MATLAB/Simulink ile Sistem Modellemesine Giriş Seminer Notları 2017-2018 Güz Dönemi Arş. Gör. Abdurrahim Dal
1. GİRİŞ Günümüzde, mühendislik sistemlerinin benzetimlerinin (simülasyonlarının) önemi gün geçtikçe artmaktadır. Sistemlerin tasarımında büyük oranda bilgisayar benzetimlerinden faydalanılmakta, mümkün olduğunda tasarımın test aşamaları da bilgisayarlar yardımıyla yapılmaktadır. Bu amaçla Ansys, Adams vb. gibi çeşitli benzetim programları sıklıkla tercih edilmekte ve kullanılmaktadır. Günümüzde mühendislik alanlarında en çok tercih edilen programlardan biri olan Matlab'de sistem modellemesi ve benzetimlerinin gerçekleştirilmesi için oldukça elverişli bir programdır. Bir matematiksel işlemler aracı olan MATLAB'in bir alt aracı olan Simulink, sistemlerin modellenmesi ve benzetimlerinin yapılması için kullanılmaktadır. Simulink, MATLAB ile birlikte bütünleşik olarak çalışan bir benzetim ortamıdır. Sürekli zamanlı ve ayrık zamanlı sistemleri,veya her ikisini de içeren hibrid sistemleri desteklemektedir. İçinde birçok alt sistemi blok olarak barındırdığından, sürükle-bırak yöntemiyle birçok sistem bir-kaç dakikada modellenebilmektedir, 1.1 Simulink'in Başlatılması Şekil 1. Simülink'in başlatılması ve kullanıcı ara yüzü 1.2 Simulink Kütüphanesi ve Arayüzü Şekil 2. Simülink kütüphanesi
1.3 Yeni Model Çalışma Ortamı Şekil 3. Yeni model çalışma sayfası 2. MODEL OLUŞTURMA Simulink çalışma ortamında bir dinamik sistem blok diyagramları ile ifade edilebilir. Bir başka deyişle çalışma ortamında her bir matematiksel işlem veya ifade görselleştirilmek amacı ile çeşitli blok diyagramlarla ifade edilir. Her blok sürekli veya ayrık çıkış üreten bir temel bir dinamik sistemi ifade eder. Blok diyagramlarının birbiri ile bağlantıları birer doğru ile gösterilir. Şekil 4. Dinamik bir sistemin blok diyagramı Simulink ortamında bir sistemin modeli aşağıdaki adımlar takip edilerek oluşturulabilir ve benzetimi gerçekleştirilebilir. 1. Adım 1: Blokları belirleme ve blokları çalışma ortamına alma 2. Adım 2: Blok giriş ve çıkışlarını belirleme ve bağlantılarını yapma 3. Adım 3: Her bir bloğun parametrelerini belirleme 4. Adım 4: Modeli çalıştırma ve benzetimleri gerçekleştirme 2.1 Bloklar Simulink ortamında bir sistemin matematiksel modelini blok diyagramlarla ifade edebilmek için gerekli tüm matematiksel işlemler, sistem girdilerinin ifade edilmesi, benzetim sonuçlarının sayısal değerlerine erişebilmek ve grafiklerle ifade edebilmek mümkündür. Tüm işlemler için Simulink kütüphanesinde alt başlıklar altında toplanmış bir çok blok vardır. Örneğin bir türev işlemi için Simulink kütüphanesinde çalışma ortamına alınması Şekil 5'de verilmiştir. Türev ifadesi Simulink genel kütüphanesi içerisindeki, "Continuous" alt kütüphanesi içerisindeki "Derivative" bloğu ile ifade edilmiştir. Bu alt kütüphane içerisinden bu blok sürüklenerek çalışma ortamına alınabilir. Dinamik bir sistemde sisteme verilen giriş sinyalleri de Simulink kütüphanesi içerisinde "Kaynaklar (Sources)" alt kütüphanesinde mevcuttur. Şekil 5'de kaynaklara örnek olması amacıyla, bir sinüs dalgasının blok diyagramı verilmiştir. Bu bloğa erişebilmek için Simulink kütüphanesinden "Kaynaklar (Sources)" alt kütüphanesi açılarak, sinüs dalgası, Simulink çalışma ortamına seçiliğ sürüklenerek alınabilir. Disket ikonu ile çalışma ortamındaki sistemin modeli
kaydedilebilir. Simulink'in bir alt kütüphanesi olan "Math Operators (Matematiksel İşlevler)" kütüphanesinden kazanç veya katsayı bloğu "Gain" seçilip, Şekil 7'de gösterildiği gibi sürüklenerek çalışma ortamına alınabilir. Şekil 5. Simulink'te alt kütüphane ve bloklar Şekil 6. Simulink kaynaklar alt kütüphanesi ve giriş sinyali blokları örneği Şekil 7. Math operators alt kütüphanesi
2.2 Blok Bağlantıları Simulink çalışma ortamına alınan bloklar arasında bağlantılar bir doğru ile ifade edilmektedir. Bu bağlantılar mühendislik sisteminin matematiksel modeline bağlı olarak blokların sıralanması ve bloklar arasındaki bağlantıların yapılması ile gerçekleştirilebilir. Şekil 8'de bir önceki başlık altında verilen "Sinüs dalgası (Sine Wave)" bloğu ile "Kazanç (Gain)" bloğu arasındaki bağlantı gösterilmiştir. Blok resimlerinden görüldüğü gibi "Sinüs dalgası" bloğunun sağında yer alan küçük ok ile "Kazanç" bloğunun solunda yer alan ok mouse ile bir doğru çizermiş gibi birleştirilebilir. Şekil 8'de verildiği gibi iki blok arasında bir doğru görülmekte olup, bu doğru iki bloğun birbirine bağlı olduğunu ifade etmektedir. Şekil 8. Blok bağlantıları 2.3 Blok parametreleri Simulink kütüphanesinden seçilen her bir blok matematiksel işlemlere bağlı olarak parametreler içermektedir. Örneğin son şekilde verilen "Sinüs dalgası" bloğuna iki kez tıklandığında açılan pencerede bu blok için parametreler ayarlanabilir. Benzer şekilde "Kazanç" bloğu üzerine iki kez tıklandığında açılan pencerede parametreler ayarlanabilir. Şekil 9. Blok parametrelerini ayarlama
2.4. Model Benzetimi ve Sonuçların Alınması Simulink ortamında modellenen sistemlerin benzetimleri gerçekleştirilebilmekte, sonuçlar grafikler üzerinde gösterilebilmekte ve sayısal değerler belirli formatlarda kaydedilebilmektedir. Bunu, basit bir blok diyagramları üzerinde anlatalım. Bu model yukarıdaki başlıklar verilen bir sinüs bloğu, bir kazanç bloğundan oluşsun. Bu modelin çözüm sonuçlarını grafiksel olarak görmek için grafik bloğu ve sayısal sonuçların kaydedilmesi için gerekli blokları Simulink kütüphanesi içerisinde "Sinks" alt kütüphanesinde yer alan "Scope" bloğunu, "To Workspace" bloğunu çalışma ortamına alabiliriz. Modelin çalıştırılması için "Çalışma ortamı" penceresinde çalıştır ikonuna tıklatarak model benzetimi gerçekleştirilebilir. Modelin çözümü tamamlandığında, Şekil 11'de görüldüğü gibi, "Scope" bloğu üzerine iki kez tıklandığında, modelin çözümü sonucunda elde edilen grafik açılabilir. Grafikte görüldüğü gibi iki farklı sinüs eğrisi vardır. Bu eğrilerden küçük genliğe sahip olan eğri, doğrudan giriş olarak belirlenen sinüs bloğunun çıkışı, diğer eğri ise bu giriş sinyalinin bir kazanç ile büyütülmesi sonucu elde edilen eğridir. Aynı zamanda modele eklediğimiz "To workspace" bloğu sayesinde çözüme ait sayısal değerlerde Matlab ortamına kaydedilmiş olacaktır (Bknz Şekil 12). Şekil 10. Modelin çalıştırılması ve benzetim sonuçlarının elde edilmesi Şekil 11. Benzetim sonuçlarının grafiklerle ifade edilmesi
Şekil 12. Benzetim sonuçlarının Matlab çalışma ortamında kaydedilmesi En genel olarak Simulink ortamındaki kütüphaneler, blokların seçimi, blokların çalışma ortamına alınması, blokların bağlanması, blok parametrelerinin ayarlanması, benzetimlerin gerçekleştirilmesi ve sonuçların alınması yukarıda verilen basit örneklerle açıklanmıştır. Daha karmaşık mühendislik sistemleri için, matematiksel modellerin elde edilmesinin ardından bu matematiksel model içerisindeki işlemlere ait bloklar Simulink kütüphanesinde yer alan alt kütüphaneler içerisinde bulunabilir ve bu mühendislik sistemi Simulink ortamında benzetimleri gerçekleştirilebilir. 3. ZORLANMIŞ BİR YAY-KÜTLE-SÖNÜMLEYİCİ SİSTEMİNİN SİMULİNK ORTAMINDA MODELLENMESİ VE BENZETİMİ Makine mühendisliği için temel bir dinamik sistem olan yay kütle sönümleyici sistemi Simulink ortamında modellenebilir. Basit olarak Şekil 13'de verilen sistemin kütlesi, m 0,25 kg, yay sabiti, k, 10000 N/m ve sönüm katsayısı, c, 100 Ns/m olsun. Aynı zamanda bu sistem bir F(t) kuvveti ile de zorlanmaktadır. Şekil 13. Yay kütle sönümleyici sistemi Simulink modelini oluşturmak için sistemin dinamik hareketini ifade eden matematiksel modelin elde edilmesi gerekmektedir. Dolayısıyla sistemin hareket denklemi yazılmalıdır. Newton'un hareket yasası kullanılarak hareket denklemi, mx + cx + kx = F(t) olarak yazılabilir. Bu model ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem olup, bu sistemin yaptığı deplasmanla ilgilenmekteyiz. Bu durumda sistemin çıkışı x(t)'yi bulmamız gerekmektedir. Simulink modelini oluşturmak için aşağıdaki adımların takip edilmesi karmaşık sistemlerin modellenmesini kolaylaştırabilir.
Adım 1: İlk olarak türev mertebesi bakımından en yüksek terimi yalnız bırakalım. Bu durumda hareket denklemi 1 x = cx kx + F(t) m ( ) Adım 2: Matematiksel model incelendiğinde, dışarıdan zorlama kuvveti F(t)'den yay kuvveti, kx ve sönüm kuvveti cx çıkartılarak elde edilen ifade 1/m ifadesi ile çarpılarak x elde edilmektedir. O halde Simulink kütüphanesinden bu toplam ve çıkartma işlemleri için bir blok seçilebilir. Bu blok "Math operators" alt kütüphanesi içerisinden "Sum" bloğu seçilip çalışma ortamına alınabilir (Bknz. Şekil 14). Ancak seçilen bu blokta iki tane toplam işlemi olacaktır. Bloğa iki kez tıklanarak açılan pencere hangi işlemler yapılacağı ayarlanabilir. Şekil 14 Model bloklarının seçilmesi-toplama ve çıkartma işlem bloğu (Sum Bloğu) Adım 3: Sistemin matematiksel modeli incelendiğinde, çıkışın, x(t)'nin ikinci ve birinci türevleri mevcuttur. Yay-kütle-sönüm sistemi için sisteme verilen zorlama sonucunda sistemin hareketi önemlidir. Dolayısıyla modelin çıkışı x(t) olsun. O halde en yüksek türevli terimin iki kez integrali alınarak çıkış elde edilebilir. Bunun için Simulink kütüphanesi içerisindeki "Continous" alt kütüphanesinden "İntegrator" bloğu kullanılabilir (Bknz. Şekil 14). Şekil 15. Sistem çıkışı ve integral bloğu
Adım 4: Eşitliğe bakıldığında, eşitliğin solundaki türevli ifade belirli katsayılarla çarpılarak toplama veya çıkarma işlemleri sonucunda elde edilen bir ifadeye eşittir. Eşitliğin sağ tarafındaki ifade de x'in birince türevi c katsayısı ile çarpılmakta ve çıkartılmaktadır. O halde bir katsayı bloğuna yani bir "Gain (Kazanç)" bloğu gerekmektedir. Diğer taraftan x'in birinci türevi x'in ikinci türevinin integrali alınarak elde edilebilir. Yani bir integral bloğu gerekmektedir. Bu blokları Simulink kütüphanesi içerisinde Gain bloğu "Math operators" alt kütüphanesinden, integral bloğu ise "Continous" alt kütüphanesi içerisinden seçilebilir (Bknz Şekil 16). Şekil 16. Sistem katsayılarını modele dahil edilmesi Şekil 13'de verilen yay kütle sistemi dışarıdan bir kuvvetle zorlanmaktadır. Bu kuvvet sistem modeline bir giriş olarak verilebilir. Şekil 17'de bir basamak giriş Simulink kütüphanesi içerisinde "Sources" atl kütüphanesinde "Step" bloğu seçilerek modele eklenebilir. Şekil 17. Sistem girişinin modele dahil edilmesi
Adım 5: Bu bloğun eklenmesi ile birlikte, hareket denkleminin sağ tarafında verilen toplama ve çıkarma işlemleri tamamlanmış oldu. Ancak bu toplama işlemi 1/m katsayısı ile çarpılarak x(t)'in ikinci türevi elde edilmektedir. O halde bu toplama işlemini ifade eden bloğun çıkışı bir "Gain" ile çarpılması gerekmektedir. Bu "Gain" bloğu ile birlikte zorlanmış bir titreşim hareketi yapan sistemin Simulink modeli tamamlanabilir. Sistemin cevabını veren grafiğin görselleştirilmesi ve sonuçların Matlab'e kaydedilmesi için "Sinks" alt kütüphanesinden "Scope" ve "To workspace" blokları da modele dahil edilebilir. Bu Simulink modelinin son hali Şekil 18'de verilmiştir. Şekil 18. Yay-kütle-sönümleyici sistemi Simulink blok diyagramı Adım 6: Sisteme ait kütle, yay sabiti, sönüm katsayısı parametrelerinin belirlenmesi için her bir katsayısı ifade eden "Gain" bloklarına iki kez tıklanıp açılan pencereden katsayı yazılabilir. (Bknz Şekil 19) Şekil 19. Blok parametrelerin ayarlanması Adım 7: Sistem parametrelerinin girilmesinin ardından Şekil 20'de gösterildiği gibi "Run" ikonuna tıklanarak sistem benzetimi gerçekleştirilebilir.
Şekil 20. Benzetimlerin gerçekleştirilmesi ve grafik görüntüsü. 4. ZEMİN ZORLAMALI KÜTLE-YAY_SÖNÜMLEYİCİ SİSTEMİNİN SİMULİNK MODELİ Zemin zorlamalı bir kütle, yay ve sönümleyiciden oluşan sistemin şematik görünümü Şekil 21'de verilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi sistem bir yol girdisi y(t) ile zorlanmakta ve kütle x(t) hareketini yapmaktadır. Dolayısıyla sistemin girişi x(t) ve çıkışı y(t) olacaktır. Şekil 21. Zemin zorlamalı kütle-yay-sönümleyici sistemi Sistemin hareket denklemi Newton'un hareket yasası kullanılarak aşağıdaki eşitlikte verildiği gibi elde edilebilir. cy + ky = mx + cx + kx Verilen bu hareket denklemi, bir önceki uygulamaya benzer şekilde en yüksek mertebeden türevli ifade yalnız bırakılarak düzenlenirse, 1 x = cy + ky cx kx m ( ) şeklinde yazılabilir. Bu matematiksel ifadede geçen matematiksel işlemler için Simulink kütüphanesinden gerekli bloklar seçilerek Simulink çalışma ortamına alınabilir. Zemin zorlaması y(t) bir sinüs dalgası olduğu kabul edilerek sistem Simulink ortamında modellenmiştir. Bu sisteme ait blok diyagramı Şekil 22'de verilmiştir. Parametreleri siz belirleyerek sistem cevabını inceleyebilirsiniz.
Şekil 22. Zemin zorlamalı bir kütle-yay-sönümleyici sistem için Simulink modeli 5. DENEYLER İÇİN UYGULAMALAR 5.1 Sistemlerin Dinamik Tepkilerinin Belirlenmesi Deney sisteminin şematik gösterimi Şekil 23'de verilmiştir. Şekil 23. RC devresi Kondansatör dolarken sistemin diferansiyel denklemi 1 qt () qt () = V R C Kondansatör boşalırken sistemin diferansiyel denklemi 1 qt () qt () = R C 5.2 Harmonik Kuvvetle Zorlanmış Bir Sistemin Titreşimi Şekil 24'de verilen harmonik kuvvetle zorlanmış bir sistemin hareket denklemleri deney föyünde verildiği gibi yazılabilir. Bu diferansiyel denklem için Matlab/Simulink ortamında kolaylıkla bir model kurulabilir.
Şekil 24. Harmonik kuvvetle zorlanmış bir sistemin şematik gösterimi ve hareket denklemleri 6. KAYNAKLAR 1. https://www.mathworks.com/products/ simulink/ 2. Gazi Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü MM409 Makine Mühendisliği Laboratuarı-1 ders notları.