2. BİLEŞİK FAİZ. Finansal Matematik

2. BİLEŞİK FAİZ 2.1 Bileşik faiz hesapları 2.1.1. Devre sonu ödemeli ve devre başı ödemeli bileşik Faiz 2.1.2. Orantılı bileşik faiz 2.1.3. Anlık bileşik faiz 2.1.4. Denk faiz (eşdeğer oranlar) 2.1.5. Kesirli toplam dönemler 2.1.6. Faiz oranının bulunması 2.1.7. Zamanın bulunması 2.1.8. Bileşik faizde paranın değer denklikleri 2.2. Bileşik İskonto 2.2.1. Senet (bono) değiştirme

2.1. Bileşik Faiz Faiz ödenen her dönemden sonra tahakkuk eden (elde edilen) faizin anaparaya eklen- mesiyle hesaplanan faizdir. Faiz dönemleri: yıl, yarıyıl, çeyrek yıl, ay, hafta, gün veya sürekli an olabilir. C0 : Anapara, Cn nin şimdiki değ eri, Cn nin iskontolu değeri, Cn: Toplam değ er, birikmiş değ er, C0 nin bileşik/birikmiş (n. devre sonu) değ eri, t: Yıl cinsinden ana paranın faiz için kullanma zamanı m: Bir yılda faiz ödenen dönem sayısı, n: Faiz ödenen toplam dönem sayısı, n = m.t ile hesaplanır, r: yıllık faiz oranı, i: Dönem başına ödenen faiz oranı, i = r ile hesaplanır. m Örnek. r = %24 m = 12 dönem (ay) var, Aylık (dönemlik) faiz oranı: i = r 12 12 = 0,24 = 0, 02 = %2. Bir C0 anaparası, 1.dönemin başında, dönem başına r faiz oranı ile yatırıldığ ında n.dönemin sonunda Cn birikmiş değ eri aşağ ıdaki gibi hesaplanır: 1.dönem sonunda faiz: I = C0.r birikmiş değ er: C1 = C0 + C0.r = C0 (1 + r), 2.dönem sonunda faiz: I = C0 (1 + r).r birikmiş Değer C2 = C0 (1 +r) + C0 (1 + r).r = C0 (1 + r)(1 + r) = C0 (1 + r) 2 3.dönem sonunda faiz: I = C0 (1 + r) 2.r ve birikmiş değ er: C3 = C0 (1 + r) 2 + C0 (1 + r) 2.r =C0 (1 + r) 2 (1 + r) = C0 (1 + r) 3, n. dönem sonunda birikmiş değer: C n = C0 (1 + r) n

bir yıldan küçük faiz dönemleri için (n=m.t) Cn = C0 (1 + r/m ) m.t Böylece Cn birikmiş değ erinin şimdiki değ eri Co = Cn (1 +r ) n veya C0 = Cmt (1 + r/m) m.t m halinde faiz ödenen dönem kesikli olmaktan çıkıp sürekli hale geldiğ inden bu durumda kullanılan bileşik faiz oranı sürekli bileşik faiz oranı olarak adlandırılır. Sürekli bileşik faizde Cn birikmiş değeri lim (1 + x m m )m = e x yardımıyla, C n = C 0 lim m (1 + r m ) mt C n = C 0 e rt olur. Örnek. a) 1000 TL nin %12 den 2 yıllık basit faizini bulunuz. b) 1000 TL nin 6 aylık faiz ödemeli %12 den 2 yıllık faizini bulunuz. Cevap : a) r= 1 yıl faizi n=2 C0 = 1000, r = 0, 12, (yıl)t = 2, (1 yıldaki dönem) m =2 I = 1000 (0, 12) 2 = 240 TL b) ) r= 1 yıl faizi t=2 n=m.t = 2. 2 = 4 dönem Periyot 6 ay olduğ undan 1 yıldaki dönem sayısı m = 2 ve t = 2 olduğ undan toplam C0 = 1000, r = 0, 12, r/m = 0,12/2 =0,06 Cn = Cmt = C0 (1 + r) n = 1000(1 + 0, 06) 4 = 1262, 48 TL bulunur. I = Cn C0 = 1262, 48 1000 = 262, 48 TL faiz getirisi.

Örnek. Bir kimse emekliliğ i için tasarruf yapmak üzere Ş ubat 2010 da bankaya 100,000 TL yatırırmışsa, aylık faiz ödemeli %12 yıllık bileşik faiz oranından Ş ubat 2030 da kaç parası olur? C0 = 100000, t = 20, m = 12, n = 20.12 = 240, r = 0, 12 r/m= 0,12 =0,01 12 C n = C0 (1 + r) n = 100000 (1 + 0,12 ) 240 = 108.925.5, 37 TL. 12 Özet : Faiz tutarının hesaplanmasında genel olarak 4 metod vardır. Basit faiz ve bileşik faiz, diğer taraftan difere faiz ve antisipe faiz. Ayrıca yıl 360 veya 365 (pratik veya gerçek) gün kullanılması da ayrı bir kriterdir. basit faiz bileşik faiz Difere faiz + + Antisipe faiz + + Difere faiz : her devre için hesaplanan faiz devre sonunda ödenir Antisipe faiz : her devre için hesaplanan faiz devre başında ödenir. Difere faizde 1 lira, 1 devre sonunda (1+ r) lira olur. Antisipe faizde (1-r) lira, 1 devre sonunda 1 lira olur. Örnek. C0 = 50.000 r=0,1 difere faiz Devre(yıl) C0 C0 I=C0rt I=C0[(1+r) t -1] Cn=C0(1+rt) Cn=C0(1+r) t t Basit Bileşik basit bileşik basit Bileşik 1 50.000 50.000 5.000 5.000 55.000 55.000 2 50.000 55.000 5.000 5.500 55.000 60.500 3 50.000 60.500 5.000 6.050 55.000 66.550

2.1.1. Devre başı ödemeli (difere) devre sonu ödemeli (antisipe) faiz Difere bileşik faiz C1= C0 + C0 r = C0 (1+r) C2= C0 (1+r) + C0 (1+r)r = C0 (1+r) 2 C3= C0 (1+r) 2 + C0 (1+r) 2 r = C0 (1+r) 3 Cn= C0 (1+r) n-1 + C0 (1+r) n-1 r = C0 (1+r) n I=Cn C0 = C0 (1+r ) n C0 = C0 [(1+r) n 1] Bileşik faiz formülü ile nüfus hesaplamalarında da yararlanılır.nüfus da ana paranın bileşik faizine benzer artış gösterir. Antisipe bileşik faiz C1= C0 + C0 r/(1-r) = C0 [1+r/(1-r)] = C0 (1-r) -1 C2= C0 /(1-r) + {C0 /(1-r)}. { r/(1-r)} = [C0 / (1-r)][1+r/(1-r)] = C0/(1-r) 2 = C0 (1-r) -2 Cn= C0 (1-r)- n I=Cn C0 = C0 (1-r )- n C0 = C0 [1/(1-r) n 1] 2.1.2. Orantılı bileşik faiz Belirli bir t devre için, bu devreden m kez daha küçük bir devre r/m oranında faiz uygulanması işlemidir. Örnek, yıllık faiz 0,08 ise, 6 aylık devre yılın yarısı olur ve faiz 0,04 olur. Diğer taraftan aylık 0,05 faizin yıllık orantılı faiz nispeti 0,6 dır, çünkü devre 12 kat artmıştır.

Bu gibi durumlarda orantılı faiz uygulamak şartı ile (m) devre sayısı küçüldükçe Cn değeri büyür. m=1 ise r = yıllık faiz r/m = r/1 = r m>1 için yıldan küçük devre faiz oranı r/m olur. süre büyük devrenin t katı ise küçük devrenin mt katı olur. Cn = C0 (1+r/m) mt C0 (1+r/m) mt > C0 (1 + r) t yukarıdaki eşitsizliğin tüm elemanları pozitif olduğu için eşitsizliğin her iki tarafı C0 ile bölünüp t. dereceden kökü alınırsa. (1 + r/m) m > 1+r elde edilir. Sol taraftaki eşitsizlik açılırsa, 1 + r + m(m 1) 2! x r2 + + rm m 2 mm > 1 + r elde edilir. Örnek : C0 = 10.000 tl, yıllık %8 faiz ile 6 aylık devre esasına göre %4 den 5 yıl bir süre için veriliyor. Yıllık %8 ile Cn = 10.000 x 1,08 5 = 14.692,67 tl {logcn=4+5x0.03342=4,16710, antilogcn=14692,67} 6 aylık %4 ile Cn = 10.000 x 1,04 10 = 14.822,44 tl daha fazla olduğu görülür.

Orantılı faiz ile devreler giderek büyüyen sayılara bölününce Cn değeri de giderek büyür. Ancak devreler küçüldükçe Cn değeri yavaşlayan bir hızla büyür. Bu nedenle orantılı faiz de devre m kez küçülünce m=sonsuz için Cn değerinin bir limiti vardır, bu limite anlık faize göre baliğ (Cn) denir. 2.1.3. Anlık faiz C0 başlangıç değerinin devreler en küçük sonsuza kadar küçültülmüş bir orantılı faiz ile devre sonu değeri Cn=C0. e rt dir. Çünkü, devre m ye bölününce orantılı faiz r/m, devre sayısı mt olup orantılı faize göre Cn=C0 (1+ r/m) mt olduğu görülmüştü m büyüdükçe Cn değeri büyür m=sonsuz için Cn değeri maximum olur. Bu max değeri bir limittir. Yukarıdaki formülü m=sonsuz için limitini alırsak, lim (1 + 1 m m )m = e ve lim (1 + r m m )m = e r olduğuna göre, (1 + r m )mt = [(1 + r m )m ] t alınırsa lim (1 + r m m )mt = e rt olur. Bu durumda m=sonsuz için Cn=C0. e r t olur. Örnek : 10.000 lira yıllık %8 faiz ile 3 aylık devre orantılı faiz üzerinden 9 yıl sonunda parasın dönem sonu değeri ne olur? Cevap: 3 ay,1/4 yıl olduğu için orantılı faiz 0,08/4=0,02 olur. 9 yılda 9x4=36 eşit 3 aylık devre olduğundan Cn=10.000x1,02 36 = 20.398,57 tl

Örnek: 10.000 lira aylık %0,6 ile 10 yıl faizde tutulmak yerine orantılı faiz ile yıllık devrelere göre faize verilirse kapital kaybı ne olur? Cevap : aylık devrelere göre Cn = 10,000x1,006 120 = 20.511,43 Yıllık devrelere göre, aylık 0,006 nın yıllık orantılı faizi 0,006x12=0,072 olur Cn= 10.000x1,072 10 = 20.040 Bu durumda kapital kaybı 20.511,43-20.040=471,43 tl

2.1.4. Denk (Eşdeğer) faiz Oranı Bir C0 kapitali, iki farklı devre esasına göre, iki ayrı faiz oranı üzerinden t yıl sonunda aynı miktar devre sonu değerine (Cn) ulaşırsa bu iki faiz oranlarına denk faiz oranı denir. C0(1+r1) t = C0(1+r2) mt Burada r1 ve r2 denk faiz oranıdır. Formülün her iki tarafı da C0 bölünürse, (1+r1) = (1+r2) m elde edilir. Formülün her iki tarafının logaritması alınırsa log(1+r1) = mlog(1+r2) log(1+r2) = log(1+r1)/m veya veya m= log(1+r1) / log(1+r2) elde edilir. Denk faiz uygulamasında ilgili 3 elemandan ikisi genellikle bellidir, üçüncüsü yukarıdaki şekilde elde edilir. Örnek : yıllık %12 nini 6 aylık devre için denk faiz oranı nedir? (1+r1) = (1+r2) m (1+0,12) = (1+r2) 2 log(1+r2) = (log 1,12)/2 = 0,04922/2=0,02461 (log1,12 = 0.049218) 1+r2 = 1,058293 r2=0,058293 = %5,8 Örnek : aylık %0,8 in yıllık denk faizi nedir? (1+r1) = (1+r2) m (1+r1) = (1+0,08) 12 log(1+r1) = 12 log 1,008 = 12 x 0,00346 = 0,04152 1+r1 = 1,100325 r1=0,100325 = %10

Verilen bir r oranı için m devre sayısı arttıkça Cn birikmiş değ eri de artar. Farklı m değ erlerine sahip iki ayrı r oranına, aynı zaman sürecinde aynı Cn değ erini veriyorlarsa, bunlara eşdeğ er oranlar denir. Örnek. 10000 TL nin yıllık faiz oranı r= 0, 12 oranından m = 1, 2, 4, 12, 52, 365 alt dönemleri için ayrı ayrı 10 yıl sonra ne kadar olacağ ını hesaplayınız. m : bir yıl içindeki faiz devresi, t= faiz süresi (yıl) tm: faize tabi toplam devre sayısı r m = r/m = (yıllık faiz/ay) : m alt devreye ait faiz oranı m t n=mt r/m C0 Cn=C0 (1+ r) tm 1 10 10 0,12 10000 31058,48 2 10 20 4 10 40 12 10 120 52 10 520 365 10 3650 0,12 2 10000 32071,36 0,12 4 10000 32620,38 0,12 12 10000 33003,87 0,12 52 10000 33155,30 0,12 365 10000 33194,62 Örnek. 1 TL ve 1 yıl için aşağ ıda istenilen denk oranları bulunuz. a) Yıllık faiz r = %10, 08 e denk gelen aylık faiz r 12 =? 1.(1+r12/12) 12 = 1. (1+ r1/1) 1 1.(1+r12/12) 12 = 1+ 0,1008 (1+r12/12) = (1+ 0,1008) 1/12 r12 = 12 [(1,1008) 1/12 1] =0,09642251 = %9,64 b) Dört aylık faiz r 4 = %12 ye denk i k i ay l ı k gelen r 2 =? 1.(1+r2/2) 2 = 1. (1+ r4/4) 4 1.(1+r2/2) 2 = (1+ 0,12/4) 4 (1+r2/2) = (1+ 0,03) 2 r2 = 2 [(1,03) 2 1] =0,1218 = %12,18 c) Anlık faiz r1 = 0,09 denk gelen 4 a y l ı k f a i z r 4 =? 1.(1+r4/4) 4 = 1.e.r1.1 1.(1+r4/4) 4 = e 0,09 (1+r4/4) = e 0,09/4 r4 = 4 [e 0,09/4 1] =0,0910201 = %9,10

2.1.5. Kesirli Toplam Dönemler Bileşik faizde faiz uygulanan toplam dönem sayısı tam sayı değ il, kesirli olarak ve- rilmiş ise aşağ ıdaki metodlar kullanılır. Teorik Metod: n toplam dönem sayısı kesirli olarak işleme katılır. Pratik Metod: Birikmiş değ eri bulurken ilgili tarihi geçmeyen en büyük tam dönem sayısı kadar ileriye doğ ru bileşik faiz, geriye kalan ve 1 dönem etmeyen kısım için de ileriye doğ du basit faiz uygulanır. Geçmişteki değ eri bulurken ise ilgili tarihi içeren en küçük dönem kadar geriye doğ ru bileşik faiz ile ve daha sonra ilgili tarihe kadar ileriye doğ ru basit faiz uygulanır. Örnek. 1000 TL nin 5 yıl 7 ay sonra r 2 = %13, 50 oranından değ erini a) Teorik, b) Pratik Metod uygulayarak bulunuz.

a) Cn = 1000, r 2 = 0, 1350, t = 5 +7/12 = (67/12) = 67/6, m=2, n=2(67/12)=67/6 C0 = 10000 (1 + 0,1350 ) 67/6 = 2073, 84 TL 2 b) 5 yıl + 7 ay= 11 tane 6 ay + 1 ay C 0=1000 C 11 C n=c11 +(1/12) Cn = 1000(1 + 0,1350 ) 11.(1 + 0, 1350. 1 ) = 2051, 382851.(1 + 0,1350 ) = 2074, 46 TL 2 12 12 Örnek. Y ı l l ı k f a i z r = %10 dan 3 yıl 7 ay sonraki 2800 TL nin şimdiki değ erini a) Teorik, b) Pratik Metod uygulayarak bulunuz. a) Cn = 2800, r = 0, 10, m = 1, n = 3 +7/12 = 43/12 C0 = Cn (1+r) -n = 2800 (1 + 0,10) -43/12 =1989,91 TL b) 3 yıl + 7 ay= 4 tane 1 yıl - 5 ay C0 = 2800(1 + 0, 10) 4.(1 + 0, 10. 5 ) = 1992, 12 TL 12

2.1.6. Faiz Oranının Bulunması Örnek. Bir yatırım şirketi paranızı 10 yılda 3 katına çıkaracağ ını vaadetmektedir. Buna göre aylık ödemeli bileşik faiz oranı nedir? C0 = X, Cn = 3X, t = 10, m = 12, tm = 120, r 12 =? Cn = C0 (1 + r ) nm 3X= X(1+ r12 ) 120 m 12 3 1 / 1 2 0 = 1 + r 1 2 / 12 r 12 = 12 ( 3 1/120 1) = 0,1103656 = %11,04 Örnek. 3 yılda %50 değ er artışı getirecek sürekli bileşik faiz oranı nedir? C0 = X, Cn = 1, 5X, n = 3, r =? Cn = C0 e rn. 1, 5X = X.e r.3 ln 1, 5 = 3.r. ln e r = ln 1,5/3 =%13, 52

2.1.7. Zamanın Bulunması Örnek. 2000 TL nin r 4 = 0, 10 oranından 800 TL faiz getirmesi için ne kadar zaman geçer? Cn = C0 (1+ rm ) n, C0 = 2000, r 4 = 0, 10, I = 800, m = 4, n =? m Cn = C0 + I = 2000 + 800 = 2800 TL 2800 = 2000(1 + 0,10 ) n 28 = (1 + 0, 025) n 4 20 1, 4 = 1, 025 n log 1, 4 = n. log 1, 025 n = log 1,4/log 1,025 = 13, 6264332dönem n = mt = t = n m = 13,62643323 /4 = 3, 406608306 yıl 0, 406608306 12 = 4, 879299672 ay 0, 879299672 30 = 26, 37899016 gün 3 yıl 4 ay 26 gün Örnek. Bir yatırım aylık ödemeli bir faiz oranıyla 6 yılda 2 katına çıkıyorsa, aynı yatırımın 3 katına çıkması için ne kadar zaman geçer? C0 = X, Cn = 2X, t = 6, m = 12, n = 12.(6) = 72 Cn = C0 (1 + i) n = 2X = X(1 + i) 72 1+i = 2 1/72 3X = X(1 + i) n 1 3 = 2 n1/72 log 3 = (n1/72) log2 n1 = 72 log3/log2 = 114,1173001 dönem 114,1173001/12 = 9,509775004 yıl 0, 509775004 12 = 6, 117300048 ay 0, 11730048 30 = 3, 51900144 gün 9 yıl 6 ay 4 gün

2.1.8. Bileşik Faizde Paranın Değer Denklikleri Özellikler C -n C 0 C n 1) X, Y, Z para değ erlerini n 1, n 2, n 3 dönemleri göstermek üzere, C 0 Cx C y C z Y = X(1 + i) n 2 n 1 Z = Y (1 + i) n 3 n 2 Z = X(1 + i) n 2 n 1.(1 + i) n 3 n 2 = X(1 + i) n 3 n 1 2) İki ayrı ödemeler kümesi aynı bir odak tarihinde birbirine denk iseler, bu iki ödemeler kümesi herhangi bir odak tarihinde de denktir. Not: Yukarıdaki iki özellik Basit Faiz için geçerli değ ildir. Örnek. 7 Yıl sonra 2500 TL lik bir borç ödenecek, y ı l l ı k f a i z r = %10, a) 3 yıl sonundaki, b) 10 yıl sonundaki denk borcu bulunuz.

a) X = 2500(1 + 0,10 ) 48 = 1678, 58 TL b) Y = 2500(1 + 0,10 ) 36 = 3370, 45 TL 12 12 Örnek. Bir kişinin 18 ay sonra ödenmek üzere 1000 TL ve 4 yıl sonra ödenmek üzere 1500 TL borcu vardır. r 4 = %6 ise bu borçların a) Ş imdi, b) 2 yıl sonra tek bir ödeme ile ödemek kaç TL ile mümkündür? m = 4 olduğ una göre faiz periyodu 3 aydır. Ş u halde 3 aylık periyot 1 dönem yapar. a) X = 1000(1 + 0,06 ) 6 + 1500(1 + 0,06 ) 16 = 2096, 59 TL 4 4 b) Y = 1000(1 + 0,06 ) 2 + 1500(1 + 0,06 ) 8 = 2361, 79 TL 4 4

2.2. Bileşik İskonto Bileşik iskonto : İskonto işlemi ters faiz işlemi olarak düşünülebilir. Cn = C0 (1 + d) n d= yıllık iskonto oranı İskonto miktarı I = Cn - C0 dır. Örnek. 37.573,3 lira değerindeki bir senet vade sonuna 5 yıl 3 ay 16 gün kala yıllık %8 iskonto ile kırdırılırsa peşi,n değeri ne olur? C0 = Cn (1 + r) -n 3 ay 16 gün = 106 gün, 106/360=0,2944 yıl, n = 5,2944 tür. Log C0 = log 37573,3 5,2944 log 1,08 =4.57488 5,2944 (0,03342) = 4,39794 C 0 = 10 4,39794 = 25.000 lira Örnek. Sendin vade değeri 40.000 lira olup yıllık %7,3 bileşik iskonto ile kırdılıp 26.000 lira ele geçmiştir. Senedin vadesini hesaplayınız. n = (log 40000 log 26000)/log1,73 =(4,60206 4,41497) / 0,03060 = 6,114 yıl = 6 yıl 1 ay 11 gün.. Bir periyod içinde birden çok yapılan iskonto d (m) : Yılda m kez yapılan yıllık iskonto oranı, d (m) m : Dönem başına yapılan iskonto oranı olmak üzere Cn üzerinden hesaplanan iskontolu değ er C0 = Cn (1 - d m /m) n şeklinde bulunur. Bu durumda birikmiş değer Cn = Co(1 - d m /m) -n formülü ile hesaplanır.

Örnek. 2 yıl sonraki 1000 TL nin iskontolu değ erini a) d (12) = %12, b) d (365) = %7 için hesaplayınız. a) C0 = 1000(1 0,12 ) 2.12 = 785, 68 TL 12 b) C0 = 1000(1 0,07 ) 2.365 = 869, 35 TL 365 2.2.1. Senet (bono) değiştirme Bazı durumlarda, borçlu ve alacaklı anlaşarak borcun ödenmesi gerekli tarihi ileri veya geriye alarak, mevcut senedi yeni bir senetle değiştirebilirler. Veya bir borçlunun aynı alacaklıya birden fazla borcu bulunduğu durumlarda, yine taraflar anlaşarak iki veya daha fazla borç senedini tek bir senede dönüştürmek isteyebilirler. Veya belli bir tarihte ödenecek tek bir borcun ödenmesi birden çok farklı tarihlerde ödenecek senetlere dönüştürülmesi istenebilir. Bu tür senet değişikliği problemlerinde çözüm senetlerin peşin değerlerinin eşitliği prensibine dayandırılır. Sabit (iskonto) faiz oranı ile ; Cn / (1+r) n = C1 / (1+r) n1 + C2 / (1+r) n2 + + CL / (1+r) nl Cn(1+r) -n = C1(1+r) -n1 + C2(1+r) -n2 + + CL(1+r) -nl Cn(1+r) -n = ΣCi(1+r) -ni Cn/(1+r) n = ΣCi/(1+r) ni Farklı iskonto (faiz) oranı ile Cn / (1+r) n = C1 / (1+r1) n1 + C2 / (1+r2) n2 + + CL / (1+rL) nl Cn(1+r) -n = C1(1+r1) -n1 + C2(1+r2) -n2 + + CL(1+rL) -nl Cn(1+r) -n = ΣCi(1+ri) -ni Cn/(1+r) n = ΣCi/(1+ri) ni formülleri kullanılır. Değişik vadeli birden çok senet, tek bir senet ile değiştirlirse yeni sendin vadesine ortak vade denir. Cn = C1 + C2 + + CL olarak hesaplanan n ortak vadesine ortalama vade denir.

Dönemler yıl cinsinden kesirli ise Bu işlemlerde n yıl cinsinden kullanılır ve kesirli olduğunda kesir kısmı aya ve güne çevrilerek işlem yapılır. Cn / (1+r) n = C1 / (1+r) n1 + C2 / (1+r) n2 + + CL / (1+r) nl Cn = (1+r) n [ C1(1+r1) -n1 + C2(1+r2) -n2 + + CL(1+rL) -nl ] =C1(1+r) n-n1 + C2(1+r) n-n2 + + CL(1+r) n-nl = Ci(1+r) n-n i (1+r) n =Cn /[ C1(1+r) -n1 + C2(1+r) -n2 + + CL(1+r) -nl ] nlog (1+r) =log Cn log [ C1(1+r) -n1 + C2(1+r) -n2 + + CL(1+r) -nl ] n ={log Cn log [ C1(1+r) -n1 + C2(1+r) -n2 + + CL(1+r) -nl ]} / log(1+r) elde edilir. Bu çözümde senet vadeleri farklı ise ni değerleri farklı olduğundan (1+r) için genel bir çözüm yoktur. Ancak r belirsiz varsayılıp yaklaşık bir çözüm elde edilebilir. Bu durumda (1+r) -ni değerleri ayrı ayrı hesaplanıp yerine konularak sonuç elde edilir. Cn = Σ Ci (1+ri) -ni (1+r) n Cn =(1+r) n Σ Ci (1+ri) -ni logcn = nlog(1+r) + log Σ Ci (1+ri) -ni n = {log Cn [log ΣCi (1+ri) -ni ]} / log (1+r) elde edilir. Örnek : 50.000 liralık bir senet ödemesi tarihine 6 ay kala vade 5 yıl uzatılıyor. %9 iskonto oranı üzerinden yeni senet değerini bulunuz. Cn/(1+r) n = ΣCi/(1+ri) ni Cn/(1,09) 5,5 = 50000 /(1,09) 0,5 Cn = 50000 x 1,09 5 logcn = log 50000 +5 log 1,09

= 4,69897 + 5x0,037 = 4,88612 10 logc n = Cn = 10 4,88612 = 76.934 lira Örnek : Değeri 15.000 vadesi 4 yıl olan bir senet ile, değeri 35.000 vadesi 6 yıl olan bir senet yerine 8 yıl vadeli bir senet düzenlenecektir. %6 iskonto oranı ile düzenlenecek yeni senedin değeri ne olmalıdır? Cn/(1+r) n = ΣCi/(1+ri) ni Cn/(1,06) 8 = 15000/(1,06) 4 + 35000/,06) 6 Cn = 15000 x (1,06) 4 + 35000 x (1,06) 2 X1=1,06 4 log X1 = 4 log 1,06 = 4 x 0,02531 =0,10124 X1= 1,26256 X2=1,06 2 log X2 = 2 log 1,06 = 2 x 0,02531 X2= 1,1236 = 15000 x 1,26256 + 35000 x 1,1236 =18938,4 + 39326 = 58264,4 lira Örnek : Değeri 15.000 vadesi 4 yıl olan bir senet ile, değeri 35.000 vadesi 6 yıl olan bir senet yerine 58.264,4 liralık bir senet verilmiştir. %6 iskonto oranı ile düzenlenecek yeni senedin vadesi ne olmalıdır? Cn = Σ Ci (1+ri) -ni (1+r) n n = {log Cn [log ΣCi (1+ri) -ni ]} / log (1+r) ={log 58264,4 log [15000 x 1,06-4 + 35000 x 1,06-6 ]} / log 1,06 ={log58264,4 log[(15000x(-4)log1,06)+35000x(-6)log1,06)]}/log1,06 ={log 58264,4 log[15000x(-4)x0,02531)+35000x( 6)x0,02531)]}/ log1,06 ={log 58264,4 log[15000x[(-0,10124) +35000x (-0,15186)]}/log1,06 Excel çözümü için ={log 58264,4 log[15000x[1/10^(0,10124)+35000x1/10^0,15186)]}/ log1,06

={log 58264,4 log[15000x[0,792063)+35000x(0,704929)]}/ log1,06 ={log 58264,4 log[11880,95+24272,21]}/ log1,06 ={log 58264,4 log[36553,16]}/log1,06 ={4,765403 4,562925}/0,025306 = 20247/2531 = 8,001241 yıl ( 8 yıl 3 gün) Örnek : Değeri 20.000 vadesi 8 yıl iskonto oranı %9 olan bir senet ile, değeri 40.000 vadesi 5 yıl iskonto oarnı %7 olan iki senet yerine 6 yıl vadeli %7 iskonto oranlı bir senet düzenlenecektir. Düzenlenecek yeni senedin değeri ne olmalıdır? Cn = Σ Ci (1+ri) -ni (1+r) n Cn = [20000x1,09-8 + 40000x1,07-5 ] x 1,07 6 logcn = [log20000x(-8log1,09) + log40000x(-5log1,07)] x6log1,07 = [4,30103-8x0,03743+4,60206-5x0,02938] x 6x0,02938 = 4,00159+4,45516] x 0,17628 10 logc n = Cn= [10 4,00159 +10 4,45516 ]x 10 0,17628 Cn = [10036,5 +28520,7] x 1,5007 = 57862,8 lira Örnek : Değeri 70.000 vadesi 10 yıl ve değeri 30.000 vadesi 3 yıl olan iki senet değeri 100.000 liralık olan bir senet ile değiştiriliyor. %6,8 iskonto oranı ile düzenlenecek yeni senedin vadesi ne olmalıdır? Cn = Σ Ci (1+ri) -ni (1+r) n n = {log Cn [log ΣCi (1+ri) -ni ]} / log (1+r) ={log 100000 log [70000 x 1,068-10 + 30000 x 1,068-3 ]} / log 1,068 ={log100000 log[(70000x(-10)log1,068)+30000x(-3) log1,068)]} / log1,068 ={log 100000 log[70000x(-10)x0,02857+30000x(-3),02857]}/log1,068 Excel çözümü

={log 100000 log[70000x1/10 0,28570 +30000x1/10 08571 ]}/log1,068 ={log 100000 log[70000x(0,51796)+30000x(0,8209)]}/log1,068 ={log 100000 log[60884,2]}/log1,068 ={5 4,78450}/0,02857 = 21550/2857 = 7,543 yıl (7 yıl, 6 ay, 15 gün) Örnek : Değeri 22.000 vadesi 2 yıl olan bir senet, değeri 30.000 vadesi 8 yıl olan bir senetle değiştiriliyor. Bu işlemdeki iskonto oranı ne olmalıdır? Cn/(1+r) n = ΣCi/(1+r) ni Cn/(1+r) n = C1/(1+r) n1 Cn/C1 = (1+r) n /(1+r) n1 Cn/C1 = (1+r) n-n1 Log Cn log C1 = (n-n1) log (1+r) log (1+r) = (log30000 log22000)/(8-2) = 0,02245 1+r = 1,05305 r = %5,3

Alıştırmalar 3. Değeri 13000 lira vadesi 4 yı1 7 ay olan senet %8den kırdırılırsa değeri ne olur? 4. Değeri 18000 lira olan bie senet vadesine 2 yıl kala 15000 değerle kırdırılırsa iskonto orano ne olur? 5. Bir senet vadesine 3 yıl 3 ay kala %8 den kırdırılıyor, peşin değeri 23000 lira olabn senedin kırdırılma değeri ne olur? 6. Değeri 25000 lira olan bir senet %6 dan kırdırılıpğ elimize 19000 lira geçerse vadesi nedir? 7. 5000 liralık bir senet vadesine 3 ay kala vadenin 4 yıl daha uzatılması için %7 iskonto ile yeni senet imzamanırsa, yeni senet değeri ne olur? 8. 8000 liralık vadesi 6 yıl ve değeri 14000 vadesi 4 yıl olan niki senet, 9 yıl vadeli yeni bir senetle değiştirlmek isteniyor. %6,5 iskonto orani ile yeni senet değeri ne olur? 9. 10 yıl vadeli 100000 liralık bir bono borca karşılık 5 yıl kala 50000 ödenmek İstenirse kalan borcun 10. Yıl sonundaki değeri ne olur? t=0,06 (C.30086) 10. Peşin değeri 150000 lira olan bir mal için bir kimse 5 diğeri 10 yıl sonra ödenmek üzere eşit değerli iki bono düzenmek isteniyor. İskonto %7 olduğuna göre bono değerini hesaplayınız. (C.122809,6) 11. Bir kişinin şimdi 50000 TL borcu var olsun. Bu borcu j 1 = 0, 09 oranından 1. ve 2.yıl sonunda X TL eşit taksitlerle ödeyeceğ ine göre, X nedir? 12. Altı ayda bir ödemeli 0,07 bileşik faiz oranından 200 TL ne kadar zamanda 350 TL olur? 13. 0,125 sürekli bileşik faiz oranından 3 yılda 25000 TL biriktirmek için şimdi kaç TL lik yatırım yapmak gerekir? 14. t = 1 ve P = 1 için aşağ ıda istenen denk oranları bulunuz. a) d (2) = %6 ya denk olan d (12) =? b) j 12 = %12 ye denk olan d (4) =? c) j = %9 a denk olan d = d =?