NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012

Benzer belgeler
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Lineer Programlama. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L

OPERATÖRLER BÖLÜM Giriş Aritmetik Operatörler

int printf (const char *format [, argument,...]);

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

POL NOMLAR. Polinomlar

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?

Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1

İki Değişkenli Bağlanım Modelinin Uzantıları

Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n

2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,

TEOG ÖZEL OKULLAR MODELİ İLE ÖĞRENCİ ALACAK ÖZEL OKULLARIN KAYIT TAKVİMİ 2016

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ

İleri Diferansiyel Denklemler

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar

İleri Diferansiyel Denklemler

36. Basit kuvvet metodu

1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar

4. Numaralandırdığımız her boru parçasının üzerine taşıdıkları ısı yükleri yazılır.

YAPI ve DEPREM MÜHENDİSLİĞİNDE MATRİS YÖNTEMLER. Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL. Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL. (III. Baskı)

Istatistik ( IKT 253) Normal Da¼g l m Çal şma Metni

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

ENF TEMEL BİLGİSAYAR BİLİMLERİ Eğitim/Öğretim Yılı Bahar Dönemi DÖNEM SONU LAB. ÖDEV TESLİM DUYURUSU

Başbakanlık (Hazine Müsteşarlığı) tan:

Iki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin

OKUL BAZLI BÜTÇELEME KILAVUZU

Sevdi im Birkaç Soru

ıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I

İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ BURS YÖNERGESİ. BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar

Üst Üçgensel Matrisler

Özdeğer ve Özvektörler

Muhasebe, Personel Müdürlükleri ne

MAHALL DARELERDE DÖNEM SONU LEMLER. Ömer DA Devlet Muhasebe Uzman.

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER

DENEY 2: PROTOBOARD TANITIMI VE DEVRE KURMA

:30 Adı-Soyadı:... No:... NOT:...

Muhasebe LOGO Kasım 2009

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

İleri Diferansiyel Denklemler

Çizelgeleme. Üretim Planlama ve Kontrol 2 Pamukkale Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Üretim Planlama ve Kontrol 2

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ

Er veya erbaş olarak silâh altında veya yedek subay okulunda geçen süreleri,

B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kesikli Matematiksel Yapılar BIL

ALES. sýnavlarına en yakın üç bin iki yüz soru SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Tamamı Çözümlü. Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker

Yazar Ali Karakuş Pazartesi, 17 Kasım :03 - Son Güncelleme Perşembe, 25 Şubat :36

Öncelikle tek girdili bir üretim fonksiyonu kullanarak karş laşt rmal dura¼ganl k analizini nas l

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

RİSKLİ YAPILAR ve GÜÇG

EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

13.Konu Reel sayılar

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

PROBLEM SET I ARALIK 2009

Betonarme ve Prefabrik Yapılarda Risk Değerlendirmesi

Öncelikle Markamıza göstermiş olduğunuz ilgiden dolayı teşekkür ederiz.

T.C. MALTEPE ÜNĠVERSĠTESĠ MÜHENDĠSLĠK FAKÜLTESĠ ENDÜSTRĠ MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ LĠSANS PROGRAMI Güz Yarıyılı

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

1. Mesaj Tipi ve Mesaj Fonksiyonu Bazında Bildirim Mail Adresi Tanımlama Đşlemleri

GAZİANTEP İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ TÜBİTAK 4006 BİLİM FUARLARI PROJE YÜRÜTÜCÜLERİ TOPLANTISI

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ YAZ OKULU YÖNERGESİ BİRİNCİ BÖLÜM

KİTAP İNCELEMESİ. Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri. Tamer KUTLUCA 1. Editörler. Mehmet Fatih ÖZMANTAR Erhan BİNGÖLBALİ Hatice AKKOÇ

DÜNYA EKONOMİK FORUMU KÜRESEL CİNSİYET AYRIMI RAPORU, Hazırlayanlar. Ricardo Hausmann, Harvard Üniversitesi

TOBB-ETU, Iktisat Bölümü Macroeconomics II (IKT 234) HW II (Ozan Eksi)

C Operatörler. Öğr. Gör. M. Ozan AKI. Rev 1.0

ÖZEL İZMİR AMERİKAN KOLEJİ KAYIT TAKVİMİ VE KILAVUZU : İNÖNÜ CADDESİ NO. 476, GÖZTEPE / İZMİR

Hazine Müsteşarlığıdan (Sigortacılık Genel Müdürlüğü): 29/05/2014

AKSARAY ÜNİVERSİTESİ. Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar

MERKEZ YÖNET M KAPSAMINDAK KAMU DARELER NDE DÖNEM SONU LEMLER. Ömer DA Devlet Muhasebe Uzman.

İçindekiler Şekiller Listesi

2. Projelerle bütçe formatlar n bütünlefltirme

ÖZEL İLETİŞİM VERGİSİ GENEL TEBLİĞİ (SERİ NO: 14) BİRİNCİ BÖLÜM

Transkript:

NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 0 Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Hesap makinelerinin kullan ld ¼g günlerde, bu yordamlardan birinin di¼geri üzerinde olas üstünlükleri mevcut idi. Ancak, bilgisayarlardaki ve matematiksel yaz l mlardaki gelişmeler sonucunda bu küçük avantajlar kaybolmuştur. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Hesap makinelerinin kullan ld ¼g günlerde, bu yordamlardan birinin di¼geri üzerinde olas üstünlükleri mevcut idi. Ancak, bilgisayarlardaki ve matematiksel yaz l mlardaki gelişmeler sonucunda bu küçük avantajlar kaybolmuştur. Bundan dolay, Doolittle ve Crout yöntemlerinden bahsedilmesi temelde tarihsel nedenler içindir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Hesap makinelerinin kullan ld ¼g günlerde, bu yordamlardan birinin di¼geri üzerinde olas üstünlükleri mevcut idi. Ancak, bilgisayarlardaki ve matematiksel yaz l mlardaki gelişmeler sonucunda bu küçük avantajlar kaybolmuştur. Bundan dolay, Doolittle ve Crout yöntemlerinden bahsedilmesi temelde tarihsel nedenler içindir. Di¼ger yandan, Cholesky yordam simetrik, pozitif tan ml matrisler için özellikle iyi çal şmaktad r. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Hesap makinelerinin kullan ld ¼g günlerde, bu yordamlardan birinin di¼geri üzerinde olas üstünlükleri mevcut idi. Ancak, bilgisayarlardaki ve matematiksel yaz l mlardaki gelişmeler sonucunda bu küçük avantajlar kaybolmuştur. Bundan dolay, Doolittle ve Crout yöntemlerinden bahsedilmesi temelde tarihsel nedenler içindir. Di¼ger yandan, Cholesky yordam simetrik, pozitif tan ml matrisler için özellikle iyi çal şmaktad r. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

Basit Gauss Elemesi. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Gauss algoritmas n hat rlayal m: 6 x 6 8 6 0 6 x 9 5 x 6 8 x 5 = 6 8 5 operasyonlar S S! S S S ()! S S ( )S! S, ve say lar eleme sürecinin ilk ad m için çarpanlar olarak adland r l r. Bu çarpanlar n herbirini oluşturmada bölen olarak kullan lan 6 say s na bu ad m n pivot eleman ve de¼gişmeyen. sat ra. pivot sat r denir. Ilk ad m tamamland ¼g nda sistem şu şekilde olacakt r ve. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Ilk ad m tamamland ¼g nda sistem şu şekilde olacakt r: 6 x pivot! 6 0 6 x 0 8 5 x 5 = 6 0 5 0 x 6 pivot eleman ve bu ad m n çarpanlar ve dir. operasyonlar S S! S S ( )S! S () Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi 6 6 0 0 0 5 0 0 6 5 pivot eleman ve çarpan dir. x x x x 5 = 6 0 9 5 operasyonlar S S! S () Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 5 /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Sonuç; Ileri Gauss elemesi: 6 6 0 0 0 5 0 0 0 6 5 x x x x 5 = 6 0 9 5 () Dördüncü sat rdan başlay p, geriye do¼gru giderek kolayca çözersek; Geri Gauss yerleştirmesi: x = 6 5 Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 6 /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Sistemi dönüştürmede kullan lan çarpanlar bir L = (`ij ) birim alt üçgensel matriste gösterilebilir: L = 6 0 0 0 0 0 0!Birinci kolonu s f rlayan çarpanlar, /,! Ikinci kolonu s f rlayan çarpanlar, /!Üçüncü kolonu s f rlayan çarpanlar. 5 (5) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Son sistemin katsay matrisi bir üst üçgensel U = (u ij ) matrisi U = 6 6 0 0 0 5 0 0 0 5 (6) Orjinal sistemin katsay matrisi A olmak üzere, bu iki matris A n n LU-ayr ş m n verir. Böylece, 6 6 8 6 0 9 6 8 5 = 6 0 0 0 0 0 0 6 5 6 0 0 0 5 0 0 0 5 () Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 8 /

Pivotlama. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Gauss algoritmas a ii = 0 (veya çok küçük iken) çal şmaz: 0 x = x olup, algoritman n basit hali burada işlemez, çünkü ikinci denklemde x in katsay s n 0 yapmak için birinci denklemin bir kat n ikinci denkleme eklemenin hiçbir yolu yoktur. (Bkz. Problem.., s. 59.) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 9 /

Pivotlama. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Gauss algoritmas a ii = 0 (veya çok küçük iken) çal şmaz: 0 x = x olup, algoritman n basit hali burada işlemez, çünkü ikinci denklemde x in katsay s n 0 yapmak için birinci denklemin bir kat n ikinci denkleme eklemenin hiçbir yolu yoktur. (Bkz. Problem.., s. 59.) ε nun 0 dan farkl küçük bir say oldu¼gu aşa¼g daki sistemde de ayn zorluk devam eder. ε x = x Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 9 /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Gauss algoritmas uyguland ¼g nda ε 0 ε x x = ε üst üçgensel sistemini üretecektir. Bunun (bilgisayar) çözümü ise x = ( ε )/( ε ) x = ( x )ε 0 olur. E¼ger ε yeterince küçük ise, bilgisayarda ε say s ε ile ayn de¼ger olarak hesaplanacakt r. Benzer şekilde ε böleni de ε ile ayn de¼geri üretir. Böylece, x nin de¼geri olarak ve x de 0 olarak hesaplanacakt r. Halbuki gerçek çözüm x = /( ε) x = ( ε)/( ε) oldu¼gundan, hesaplanm ş çözüm x için duyarl d r, fakat x için oldukça duyars zd r! Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 0 /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama ε yeterince küçük iken, bilgisayarda ε hesab neden ε ile ayn olan makine say s n üretmektedir? Bunun nedeni, bilgisayarda ç karma işlemi yap lmadan önce nin ve ε in, kayan-nokta formundaki üsler ayn olacak şekilde taban nokta kayd rmas yap ld ¼g ndand r. E¼ger bu kayd rma yeterince büyük ise, nin mantissas 0 olacakt r. Örne¼gin Teorik Marc- bilgisayar na benzer bir yedi-nokta desimal makinede, ε = 0 8 için, ε = 0.000000 0 9 ve = 0.000000 0 e sahip oluruz. yi 9 üssüne göre tekrar yazarsak = 0.00000000 0 9 ve ε = 0.099999998 0 9, ve böylece makine kayd nda ε = 0.000000 0 9 = ε elde ederiz. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Problemi yaratan asl nda a katsay s n n küçüklü¼gü de¼gil, asl nda ayn sat rdaki di¼ger katsay lara göre a in ba¼g l küçüklü¼güdür. Gerçekten ε x ε = x Basit Gauss algoritmas ε 0 ε x x = ε ε sonucunu verir. Bunun çözümü x = ( ε )/( ε ) x = ε ε x 0 d r. Tekrar, küçük ε lar için x, olarak ve x de 0 olarak hesaplan r ki, bu önce oldu¼gu gibi hatal d r! Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Bu örneklerdeki zorluklar, denklemlerin s ras n de¼giştirmekle ortadan kalkar: x = ε Gauss elemesi uyguland ¼g nda 0 ε x x x = ε elde edilir. Böylece, çözüm x = ( ε)/( ε) x = x Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Sonuç; iyi bir algoritman n, ortam n gerektirdi¼gi durumlarda sistemdeki denklemlerin yerlerini de¼giştirecek yap da düzenlenme zorunlulu¼gunu taş mas d r. Bunun için mant ksal anlamda, pivot sat rlar seçiyoruz. Sat rlar,,..., n pivot s ras na göre kullanmak yerine, p, p,..., p n s ras yla kullanaca¼g m z kabul edelim. Bu durumda, ilk ad mda p -inci sat r n bir kat di¼ger sat rlardan ç kar lacakt r. (p, p,..., p n ), (,,..., n) nin bir permütasyonu olacak şekilde p n girdisini sunarsak, p n bir pivot sat r olmayacakt r, fakat p -inci sat r n katlar n n p, p,..., p n. sat rlardan ç kar laca¼g n söyleyebiliriz. Ikinci ad mda p -inci sat r n katlar p, p,..., p n. sat rlardan ç kar lacak ve bu şekilde devam edecektir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Ax = b sistemini çözmek için ölçekli sat r pivotlu Gauss elemesi algoritmas iki k s m içermektedir: Bir ayr şt rma evresi (ileri-yönde eleme de denir) ve (güncelleme ve geri-yönde yerleştirme yi içeren) bir çözüm evresi. Ayr şt rma evresi sadece A ya uygulan r ve permütasyon dizisi p den üretilen matris P olmak üzere, PA n n LU ayr ş m n oluşturmak için tasarlan r. (PA, A n n sat rlar n n yeniden s ralanmas yla elde edilir.) Düzenlenmiş lineer sistem PAx = Pb dir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 5 /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi PA = LU ayr ş m, aşa¼g da aç klanacak olan de¼giştirilmiş Gauss elemesinden elde edilir. Çözüm aşamas nda Lz = Pb ve Ux = z denklemlerini göz önüne almaktay z. Önce, b sa¼g taraf P ye göre yeniden düzenlenir ve sonuç tekrar b ye yüklenir; yani b L b al n r. L birim alt üçgensel oldu¼gundan, bu işlemler ileri-yönde yerleştirmeyi tamamlam ş olur. Bu sürece b yi yenileme denir. Daha sonra, Ux = b den x n, x n,..., x i çözmek için, geri-yönde yerleştirme yap l r. Ayr şt rma evresine, herbir sat r n ölçe¼gini hesaplayarak başlar z. s i = max jn fja ij, ja i j,..., ja in jg ( i n) Bu de¼gerler algoritmada bir s dizisine kaydedilir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 6 /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Ayr şt rma evresine başlarken; ja i j /s i nin en büyük oldu¼gu sat r pivot sat r olarak seçeriz. Seçilen indis p ile gösterilir ve permütasyon dizisinin ilk eleman olur. Bu durumda, i n için ja p j /s p ja i j /s i dir. p belirlendikten sonra, A n n ilk kolonunda s f rlar üretmek üzere, p -inci sat r n uygun katlar di¼ger sat rlardan ç kar l r. Kuşkusuz, p -inci sat r ayr şt rma sürecinin sonraki aşamalar nda de¼gişmez kalacakt r. Oluşturulan p i indislerini kay t alt nda tutmak için, (p, p,..., p n ) s ralama vektörünü (,,..., n) olarak başlat yoruz. Daha sonra apj /spj nin en büyük oldu¼gu j indisini seçip, p s ralama dizisinde p ve p j nin yerlerini de¼giştiriyoruz. Ilk eleme aşamas, i n için p -inci sat r n (a pi /a p ) kat n p i -yinci sat rlardan ç karma işlemlerini içerecektir. Genel süreci aç klamak için, k-y nc kolonda s f rlar oluşturmaya haz rland ¼g m z farzedelim. En büyük de¼geri bulmak için ja pi k j /s pi (k i n) say lar n tar yoruz. E¼ger, j bu oranlar n en büyük oldu¼gu ilk indis ise, bu durumda p dizisinde p k ile p j nin yerini de¼giştirip, daha sonra p k -y nc sat r n (a pi k /a pk k ) kat n k + i n için p i -yinci sat rlardan ç kar r z. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Şimdi bu sürecin nas l çal şt ¼g n A = 6 6 8 5.pivot s = matrisinde gösterelim. Başlang çta p = (,, ) ve s = (6, 8, ) olur. Ilk pivot sat r seçmek için f/6, /8, /g oranlar na bak yoruz. En büyük oran j = e karş l k geldi¼ginden,. sat r ilk pivot sat r al n r. O halde, p ile p ü yer de¼giştirip, p = (,, ) elde ederiz. Şimdi ilk kolonda s f rlar elde etmek için,. sat r n katlar. ve. sat rlardan ç kar l r. 6 8 5 Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 8 /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Sonuç: A = 6 6 0 5.pivot s = a ve a deki kutulanm ş girdiler çarpanlard r. Ikinci ad mda, pivot sat r n seçimi ja p j /s p ve ja p j /s p oranlar na bak larak yap l r. Ilk oran (6/)/8 ve ikincisi (/)/6 d r. O halde j = olup, p ve p yer de¼giştirilerek, p = (,, ); p -inci (.) sat r n 6 = 6 kat p -üncü (.) den ç kar l r. 6 6 8 5 Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 9 /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Sonuç: p = (,, ) ve A = 6 Son çarpan a ye yerleştirilir. 6 0 5 Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 0 /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi E¼ger orjinal A matrisinin sat rlar p s ralama dizisinin son haline göre yer de¼giştirirse, bu durumda A n n bir LU-ayr ş m n elde etmiş olmal y z. Bu durumda PA = olup, burada 6 0 0 0 P = 6 0 0 0 0 0 0 6 0 5 0 0 0 5 A = 5 = 6 6 8 6 6 8 5 5 Permütasyon matrisi P, s ralama dizisi p den (P) ij = δ pi,j ile elde edilir. Di¼ger bir deyişle P, I birim matrisinin sat rlar n n p deki girdilere göre s ralanmas ndan oluşur. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /

. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Teorem (PA = LU ile Çözüm) E¼ger PA = LU ayr ş m ölçekli sat r pivotlu Gauss algoritmas ile üretilirse, bu durumda Ax = b nin çözümü, önce Lz = Pb ve sonra da Ux = z çözülerek elde edilir. Benzer şekilde, y T A = c T un çözümü, önce U T z = c ve sonra L T Py = z çözülerek elde edilir. Ispat Problem.. (s.85) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /