Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b.
MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 6ab hacmini bulunuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile sınırlı R bölgesi = doğrusu etrafında döndürülüyor. Meydana gelen dönel cismin hacmini dilimleme yöntemi (pul metodu) ile bulunuz. Cevap :. y = ve y = ile sınırlı bölge y-ekseni etrafında döndürülüyor. Meydana gelen dönel cismin hacmini 6 bulunuz. Cevap : 5. y = ve y = ile sınırlı bölge = doğrusu etrafında döndürülüyor. Meydana gelen dönel cismin hacmini silindirik kabuk yöntemi ile bulunuz. Cevap : 5. y = + eğrisinin = den = ye kadar uzunluğunu bulunuz. Cevap : 5 + 8 6. y =, eğrisi -ekseni etrafında döndürülüyor. Meydana gelen dönel yüzeyin (kürenin bir parçası) alanını bulunuz. Cevap : 7. = (ey + e y ), y ln eğrisi y-ekseni etrafında döndürülüyor. Meydana gelen dönel yüzeyin alanını bulunuz. Cevap : ( 5 + ln ) 6 8. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız: e d, (b) e a cos bd (ab ), Cevaplar: ( )e + c, ln 9. Herhangi pozitif m ve n tamsayıları için tan d a a cos b + b sin b (b) e a + b + c, m ( ) n d = olduğunu gösteriniz. Ayrıca integrali hesaplayınız. Cevap:. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız: + + ( + ) d, (b) d Cevaplar: ln + + ( + ) + tan + c, (b) ln ln( + + ) + + tan + c n ( ) m d m!n! (m + n + )!. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız: sin cos d, (b) sin cos d, (e) sin 5 sin d tan sec d, tan sec d, Cevaplar: 5 cos5 cos + c, (b), 9 5, sec sec + c, (e) [ sin ] sin 7 + c 7. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız: 9 d, (b) + d, d a,
d, (e) ( + 9) d 9 Cevaplar: sin + c, (b) + + c, ln + a + c,, (e) sin + + c. ln( + )d =? C: ( + ) ln( + + ) ( + ) + tan ( + ) + c. d =? C: + cos + c e 5. e d =? C: ln e ln e + + c dz 6. z ( + z ) =? C: tan t + c t 7. y cos(y )dy =? C: y sin y cos y + + c 8. e d =? C: ln e + c 9. y =, = ve y = ile sınırlı bölgenin (.y, I. bölge) a) ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini dilimleme yöntemi ile bulunuz. C: v = ( )d = = 9 5 b) y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini kabuk yöntemi ile bulunuz. C: v = ( )d. y = eğrisinin = ile = arasında kalan parçasının y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyin alanını integral ile ifade ediniz. (NOT:İntegrali hesaplayınız.) C: Y.A. =. y = +. C: 5 6 ( L = + ( ) d eğrisinin = ile = arasında kalan parçasının uzunluğu nedir? ( + )d + cos d =? C: cot + csc + c veya tan( ) + c. d =? 9 5 +. C: 9 9 + c d =? C: + + ln ln + + c 5. y = +, y =, = ve = ile sınırlı bölge (NOT: İntegralleri hesaplamayınız.) a) alanını integral ile ifade ediniz. C: ( + )d b) çevre uzunluğunu integral ile ifade ediniz. C: Çevre=L + + + 6, L = c) ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini integral ile ifade ediniz. C: V = [ ( + ) ] d d) y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini integral ile ifade ediniz. C: V = ( + )d + () d
6. ( )( + ) d =? C: ln ln( + ) + tan + c 7. Düzlemde y = ile y = in sınırladığı bölgenin a) ekseni b) y ekseni c) y = doğrusu etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulunuz. 8. Düzlemde = y ile y = eğrilerinin düzlemde sınırladığı bölgenin a) ekseni b) y ekseni c) = doğrusu etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz. 9. a) = y + y, y eğrisinin uzunluğunu bulunuz. b) y = ln(sin), eğrisinin uzunluğunu bulunuz. c) y = cos tdt, eğrisinin uzunluğunu bulunuz.. y = eğrisi, ekseni ile = doğrusunun sağında belirlenen bölgenin a) alanını b) -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini c) y-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini (varsa) bulunuz.. Aşağıdaki integralleri bulunuz. d a) d b) + c) + + 6 cos e) d f) + sin d g) ı) cos sin d i) tan d cos d d) sin cos d h) sin d sin cos 5 d. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız. d a) sin a) d sin 8 ( = arctan u değişken değişimlerini kullanabilirsiniz.). Aşağıdaki integralleri bulunuz. d d a) b) sin + tan cos sin c) 9 d d) d e) 9 d f) d g) 9 + h) 9 cos ı) cos sin d i) + sin d d j) sin + cos + 6. Aşağıdaki integralleri bulunuz. + a) d b) d + 9 d d e) f) + + + ı) ln( + + )d i) d j) 8 5. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız. a) e) 8 d b) d f) e sin d c) e + d g) lim a + + + c) d d) + + g) d h) ( ) d + ln( + )d d) a d ( + ) + + d + sin cos ( + cos ) d sin cos 5 d ( 8 + ) d
6. Aşağıda verilen kapalı fonksiyonlar için y =? y = y y (b) e +y = y + sin(y) + cos(y) = + y = y (e) tan( + y) = y 7. = sin(y) + y ise y (, )=?, ve y (, )=? 8. e y + y sin() e = eğrisinin P (, ) noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini yazınız. 9. f() = + + olsun. f() in birebir olduğunu gösteriniz. (b) g = f ise g () =?. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. ( ) + ln ( ) (b) log ( ) + ln. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini logaritmik türev yardımıyla bulunuz. y = ( + ) / ( ) / ( + ln ) / (b) y = + y = +. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. sin(arctan( + )) (b) arcsin(sin( + )) arctan( ). Bir çemberin yarıçapı cm/s sabit hızla büyüyor. Çevre uzunluğu cm olduğunda, çemberin alanındaki değişim hızı nedir?. İki araba aynı noktadan ayı anda hareket ediyor. Biri 6 km/sa hızla güneye, diğeri km/sa hızla batıya doğru gidiyor. saat sonra arabalar arasındaki uzaklığın artış hızı ne olur? 5. sin y+y +y + = olarak verilen eğrinin, (,) noktasındaki doğrusal yaklaşımını (doğrusallaşmasını, yani L()) bulunuz. 6. Aşağıdaki fonksiyonlar için dy diferansiyelini bulunuz y = sin () (b) y = y = ln(tan()) 7. f() = olsun. f() in = noktasındaki doğrusal yaklaşımını (L()) bulunuz. (b) L() kullanılarak ( h, + h) aralığında f() yaklaşık olarak hesaplanırsa, hatanın. den küçük olması için h en fazla kaç olabilir. d ve dy diferansiyellerini kullanarak f(.) yi bulunuz. 8. Aşağıdaki fonksiyonların yerel maksimum/minimum değerlerini bulunuz f() =
(b) f() = f() = f() = sin + cos, [, ] (e) f() = e, [, ] 9. Aşağıdaki fonksiyonlar için verilen aralıklarda ortalama değer teoremini sağlayan c noktasını bulunuz. f() = +, [, ] (b) f() = +, [, ] 5. Ortalama değer teoremini kullanarak aşağıdaki fonksiyonların sadece bir reel kökü olduğunu gösteriniz. f() = + + 6 (b) f() = + cos( ) 5. Aşağıdaki fonksiyonların artan/azalan olduğu aralıkları bulunuz. f() = + + 6 (b) f() = ( ) f() = f() = sin, [, ] (e) f() = cos + sin, [, ] (f) f() = ln( + ) 5. f() fonksiyonu ve onun türevleri hakkında aşağıdaki bilgiler veriliyor: f ( ) = f () = f () =, f ( ) = f ( ) =, f () <, eğer < < ve > ; f () >, eğer < ve < <, f () <, eğer < ve > ; f () >, eğer < <. f() fonksiyonunun kritik ve büküm noktalarını bularak, onları nasıl bulduğunuzu açıklayınız ve analiz ediniz. (b) f() fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyiniz ve nedenlerini açıklayınız. f() fonksiyonunun dışbükey ve içbükey olduğu aralıkları belirleyiniz ve nedenlerini açıklayınız. f() fonksiyonunun yerel (local) ekstrem (maksimum/minimum) değerlerini bulunuz ve cevabınızı açıklayınız. 5. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini birinci ve ikinci türevlerini kullanarak çiziniz. (Fonksiyonlarin tanim kümelerini, artan/azalan oldukları aralıkları, maksimum/minimum değerlerini, içbükey/dışbükey oldukları aralıkları, büküm noktalarını ve (eğer varsa) asimptotlarını belirtiniz.) f() = (b) f() = + f() = + f() = ln (e) f() = e (f) f() = 5. Çarpımları, toplamları maksimum olan iki pozitif tamsayı bulunuz. 55. Alanı m olan dikdörtgenler içinde, çevre uzunluğu en küçük olanının boyutlarını bulunuz. 56. cm lik bir malzemeden tabanı kare, üstü açık bir kutu yapılmak istenirse, en büyük hacimli kutunun boyutları ne olur? 57. + y = 6 elipsi içine çizilen ve alanı en büyük olan dikdörtgenin boyutlarını bulunuz. 58. Aşağıdaki limitleri bulunuz. 5
+ lim cos() (b) lim lim (e) (f) (g) (h) (i) lim lim + + ( + ) lim sin + lim (sin ) ln + ln lim / lim 9 59. Aşağıdaki fonksiyonlarin anti-türevlerini bulunuz. 6. (b) e sin() n 6k k + =? k= 6. 7 k(k + ) =? k= 6. A, = den = ye kadar f() = + eğrisinin altında kalan alan olsun. Üç dikdörtgen ve sağ uç noktaları kullanarak A yı yaklaşık olarak bulunuz. Altı dikdörtgen kullanarak sonucu iyileştiriniz. (b) şıkkında yaptıklarınızı sol uç noktaları kullanarak yapınız. şıkkında yaptıklarınızı orta noktaları kullanarak yapınız. 6. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız. (b) (e) / / ( + )d ( + )d ( + 5)d ( )d 6