DİNAMİK İNŞ2009 Ders Ntları Dç.Dr. İbrahim Serkan MISIR Dkuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders ntları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2018-2019 GÜZ Dynamics, Furteenth Editin R.C. Hibbeler Cpyright 2016 by Pearsn Educatin, Inc. All rights reserved. DEĞERLENDİRME 1. Ara sınav (%25) 2. Ara sınav (%25) Final (%50) Dönem: 24 Eylül 2018-31 Aralık 2018 Final - Bütünleme: 2 Ocak 2019-1 Şubat 2019 Devam zrunluluğu var: %70 Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-2 /40 1
KİTAPLAR Mühendislik Mekaniği Dinamik, R.C. HIBBELER, S.C. FAN, Literatür Yayıncılık (Metrik Baskı) ISBN: 978 975 04 0219 7, İstanbul, 2014 Bu ders kapsamında kullanılan sunum ntları, yukarıdaki kitabın İngilizce baskısı temel alınarak Pearsn yayınevi tarafından luşturulan sunum ntları kullanılarak hazırlanmıştır. Mühendisler için Vektör Mekaniği Dinamik F. Beer, E.R. Jhnstn, P.J. Crnwell, Literatür Yayıncılık, 10. Baskı (ve snrası), ISBN: 978 975 04 0665 2, İstanbul, 2014 Mechanics fr Engineers: Dynamics 10 th Editin (and later), F. Beer, E.R. Jhnstn, P.J. Crnwell, McGraw Hill Educatin, ISBN: 978 007 74 0232 7, 2012 Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-3 /40 KONULAR 1 2. hafta Parçacık Kinematiği hareketin gemetrisi (dğrusal, eğrisel hareket dik krdinatlar, eğik atış, eğrisel hareket n t krdinatlar) 3. hafta - Parçacık Kinematiği - silindirik krdinatlar, mutlak bağımlı hareket 4 ve 5. hafta Parçacık Kinetiği hareket denklemi (kartezyen, n t ve silindirik krd.) 6. hafta Parçacık Kinetiği iş ve enerji 7. hafta Parçacık Kinetiği impuls ve mmentum 8. hafta 1. Arasınav 9 ve 10. hafta Rijit Cisimlerin Düzlemsel Kinematiği, Ötelenme, Dönme Bağıl Hareket Analizi, Hız, Anlık Sıfır Hız, İvme 11. hafta Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği kütle atalet mmenti, ötelenme, dönme, sabir eksen etrafında dönme 12. hafta 2. Arasınav 13. Hafta Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği iş ve enerji 14. hafta Genel Uygulama 15. hafta FİNAL Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-4 /40 2
GENEL YAKLAŞIM Dinamik prblemleri Statik prblemlerine göre daha fazla katılım gerektirir. Çünkü hem cisme etkiyen kuvvetler hem de cismin hareketi dikkate alınır. Dinamikte, prblemlerin çözümü için sadece trignmetri, cebir ve analitik gemetri değil kalkülüs de (fnksiyn, limit, türev, integral vb) kullanılmak zrundadır. Dinamiği öğrenmenin en iyi ylu sru çözmektir. Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-5 /40 GENEL YAKLAŞIM Sruyu dikkatli kuyun, öğrendiğiniz teri ile fiziksel durum arasında ilişki kurun, Gerekli diyagramları çizin ve prblem verisini kağıda özetleyin, Krdinat sistemi luşturun ve matematik frmda ilgili prensipleri uygulayın, Denklemleri mümkün lduğunca «değerleri yerine kymadan» ilerletin, Snucun mantıklı lup lmadığını mutlaka irdeleyin, birimleri kntrl edin, Çözüm bittiğinde çözümü baştan sna kntrl edin ve ayrıca prblemin başka bir şekilde çözülüp çözülemeyeceğini düşünün. Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-6 /40 3
Bugünün Hedefleri: DOĞRUSAL KİNEMATİK: SÜREKLİ HAREKET Dğrusal bir yörünge byunca hareket eden bir parçacığa ait kinematik büyüklüklerin bulunması (knum, yerdeğiştirme, hız, ivme) Sınıf Etkinliği: Sözel Yklama Uygulamalar Genel dğrusal hareketteki s(t), v(t) ve a(t) arasındaki ilişkiler. İvme sabit lduğunda s(t), v(t) ve a(t) arasındaki ilişkiler. Kavramsal Yklama Örnek Prblem Çözümü Dikkat Yklaması Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-7 /40 SÖZEL YOKLAMA 1. Dinamikte, bir parçacığın kabul edilir. A) hem ötelenme hem de dönme hareketi yaptığı B) sadece kütleye sahip lduğu C) kütleye sahip lduğu fakat byut ve şeklinin ihmal edilemediği D) kütlesi, byutu ve şekli lmayan, sadece bir nkta lduğu 2. Ortalama sürat şeklinde tanımlanır. A) r/ t B) s/ t C) s T / t D) Hiçbiri. Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-8 /40 4
UYGULAMALAR Rketler, uçaklar veya arabalar gibi büyük cisimlerin hareketi çğunlukla sanki bunlar birer nktaymış gibi analiz edilebilir. Eğer bu rketin yüksekliğini zamanın bir fnksiynu larak ölçseydik, rketin hızını ve ivmesini nasıl hesaplayabilirdik?? Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-9 /40 UYGULAMALAR (devam) Bir spr araba düz yl byunca ilerlemektedir. Arabanın bir parçacık lduğunu düşünebilir miyiz? Eğer araba sabit bir randa ivmeleniyrsa, belirli bir andaki knumunu ve hızını nasıl hesaplarız? Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-10 /40 5
Maddesel Nkta Dinamikle ilgili knulara bir parçacığın dğrusal hareketini inceleyerek başlayacağız, Parçacık (maddesel nkta, nkta cisim, partikül- partical), kütlesi lan fakat gemetrisi ihmal edilebilir bir cisimdir. Birçk prblemde snlu byutlu cisimlerle karşılaşırız, örneğin: rketler, gemiler, uçaklar, arabalar vs. Hareket, eğer sadece kütle merkezinin hareketiyle tanımlanabilirse ve cismin dönmesi de ihmal edilebiliyrsa, bu cisim parçacık maddesel nkta larak kabul edilebilir. Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-11 /40 Mekaniğe Genel Bakış Mekanik: Cisimlerin, üzerlerine etkiyen kuvvetlere gösterdiği tepkiyi gözleyen bilim dalı Statik: Cisimlerin dengesi. Dinamik: 1. Kinematik hareketin gemetrisi ile ilgilenir 2. Kinetik - harekete sebep lan kuvvetler ile ilgilenir Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-12 /40 6
DOĞRUSAL KİNEMATİK: SÜREKLİ HAREKET Knum Yerdeğiştirme Vektörel frm: r=r -r Dğrusal çizgi byunca hareket eden bir parçacığın yörüngesi s krdinat ekseni ile tanımlanabilir. Parçacığın herhangi bir anda, O rijin nktasına göre knumu, r knum vektörü veya s skaleri ile gösterilebilir. s skaleri pzitif veya negatif labilir. r ve s için tipik birimler metre (m) veya feet (ft) tir. Parçacığın yerdeğiştirmesi, knumundaki değişim larak tanımlanır. Skaler frm: s = s - s Parçacığın aldığı tplam mesafe, s T, parçacığın hareket ettiği yl byunca yörüngesinin tplam uzunluğunu gösteren pzitif skaler bir değerdir. Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-13 /40 Hız, parçacığın knumundaki değişim ranıdır. Vektörel bir büyüktür (hem büyüklüğü hem de yönü vardır). Hızın büyüklüğü sürat larak isimlendirilir, birimi m/s veya ft/s dir. Ortalama hız - Ortalama sürat - Hız HIZ Parçacığın, bir t zaman aralığındaki rtalama hızı, v rt = r / t Anlık hız, knumun zamana göre birinci türevidir. v = dr / dt Sürat, hızın büyüklüğüdür: v = ds / dt (1) Ortalama sürat, alınan tplam mesafenin, bu sırada geçen zamana bölünmesi ile bulunur: (v sürat ) rt = s T / t Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-14 /40 7
İVME İvme, parçacığın hızındaki değişim ranıdır. Vektörel bir büyüklüktür, tipik birimi m/s 2 veya ft/s 2 dir. Anlık ivme, hızın zamana göre türevidir. Vektörel frm: a = dv / dt İvme - Yavaşlama - Skaler frm: a = dv / dt (2) = d 2 s / dt 2 İvme pzitif (sürat artarsa) veya negatif (sürat azalırsa) labilir. (1) ve (2) nlu denklemler arasında dt sadeleştirilirse, önemli bir ilişki yakalanmış lur: a ds = v dv Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-15 /40 Hız ve ivmeyi elde etmek için knumun türevini alırız. v = ds/dt ; a = dv/dt veya a ds = v dv Hız ve knumu elde etmek için ivmeyi integre ederiz. v t dv v KİNEMATİK İLİŞKİLERİN ÖZETİ: DOĞRUSAL HAREKET Hız: a dt v v v dv s s a ds s ve v değerlerinin, parçacığın t = 0 anındaki, başlangıç knumu ve başlangıç hızı lduğuna dikkat edin. s s Knum: ds t v dt Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-16 /40 8
SABİT İVME İvmenin sabit lduğu (a = a c ) özel durumda üç kinematik denklem integre edilerek ldukça kullanışlı denklemler elde edilebilir. Sabit ivme durumuna genellikle yerçekimi örnek larak gösterilir; örneğin yeryüzüne serbest larak düşen bir cisim. Bu durumda, aşağı yönlü ivme a c = g = 9.81 m/s 2 = 32.2 ft/s 2 lur. İlgili denklemler: v v dv ac dt t ile v v a t c s s v v ds v dt t v dv ac ds s s ile ile s s v v t (1/2) a 2 2 (v ) 2a (s - s ) c c t 2 Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-17 /40 ÖRNEK Verilen: Bir parçacık düz bir çizgi üzerinde sağa dğru v = ( 4 t 3 t 2 ) m/s hız ile hareket etmektedir. Burada t saniye cinsindendir. Ayrıca, t = 0 iken s = 0 dır. İstenen: t = 4 s anında parçacığın knumu ve ivmesi. Plan: Parçacığın hareket ettiği yönü pzitif krdinat, s ile göster. Hız, zamanın bir fnksiynu larak verildiğinden, türevini alarak ivmeyi hesapla. Benzer şekilde, hız fnksiynunu integre ederek knumu hesapla. Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-18 /40 9
Çözüm: ÖRNEK (devam) 1) İvmeyi hesaplamak için hızın zamana göre birinci türevini al: a = dv / dt = d(4 t 3 t 2 ) / dt = 4 6 t t = 4 s iken a = 20 m/s 2 (veya yönünde) 2) 4 s byunca hareket eden parçacığın knumunu hesaplamak için s = 0 değerini de kullanarak hızı integre et: v = ds / dt ds = v dt ds (4 t 3 t 2 ) dt s s = 2 t 2 t 3 s s 0 = 2(4) 2 (4) 3 s = 32 m (veya ) s t Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-19 /40 KAVRAMSAL YOKLAMA 3 m/s 5 m/s t = 2 s t = 7 s 1. Bir parçacık yatay bir yörünge byunca şekilde görüldüğü gibi zamanla değişen bir hızla hareket etmektedir. Parçacığın rtalama ivmesi dir. A) 0.4 m/s 2 B) 0.4 m/s 2 C) 1.6 m/s 2 D) 1.6 m/s 2 2. Bir parçacık başlangıçta sla dğru 30 ft/s lik bir hıza sahiptir. Eğer 5 saniye snra aynı knumdan sağa dğru 50 ft/s lik bir hızla geçerse, parçacığın 5 saniyelik zaman içerisindeki rtalama hızı dir. A) 10 ft/s B) 40 ft/s C) 16 m/s D) 0 ft/s Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-20 /40 10
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Verilen: 6 m/s sabit hız ile düşeyde yükselen bir balndan aşağı bir kum çuvalı bırakılmıştır. Çuval, t = 0 s anında balnla aynı düşey hızda bırakılmış ve yere t = 8 s anında çarpmıştır. İstenen: Çuvalın yere çarptığı andaki hızı ve balnun bu anda yerden yüksekliği. Plan: Kum çuvalı, yerçekimi sebebiyle aşağı yönlü 9.81 m/s 2 lik bir ivmeye maruzdur. Dlayısıyla, a c = - 9.81 m/s 2 değerini kullanarak sabit ivme için çıkarılan frmülü uygulayın. Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-21 /40 Çözüm: ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Çuval t = 0 s anında serbest bırakılıyr ve t = 8 s anında yere çarpıyr. Knum denklemini kullanarak mesafeyi hesapla. + s çuval = (s çuval ) + (v çuval ) t + (1/2) a c t 2 s çuval = 0 + (-6) (8) + 0.5 (9.81) (8) 2 = 265.9 m t = 8 s byunca baln yükselmektedir, + s baln = (v baln ) t = 6 (8) = 48 m Dlayısıyla, balnun yüksekliği (s çuval + s baln ). Yükseklik = 265.9 + 48 = 313.9 = 314 m. Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-22 /40 11
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Hız denklemini uygulayarak t = 8 s anındaki hızı hesaplayın. + v çuval = (v çuval ) + a c t v çuval = -6 + (9.81) 8 = 72.5 m/s Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-23 /40 DİKKAT YOKLAMASI 1. Bir parçacık s 0 = 0 m iken sla dğru 3 m/s lik bir ilk hıza sahiptir. Eğer ivmesi sağa dğru 2 m/s 2 ise t = 3 s anındaki knumunu hesaplayın. A) 0.0 m B) 6.0 m C) 18.0 m D) 9.0 m 2. Bir parçacık v = 12 m/s lik başlangıç hızı ve hızıyla aynı yönde 3.78 m/s 2 lik sabit bir ivme ile hareket etmektedir. Parçacığın hızı 30 m/s değerine ulaştığında kat ettiği tplam mesafeyi hesaplayınız. A) 50 m B) 100 m C) 150 m D) 200 m Çeviren: Dç.Dr.İ.Serkan MISIR 1-24 /40 12
ÖRNEK 1 (Ders harici incelenecek) 1-25 /40 ÖRNEK 1 1-26 /40 13
ÖRNEK 1 (devam) Üç hareket eğrisinin incelenmesi snucu, parçacığın t = 0 dan t = a kadarki hareketi dört evreye bölünebilir: 1-27 /40 ÖRNEK 2 Bir test aşamasında, şekildeki rket yerden 40 m yukarıda ve yukarı yönde 75 m/s lik bir hıza sahipken mtrları arızalanmıştır. Rketin çıkacağı maksimum yükseklik s B ve yere çarpmadan hemen önceki hızı ne lur? Rket 9.81 m/s 2 lik yerçekimi ivmesine maruzdur ve hava sürtünmesi ihmal edilecektir. 1-28 /40 14
ÖRNEK 2 (devam) 1-29 /40 ÖRNEK 2 (devam) 1-30 /40 15
ÖRNEK 3 (Ders harici incelenecek) 1-31 /40 ÖRNEK 3 (devam) 1-32 /40 16
ÖRNEK 3 (devam) 1-33 /40 ÖRNEK 4 (Bu knu hariç) t=0 s anında durmakta lan şekildeki araç ilk 10 s byunca 10 m/s 2 ivme ile hızlanıp snra 2 m/s 2 ivme ile yavaşlıyr. v-t ve s-t grafiklerini çiziniz. Durması için gerekli tʹ zamanını bulunuz. Araç ne kadar yl kat etmiştir. 1-34 /40 17
ÖRNEK 4 a t a = dv/dt veya a*dt = dv 1-35 /40 ÖRNEK 4 1-36 /40 18
ÖRNEK 4 1-37 /40 ÖDEV 1 Düz bir çizgi üzerinde hareket eden parçacığın hızı v = 12 3t 2 fnksiynu ile tanımlıdır (t sn cinsindendir). t = 1 sn iken parçacık başladığı nktanın 10 m slunda ise, t = 4 sn deki ivmesini ve t = 0 ve t = 10 sn arasında yaptığı tplam yer değiştirmeyi ve parçacığınkatettiği tplam mesafeyi bulunuz. İpucu: t = 1 sn 1-38 /40 19
ÖDEV 2 ve 3 1-39 /40 ÖDEV 4 Nktasal parçacık dğrusal bir yörüngede şekildeki gibi hareket etmektedir. a s grafiğini luşturunuz. a(ds) = v(dv) 1-40 /40 20