L İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar

Transkript

1 MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017

2 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini kolaylaştırırlar. undan dolayı matematiğin temel terimlerindendir. Temel terim olmasına rağmen küme tanımlanmamış terimlerden biridir. Kavrayabilmek için diğer tanımlanmamış terimlerde olduğu gibi sezgilerimize başvuracağız. Küme için sezgimize göre iyi tanımlanmış 1 nesnelerden oluşan topluluk olarak açıklayacağız. Küme kavramı günlük yaşantımızın içinde yer almaktadır. Örneğin, okulumuzdaki öğretmenler bir küme oluşturur. ir başka örnek, sokağımızda oturan insanlar bir başka küme oluştururlar. Örnekler çoğaltılabilir. Kümeyi oluşturan nesnelere, kümenin elemanları denir. ir kümenin elemanını (öğesini) göstermek için (eleman (öğesi) olma) sembolü, elemanı (öğesi) olmadığını göstermek için ise (eleman (öğesi) olmama) sembolü kullanılır., alfabedeki büyük harfler kullanılarak gösterilir., eleman olma (elemanıdır (öğesidir)) simgesidir., elemanı olmama (elemanı (öğesi) değildir) simgesidir. ir kümesi için a bu kümenin elemanı (öğesi) ise a olarak gösterilir. ir kümesi için a bu kümenin elemanı (öğesi) değil ise a olarak gösterilir.. Küme (Cümle) KÜME (CÜMLE) Küme tanımlanmamış olarak alınacaktır. Küme denildiği zaman benzer özeliklere sahip nesnelerden oluşturulan topluluk olarak anlaşılacaktır. Örnek 1: şağıdakilerin her biri birer kümedir. : bir dogal sayı : 1 1,, 3, 4, 5 1, 3, 4 5, :, haf tanın günleri Cumartesi, Pazar Örnek : şağıdakilerin her biri birer küme değildir., güzel bir kız 1, pazar, insan, kilit :, uzun boyluinsan 1 İyi tanımlanmış ifadesi de burada birçok soruyu getirmektedir. Daha fazla irdelemeyeceğiz.

3 MTEMTİK.3 in Gösterilmesi in gösterimi için üç değişik yol vardır. unlar: 1. Venn Şeması Yöntemi İle Gösterme. Liste Yöntemi İle Gösterme 3. Ortak Özelik Yöntemi İle Gösterme.3.1 Venn Şeması Yöntemi İle Gösterme ir kümenin elemanlarının (öğelerinin) kapalı bir eğri içinde yer alacak şekilde gösterilmesine Venn şeması yöntemi ile gösterme denir. Örnek 1: 5 den küçük doğal sayılar kümesini venn şeması yöntemi ile gösteriniz. Kümenin elemanları: 0, 1,, 3 ve 4 olacaktır. u elemanları (ögesi) adı olacak kapalı bir eğri içine yazarsak elde ettiğimiz biçim venn şeması yöntemi ile gösterme olacaktır. Yandaki şekli inceleyiniz. Örnek : 6 ile 1 arasındaki tamsayılar kümesini venn şeması yöntemi ile gösteriniz. Yanıt : Kümenin elemanları: 5, 4, 3 ve olacaktır. u elemanları (ögeleri) adı E olacak kapalı bir eğri içine yazarsak elde ettiğimiz biçim venn şeması yöntemi ile gösterme olacaktır. Yandaki şekli inceleyiniz. Örnek 3: Çift rakamlar kümesini venn şeması yöntemi ile gösteriniz. Yanıt 3: Çift rakamlar: 0,, 4, 6, 8 dir. u elemanları (öğeleri) adı G olacak kapalı bir eğri içine yazarsak elde ettiğimiz biçim venn şeması yöntemi ile gösterme olacaktır. Yandaki şekli inceleyiniz..3. Liste Yöntemi İle Gösterme Oluşturulacak kümenin elemanlarının (öğelerinin), küme parantezleri içinde virgüllerle ayırarak yazılması ile elde edilen biçimine kümenin liste yöntemi ile gösterilmesi denir. u biçimde ki gösterimde kümenin elemanlarının (öğelerinin) sırasının bir önemi yoktur. Elemanların (öğelerin) sırasının değişmesi yeni bir küme anlamına gelmez. Örnek 1: 5 den küçük doğal sayılar kümesini liste yöntemi ile gösteriniz. Kümenin elemanları: 0, 1,, 3 ve 4 olacaktır. u elemanları (öğeleri) adı olacak bir kü- 0,1,,3,4 kümesi liste yöntemi ile gösterim olacaktır. mede gösterirsek: 3 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

4 MTEMTİK Örnek : 6 ile 1 arasındaki tamsayılar kümesini liste yöntemi ile gösteriniz. Yanıt : Kümenin elemanları (öğeleri): 5, 4, 3 ve olacaktır. u elemanları (öğeleri) adı E E 5, 4, 3, kümesi liste yöntemi ile gösterim olacaktır. olacak bir kümede gösterirsek: Örnek 3: İSTNUL sözcüğündeki harflerin oluşturduğu kümeyi liste yöntemi ile yazınız. Yanıt 3: İSTNUL sözcüğünün harfleri: İ, S, T,, N,, U, L dir. unlar adı F olacak bir küme- F İ,S, T,, N,, U, L kümesi elde edilir. de liste biçiminde yazılırsa: Örnek 4: İ : 4 0, kümesini liste yöntemi ile gösteriniz. Yanıt 4: 4 0 denkleminin çözüm kümesi aradığımız kümenin elemanlarını oluşturacaktır veya dir. u durumda İ, dir..3.3 Ortak Özelik Yöntemi İle Gösterme Kümeyi oluşturan elemanların hepsinde yer alan en az bir ortak özelik kullanılarak, bütün elemanların yerine bu özelikten yararlanarak küme yeniden yazılır. olarak yazılabilir. Örnek 1: C 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kümesini ortak özelik yöntemi ile gösteriniz. Küme rakamlardan oluşmaktadır. u durumda ortak özelik yöntemi kullanılırsa küme: C 10 dan küçük doğal sayılar veya C 10 Örnek : F İlkbahar, Yaz, Sonbahar, Kış kümesini ortak özelik yöntemi ile gösteriniz. Yanıt : Kümenin elemanları mevsimlerden oluşmaktadır. u durumda ortak özelik yöntemi kullanı- F Mevsimler olarak yazılır. lırsa küme: Örnek 3: H, 4, 6, 8, 10, kümesini ortak özelik yöntemi ile gösteriniz. Yanıt 3: Kümenin elemanları ve den büyük olan çift doğal sayılardır. u H kümesi ortak özelik H Çift doğal sayılar biçiminde gösterilir. u küme aynı zamanda yöntemi kullanılarak H : n, n biçiminde de ifade edilebilir. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 4

5 MTEMTİK Örnek 4: 1, 3, 5, 7, 9, Ö kümesini ortak özelik yöntemi ile gösteriniz. Yanıt 4: Ö kümesi tek doğal sayılardan oluşmaktadır. Tek sayılar: n 1, n biçiminde tanımlanabilir. u durumda Ö kümesi Ö : n 1, n biçiminde gösterilir. LIŞTIRMLR Ç, 6, 4, kümesini ortak özelik 3. H 1, 4, 7, 10, 13, 16, kümesini ortak yöntemi ile gösteriniz. özelik yöntemiyle gösteriniz. K, 7, 5, 1 kümesini ortak özelik 4. H, 4, 8, 6, 10, 1, 14, kümesini yöntemiyle gösteriniz. ortak özelik yöntemiyle gösteriniz ir Kümenin Eleman Sayısı Tanım (İR KÜMENİN ELEMN SYISI) ir kümesinin elemanlarının sayısı k ise k ya kümesinin eleman sayısı denir ve biçiminde gösterilir. s() k, n() k veya k Örnek 1: :0 10, kümesinin eleman sayısı nedir? :0 10, kümesini liste biçiminde yazarsak : olacaktır. kümesinin eleman sayısı s() 9 dur. Örnek : Ü : 1 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 kümesinin eleman sayısı kaçtır? Yanıt : 1 0 denkleminin 1 ve 1 olan iki tane kökü olduğundan Ü kümesinin eleman sayısı s(ü) olur. Örnek 3: Y : 1 0, Yanıt 3: Y : 1 0, kümesinin eleman sayısı kaçtır? kümesinin eleman sayısı için 1 0 denkleminin kökü olmadığından Y kümesinin eleman sayısı s(y) 0 dır. Çünkü 1 dır. 5 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

6 MTEMTİK LIŞTIRMLR kümesinin eleman sayısı 7. T : kümesinin eleman nedir? sayısı nedir? Z,,, 1,, a kümesinin eleman sayısı 4 8. F : 4 3, kümesinin ele- nedir? man sayısı nedir? M : 0 18,, K :0 1, 9. Y : 3 18, ve kümelerinin eleman sayıları nedir? Z : 7 9, ise s(y) s(z) yi D : n 1, 0 n 5, n kümesinin bulunuz. eleman sayısı nedir? F : 3 0 kümesinin eleman sayısını bulunuz. L : 3t 1, t kümesinin eleman sayısı nedir? H : kümesinin eleman sayısı nedir? 1. Y 1,, 3, 4, oş Küme Tanım (OŞ KÜME) Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve boş küme sembollerinden biri ile gösterilir. in elemanları olmayacağından kümenin tanımını yaparken buna dikkat etmek gerekir. sayı yoktur. Örnek 1: İki tane boş küme yazınız. veya :0 1, kümesi bir boş kümedir. Çünkü 0 ile 1 arasında başka bir doğal : 1 0, kümesi bir boş kümedir. Çünkü 1 olacağından hiçbir sayının karesi negatif bir sayı olamaz. Örnek : Ş : 1 0, kümesi boş küme midir? Yanıt : Ş kümesinin boş küme olabilmesi için 1 0 denkleminin köklerinin olmaması gerekir. 1 0 denkleminin reel sayılar kümesinde kökü yoktur. undan dolayı Ş kümesi boş kümedir. LIŞTIRMLR 1. şağıdaki kümelerden hangileri boş kümedir?. şağıdaki kümelerden hangileri boş kümedir? , 4 6,,, R 4 0,, Q ,, 15 9, 9 9 n n 4n Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 6

7 MTEMTİK.6 Sonlu ve Sonsuz Sonlu ve sonsuz kümeler elemanlarının sayılıp sayılamadığına göre tanımlanırlar. Örnek 1: şağıdaki örneklerin her biri sonlu veya sonsuz kümelere örnek teşkil ederler. Sonsuz M :0 1, Sonlu J :0 1, 0,1,, 3, 4, J : 1 0, M M, 4, 3, 1 J Sonlu Tanım (SONLU KÜMELER) Elemanları sayılabilen kümelere sonlu kümeler denir. Örnek 1: eş tane sonlu küme yazınız. Elemanları sonlu sayıda olacak şekilde beş küme yazmak gerekmektedir. unlar: Ö 1,, 3, 4, 5, 6 kümesinin elemanlarının sayısı 6 olduğundan Ö kümesi sonlu bir kümedir. L :0 5, kümesinin elemanları 1,, 3, 4 olacağından sayılabilir. J : 1 0, kümesinin elemanları 1 ve 1 olacağından sayılabilir. Ş : 1 0, kümesinin elemanı olmadığından, Ş kümesi boş kümedir. 4 K 16 0 kümesinin elemanları ve olacağından sayılabilir..6. Sonsuz Tanım (SONSUZ KÜMELER) Elemanları sayılamayan kümelere sonsuz kümeler denir. Örnek 1: T :0 1, sonsuz küme midir? 0,1 aralığında sonsuz tane reel sayı yer aldığından T kümesi sonsuz kümedir. Örnek : 0, 1,, 3, 4, N kümesi sonsuz kümedir. Örnek 3: Z, 3,, 1, 0, 1,, 3, kümesi sonsuz kümedir. Örnek 4: Rasyonel sayılar kümesi sonsuz kümedir. Rasyonel sayılar kümesi:

8 a Q : b 0, a,b b. Örnek 5: T y kümesi sonsuz kümedir. MTEMTİK Örnek 6: 1 F y 1 kümesi sonsuz kümedir. LIŞTIRMLR kümesi sonlu bir küme midir? küme midir? 3. D : 1 1 kümesi sonsuz bir L : n 1, 0 n 9, n kümesi 4. D : n 1,n kümesi sonsuz sonlu bir küme midir? bir küme midir? 1. K : n, n..7 Eşit Tanım (EŞİT KÜMELER) ynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir. Eşit kümeler sembolü ile eşit olmayan kümeler ise sembolü ile gösterilir. Örnek 1: O : 1 0, ve Ö 1,1 O : 1 0, = kümeleri eşit midir? kümesi liste biçiminde yazılırsa O 1,1 O Ö olacağından kümeler eşittir. Örnek : Q : 1 0, ve H : 1 0, olacaktır. uradan eşit kümeler midir? Yanıt : 1 0 denkleminin kökleri olmadığından Q kümesi boş kümedir. Q dir. 1 0 denkleminin de kökleri olmadığından H kümesi de boş kümedir. H dir. uradan H Q dir. kümeleri eşit kümeler değildir. Yani Örnek 3: K : 1 0, ve L : 1 0, K L dir. LIŞTIRMLR 1. şağıdaki kümelerden hangileri birbirine eşittir?. 4, 1, 1,3,4 olduğuna göre nedir? 3. Eşit kümeler hangileridir 1,,3, 1,,3,4, 1,, 1,,3 4 ( ) 3 0 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 8,,

9 MTEMTİK.8 lt Küme Tanım (LT KÜME) ve gibi iki küme için, kümesinin her elemanı kümesinin de elemanı ise kümesine kümesinin alt kümesi denir ve sembolü ile gösterilir. ise kümesi kümesinin alt kümesi diye okunur. sembolü ise alt küme değil anlamında kullanılır. Örnek 1: 1,,3, H İ 1, ve 1,,3,4 J kümelerinden alt kümeleri belirleyiniz. İ 1, kümesinin tüm elemanları aynı zamanda hem H kümesinin hem de J kümesinin elemanı olduğundan İ kümesi hem H hem de J kümesinin alt kümesidir. Yani İ H ve İ J dir. ynı şekilde H kümesinin tüm elemanları J kümesinin elemanı olduğundan H kümesi J kümesinin alt kümesidir. Yani H J dir. Kısaca İ H, İ J ve H J dir. undan dolayı İ H J yazılabilir. bulunuz. Örnek : Yanda verilen şekildeki Venn şemasına göre alt kümeleri Yanıt : i venn şemasının yanında bir de liste biçiminde yazarsak a, b, 1, a, b,1, ve C b,1, bundan da görüleceği gibi kümesinin tüm elemanları aynı zamanda kümesinin de elemanı ve C kümesinin de tüm elemanları kümesinin elemanıdır. u durumda ve C dir. Örnek 3: 0,1,,3, a,b M 1,,3,4 kümelerinden alt kümeleri belirleyiniz. K L ve Yanıt 3: K, L ve M kümelerinden hiç biri diğerinin alt kümesi değildir..8.1 ir Kümenin lt i Tanım (İR KÜMENİN LT KÜMELERİ) ir kümesinin elemanlarının bazıları ile oluşturulabilecek yeni kümelere kümesinin alt kümeleri denir. Örnek 1: 1,, a kümesinin elemanlarından oluşturulabilecek alt kümeleri yazınız.

10 MTEMTİK kümesinden 0 elemanlı, 1 er elemanlı, şer elemanlı ve 3 elemanlı kümeler oluşturulabilir. unlar: a 4 1, 5 1,a 6,a 7 1,,a Örnek : Ç a,b,c,d kümesinin elemanlarından oluşturulabilecek kümeleri yazınız. Yanıt : Ç kümesinden 0 elemanlı, 1 er elemanlı, şer elemanlı, 3 er elemanlı ve 4 elemanlı kümeler oluşturulabilir. unlar: Ç 0 Ç 1 a Ç b Ç 3 c Ç 4 d Ç 5 a,b Ç 6 a,c Ç 7 a,d Ç 8 b,c Ç 9 b,d Ç 10 c,d Ç 11 a,b,c Ç 1 a,b,d Ç 13 a,c,d Ç 14 b,c,d Ç 15 a,b,c,d Örnek 3: L 1 kümesinin alt kümelerini bulunuz. unlar: Yanıt 3: L kümesinin eleman sayısı 1 dir. u durumda 0 elemanlı 1, 1 er elemanlı 1 küme vardır. L L irbirinin alt kümesi olan iki küme bulunuz.. LIŞTIRMLR 3,, kümesinin alt kümelerini yazınız..8. ir Kümenin lt inin Sayısı s(ü) Tanım (LT KÜME SYISI) ir kümesinin eleman sayısı s () ise s() sayısına kümesine alt küme sayısı denir. Örnek 1: Ü :0 9, kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? Ü kümesini liste biçiminde yazarsak 1,,3,4,5,6,7, dır. Ü dir. s(ü) 8 için alt küme sayısı: Teorem (n ELEMNLI İR KÜMENİN r ELEMNLI LT KÜME SYISI) n elemanlı bir kümede 1 r n olmak üzere bu kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı n! C(n, r) (n r)!r! dir. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 10

11 MTEMTİK Örnek : 7 elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı nedir? u durumda Yanıt : n! C(n, r) bize gereken sonucu verecektir. urada n 7 ve r 5 olur. (n r)!r! 7! 7! C(7,5) C(7,5) (7 5)!5!!5! C(7,5) C(7,5) C(7,5) 1 C(7,5) 37 C(7,5) 1 Örnek 3: n elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı, 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ise n kaçtır? Yanıt 3: n elemanlı kümenin önce elemanlı sonra da 5 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım. elemanlı alt küme sayısı: n! C(n,) (n )!! n(n 1)(n )! C(n,) (n )!! n(n 1) C(n,)! 3 elemanlı alt küme sayısı: n! C(n,5) (n 5)!5! n(n 1)(n )(n 3)(n 4)(n 5)! C(n,5) (n 5)!5! n(n 1)(n )(n 3)(n 4) C(n,5) 5! C(n,) C(n,5) olduğundan n(n 1) n(n 1)(n )(n 3)(n 4)! 5! 1 (n )(n 3)(n 4)! 5! (n )(n 3)(n 4) (n )(n 3)(n 4) 5 (n ) 4 (n 3) 3 (n 4) n 7 Kümenin eleman sayısı n 7 lt küme sayısının hesaplanmasında n! C(n, r) için C(n,0) n, C(n,n) n ve (n r)!r! faktöryel (çarpansal) için 0! 1 dir. 11 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

12 MTEMTİK Örnek 4: 5 elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yanıt 4: En çok 3 elemanlı alt kümelerin sayısı sorulduğundan, 0 elemanlı, 1 elemanlı, elemanlı ve 3 elemanlı alt kümelerin sayılarının toplamı hesaplanacaktır. 0 elemanlı alt küme sayısı: C (5,0) ; 1 elemanlı alt küme sayısı: C (5,1 ) ; elemanlı alt küme sayısı: C (5,) ; 3 elemanlı alt küme sayısı: C (5,3) ; 5! C(5,0) (5 0)!0! 5! C(5,1) (5 1)! 1! 5! C(5,) (5 )!! 5! C(5,3) (5 3)!3! 5! C(5,0) C(5,0) 1 51! 5! C(5,1) C(5,1) 5 41! 5! C(5,) C(5,) 10 3! 5! C(5,3) C(5,3) 10!3! Toplam alınırsa: C(5,0) C(5,1) C(5,) C(5,3) Örnek 5: 5 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Yanıt 5: En az 3 elemanlı alt kümelerin sayısı sorulduğundan, 3 elemanlı, 4 elemanlı ve 5 elemanlı alt kümelerin sayılarının toplamı hesaplanacaktır. 3 elemanlı alt küme sayısı: C (5,3) ; 4 elemanlı alt küme sayısı: C (5,4) ; 5 elemanlı alt küme sayısı: C (5,5) ; 5! C(5,3) (5 3)!3! 5! C(5,4) (5 4)!4! 5! C(5,5) (5 5)!5! 5! C(5,3) C(5,3) 10!3! 5! C(5,4) C(5,4) 5 1 4! 5! C(5,5) C(5,5) 1 0!5! Toplamları alınırsa: C(5,3) C(5,4) C(5,5) C(5,3) C(5,4) C(5,5) 16 bulunur. LIŞTIRMLR 1. 5 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı nedir? 6. 1,,3,4,5,6 kümesinin alt kümelerinin. 9 elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı nedir? kaç tanesinde 3 bulunmaz? elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt 7. 1,,3,4,5,6 kümesinin alt kümelerinin kümelerinin sayısı nedir? kaç tanesinde 3 ve 5 bulunur? elemanlı bir kümenin en az 7 elemanlı alt 8. 1,,3,4,5,6 kümesinin alt kümelerinin kümelerinin sayısı nedir? kaç tanesinde 3 ve 4 bulunmaz? 5. 1,,3,4,5,6 kümesinin alt kümelerinin 9. 1,,3,4,5,6 kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 6 bulunur. kaç tanesinde 3 veya 6 bulunur? Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 1

13 MTEMTİK 10. 1,,3,4,5,6 kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde veya 5 bulunmaz? 1,,3,4,5,6 kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 bulunur? 1,,3,4,5,6 kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde bulunmaz? 1,,3,4,5,6 kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde ve 5 bulunur? ,,3,4,5,6 kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve bulunmaz? 1,,3,4,5,6 kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde veya 3 bulunur? 1,,3,4,5,6 kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde veya 4 bulunmaz? lt Küme İşleminin Özelikleri lt küme işleminin özelikleri: 1. Her kümesi için dır.. Her kümesi için dır. 3., kümeleri için ve dir. 4., ve C kümeleri için ve C C dir. Örnek 1: neden her kümenin alt kümesidir? bir küme ve boş küme olarak alınsın., önermesi yanlış olacağından ( ) önermesi doğru olacaktır. ( ) önermesi ile önermesi denktir. u durumda doğrudur. u özelik aşağıdaki teorem ile ifade edilir. Teorem oş küme her kümenin alt kümesidir. Örnek : Her küme neden kendisinin alt kümesidir? Yanıt : ( ) önermesi doğrudur. lt küme tanımına göre, bu önermeye denk olan, önermesi de doğru olur. Her küme kendisinin alt kümesidir. Örnek 3:, kümeleri için Yanıt 3: lt kümeye göre ve olduğunu gösteriniz. 13 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

14 ( ) ( ) ( ) MTEMTİK önermesi doğru olacaktır. İki yönlü koşullu önermeye göre ( ) ( ) ( ) dir. İki kümenin eşitliğine göre olur. u durumda olur. Örnek 4:, ve C kümeleri için Yanıt 4: ( C) ( ) ( ) ve C C olduğunu gösteriniz. ( ) ( C) ( C) C LIŞTIRMLR, 1,,3,4,5,6 için., kümeleri için ve olacak biçimde örnekler veriniz. ve C olacak şekilde en az elemana sahip C kümesine örnek veriniz. 1. 1,,3,4.8.4 Üst Küme Tanım (ÜST KÜME) ve gibi iki küme için nın her elemanı nin de elemanı ise kümesine kümesinin üst kümesi denir. Örnek 1: 1,,3,4,,3,4,5,6, C,3, D 3,4,5 ve 4 arasındaki ilişkide, üst kümeleri belirtiniz. C, kümesi C kümesinin üst kümesidir. C, kümesi C kümesinin üst kümesidir. D, kümesi D kümesinin üst kümesidir. E, kümesi E kümesinin üst kümesidir. E, kümesi E kümesinin üst kümesidir. E D, D kümesi E kümesinin üst kümesidir. 1. K a,b,c,d, L b,c,d,e,f, N c,d,e ve d O kümelerinin arasındaki ilişkide, üst kümeleri belirtiniz. LIŞTIRMLR M b,c, E kümelerinin. K 1 3, N 1 5 L 1 4 D 1 6, ve kümeleri için üst kümleri bertiniz. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 14

15 MTEMTİK.8.5 Trivial lt Küme Tanım (TRIVIL LT KÜME) kümesinin kendisi ve boş kümesine, kümesinin trivial alt kümesi denir. Örnek 1: 1,,3 kümesinin trivial alt kümesini bulunuz. ve C alınırsa kümesinin trivial alt kümesi ve C den oluşur. LIŞTIRMLR L a,b,c kümesinin trivial alt kümesini bulunuz. 4. G 16 0 kümesinin trivial alt kümesini bulunuz Özalt Küme Tanım (ÖZLT KÜME) ir kümesinin kendisi hariç diğer alt kümelerine özalt küme denir. ir kümenin özalt s() küme sayısı 1 dir. Örnek 1: 6 elemanlı bir kümenin kaç tane özalt kümesi vardır? Eleman sayısı 6 olduğuna göre özalt küme sayısı: olur. Örnek : Q :0 10, kümesinin özalt küme sayısı kaçtır? Yanıt : 101 Q kümesinin eleman sayısı: s(q) 1 10 s(q) 10 bu durumda özalt küme sayısı: s(q) 10 olur. Örnek 3: Özalt küme sayısı 63 olan kümesinin eleman sayısı nedir? Yanıt 3: Küme ise özalt küme sayısı: s() s() s() s() 6 s() 6. Örnek 4: Eleman sayısı, özalt küme sayısına eşit olan kümenin eleman sayısı nedir? Yanıt 4: Kümenin eleman sayısı ise 1 olur olur. Kümenin eleman sayısı 1 dir.

16 1. 7 elemanlı bir kümenin kaç tane özalt kümesi vardır?. 5 elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısının özalt kümelerinin sayısına oranı nedir? 3. Özalt küme sayısı 17 olan bir kümenin eleman sayısı nedir? LIŞTIRMLR MTEMTİK 4. n elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı ile 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı birbirine eşit ise bu kümenin özalt küme sayısı nedir? 5. Özalt kümelerinin sayısı ile eleman sayıları birbirine eşit olan kümelerin eleman sayıları çarpımlarını ve toplamlarını bulunuz. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 16

17 MTEMTİK.9 Kuvvet Kümesi Tanım (KUVVET KÜMESİ) ir kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kümesinin kuvvet kümesi denir ve kuvvet kümesi P () ile gösterilir. Örnek 1: 1,, 3 olduğuna göre kümesinin kuvvet kümesini bulunuz. Kuvvet kümesi P (), kümesinin tüm alt kümelerini içerdiğinden: P() 1,, 3, 1,, 1,3,,3, 1,,3, dır. Örnek : a, b olduğuna göre kuvvet kümesinin eleman sayısı kaçtır? Yanıt : Kuvvet kümesi, kümenin alt kümelerinden oluştuğundan kuvvet kümesinin eleman sayısı alt küme sayısına eşit olacaktır. Kuvvet kümesinin eleman sayısı: 4 olur. LIŞTIRMLR K 1,,3 kümesinin kuvvet kümesini bulunuzman. K 1,,3 kümesinin kuvvet kümesinin ele- sayısını bulunuz de İşlemler de yapılan işlemler: 1. de irleşim İşlemi. de Kesişim İşlemi 3. Evrensel Küme İşlemleri 4. de Fark İşlemi.10.1 in irleşimi Tanım (KÜMELERİN İRLEŞİMİ) İki veya daha çok kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye kümelerin birleşimi denir ve birleşim sembolü ile gösterilir. ve kümeleri için sembolik olarak : biçiminde gösterilir. Örnek 1: 1,,3 ve a,b,c kümelerinin birleşimi nedir? 1,,3 a,b,c olacağından 1,, 3, a, b, c dir. 17 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

18 Örnek : Yanda verilen şekildeki Venn şemasına göre, C ve C yi bulunuz. MTEMTİK Yanıt : i liste biçiminde ifade edersek: 1, a, b, c, 1,, a, b, d ve C 1,, b, e a, b, c, d,1, C a, b, d, e,1, ve C a, b, c, e,1, olacaktır. dir. u durumda, LIŞTIRMLR,,3,4 ve C 3,4,5,6 kümeleri için, C ve C yi kümeleri için ve yı bulunuz.. Z 4 0 N 4 0 bulunuz. 1. 1, ve irleşim İşleminin Özelikleri irleşim işleminin özelikleri: 1. Tek Kuvvet Özeliği. Değişme Özeliği 3. irleşme Özeliği 4. irim Eleman Özeliği 5. Her ve İçin ( ) ve ( ) Özeliği 6. Her ve İçin ve Özeliği 7. Her ve İçin Özeliği Tek Kuvvet Özeliği Her kümesi için dir. İspat: : : Değişme Özeliği Her ve kümeleri için dir. İspat: : : Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 18

19 MTEMTİK irleşme Özeliği Her, ve C kümeleri (C) ( ) C dir. İspat: (C) : : : ( : ( ) ( ) C (C) ( ) C) C C irim Eleman Özeliği Her kümesi için dır. İspat: : : : : 0 uradan bulunur. öylece kümenin birleşim işleminin birim elemanı olduğu gösterilmiş olur Her ve için ( ) ve ( ) Özeliği Her ve için ( ) ve ( ) dir. İspat: ( ) olduğunu göstermek için ( ) olduğundan dir. ( ) olduğunu göstermek için ( ) olduğundan dir Her ve için ( ve ) Özeliği Her ve için ( ve ) dir. 19 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

20 MTEMTİK İspat: Önerme, iki yönlü koşullu önerme olduğundan ispat iki basamakta yapılacaktır: Her ve için ( ) ve ( ). olduğu de ispatlanmıştır. 1. a) ( ) yazılabilir. Halbuki olur. uradan bulunur. dir. u durumda ( ) ( ) 1. b) ( ). ( ) yazılabilir. Halbuki dir. u durumda olduğu açıktır. ( ) ( ) ( ) olur. uradan ( ) bulunur. u sonuçlara göre elde edilir. ( ve ) Her ve İçin Özeliği Her ve için dir. İspat: Önerme, iki yönlü koşullu önerme olduğundan ispat iki basamakta yapılacaktır: Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 0

21 MTEMTİK 1. ( ) gösterilirse ( ) ( ) önermelerinden ( ) ( ) elde edilir. u durumda dir. iz olduğunu biliyoruz. Sonuç olarak bulunur.. ( ) gösterilirse olduğunu biliyoruz. olduğu düşünülürse önermelerinden bulunur. 1. 1,,3 ise yı bulunuz.. E 1, ve F,3,4 kümeleri için E F ve F E yi bulunuz. G 4 0 H , ve I 1 10 kümeleri için ( C) ve ( ) C yi bulunuz. LIŞTIRMLR 4. J 3 0 kümesini kullanarak birim elemanın boş ( ) küme olduğunu gösteriniz. V 1,,3,4,5 kümesi için tek kuvvet özeli- 5. ğini gösteriniz. M a,b,c,d,e 6., K 1,,3 değişme özeliğini gösteriniz. kümeleri için.10. in Kesişimi Tanım (KÜMELERİN KESİŞİMİ) İki veya daha çok kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kümelerin kesişimi denir ve kesişim sembolü ile gösterilir. ve kümeleri için sembolik olarak : biçiminde gösterilir. Örnek 1: Ç :( 1)( 1)( 4) 0, kümelerinin kesişim kümesi nedir? Ç kümesi için ve Ü : 1 0, 1 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

22 ( 1)( 1)( 4) MTEMTİK Ç 1, 1, 4 Ü kümesi için 1 0 ( 1)( 1) Ü 1, Ç 1 Ü 1, 1, 4 1, 1 Ç Ü 1, ,,3 ise yı bulunuz.. E 1, ve F,3,4 kümeleri için E F ve F E yi bulunuz. G 4 0 H , ve I 1 10 kümeleri için ( C) ve ( ) C yi bulunuz. LIŞTIRMLR bulunur. 4. J 3 0 kümesini kullanarak yutan elemanın boş ( ) küme olduğunu gösteriniz. V 1,,3,4,5 kümesi için tek kuvvet özeli- 5. ğini gösteriniz. M a,b,c,d,e, K 1,,3 kümeleri için değişme özeliğini gösteriniz Kesişim İşleminin Özelikleri Kesişim işleminin özelikleri: 1. Tek Kuvvet Özeliği. Değişme Özeliği 3. irleşme Özeliği 4. Yutan Eleman Özeliği 5. Her ve için Özeliği 6. Her ve için ( ) ve ( ) Özeliği 7. Her ve için veya Özeliği 8. irleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği 9. Kesişim İşleminin irleşim İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği Tek Kuvvet Özeliği Her kümesi için dir. İspat: : : Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

23 MTEMTİK Değişme Özeliği Her ve kümeleri için dir. İspat: : : irleşme Özeliği Her, ve C kümeleri için (C) ( ) C dir. İspat: ( C) : : : ( ( C) ( ) : ( ) ( ) C ( C) ( ) C C) C C Yutan Eleman Özeliği Her kümesi için dir. İspat: : : : : uradan bulunur. öylece kümenin kesişim işleminin yutan elemanı olduğu gösterilmiş olur. 3 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

24 Her ve İçin Özeliği MTEMTİK Her ve kümesi için dir. İspat: 1. ( ) gösterilirse: ( ) ( ) önermelerinden ( ) ( ) elde edilir. u durumda dir. iz olduğunu biliyoruz. Sonuç olarak ( ).. ( ) gösterilirse: dir. olduğunu biliyoruz. ( ) bulunur. gösterilmiş olur Her ve İçin ( ) ve ( ) Özeliği Her ve için ( ) ve () dir. İspat: ( ) gösterilirse: ( ) olduğundan ( ) dir. ( ) gösterilirse: ( ) olduğundan ( ) dir Her ve İçin veya Özeliği Her ve için veya dir irleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği Her, ve C kümeleri için birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özeliği soldan ve sağdan olmak üzere 1. (C) ( ) ( C). ( C) () (C ) iki tanedir. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 4

25 MTEMTİK 1. (C) ( ) ( C) ( C) : : : ( C) ( C) : ( : ( ) ) ( ( C) (( ) ( C)) ( ) ( C) C) ( C) ( ) ( C). ( C) () (C ) : ( C) : ( C) : ( C) : ( : ( ) ) ( C (C ) (( ) (C )) ( ) (C ) ( C) ( ) (C ) Kesişim İşleminin irleşim İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği Her, ve C kümeleri için kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği soldan ve sağdan olmak üzere iki tanedir. 1. (C) ( ) ( C). ( C) () (C ) 1. (C) ( ) ( C) ( C) : ( C) : ( : ( ) C) ( : ( ) ( C) ( ) ( C) C) ( C) ( ) ( C). ( C) () (C ) ( C) : ( C) : (C) 5 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

26 : ( C) : ( ) ( C : ( ) (C ) ( ) (C ) ) MTEMTİK ( C) ( ) (C ) bulunuz. Örnek 1: 1,, 3, 4ve C 1,, 5, 6, 7 olduğuna göre (C) kümesini ( C) olduğuna göre ( ) ( C) kümesini bulunuz. işleminin işlemi üzerine dağılma özeliği gereği: (C) ( ) ( C) olur. (C) ( ) ( C) ( ) ( C) 1, 1,, 3, 4 1,, 5, 6, 7 1, Örnek : a, b, c, d, e, f ve C a, b, g, h Yanıt : işleminin işlemi üzerine dağılma özeliği gereği: ( ) ( C) (C) olur. ( ) ( C) (C) (C) ( ) ( C) a,b a, b, c, d, e, fa, b, g, h a, b LIŞTIRMLR kümesi için kesişim işleminin tek yutan eleman özeliğini gösteriniz. kuvvet özeliğini gösteriniz. 5. 1,,3,4 ve 0,1,,3,4,5,6 kümeleri için kesişim işleminin 1,,3,4 ve 3,4,5,6 kümeleri için kesişim işleminin değişme özeliğini gösteriniz. 6. 1,,3,4 ve 0,1,,3,4,5,6 kümele- özeliğini gösteriniz. 1,,3,4, 3,4,5,6 ve ri için kesişim işleminin ( ) ve C 4,5,6,7,8 kümeleri için kesişim işleminin birleşme özeliğini gösteriniz. ( ) özeliğini gösteriniz. 7. ( veya ) özeliğini gösteriniz. 1,,3,4 kümesi için kesişim işleminin 1. 1,, Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 6

27 MTEMTİK 8. 1,,3,4,5, 3,4,5,6,7 C 4,5,6,7,8 ve kümeleri için kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliğini gösteriniz. 9. 1,,3,4,5, 3,4,5,6,7 C 4,5,6,7,8 ve kümeleri için birleşme işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özeliğini gösteriniz yrık Tanım (YRIK KÜMELER) Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. Örnek 1: Q : 0, ve G : 1, kümeleri ayrık kümeler mi? Q kümesi Q, 3,, 1 ve G kümesi G 13,14,15, liste biçiminde yazıldığında Q ve G kümelerinin ortak elemanı olmadığı açıkça görülecektir. u kümelerin kesişimi Q G dir. u durumda, kümeler ayrık kümelerdir. kümeleri ayrık mıdır? Örnek : P : 1 0, ve H : 6 0, Yanıt : P ve H kümesini liste biçiminde yazarsak P 1,1 ve H 3, olduğundan ortak elemanı yoktur. u durumda P H dır. P ve H kümeleri ayrık kümelerdir. kümeleri ayrık mıdır? Örnek 3: Ö : 1 0, ve Ş : 3 0, Yanıt 3: Ö ve Ş kümesini liste biçiminde yazarsak Ö 1,1 ve Ş 3, 1 olduğundan ortak elemanı 1 dir. u durumda 1. a,b,c ve kümeler midir? C 1,,3,4. ve D 4,5,6,7 kümeler midir? Ö Ş dır. Ö ve Ş kümeleri ayrık küme değildir. LIŞTIRMLR d,e,f kümeleri ayrık kümeleri ayrık 3. E 3 ve F 0 4. G 1,,3,4 ve kümeleri ayrık kümeler midir? H 5 0 kümeleri ayrık kümeler midir?.10.4 İki Kümenin irleşiminin Eleman Sayısı dir. Teorem (İKİ KÜMENİN İRLEŞİMİNİN ELEMN SYISI) ve sonlu kümeler olmak üzere s( ) s() s() s( ) 7 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

28 Örnek 1: s() 13, s() 9 ve s( ) 5 ise s( ) yi bulunuz. MTEMTİK kullanılarak s( ) 16 s() 13, s() 9 ve s( ) 5 olduğundan s( ) s( ) s() s() s( ) Örnek : s( ) 16, s() 10 ve s() 7 ise s( ) kaçtır? Yanıt : İki kümenin birleşiminin eleman sayısından sonuç elde edilir. s( ) s() s() s( ) olduğundan s( ) s( ) s( ) 1716 s( ) 1 Örnek 3: s( ) 16, s() 10 ve s( ) 6 ise s () kaçtır? Yanıt 3: İki kümenin birleşiminin eleman sayısından sonuç elde edilir. s( ) s() s() s( ) olduğundan 16 10s() 6 s() s() 1 Örnek 4: ir sınıftaki öğrencilerden 1 si Matematik, 15 i Türkçe ve 6 sı da hem Matematik hem de Türkçe derslerini seviyor. Sınıfta kaç öğrenci vardır? Yanıt 4: İki kümenin birleşiminin eleman sayısından s(m T) s(m) s(t) s(t M) olacaktır. u durum da s(m) 1, s(t) 15 ve s(t M) 6 olacaktır. s(m T) s(m) s(t) s(t M) s(m T) Sınıf mevcudu 1 dir. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 8

29 MTEMTİK Örnek 5: ir mahallede, masa tenisi veya voleybol oyunlarından en az birini oynayanların sayısı 30, yalnızca masa tenisi oynayanların sayısı, yalnızca voleybol oynayanların sayısının katıdır. İki oyunu da 6 kişi oynadığına göre yalnızca voleybol oynayan kaç kişidir? Yanıt 5: Yalnızca masa tenisi oynayanlar : Yalnızca voleybol oynayanlar : y İkisini birden oynayanlar : z uradan y z 30, y ve z 6 olduğundan y z 30 y y y 4 y 8 yalnızca voleybol oynayanların sayısı 8 olur. LIŞTIRMLR 1. s() 14, s() 9 ve s( ) 10 ise 4. ir sınıftaki öğrencilerden 1 si Kimya, 15 i s( ) yi bulunuz. Fizik ve 6 sı da hem Kimya hem de Fizik derslerinden sınıfta kalıyor. Sınıfta kaç öğrenci vardır?. s( ) 5, s() 19 ve s( ) 10 ise s() yi bulunuz. 5. ir sınıftaki öğrencilerden 0 si İngilizce, 3. s( ) 5 ve s( ) 10 ise si Fransızca kursuna gidiyor. 15 i her iki kursa s() s() yi bulunuz. da gittiğine göre sınıfta kaç öğrenci vardır?.10.5 Üç Kümenin irleşiminin Eleman Sayısı dir. Teoreım (ÜÇ KÜMENİN İRLEŞİMİNİN ELEMN SYISI), ve C sonlu kümeler olmak üzere s( C) s() s() s(c) s( ) s( C) s(c) s( C) Örnek 1: 10C sınıfındaki öğrencilerden 14 ü Matematik, 8 i Fizik, 1 si Kimya, 4 ü Matematik ve Fizik, 3 ü Matematik ve Kimya, 6 sı Fizik ve Kimya ve si de her üç dersi sevmektedir. Sınıf mevcudunu bulunuz. Üç kümenin birleşiminin eleman sayısından s( C) s() s() s(c) s( ) s( C) s(c) s( C) olur. Matematik : s(m) 14 Fizik : s(f) 8 Kimya : s(k) 1 Matematik ve Fizik : s(m F) 4 Matematik ve Kimya : s(m K) 3 Fizik ve Kimya : s(f K) 6 Matematik, Fizik ve Kimya : s(m FK) 9 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

30 Matematik, Kimya ve Fizik için MTEMTİK s(m FK) s(m) s(f) s(k) s(m F) s(m K) s(fk) s(m F K) olur. s(m FK) C sınıfının mevcudu 3 dür. Örnek : 6 öğrencilik sınıfta 14 öğrenci futbol, 15 öğrenci voleybol, 14 öğrenci basketbol oynuyor. 8 öğrenci hem futbol hem de voleybol, 7 öğrenci hem voleybol hem de basketbol, 5 öğrenci hem futbol hem de basketbol oynuyor ise kaç öğrenci her üç sporu da yapmaktadır? Yanıt : Üç kümenin birleşiminin eleman sayısından s(fv ) s(f) s(v) s() s(fv) s(f) s(v ) s(f V ) olur. Sınıf Mevcudu : s(f V ) 6 Futbol ve Voleybol : s(fv) 8 Futbol : s(f) 14 Futbol ve asketbol : s(f) 5 Voleybol : s(v) 15 asketbol ve Voleybol : s(v) 7 asketbol : s() 14 Futbol, Voleybol ve asketbol : s(m F K)? Futbol, Voleybol ve asketbol için s(fv ) s(f) s(v) s() s(fv) s(f) s(v ) s(f V ) s(f V ) 6 3 s(f V ) s(f V ) 3 Her üç sporu yapan öğrenci sayısı 3 dür öğrencilik sınıfta 10 öğrenci matematik dersinden, 13 öğrenci fizik dersinden, 14 öğrenci kimya dersinden geçmiştir. 4 öğrenci hem matematik hem de fizik dersinden, 6 öğrenci hem fizik hem de kimya dersinden, 5 öğrenci hem matematik hem de kimya dersinden geçmiş ise kaç öğrenci her üç dersten de geçmiştir? LIŞTIRMLR. ir sınıfta 14 öğrenci futbol, 15 öğrenci voleybol, 14 öğrenci basketbol oynuyor. 8 öğrenci hem futbol hem de voleybol, 7 öğrenci hem voleybol hem de basketbol, 5 öğrenci hem futbol hem de basketbol oynuyor, her üçünü de bir öğrenci oynuyor ise sınıf mevcudu kaçtır?.11 Evrensel küme Tanım (EVRENSEL KÜME) Probleme göre, yapılması gereken işlemler için gereken kümeleri ve bu işlemlerin sonucunda oluşacak kümeleri de kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 30

31 MTEMTİK Örnek 1: Tek sayılar kümesini kapsayan bir evrensel küme bulunuz. Tek sayılar kümesi, 3, 1,1, 3, T dir. Tamsayılar kümesi ise, 4, 3, 1, 0,1,, 3, 4, Z olduğundan tek sayılar kümesini kapsar. Tamsayılar kümesi, tek sayılar kümesi için evrensel küme alınabilir Tümleme Tanım (TÜMLEME) Evrensel küme E ve alt küme olmak üzere, E nin elemanı olup ya ait olmayan elemanların oluşturduğu kümeye kümesinin tümleyeni denir. Tümleyen kümeyi bulma işlemine tümleme denir. Tümleyen küme sembol olarak, veya c ile gösterilir. Örnek 1: Tek sayılar kümesi için evrensel ve tümleyen küme bulunuz. Tek sayılar kümesi, 3, 1,1, 3, T dir. Tamsayılar kümesi, 4, 3, 1, 0,1,, 3, 4, Z olduğundan tek sayılar kümesini kapsar. Tamsayılar kümesi, tek sayılar kümesi için evrensel küme alınabilir. Tümleyen küme ise çift sayılar kümesi olur. Çift sayılar kümesi Ç, 4,, 0,, 4, dir. u durumda T Ç dir. Örnek : E 1,, 3, 4, 5, 6, 7 evrensel küme olmak üzere 1, 3, 4, 7 ise i bulunuz. Yanıt : Evrensel kümenin elemanlarından kümesinin elemanlarını çıkarırsak tümleyen bulunur., 5, 6 dır. 1. E 1 9 evrensel kümesi için. E 3 11 evrensel kümesi için F 0 4 nin tümleyen kümesini bulunuz. ve LIŞTIRMLR 3. Doğal sayılar kümesi evrensel küme ise D 1,,3,4,5 kümesinin tümleyen kümesini 4 0 nin tümleyen kümesini bulunuz. bulunuz. 4. E, 4 0 kümeleri için ( ) ve ( ) kümelerini bulunuz. 31 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

32 .11. Tümleme Özelikleri MTEMTİK Tümleme işleminin özelikleri: 1.. ( ) 3. E E E 4. E E 5. E ( E) 6. E ( E ) E 9. s() s( ) s(e) Özeliği dir. İspat: olduğu bilindiğinden ( ) ( ) olduğundan dir. u durumda bulunur. ( ).11.. ( ) Özeliği ( ) dir. İspat: ( ) olduğundan ( ) dir E E E Özeliği E E E dir. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 3

33 MTEMTİK İspat: E E E E E E E E olduğundan E E E bulunur E E Özeliği E E dir. İspat: E E E E olduğundan E E bulunur E ( E) Özeliği E dir. İspat: 1. E E olduğundan E dir.. E E dir. Sonuç olarak E dir E ( E ) Özeliği E dir. İspat: 1. E E E olduğundan E dır.. E E olduğundan E dır. Sonuç olarak E dır. 33 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

34 Özeliği MTEMTİK dir E Özeliği E dir. İspat: E ( ) E E olduğundan (E E) E s() s( ) s(e) Özeliği s() s( ) s(e) dir. Örnek 1:, E olmak üzere s() 9, s( ) 8 ve s() 10 olduğuna göre s( ) değerini bulunuz. s() s( ) s(e) olduğundan s(e) s() s( ) s(e) 9 8 s(e) 17 s(e) s() s( ) s( ) s( ) 7 Örnek :, E olmak üzere s() s( ) 19, s( ) s() 13 olduğuna göre s(e) değerini bulunuz. Yanıt : s() s( ) s(e) olduğundan verilen denklemler ile ortak çözüm yapılırsa s() s( ) 19 s( ) s() 13 s( ) s( ) s() s( ) 3 s( ) s( ) s() s( ) 3 s(e) s(e) 3 s(e) 16 s(e) Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 34

35 MTEMTİK 35 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri.11.3 De Morgan Kuralları ve kümeleri için 1. ) (. ) (. unlar: 1. ) ( ) ( E : ) ( ) ( E : E : E : E : : ) ( : ) (. ) ( ) ( E : ) ( ) ( E : E : E : E : ) E ( ) E : ( : ) ( : ) ( Örnek 1: E 10 evrensel kümesinin iki alt kümesi ve için 1,,3,5,9 olduğuna göre kümesinin elemanlarını bulunuz. De Morgan kuralına göre; ) ( dır. Evrensel küme liste biçiminde yazılırsa 0,1,,3,4,5,6,7,8,9,10 E dır. 9 1,,3,5, ) ( 4,6,7,8,10

36 olduğuna göre 4,6,7,8,10 bulunur. MTEMTİK.1 İki Kümenin Farkı Tanım (İKİ KÜMENİN FRKI) ve kümeleri için, kümesinde olup kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu bu kümeye iki kümenin farkı denir. Sembol olarak biçiminde gösterilir. veya \ Örnek 1: Z 1,, 3, 4, 5 ve 3, 5, 6, 7,8 T kümelerinin farkı nedir? Z ve T kümelerinin farkı Z T : Z T Z T 1,, 4 olacaktır. u durumda Örnek : U 1,, 3, 4, 5, 6, V 3,5,6,7,8,9 ve 7,8, 9 V U, U S, S U, V S ve S V yi bulunuz. Yanıt : U ve V kümelerinin farkı: U V : U V V ve U kümelerinin farkı: V U : V U U ve S kümelerinin farkı: U S : U S S ve U kümelerinin farkı: S U : S U V ve S kümelerinin farkı: V S : V S S ve V kümelerinin farkı: S V : S V u durumda: U ve V kümelerinin farkı: U V 1,, 4 V ve U kümelerinin farkı: V U 7,8, 9 U ve S kümelerinin farkı: U S 1,, 3, 4, 5, 6 S ve U kümelerinin farkı: S U 7,8, 9 V ve S kümelerinin farkı: V S 3, 5, 6 S ve V kümelerinin farkı: S V S kümeleri için U V, Örnek 3: ve kümeleri için s( ) ve s( ) 1 ve kümesinin alt küme sayısı 16 ise s( ) kaçtır? Yanıt 3: s( ) lt küme sayısı için 16 s( ) 4 olur. kümesinin eleman sayısı : kümesinin eleman sayısı : s() s( ) S( ) s() s( ) S( ) s() 4 s() 1 4 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 36

37 MTEMTİK s() 6 s() 5 1. P 1,,3,4 s( ) eleman sayısı için s( ) s() s() s( ) s( ) s( ) 7 3, R 8 0 ve S 1,0,1,,3,4 kümeleri için aşağıda verilenleri bulunuz. LIŞTIRMLR. E, P 1,,3,4, T 3,4,5,6,7 U 1 0 ve kümeleri için aşağıda verilenleri bulunuz. a) P R b) R S c) P S d) P (R S) e) P (R S) f) (P R) S a) E U b) E (P T) c) E (P U) d) E (P U) e) E (P T) f) (P T) E.1.1 de Fark İşleminin Özelikleri de fark işleminin özelikleri: 1. Her için Özeliği. Her için Özeliği 3. Her için Özeliği 4. Her için Özeliği 5. Her için E Özeliği 6. Her için Özeliği Her için Özeliği Her kümesi için İspat: : : dır Her için Özeliği Her kümesi için dır. İspat: : : 37 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

38 MTEMTİK Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 38 E Her için Özeliği Her kümesi için dir. İspat: : : Her için Özeliği Her kümesi için dır. İspat: : : : : uradan da görüleceği gibi olduğundan dır Her için E Özeliği Her kümesi için E dır. İspat: E : E E : E E Her için Özeliği Her kümesi için dır.

39 MTEMTİK İspat: : :.13 Simetrik Fark Tanım (SİMETRİK FRK) ve kümelerinde, kümesinin kümesinde bulunmayan elemanlarının kümesine kümesi ile kümesinin simetrik farkı denir ve simetrik fark ile gösterilir. aşka bir ifade ile; ve kümeleri için ( ve ) veya ( ve ) veya ( ) ( ) kümesine simetrik fark denir. Örnek 1: 1,,3,4 ve 3,4,5 ve yi bulalım: olduğuna göre nedir? 1,,3,4,5 ve 3,4 olduğundan 1,,5 Örnek : 1,, 3, 4 ve 3, 4, 5 Yanıt : ve yi bulalım: dır. olduğuna göre nedir? 1,, 3, 4, 5 ve 3, 4 ise 1,, 5 1. K a,b,c,d,e ve LIŞTIRMLR L a,b ise K L yi bu- (M N) (N M) yi bulunuz. 3. ve kümeleri için ( ) ( ) N 16 0 ve ( ) ( ) olduğunu gösteriniz. lunuz.. M 3 7 ise, M N, (M N) (N M) ve 39 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

40 .13.1 Simetrik Farkın Özelikleri MTEMTİK Simetrik farkın özelikleri: 1. Her Kümesi İçin Özeliği. Her Kümesi İçin Özeliği 3. Her ve i İçin Özeliği 4. Her, ve C i İçin ( Δ ) Δ C= Δ ( Δ C) Özeliği Her Kümesi İçin Özeliği olduğundan Her kümesi için dir. İspat: Simetrik fark tanımına göre; ( ) ( ) dır Her Kümesi İçin Özeliği olduğundan Her kümesi için dir. İspat Simetrik fark tanımına göre; ( ) ( ) dır Her ve i İçin Özeliği Her ve kümeleri için dir. İspat Simetrik fark tanımına göre; ( ) ( ) ( ) ( ) (Değişme Özeliği: ) olduğundan dır Her, ve C i İçin ( Δ ) Δ C= Δ ( Δ C) Özeliği Her, ve C kümeleri için ( Δ ) Δ C= Δ ( Δ C) dir. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 40

41 MTEMTİK 1. K,3,4,5 ve farkı bulunuz. LIŞTIRMLR 3,4,6,7 ise simetrik E : n, 0 n 9, n ve. F :0 7 ise simetrik farkı bulunuz. 41 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

42 .14 ÇÖZÜMLÜ PROLEMLER / SORULR Küme (Cümle) Liste Yöntemi İle Gösterme MTEMTİK 1. Küme yi açıklayınız. Küme tanımlanmamış olarak alınacaktır. Küme denildiği zaman benzer özeliklere sahip nesnelerden oluşturulan topluluk olarak anlaşılacaktır.. Kümeye iki örnek veriniz Ö,, Ö 5 14 in Gösterilmesi 3. kaç değişik biçimde gösterilir? üç değişik biçimde gösterilir: 1. Venn Şeması Yöntemi İle Gösterme. Liste Yöntemi İle Gösterme 3. Ortak Özelik Yöntemi İle Gösterme Venn Şeması Yöntemi İle Gösterme 4. 9 dan küçük doğal sayılar. kümesini Venn şeması ile gösteriniz. Kümenin Venn şeması: 6. 9 dan küçük doğal sayılar. kümesini liste yöntemi ile gösteriniz. K 0,1,,3,4,5,6,7,8 7. 1,, 3, 4 sayıların kümesini liste yöntemi ile gösteriniz. Y 1,,3,4 Ortak Özelik Yöntemi İle Gösterme 8. 9 dan küçük doğal sayılar. kümesini ortak özelik yöntemi ile gösteriniz. L ,, 3, 4 sayılarının kümesini ortak özelik yöntemi ile gösteriniz. Ortak özelik yöntemi ile M 5 veya 1 M 0 5 veya M 5 veya 3 4 M 0 5 ile gösterilebilir. ir Kümenin Eleman Sayısı 5. 1,, 3, 4 sayılar kümesini Venn şeması ile gösteriniz. Kümenin venn şeması: 10. ir kümenin eleman sayısı nedir? ir kümesinin elemanlarının sayısı k ise k ya kümesinin eleman sayısı denir ve s() k, n() k veya k biçiminde gösterilir. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 4

43 MTEMTİK ise s() nedir? 4 0 ( )( ) , s() dir ise s() nedir? 4 0 ( )( ) değeri doğal sayı olmadığından, bu değer kümesinin elemanı olamaz. u durumda; 4 0 s() 1 dir. 13. C 9 0 ise s(c) nedir? 9 0 ( 3)( 3) değeri doğal sayı olmadığından, bu değer kümesinin elemanı olamaz. u durumda; C s(c) 1 dir. 14. oş küme nedir? oş Küme Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve boş küme veya sembollerinden biri ile gösterilir. 15. D 0 ise D kümesinin elemanları nelerdir? 0 ( )( ) ve değerleri doğal sayı olmadığından, bu değerler D kümesinin elemanı olamaz. u durumda; D 0 s(d) 0 dır. 16. E 5 0 ise s(e) nedir? 5 0 ( 5)( 5) ve 5 değerleri tam sayı olmadığından, bu değerler E kümesinin elemanı olamaz. u durumda; E 5 0 s(e) 0 dır. Sonlu ve Sonsuz 17. Sonlu ve sonsuz kümelere örnek veriniz. Sonsuz küme: Sonlu küme: 1,,3 18. Sonlu küme nedir? Sonlu Elemanları sayılabilen kümelere sonlu kümeler denir. 19. F 1,,3,4,5 kümesi sonlu bir küme midir? 43 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

44 F kümesinin elemanları sayılabildiğinden, F kümesi sonlu bir kümedir. 5. lt küme nedir? lt Küme MTEMTİK Sonsuz 0. Sonsuz küme nedir? Elemanları sayılamayan kümelere sonsuz kümeler denir. 1. E 0,1,,3, midir? kümesi sonsuz bir küme E kümesinin elemanları sayılamadığından, E kümesi sonsuz kümedir.. Eşit küme nedir? Eşit ynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir. Eşit kümeler = sembolü ile, eşit olmayan kümeler ise sembolü ile gösterilir. 3. H 4 0 ve I, kümeleri eşit kümeler midir? 4 0 H 4 0, Sonuç olarak, H I elde edilir. 4. J 0 ve K 0, 1 kümeleri eşit kümeler ise s(j) ve s(k) nedir? J 0 1,0 Sonuç olarak, J K bulunur. s(j) s(k) dir. ve gibi iki küme için, kümesinin her elemanı kümesinin de elemanı ise kümesine kümesinin alt kümesi denir ve sembolü ile gösterilir. ise kümesi kümesinin alt kümesi diye okunur. sembolü ise alt küme değil anlamında kullanılır. 6. L 16 0 ve M 5, 4,0,4,5 kümeleri için L, M kümesinin alt kümesi midir? L kümesi için L ,4 L kümesinin iki elemanı da M kümesinde yer aldığından L kümesi, M kümesinin alt kümesidir. Yani, L M dir. ir Kümenin lt i 7. ir kümenin alt kümeleri nedir? ir kümesinin elemanlarının bazıları ile oluşturulabilecek yeni kümelere kümesinin alt kümeleri denir. 8. N 1, kümesinin alt kümeleri nelerdir? N kümesinin alt kümeleri: N N N 1, N 4 ir Kümenin lt inin Sayısı 9. lt küme sayısı nedir? ir kümesinin eleman sayısı s () ise sayısına kümesine alt küme sayısı denir. s() Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 44

45 MTEMTİK 30. O 1, kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? 3 elemanlı alt küme sayısı: 5 3 s(o) lt küme sayısı: 4 dür. 31. P 0 5 kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? 0 5 arasında, 0, 1,, 3, 4 tam sayıları vardır. s(p) 5 bulunur. s(p) 5 lt küme sayısı: 3 bulunur. 3. s(r) 5 ise bu kümenin alt küme sayısı nedir? s(r) 5 lt küme sayısı: 3 bulunur. 33. s(s) 5 ise bu kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı nedir? 3 elemanlı alt küme sayısı: elde edilir. 5 5! 3 (5 3)! 3! 5!! 3! elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı nedir? 5 0 elemanlı alt küme sayısı: elemanlı alt küme sayısı: 1 5 elemanlı alt küme sayısı: elde edilir. En çok 3 elemanlı alt küme sayısı: Toplam ! 5! 5! 5! 5! 0! 4! 1! 3!!! 3! elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? 5 3 elemanlı alt küme sayısı: elemanlı alt küme sayısı: elemanlı alt küme sayısı: 5 elde edilir. En az 3 elemanlı alt küme sayısı: Toplam ! 5! 5! 5! 0! 4! 1! 3!! n elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ise n nedir? n elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı: n n! 3 (n 3)!3! 45 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

46 n(n 1)(n ) (n 3)! (n 3)! 3! n(n 1)(n ) 3! n elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı: n n! 6 (n 6)!6! n(n 1)(n )(n 3)(n 4)(n 5) (n 6)! (n 6)! 6! n(n 1)(n )(n 3)(n 4)(n 5) 6! uradan, n (n 1) (n ) n (n 1) 3! 1 (n 3)(n 4)(n 5) 3! 6! 1 31 (n ) (n 3)(n 4)(n 5) 6! (n 3)(n 4)(n 5) (n 3)(n 4)(n 5) (n 3)(n 4)(n 5) 65 4 n 9 u durumda, bu kümenin eleman sayısı n 9 sayısı elde edilir lt Küme İşleminin Özelikleri 37. lt küme işleminin özelikleri nelerdir? lt küme işleminin özelikleri: 1. Her kümesi için dır.. Her kümesi için dır. 3., kümeleri için ve dir. 4., ve C kümeleri için ve C C dir. 38. Üst küme nedir? Üst Küme MTEMTİK ve gibi iki küme için nın her elemanı nin de elemanı ise kümesine kümesinin üst kümesi denir. Trivial lt Küme 39. Trivial alt küme nedir? kümesinin kendisi ve boş kümesine, kümesinin trivial alt kümesi denir. 40. Öz alt küme nedir? Özalt Küme ir kümesinin kendisi hariç diğer alt kümelerine özalt küme denir. ir kümenin özalt küme s() sayısı 1 dir. 41. s(t) 10 ise öz alt küme sayısı nedir? lt küme sayısı: s(t) bulunur. Öz alt küme sayısı ise s(t) Öz alt küme sayısı 103 olan kümenin eleman sayısı kaçtır? Küme ise öz alt küme sayısı: s() s() s() 104 s() 10 s() 10 bulunur. Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 46

47 MTEMTİK , : 4 kümeleri için nin kaç tane öz alt kümesi vardır?,3,4,5 ve için 4, 3,, 1,0,1,,3,4 dir.,3,4 ve s( ) 3 öz alt küme sayısı : bulunur. Kuvvet Kümesi 44. Kuvvet kümesi nedir? ir kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kümesinin kuvvet kümesi denir ve kuvvet kümesi P () ile gösterilir. de İşlemler 45. de yapılan işlemler nelerdir? de yapılan işlemler: 1. de irleşim İşlemi. de Kesişim İşlemi 3. Evrensel Küme İşlemleri 4. de Fark İşlemi in irleşimi 46. in birleşimi nedir? İki veya daha çok kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye kümelerin birleşimi denir ve birleşim sembolü ile gösterilir. ve kümeleri için sembolik olarak : biçiminde gösterilir. 47. V 1,,3 ve U 3,4,5 ise V U nedir? in birleşimi: V U 1,,3 3, 4,5 bulunur. 1,,3,4,5 irleşim İşleminin Özelikleri 48. irleşim işleminin özelikleri nelerdir? irleşim işleminin özelikleri: 1. Tek Kuvvet Özeliği. Değişme Özeliği 3. irleşme Özeliği 4. irim Eleman Özeliği 5. Her ve İçin Özeliği 6. Her ve İçin ( ) ve ( ) Özeliği 7. Her ve İçin ve Özeliği in Kesişimi 49. in kesişimi nedir? İki veya daha çok kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kümelerin kesişimi denir ve kesişim sembolü ile gösterilir. ve kümeleri için sembolik olarak : biçiminde gösterilir. 50. X 1,,3 ve Z 3,4,5 ise X Z nedir? in kesişimi: X Z 1,,3 3, 4,5 3 Kesişim İşleminin Özelikleri 51. Kesişim işleminin özelikleri nelerdir? 47 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri

48 Kesişim işleminin özelikleri: 1. Tek Kuvvet Özeliği. Değişme Özeliği 3. irleşme Özeliği 4. Yutan Eleman Özeliği 5. Her ve için Özeliği 6. Her ve için ( ) ve ( ) Özeliği 7. Her ve için veya Özeliği 8. irleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği 9. Kesişim İşleminin irleşim İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği yrık 5. yrık kümeler nedir? Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir ve,3,4 kümeleri ayrık kümeler midir? ,3 dir. olduğundan ve kümeleri ayrık kümelerdir. İki Kümenin irleşiminin Eleman Sayısı 54. İki kümenin birleşiminin eleman sayısı nedir? ve sonlu kümeler olmak üzere s( ) s() s() s( ) dir. 55. s(c) 5, s(d) 7 ve s(c D) 3 ise s(c D) nedir? MTEMTİK irleşimin eleman sayısı: s(c D) s(c) s(d) s(c D) s(c D) E 1,,3,4,5 ve F,4,6,8,10 s(e P) nedir? ise s(e) 5, s(f) 5 ve s(e F) s(e F) s(e) s(f) s(e F) Üç Kümenin irleşiminin Eleman Sayısı 57. Üç kümenin bileşiminin eleman sayısı nedir?, ve C sonlu kümeler olmak üzere s( C) s() s() s(c) s( ) s( C) s( C) s( C) Evrensel küme 58. Evrensel küme nedir? Probleme göre, yapılması gereken işlemler için gereken kümeleri ve bu işlemlerin sonucunda oluşacak kümeleri de kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. 59. Tümleme nedir? Tümleme Evrensel küme E ve alt küme olmak üzere, E nin elemanı olup ya ait olmayan elemanların oluşturduğu kümeye kümesinin tümleyeni denir. Tümleyen kümeyi bulma işlemine tümleme denir. Tümleyen küme sembol olarak, ve- Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 48

49 MTEMTİK ya c ile gösterilir. İki Kümenin Farkı 60. E 1,,3,4,5,6 ve,3,4 nedir? kümesinin tümleyeni: 1,5,6 Tümleme Özelikleri 61. Tümlemenin özelikleri nelerdir? Tümleme işleminin özelikleri: 1.. ( ) 3. E E E 4. E E 5. E ( E) 6. E ( E ) E 9. s() s( ) s(e) ise 6. ir evrensel kümede, kümeleri için s() 1, s( ) 8, s( ) 15 ise kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? s() s( ) s() s( ) s(e) olduğundan 1 8 s() 15 s() 5 lt küme sayısı : 5 3 bulunur. De Morgan Kuralları 63. De Morgan kuralları nelerdir? De Morgan kuralları: ve kümeleri için 1. ( ). ( ). 64. İki kümenin farkı nedir? ve kümeleri için, kümesinde olup kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu bu kümeye iki kümenin farkı denir. Sembol olarak veya \ biçiminde gösterilir. 65. G a,b,c,d,e ve H b,d,e nedir? G ve H kümelerinin farkı: G H a,c ise G H de Fark İşleminin Özelikleri 66. de fark işleminin özelikleri nelerdir? de fark işleminin özelikleri: 1. Her için Özeliği. Her için Özeliği 3. Her için Özeliği 4. Her için Özeliği 5. Her için E Özeliği 6. Her için Özeliği Simetrik Fark 67. Simetrik fark nedir? ve kümelerinde, kümesinin kümesinde bulunmayan elemanların kümesine kümesi ile kümesinin simetrik farkı denir ve simetrik fark ile gösterilir. 68. I a,b,c,d,e ve J b,d,e ise I J nedir? I ve J kümelerinin simetrik farkı: I J a,b,c,d,e I J b,d,e IJ a,c 49 Matematik ve ilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri