35. Karma sistem örnek çözümleri

35. Karma sistem örnek çözümleri SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem çözülebilir. Bunun dışında, örneğin, aynı sistemde plak, levha veya çerçeve eleman içeren karma sistem çözümü programda öngörülmemiştir. Örnek 35.1: Sağdaki sistemin 4 ve 5 nolu elemanları kesiti şekilde görülen boru, diğer elemanları NPI 500 profilidir. Verilen yükler için eleman kuvvetleri yer değiştirmeler hesaplanacaktır. Malzeme: = 2.1 10, = 0.30 (tüm elemanlarda) Kesit bilgileri: = 3.9584 10, = 2.184 10 (boru elemanlarda) = 179 10, =6.874 10 (NPI 500 elemanlarda) Modelleme: Tüm elemanlar düzlem çerçeve eleman olarak tanımlanır. 7. elemanın sol ucuna 9. elemanın sağ ucuna, 4. ve 5. elemanların her iki ucuna moment mafsalı konur. Sınır koşulları: 1 ve 2 noktası X ve Y yönünde hareket edemez. 6 m 4 Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 297

Örnek 35.2: Aşağıdaki sistemin 1 1, 2, 3, 4, 5, 6 nolu kiriş elemanları NPI 500 profili, diğer kafes elemanları kesiti şekilde görülen borudur. Eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeler bulunacaktır. Malzeme: = 2.1 10, = 0.30 (tüm elemanlarda) Kesit bilgileri: = 3.9584 10, = 2.184 10 (boru elemanlarda) = 179 10, =6.874 10 (NPI 500 elemanlarda) Modelleme: Tüm elemanlar düzlem çerçeve eleman olarak tanımlanır. 3 nolu kiriş elemanın sağ ucuna, kafes ise elemanların her iki ucuna moment mafsalı konur. Sınır koşulları: 1 noktası X ve Y yönünde, 7 noktası Y yönünde yer değiştiremez. 8, 9, 10 ve 11 noktalarında kiriş eleman yoktur, sadece boru(kafes) elamanlar vardır. Tanım gereği kafes sistemlerin düğümlerinde dönme serbestlik derecesi yoktur. Bu nedenle bu düğümlerde Z etrafındaki dönmenin tutulması gerekir, aksi halde denklem sistemi tekil olur. 1 m 2 V VV 1 Kiriş ve kafes elamanlardan oluşan bu tür sistemlere LANGER kirişi denir, genellikle köprü kirişlerinde kullanılır. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 298

Örnek 35.3: Aşağıda köprü kirişinin ara mesnetleri taban alanı 3 6=18 m 2 olan 5 adet dubaya oturmaktadır. Eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeleri hesaplanacaktır 1 Malzeme: = 2.1 10, = 0 (tüm elemanlarda) Kesit bilgileri: = 10, = 3.36 10 (1 ve 5 nolu elemanlarda) = 10, = 4.20 10 (2 nolu elemanda) = 10, = 6.30 10 (3 nolu elemanda) = 10, = 8.40 10 (4 nolu elemanda) = 10, = 2.94 10 (6 nolu elemanda) Normal kuvvet etkisi olmadığı için kesit alanları büyük seçilmiştir. Modelleme: Dubalar düşey yönde batıp-çıkma hareketi yaparak elastik yay gibi davranırlar. Köprü kirişine mafsallı bağlandıklarından dönmeyi etkileyen yay etkisi yoktur. Bu nedenle köprü, aşağıdaki gibi, ara mesnetleri elastik eksenel yaylı sürekli kiriş olarak modellenebilir. k 1 yay katsayısının(yay rijitliğinin) belirlenmesi: Yay katsayısı kn/m birimindedir. Yayın boyunu 1 m değiştirmek(uzatmak veya kısaltmak) için uygulanması gereken kuvvet anlamındadır. ' ) = # ' ) = # Bu temel kavrama göre, yatay kesiti F=3 6=18 m 2 olan dubanın, üzerindeki yük nedeniyle, taşıracağı suyun hacmi! = " = 18 1 =18 olur(arşimend). Taşan suyun ağırlığı dubayı # =! $ %& = 18 10 = 180 '(. Dubayı 1 m batıran kuvvet 180 kn olduğundan yay katsayısı = 1 batması halinde = 1 batıran yüktür: ' ) = * + = ), ) = 180 '(/ olur. 1 Bu örnek, Hirschfeld, K., Baustatik, Theorie und Beispiele, 1969, Sayfa 482 den alınmıştır. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 299

Reaksiyonlar Kesme Moment Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 300

Örnek 35.4: Aşağıdaki asma köprü kirişinin eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeleri hesaplanacaktır 1 Kolon Kolon 10 50 m Malzeme: = 2 10, = 0 (tüm elemanlarda) Kesit bilgileri: = 10, = 40 (kolonlarda) = 10, = 7.5 (kirişlerde) = 395 10, =10, (14 ve 21 nolu kablo elemanlarda) = 225 10, =10, (15 ve 20 nolu kablo elemanlarda) = 390 10, =10, (16 ve 19 nolu kablo elemanlarda) = 650 10, =10, (17 ve 18 nolu kablo elemanlarda). = 0.01, = 10, = 10, (22 ve 23 nolu fiktif elemanlarda) Modelleme: Köprü kirişi 3 ve 8 noktalarında kolona kayıcı mesnet ile oturtulmuştur, kirişten kolona sadece eksenel kuvvet aktarılır, moment ve kesme aktarılmaz. Bu bağlantıyı modellemek için 22 ve 23 nolu fiktif elemanlar kullanılmıştır. 22 nolu fiktif eleman kirişin 3 noktasını soldaki kolonun 12 noktasına, 23 nolu fiktif eleman kirişin 8 noktasını sağdaki kolonun 15 noktasına bağlamaktadır. Fiktif elemanın boyu 0.01 m, iki ucu mafsallıdır(moment yok), kesit alanı A=10 4 m 2 alınmıştır(şekil değiştirmeden eksenel kuvvet aktarması için). Tüm elemanlar düzlem çerçeve olarak tanımlanır. Kablo ve fiktif elemanların iki ucuna mafsal konur, bunların atalet momentleri çok küçük seçilir(moment yok) Mesnet koşulları: 1 ve 10 noktaları Y yönünde yer değiştiremez. 11 ve 14 noktaları X, Y yönünde ve Z etrafında yer değiştiremez. 1 Bu örnek, Jenkins, W., M., Structural analysis using computers, Longman, 1990, Sayfa 326 dan alınmıştır. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 301

Kesme 1 1 14 2 13 16 18 11 17 21 15 16 19 13 20 3 8 2 10 3 4 4 5 5 6 6 7 7 12 8 9 9 11 14 10 Moment 1 1 14 2 13 16 17 18 21 15 11 16 19 13 20 3 8 2 10 3 4 4 5 5 6 6 7 7 12 8 9 9 11 14 10 Reaksiyonlar 13 16 14 17 18 21 15 11 16 19 13 20 3 8 1 1 2 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 12 R 11X = -3523.68 kn 11 R 14X = 3523.68 14 R 11Z = 2114020.65 knm R 14Z = -2114020.65 R 1Y = -895.31 R 11Y =6895.31 kn R 14Y =6895.31 10 R 10Y = -895.31 Yorum: 22 ve 23 nolu fiktif çubuklardaki normal kuvvet 4870.30(basınç) kn dur. Bu kuvvet kirişten kolona aktarılan normal kuvvettir. 14-21 nolu elemanlar kablo elemanlardır, sadece çekme kuvveti alabilirler. Ancak, 15 ve 20 nolu kablo elemanlarda 205.82 kn(basınç) kuvveti oluşmuştur. Bu, çözümün tam doğru olmadığı anlamındadır. Bu hata çözümün geometrik doğrusal yapılmasından kaynaklanmaktadır. Kablolu sistemlerin çözümünde geometrik doğrusal olmayan analiz yöntemleri kullanılması gerekir. Ancak, buradaki basit çözümün gerçek çözüme çok yakın olduğunu da belirtelim. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 302

Örnek 35.5: Sağdaki çelik çerçevenin kolon ve kirişleri NPI500 profilidir. Düğüm noktaları cıvata(bulon) ile bağlanmıştır. Eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeler hesaplanacaktır Malzeme: = 2.1 10, = 0 (tüm elemanlarda) Kesit bilgileri: = 179 10, = 6.874 10 (NPI 500) Modelleme: Çelik yapılarda cıvatalı veya perçinli bağlantılar tam ankastre çalışmaz. Çünkü cıvata ve delik çapları 0.3~1 civarında farklıdır. Cıvata sayısı ve düzeni de bağlantı noktasının rijitliğini değiştirir. Bu nedenle hesaplarda bağlantı noktasında rijitlik düşürülür. Rijitliğin ne kadar düşürüleceği teorik olarak bilinemez, mühendis tahmin eder. Uygulamada %25, %50 düşürmek yaygındır. Bu tür bağlantıya elastik veya kısmı bağlantı denir. Örneğimizde, elastik bağlantıyı tanımlayabilmek için, 4 nolu kiriş kolonlara 3 ve 4 nolu elastik yay ile bağlanmıştır. Yaylar eksenel kuvvet, kesme ve moment aktaracaktır. Kirişin kolona(cıvatalı bağlantı nedeniyle) yarı ankastre bağlı olduğu varsayılarak yay sabitleri ' 01%0203 =, ' ;ö2=0 = 1PQPş 2 alınacaktır. 35. Karma sistem örnek çözümleri Eksenel ve dönme yayı Eksenel ve dönme yayı 5.0 m 1.0 Yaylarda: = 10, (' 01%0203 = 5675ı695), ' ;ö2=0 = 2.1 10 6.874 10 2 72000 '(/@59 (yarı ankastre anlamında), yay boyu L=0.01 m (sadece geometriyi tanımlamak için gerekli, esneklik matrisinde kullanılmaz) alınacaktır. Yay eleman esneklik matrisi: ) D 0 0 1 EFGEHEI A = C 0 0 0 C B 0 0 ) 1 JöHKE L N M olur M Sınır koşulları: 1 ve 2 noktası X ve Y yönünde hareket edemez. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 303

Örnek 35.6: sağda görülen, dörtgen ve üçgen elemanlarla modellenmiş, levhanın kalınlığı 20 cm, malzemesi C25/30 betonudur. 100 kn Malzeme: E=30.10 6 kn/m 2, =0.2. Mesnet koşulları: En sol noktalar yer değiştiremez. SEM2015 in sonuçları aşağıda verilmiştir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 304

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 305

Örnek 35.7: Sağda görülen sistemde 4 nolu üçgen eleman 0.3 mm çelik levhadır. Levhayı rijitleştirmek için kenarlarına çelik çubuklar konmuştur. Çelik çubuklar levhaya 1, 2 ve 3 noktalarında bağlıdır, başka hiçbir nokta bağlı değildir. Malzeme: E=1.10 8 kn/m 2, =0.3 Levha kalınlığı: 0.3 mm 1 nolu çubuğun alanı: 0.7 cm 2 2 nolu çubuğun alanı: 0.5 cm 2 3 nolu çubuğun alanı: 0.75 cm 2 0.4 m Sistemdeki çubuklar kafes eleman olarak çalışır. SEM2015 in sonuçları aşağıda verilmiştir 1. Kafes eleman kuvvetleri Levha eleman kuvvetleri Kafes eleman gerilmeleri Levha eleman gerilmeleri 1 Bu rijitleştirme yöntemi otomobil ve uçak sanayinde kullanılır. Bu örnek Gallagher, R. H., Finite Element Analysis, Springer Verlag, 1976, Sayfa 57 den alınmıştır. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 306

Örnek 35.8: Sağda görülen sistemde düşey ve yatay (1..19 nolu) elemanlar çelik profildir. 20..25 nolu elemanlar LC30/33 hafif beton dikdörtgen levhadır. Malzeme(çelik): E=2.1.10 8 kn/m 2, =0.3 Malzeme(LC30/33 hafif beton): E=16000 kn/m 2, =0.25 1 13 ve 19 nolu çelik elemanlar NPU50 kesit alanı: 0.00072 m 2 14 18 nolu çelik elemanlar 2xNPU50 kesit alanı: 0.001424 m 2 20..25 nolu elemanlar beton levha kalınlığı: 0.036 m Sistemdeki çubuklar kafes eleman, beton elemanlar levha olarak çalışır 1. SEM2015 in sonuçları aşağıda verilmiştir. 1 Bu hayali bir örnektir, uygulaması yoktur. Sonlu elemanlar metodunun farklı malzeme içeren sistemi çözebileceğini göstermek için düzenlenmiştir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 307

Değişken kesitli ankastre kemer Kısa teorik bilgi: Ankastre kemerler vadinin iki yakasında zemin sağlam ise(kaya) köprü olarak inşa edilirler. Kemer ekseni çoğunlukla 2 0 parabol alınır. f (ok) Kemer eksenini fonksiyonu: 2 0 parabol S = 5T +VT+W. Sınır koşulları x=0 da y=0 olmalı -> c=0 olur. x=l/2 de y=f olmalı -> 5. +2VXYZ. x=l de y=0 olmalı -> 5. +V. = 0. Bu bağıntılardan 5 = 4 Z ve V = X 4\ bulunur. Bunlar ] S = 5T +VT+W de yerine konulunca kemer eksenini denklemi S = ^ (. T)T olur. Kesit atalet momentinin kemer ekseni boyunca nasıl değişeceğine yönelik farklı yaklaşımlar vardır: Bakınız 1. X Örnek 35.9: Sayısal Örnek: C40/50 betonu ile inşa edilecek olan, aşağıda geometrisi ve yükleri verilen, ankastre kemerin iç kuvvet diyagramları çizilecektir. Modelleme: Simetriden dolayı yarısı dikkate alınacaktır. SEM2015 programında eğri eksenli ve değişken atalet momentli çerçeve eleman yoktur. Kemer, şekilde görülen, yatay uzunluğu 1.0 m olan, 10 parçaya(elemana) bölünmüştür. Noktalardaki h kesit yükseklikleri bilinmektedir. Kesit genişliği sabit, her noktada b=1.0 m dir. Noktaların y ordinatları S = ^ (. T)T X den hesaplanır 30 kn 20 kn/m Y X 10 m 10 m 1 Y 2 X 3 4 7 6 5 10x1 m=10 m 8 9 10 1 m 11 0.4 m nokta x Y h 1 0.0 0.0 0.8 2 1.0 0.57 0.75 3 2.0 1.08 0.72 4 3.0 1.53 0.68 5 4.0 1.92 0.64 6 5.0 2.25 0.60 7 6.0 2.52 0.56 8 7.0 2.73 0.52 9 8.0 2.88 0.48 10 9.0 297 0.44 11 10.0 3.0 0.40 1 Çakıroğlu, A., Çetmeli, E., Yapı statiği I, İTÜ, 1966 Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 309

Elemanların kesit yükseklikleri düğümlerindekinin ortalaması alınacak, eleman kesit alanı ve atalet momenti bu ortalama yükseklik kullanılarak bulunacaktır. Örnek: 1 ve 2 noktaları arasındaki parçanın ortalama yüksekliği h`qab3b=b =,.c,.d = 0.775 dir. 10 parçanın(10 elemanın) bu yaklaşımla hesaplanmış ortalama yükseklikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Elemanları dikdörtgen kesitinin genişliği b=1.0 m, yüksekliği tablodan alınacaktır. Parça 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 Eleman no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h ortalama 0.775 0.735 0.70 0.66 0.62 0.58 0.54 0.50 0.46 0.42 Tekil ve yayılı yükün modellenmesi: Tepedeki 30 kn tekil yükün, simetri nedeniyle, yarısı alınmıştır. Her elemanın yatay uzunluğu 1.0 m olduğundan 20 kn/m yükünden oluşan 20. 1.0 =20 kn eşdeğer tekil yükün yarısı elemanın bir düğümüne diğer yarısı diğer düğümüne gider. Buna göre tepe noktasında 15+10=25 kn, mesnette 10 kn, 2, 3,, 10 noktalarında 20 kn tekil yük olur. Mesnet koşulları:. 1 noktasında yatay, düşey yer değiştirme ve dönme olmaz. 11 noktası simetri nedeniyle yatay yer değiştiremez, dönemez fakat düşey yer değiştirebilir. SEM2015 programına tanıtılan model ve alınan diyagramlar aşağıdaki gibidir. 3 m Simetri ekseni Normal kuvvet Kesme Moment Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 310

Örnek 35.10: C40/50 betonu ile inşa edilecek olan aşağıdaki ankastre kemerin büzülmeden oluşacak iç kuvvet diyagramları çizilecektir. 3 m Simetri ekseni Kemerin geometrik modeli bir önceki Örnek 33.9 daki gibidir. Burada sadece büzülme etkileri ele alınacaktır. Büzülme tüm beton liflerinin kısalmasına neden olur. Kısalma ortam koşullarına, kesitin büyüklüğüne ve betonun yaşına bağlı olarak değişir, kesin değerini bilmek mümkün değildir. Büzülme birim kısalması yaklaşık e f = 0.00025 alınabilir. Eksi işareti kısalma anlamındadır. Betonun genleşme katsayısı g f = 10 1 i h, dir. Ortam sıcaklığı k kadar değiştiğinde beton birim uzama/kısalması g f k olur. Bundan yararlanarak e f = 0.00025 büzülme kısalmasına karşılık gelen k değerini bulabiliriz: g f k = e f 10 k = 0.00025 k = 25 h, bulunur. Bunun anlamı şudur. 25 h, lik üniform sıcaklık düşmesi e f = 0.00025 kısalmasına neden olur. O halde, büzülmeden oluşacak iç kuvvetleri üniform sıcaklık düşmesi yükü kullanarak bulabiliriz. Beton ano-ano döküleceği için uygulamada genellikle k = 10 15 h, alınır. Geometrisi verilen kemerde k = 15 h, alınarak SEM2015 ile hesaplanan iç kuvvetler ve diyagramları aşağıda verilmiştir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 312

Normal kuvvet Kesme Moment Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 313

Örnek 35.11: HE-M400 çelik profil ile yapılacak olan sağdaki mafsallı çerçevenin iç kuvvet diyagramları çizilecektir. Tepe noktasındaki moment mafsalı elemanlar üzerinde değil elemanların birleştiği noktadadır. Dolayısıyla sistemdeki elemanlara mafsal koyarak modellemek mümkün değildir. Ne yapılabilir? 5 m Bu sistem 1 den alınmış; malzeme, kesit ve yükler değiştirilmiştir. Model a: Mafsalın yerine boyu çok kısa eksenel yay konur. Eksenel yayın iki ucunda moment mafsalı vardır. Yay rijitliği çok büyük alınır. Örneğin L=0.1 m, K eksenel: =10 20 kn/m. 5 m Model b: Mafsalın yerine boyu çok kısa ve iki ucu moment mafsallı rijit çerçeve eleman konur. Kesit alanı ve atalet momenti çok büyük alınır. Örneğin L=0.1 m, A=10 m 2, Iz : =10 20 m 4. 5 m 20 kn/m 15 kn Model c: Geometri ve yük simetriktir. Mafsal noktasına düşeyde kayıcı basit mesnet konur, sistemin yarısı çözülür. Bu model sadece sistem simetrik ise kullanılabilir. 2 Y 1 X 1 2 10 m Düşeyde kayıcı basit mesnet 3 1 Arbabi, F., Structural Analysis and Behaviour, McGraw Hill, 1991, Sayfa 398 Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 314

Her üç model de aynı sonucu verir. Çözüm ve iç kuvvet diyagramları aşağıda verilmiştir. Model a çözümü Normal Kesme Moment Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 315

Model b çözümü Normal Kesme Moment Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 316

Model c çözümü Normal Kesme Moment Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 317

Örnek 35.12: Sağdaki düzlem çerçeve IPE400 çelik profil ile yapılacaktır. Üstteki kiriş alttaki kirişe kayıcı basit mesnet ile oturtulmuştur. İç kuvvet diyagramları çizilecektir. Bu sistem 1 den alınmış; malzeme, kesit, yükler, ölçüler ve birimler(ingiliz birimleri yerine SI) değiştirilmiştir. 4 m 1 MODEL: Kayıcı basit mesnet üstteki kirişin serbestçe alttaki kiriş üzerinde sağa sola kaymasını sağlar. Üstteki kirişten alttaki kirişe sadece düşey kuvvet aktarır, kesme kuvveti ve moment aktarmaz. Bunu sağlamak için 4-6 noktaları arasına 6 nolu çerçeve eleman konur. Bu elemanın bir ucunda moment ve kesme mafsalı tanımlanır. Eksenel ve eğilme rijitliği büyük seçilir. Örneğin: kesit alanı A=10 m 2, atalet momenti Iz :=10 20 m 4. A nın büyük olması 6 nolu çubuğun, boyu kısalmaksızın, üst kirişin 4 noktasındaki reaksiyonunun doğrudan 6 noktasına aktarılmasını sağlar. Mafsallar kesme ve moment aktarılmayı önler. 4 m 1 SEM2015 sonuçları ve iç kuvvet diyagramları aşağıdadır. 1 Arbabi, F., Structural Analysis and Behaviour, McGraw Hill, 1991, Sayfa 398 Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 318

Normal Kesme Moment Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 319

Örnek 35.13: C40/50 betonu ile inşa edilecek olan aşağıdaki sürekli kirişin İç kuvvet diyagramları çizilecektir 1. MODEL: Kiriş yüksekliği değişkendir. Bu tip, guseli denilen, kirişler büyük açıklıklı köprü ve sanayi yapılarında nadiren kullanılır. SEM2015 de guseli kiriş eleman yoktur. Çözüm için aşağıdaki basit model kullanılabilir. 1. açıklığın sol ve sağ ucundaki 2.4 m lik kısımda ortalama yükseklik alınmıştır. 0.78 0.5 1.06 0.63 Değişken 1.06 0.5 1.06 0.63 Değişken 1 Çakıroğlu, A., Çetmeli, E., Yapı statiği II, İTÜ, 1966, S. 123 Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 320

Kesme Sonuçlar kaynakta verilenlerden biraz farklıdır. Daha yakın sonuç alınmak istenirse 1. aralığın sol ve sağ ucu daha fazla elemana bölünür. Moment 0.1 3 0.1 Örnek 35.14: Sağdaki halka kesitli betonarme endüstri bacası C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Ön tasarım amacıyla bacanın konsol kirş olarak rüzgâr yükünden oluşan İç kuvvetleri hesaplanacak ve diyagramları çizilecektir. Bacanın D dış çapı ve t et kalınlığı yükseklikle değişkendir. Her 10 m de bir D ve t değerleri şekil 35.14.2 de gösterilmiştir. TS498-1997 çizelge 5 e göre q rüzgâr etkisi(basınç veya emme) de yükseklikle değişmektedir. q değerleri de şekil 35.14.2 de gösterilmiştir. TS498-1997 ye göre yükseklik/ortalamaa cephe genişliği oranı en az 5 olan yapılar kule tipidir (Bak TS498-1997 Sayfa 11, 1.dipnot). Bacanın yüksekliği h=100 m, ortalama genişliği D ortalama=(3.2+9.8)/2= 13 m dir. h/ D ortalam ma=100/13 8 olduğundan yapı kule tipidir. TS498-1997 ye göre kule tipi yapılardaa rüzgâr yükü w=(1.6 Sinα-0.4)q dür. Bu bağıntı dairesel veya halka kesitlerde aşağıdaki çizimin solunda gösterilen rüzgâr yükü dağılımına neden olur. Çap çok büyük değilse veya ön tasarım amaçlı hesaplarda bu karmaşık dağılım yerine aşağıdaki basit model kullanılabilir. Basınç Emme Basınç Emme D D D w=(1.6 Sinα-0.4)q rüzgâr yükü dağılımı w=(1.6 Sinα-0.4)q rüzgâr yükü basit modeli Rüzgâr, yüksekliği h genişliği D olan ve esme yönüne dik duran alana çarpıyor varsayılır. Rüzgârın çarptığı bu dik alanda w=(1.6 Sinα-0.4)q =(1.6 Sin 90-0.4)q =1.2q basınç kuvveti oluşur. Rüzgârın terk ettiği diğer tarafta w=0.4q emme kuvveti oluşur. Bacaya toplam w=16q kn/m 2 yatay yük etkiyecektir. 9 m 0.4 0.4 Şekil 35.14.1: Sanayi bacası t Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 321

0.1 3 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 10 D=9.80 11 t=0.4 9 m 0.4 0.4 D 0.1 D=3.2 m t=0.10 m D=3.86 t=0.13 D=4.52 t=0.16 D=5.16 t=0.18 D=5.84 t=0.22 D=6.5 t=0.25 D=7.16 t=0.28 D=7.82 t=0.31 D=8.48 t=0.34 D=9.14 t=0.37 Şekil 35.14.2: Sanayi bacası t Baca 10 elemana bölünmüş, her elemanın Dortalama dış çapı, tortalama et kalınlığı şekil 35.14.3 te gösterilmiştir. Her elemana w=16q kn/m 2 yatay yükü etkiyecektir. Bu yükün etki alanı kesitin rüzgâr yönüne dik düşey düzlemdeki izdüşüm alanı alınır. Bu alan=eleman boyu. Dortalama dır. Her elemanın boyu sabit=10 m dir. Bir elemana etkiyen rüzgâr yükü tekil olarak hesaplanırsa 1.6q. 10. Dortalama kn olurr. Tekil kuvvet yerine çizgisel yük hesaplamak daha gerçekçidir. Bir elemanın çizgisel yükü 1.6q. Dortalama kn/m dir. Her elamanın buna göre hesaplanan çizgisel yükü şekil 35.14.3 de gösterilmiştir. 1.6q. D ortalama 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 Y D ortalama D ortalama =3.53 t ortalama =0.115 D ortalama =4.15 t ortalama =0.145 D ortalama =4.84 t ortalama =0.17 D ortalama =5.5 t ortalama =0.2 D ortalama =6.17 t ortalama =0.235 D ortalama =6.83 t ortalama =0.265 D ortalama =7.49 t ortalama =0.295 D ortalama =8.15 t ortalama =0.325 D ortalama =8.81 t ortalama =0.335 D ortalama =9.47 t ortalama =0.385 t ortalama Şekil 35.14.3: Hesap modeli X Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 322

Kesme Moment Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 323

Örnek 35.15: Sağdaki betonarme kiriş(beton: C30/37) x-y yatay düzleminde bir balkon kirişidir. A ve B noktasında rijit perdeye bağlıdır. A-B arası doğru parçası, B-C arası 2 m yarıçaplı ¼ çemberdir. Kiriş kesiti her yerde 30/60 cm dir. Kiriş üzerinde her yerde 40 kn/m düzgün yayılı düşey yük vardır. Kirşin iç kuvvetleri hesaplanacaktır. HESAP MODELİ: Eğrisel kısım 4 parçaya bölünmüş, doğru eksenli çubuk varsayılmıştır. Kiriş X-Y düzleminde olduğundan düzlem kaset olarak davranır. Bunun anlamı X ve Y yönünde yer değiştirme ve düşey Z ekseni etrafında dönme olmaz. Z doğrultusunda yer değiştirme, X ve Y etrafında dönme vardır. Kirşte burulma momenti oluşur.. Notaların koordinatları: 1, 2 ve 6 noktalarının koordinatları geometriden okunabilir. 3, 4, 5 noktalarının koordinatları 90/4=22.5 0 merkez açı yardımıyla hesaplanmıştır. Nokta X(m) Y(m) Z(m) 1 0 2 0 2 2 2 0 3 2.77 1.85 0 4 3.41 1.41 0 5 3.85 0.77 0 6 4 0 0 2 m 2 m Hesaplanacak balkon kirişi Hesap modeli Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 324