi ile donatlmas gitgide önem kazanmaktadr. Bu makalede açklanan dördüncü dereceden parabol (Bikuadratik parabol), çeitli ülkelerde özellikle hzl trenlerin ihtiyac olan demiryollarnn rahat ve güvenli bir ekilde tasarlanmasnda kullanlmaktadr. Klotoidin yüksek hzlarda ortaya çkard sorunlar bu çalmada açklanan. dereceden parabol ile ortadan kaldrlabilecektir. Kaynaklar HNNCK F, MÜR G, WRNR H ::Handbuch Ingenieurvermessungs Verkehrsbau-Trassen, Berlin, 990. JACBS.: Die Sinüsoide als neuzeitlich Trassierungselement, Vermessung Ingenieur, Mülheim a.d. Ruhr, /987. KASPR H., SCHÜRBA W., RNZ H.: Die Klotoide als Trassierungselement, Dümmlerbuch 780 Hannover- München Ferd. Dümmlers Verlag-Bonn, 968. TÜD T.. : Aplikasyon, Karadeniz Teknik Üniversitesi, 3.Bask, Trabzon, 989 WTT B. ve SCHMDT H.: Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen, Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart,