A = {x Φ(x) p(x)} = {x (x E φ ) p(x)}

Bölüm 3 KÜME KAVRAMI Okuma Parças Bu derste, Kümeler Kuramn belitsel (aksiyomatik) incelemeyi amaçlamyoruz. Burada, küme kavramn, sezgiye dayal olarak belirli nesnelerin bir toplulu u diye tanmlayacak ve daha çok cebirsel özeliklerini inceleyece iz. Her belitsel sistemin dayand baz ilkel kavramlar vardr. Bu ilkel kavramlar, o sistem içindeki ba³ka nesneler ya da kavramlarla belirlemek mümkün de ildir. Bunlara sistemin tanmsz terimleri ya da ilkel terimleri diyoruz. Bir belitsel yap kurulurken, bu yapnn dayanaca tanmsz terimler açklkla ortaya konulur. Bundan sonraki her yeni tanm, bu tanmsz terimlerle ifade edilir; ba³ka bir belirsiz kavram ya da bilinmeyen nesne yapya giremez. Tabii, bir belitsel yapy mümkün oldu u kadar az sayda tanmsz terime dayandrmak gerekir. Ba³ka bir deyi³le, bir belitsel sistemde, ötekiler cinsinden ifade edilebilecek kavramlar, yapnn tanmsz terimleri olarak almamak gerekir. Ayrca, bir belitsel yapda bu tanmsz terimlerin, kendilerine verilecek özeliklerinden ba³ka özeliklere sahip olduklarn, ya da, bize al³kn oldu umuz baz özelikleri ima ettiklerini varsaymayaca z. Bu bölümde küme kavramn Georg Cantor (1845-1918)'un yapt gibi belirleyece iz. Hemen belirtelim ki, bu yöntemle kümeyi belirlemek, ileri a³amalarda, yap içinde çeli³ki yaratr. Ama, ilk elde, amacmz yalnzca kümeler cebirini incelemek oldu u için, Cantor yönteminin eksikli i, bize, burada bir zarar vermeyecektir. Bunun yannda, bu yöntem, özellikle, konuya ilk ba³layanlar için, belitsel yönteme göre çok daha kolay sezilebilir nitelikte oldu undan, Kümeler Cebiri'ne daha çabuk girebilme olana bulaca z. Zaten bu yöntemle kurulan kümeler kuramna sezgisel sfat verilir. 3.1 LKEL KAVRAMLAR 3.1.1 Kümeler Kuramnn Tanmsz Terimleri Kümeler Kuramn kurmak için dört tanmsz terim alaca z: 29

30 BÖLÜM 3. KÜME KAVRAMI 1. ö e 2. küme 3. içerilme (eleman olma) 4. nicelik says x herhangi bir nesne olsun. Buna bazan belirsiz, bazan da de i³ken denilir. çinde x bulunan bir p(x) önermesi (ifadesi) tanml olsun. E er bu önerme do ru ise, x nesnesi p önermesini sa lyor (do ruluyor), diyelim ve bunu, p(x) = 1 anlamna gelmek üzere, ksaca, p(x) simgesiyle belirtelim. E er, p(x) yanl³ bir önerme ise, x nesnesi p önermesini sa lamyor (do rulamyor) diyelim ve bunu da, p(x) önermesinin de ili anlamna gelmek üzere, simgelerinden birisiyle belirtelim. p (x), p(x), p(x) (3.1) p(x) = 0 p (x) = 1 (3.2) oldu u açktr. p önermesini sa layan bütün x nesnelerinin olu³turdu u toplulu u, {x p(x)} ya da {x : p(x)} (3.3) simgelerinden birisiyle gösterelim. (3.3) toplulu una bir küme, bu toplulu u olu³turan her bir x nesnesine bu kümenin bir ö esi (eleman) diyece iz. Genellikle, ö eleri a,b,...,x,y,z gibi küçük harerle ve kümeleri de A,B,...,X,Y,Z gibi büyük harerle gösterece iz. 3.1.2 Evrensel Küme Evrensel küme deyimi, "her ³eyi içeren küme" ça r³m yapyor. Bu ça r³m en genel bir soru olarak ortaya atalm Bütün kümelerin kümesi nedir? Bu soru Kümeler Kuramnda paradoks yaratan çetin bir sorudur. Geçen yüzyln büyük matematikçilerini u ra³tran bu konuyu ileri bölümlerde ele alaca z. imdilik, her ³eyi içeren bir kümeyi hiç dü³ünmeyece iz. Zaten her ³eyi içeren bir kümeye gereksinim do mayacaktr. Matematikte belli bir i³ için belli bir küme üzerinde çal³rz. Bu küme do al saylar, tamsaylar, karma³k saylar, bir aralk üzerinde tanml sürekli fonksiyonlar v.b. gibi, ö eleri kesinlikle bizce belirli olan kümelerdir. Bu demektir ki, üzerinde çal³aca mz evrensel kümenin ne olaca ba³langçta saptanacaktr. Bu saptama i³i çok kolaydr. Evrensel kümeyi, o andaki çal³mamza konu olacak bütün ö eleri içerecek kadar büyük, o anda gereksiz ö eleri d³layacak kadar küçük seçmeliyiz. Örne in, ço unlukla yapaca mz

3.1. LKEL KAVRAMLAR 31 gibi, saylarla ile ilgili i³lemler yapyorsak, evrensel küme olarak gerçel saylar kümesini almak yetecektir; bu halde evrensel kümeyi, diyelim ki, bütün canllar da içerecek büyüklükte seçmek gereksizdir. Evrensel kümenin, her seferinde ne olaca nn, saptanmas gereken bir belirsiz olu³u, kümeler cebirinde i³leri zorla³trc bir etken sanlabilir. Ama böyle bir zorlu un çkmayaca n görece iz. Belli bir i³ için kullanaca mz evrensel kümeyi sözel olarak tanmlayabiliriz. Örne in, çift tamsaylar deyimi kümeyi kesinlikle belirler. Bu i³i matematiksel simgelerle yapmak i³i kolayla³tracak ve herkesin ayn kavramda anla³masn sa layacaktr. Belli bir andaki i³imizde kullanaca mz bütün x ö elerini seçen (belirleyen) bir Φ önermesi dü³ünelim. Φ(x) simgesi, x ö esinin Φ önermesini sa lad anlamna gelir; yani Φ(x) önermesinin do ruluk de eri D (do ru) dir. Bu ko³ulu sa layan bütün x ö elerinin olu³turdu u kümeye Φ nin belirledi i evrensel küme diyece iz. Bu kümeyi E Φ ile gösterece iz. E Φ = {x Φ(x)} (3.4) Evrensel kümemiz ba³langçta belli olaca için, onu belirleyen Φ önermesini her i³lemde kullanmak, formüllerde yararsz bir kalabalk yaratacaktr. O nedenle, çok gerekmiyorsa, i³lemlerimizde Φ önermesini hiç kullanmayz. Örne in, E Φ yerine E yazarz. Daha önemlisi, alt kümeleri kullanrken de bunu yaparz. Örne in, do al saylar kümesini evrensel küme olarak alm³sak, çift saylardan olu³an A alt kümesini belirlemek için demek yerine, A = {n n N n çift tamsaydr} A = {n n çift tamsaydr} yaln biçimini kullanaca z. Bunu matematiksel simgelerle ifade edelim. Φ nin belirledi i evrensel küme içinde bir p önermesini sa layan x ö elerinin olu³turdu u A alt kümesini biçimlerinden birisini yazmak yerine yaln biçiminde yazaca z. A = {x Φ(x) p(x)} = {x (x E φ ) p(x)} A = {x p(x)} (3.5) Örnekler 1. Düzlem Geometri çal³rken, düzlemdeki bütün noktalarn kümesini evrensel küme olarak seçmek yeterlidir. 2. Gerçel (real) saylarla çal³rken, R gerçel saylar kümesini evrensel küme olarak seçmek yeterlidir. 3. Nüfus konularyla ilgili çal³malar yapan bir sosyal bilimcinin, dünya nüfusunu evrensel küme olarak seçmesi yeterlidir.

32 BÖLÜM 3. KÜME KAVRAMI 3.1.3 Tümleyen Küme Benzer olarak, p önermesini sa lamayan; yani, p (x) önermesini sa layan bütün x nesnelerinin olu³turdu u toplulu u, { x p (x) } (3.6) simgesiyle gösterelim. Buna (3.5) kümesinin tümleyen (tamlayan) kümesi diyece iz. Buna göre, E evrensel kümesini E = {x p(x) p (x)} (3.7) biçiminde yazabiliriz. Bu yaln gösterimlerde kullanmad mz Φ(x) önemesinin sa land n gizil biçimde kabul ediyoruz. A kümesinin tümleyenini A, A, A c simgelerinden birisiyle gösterece iz: A = { x p (x) } (3.8) Bir a ö esinin A kümesine ait oldu unu, a A ya da A a simgelerinden birisiyle gösterecek ve "a ö esi (eleman) A kümesine aittir", "a ö esi A kümesinin bir ö esidir", "A kümesi a ö esini içerir," ifadelerinden birisiyle okuyaca z. Tanmmz gere ince, a A olmas için, a nesnesinin p önermesini sa lamas gerekli ve yeterli ko³uldur; yani p(a) önermesi do ru olmaldr. Öyleyse, a A p(a) yazlabilir. Bir b ö esi A kümesine ait de ilse b A ya da A b simgelerinden birisiyle gösterecek ve "b ö esi (eleman) A kümesine ait de ildir", "b ö esi A kümesinin bir ö esi de ildir", "A kümesi b ö esini içermez," ifadelerinden birisiyle okuyaca z. Tabii, buraya dek söylediklerimiz kümelerin varl n garanti etmez. Bu nedenle, p bir önerme ise, (3.5) kümesinin varl n, bir belit (aksiyom) olarak varsayaca z.

3.1. LKEL KAVRAMLAR 33 yi Tanmllk Bir kümeyi tanmlamak demek, o kümenin içerdi i bütün ö eleri belirlemek demektir. Bunun için genel yöntemimiz, tanmlayaca mz kümenin içerdi i ö elerin sahip oldu u bütün özelikleri ve yalnzca onlar ifade eden p önermesini belirledikten sonra, kümeyi (3.5) biçiminde yazmaktr. Böyle oldu unda, kümeye ait olan ve olmayan nesneler kesinkes belirlenmi³ olur. Bu özeli e, kümenin iyi tanmlanmas, diyece iz. Her küme iyi tanml olmaldr. (3.5) kümesini belirleyen p önermesi, yaln bir önerme olabilece i gibi, bile³ik bir önerme de olabilir. 3.1.4 Nicelik Says Bazan, bir kümede kaç ö e oldu unu bilmemiz gerekir. Bir kümenin ö elerini sayabiliyorsak, sonunda eri³ti imiz say, o kümenin nicelik saysdr. Ama, kümelerin ço unun ö elerini sayamayz. Böyle olsa bile, her kümenin ö elerinin miktarn belirten bir kavramn (saynn) olmas gerekti ini sezebiliyoruz. Bu nedenle, ³u beliti varsayaca z. Aksiyom 3.1.1. [Nicelik Saylarnn varl ] Her kümenin bir ve yalnz bir nicelik says vardr. Saylabilen kümeler için, nicelik says, kümenin ö elerinin saysdr. Bir A kümesinin nicelik says birisiyle gösterilir. Ā, (A), n(a), card(a) simgelerinden 3.1.5 Sonlu ve Sonsuz Kümeler Tanm 3.1.1. Nicelik says bir do al sayya e³it olan kümeler sonludur. Sonlu olmayan kümeler de sonsuzdur. Sonlu kümelerin ö elerini sayarak bitirebiliriz, ama sonsuz kümelerin ö elerini sayarak bitiremeyiz. Örnekler: 1. Alfabemizdeki harerden olu³an {a,b,c,...,y,z} kümesi sonludur. 2. 1000 den küçük çift tamsaylar kümesi sonludur. 3. Bir çuval pirinçten olu³an küme sonludur. 4. N = {0,1,2,3,4,...} Do al Saylar Kümesi sonsuzdur. 5. Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Tamsaylar Kümesi sonsuzdur. 6. R= Gerçel Saylar Kümesi sonsuzdur. 7. Düzlemdeki noktalar kümesi sonsuzdur.

34 BÖLÜM 3. KÜME KAVRAMI 3.2 Kümelerin Gösterimi 3.2.1 Niteleme Yöntemi Niteleme Yöntemi (Ö elerin Ortak Özeliklerini Belirleme): Kümeleri, genellikle (3.5) biçiminde gösteririz. Bu gösterimde p önermesi, kümenin ö elerinin belirleyici ve ayrc niteliklerini; yani, ortak özelliklerini belirtir. Bu nedenle, (3.5) gösterimine Niteleme Yöntemi (Ortak Özelik Belirleme Yöntemi) denilir. 3.2.2 Listeleme Yöntemi Baz özel hallerde, kümenin ö elerini tek tek yazmak ya da belirli bir kurala uyar biçimde sralamak mümkün olabilir. Bu durumlarda, kümenin ö elerini {} parantezi içine yazarz. Bu yönteme, Kümenin Ö elerini Listeleme ; {} parantezine de, küme parantezi diyece iz. A kümesinin ö eleri a,b,c,d,e,... ise, A = { a,b,c,d,e,... } (3.9) yazarz. Örne in, tek tamsaylar kümesi'nin niteleme yöntemi ile gösterimi, { x x tek tamsaydr} biçimindedir. Ayn kümeyi listeleme yöntemiyle gösterecek olursak, {..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,... } yazabiliriz. Birinci gösterimdeki "x tek tamsaydr " önermesi, kümeyi belirleyen p(x) önermesidir. kincide ise, büyük parantez içinde verilen..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,... sralamasndan,... ile belirtilen yerlere yalnzca tek tamsaylarn yazlmas gerekti ini anlyoruz. Tabii, bu tür bir gösterimi kullanrken, herkesin yazl olmayan ö elerin ne oldu unu kesinlikle anlayaca ndan emin olmak gerekir; de ilse yanl³ anlamalar do abilir. E er yanl³ anlam çkaca ku³kusu varsa, ortak özelik belirtme yöntemi'ne geçmek daha uygun olur. Bu örnekte görüldügü gibi, listeleme yöntemi, baz hallerde daha kolay alglanabilir. Ancak, kümelerin büyük ço unlu u için, listeleme yöntemi olanakszdr. Örne in, snfnzdaki bütün ö rencilerin adlarn yazarsanz, snftaki ö rencilerden olu³an kümenin ö elerini listelemi³ olursunuz. Ama, dünyadaki bütün insanlarn kümesini listeleyemezsiniz. 3.2.3 Venn Diyagram Kümeler cebirinde birçok ba nty daha somut biçimde görebilmek için kümeleri düzlemde kapal bir e ri ile snrlanm³ bölgeler olarak temsil ederiz. Bu yöntemi ilk kez ngiliz Matematikçisi John Venn uygulad için, kümeleri temsil eden böyle sekillere Venn diyagramlar, denilir.