Minör nedir? Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, a ij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz:

Minör nedir? A = (a ij ) nxn kare matrisinde, bir a ij (1 i, 1 j n) öğesinin bulunduğu i. Satır ile j. sütunun çıkarılmasıyla elde edilen (n-1). mertebeden alt kare matrisin determinantına, A matrisinin a ij öğesinin minörü denir ve a ij öğesinin minörü M ij ile gösterilir. Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, a ij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz: 1

Minör nedir? 2

Minör Örneği 3

Kofaktör (Eşçarpan) nedir? A = (a ij ) nxn kare matrisinde, bir a ij (1 i, 1 j n) öğesinin minörü olan M ij nin (-1) i+j ile çarpılmasıyla elde edilen sayıya, a ij öğesinin kofaktörü (eşçarpanı) denir ve a ij nin kofaktörü A ij ile gösterilir. Örnek? 4

Determinant nedir? n 2, A = (a ij ) nxn kare matrisi için, 1 i n olmak üzere, seçildikten sonra sabit kalan olarak ifade edilir. Bu yazılışa A matrisinin determinantının i. satıra göre açılımı denir. Benzer olarak, A nın determinantı bir sütunun kofaktörlerine göre de hesaplanabilir. 1 j n olmak üzere, j. sütuna göre açılım 5

Determinant Örneği (3x3 matris) 6

Saruss Kuralı 11

Saruss Kuralı 12

Saruss Kuralı Örneği 13

Determinant Özellikleri A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi iki satırı yer değiştirildiğinde elde edilen matris B ise det(b) = - det(a) dır. Örnek? 1 1 2 Bir önceki örnekte A = 0 3 4 det(a)=1 bulunmuştu 0 3 1 4 1 5 buna göre B = 1 1 2 için det(b)=-1 olarak elde ederiz. 1 1 5 14

Determinant Özellikleri A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi bir satırındaki tüm öğeler bir r sayısıyla çarpıldığında elde edilen matris B ise det(b) = r det(a) dır. Bu özelliğin bir sonucu olarak, A = (a ij ) nxn olmak üzere, det(r A) = r n det(a)dır. Örnek? 1 1 2 Bir önceki örnekte A = 0 3 4 det(a)=1 bulunmuştu 1 1 1 2 1 5 buna göre B = 0 6 8 için det(b)=2 olarak elde ederiz. C = 3 3 6 0 9 12 3 3 15 1 1 5 için det(c)= 3 3 det(a)=27 olarak buluruz. 15

Determinant Özellikleri Bir A kare matrisinin herhangi iki satırı aynı ya da orantılı ise det(a) = 0 dır. Örnek? A = B = 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 5 2 0 6 8 0 3 4 ise det(a)=0 dır. için det(b)=0 olarak elde ederiz. 16

Determinant Özellikleri Bir A kare matrisinin herhangi bir satırının tüm öğeleri sıfır ise det(a) = 0 dır. Örnek? A = 1 3 2 0 0 0 1 4 5 ise det(a)=0 dır. 17

Determinant Özellikleri Bir A kare matrisinin herhangi bir satırı r gibi bir sayıyla çarpılıp, başka bir satırına eklendiğinde elde edilen matris B ise det(b) = det(a) dır. Örnek? 1 1 2 Bir önceki örnekte A = 0 3 4 det(a)=1 bulunmuştu. A 1 1 5 matrisinin 1.satırı -1 ile çarpıp 3.satıra eklediğimizde elde 1 1 2 ettiğimiz matris B= 0 3 4 olmak üzere 0 2 3 det(b)=det(a)=1 olarak buluruz. 18

Determinant Özellikleri Altüçgensel ya da üstüçgensel bir matrisin determinantı köşegen üzerindeki öğelerin çarpımına eşittir. Örnek? A = B = 1 1 2 0 3 4 için det(a)=1*3*5=15 dir. 0 1 0 0 5 0 0 12 2 0 0 3 5 7 0 için det(b)=1*(-2)*7*(-1)=14 dır. 4 2 1 1 19

Determinant Özellikleri Bir A kare matrisinin transpozesi'nin determinantı, A matrisinin determi-nantına eşittir. Yani det(a) = det(a t ) dir. Bu özellikten dolayı yukarıda verilen tüm özelliklerde satır yerine sütun yazıldığında sonuçlar yine doğru olur. Örnek? 1 1 2 Bir önceki örnekte A = 0 3 4 det(a)=1 bulunmuştu. 1 1 1 0 1 5 Buna göre A t = 1 3 1 için det(a t ) =1 dir. 2 4 5 20

Determinant Özellikleri A ve B n. mertebeden iki matris ise det(ab) = det(a) det(b) dir. Örnek? 21

Ek Matris Nedir? 22

Ek Matris Örneği 23

Regüler-Singüler Matris Nedir? A n. mertebeden bir kare matris olsun. Bu durumda AA* = A*A= det(a)i n dir. A, bir kare matris olsun. Eğer det (A) 0 ise A ya regüler matris, det (A) =0 ise A ya singüler matris denir. A, bir kare matris olsun. A nın tersinin olabilmesi için gerek ve yeter koşul regüler matris olmasıdır 24

Ters Matrisin Bulunması 1 0 0 A = 1 4 0 alt üçgensel matrisi için det(a)=12 dir. 0 2 3 Şimdi sırayla kofaktörlerini bulalım: A 11 = 1 2 12 = 12 A 12 = 1 3 3 = 3 A 13 = 1 4 2 = 2 A 21 = 1 3 0 = 0 A 22 = 1 4 3 = 3 A 23 = 1 5 2 = 2 A 31 = 1 4 0 = 0 A 32 = 1 5 0 = 0 A 33 = 1 6 4 = 4, 25

Ters Matrisin Bulunması Böylece kofaktörlerinden oluşan matris : 12 3 2 0 3 2 ve bu matrisin transpozesini alırsak ek matrisi: 0 0 4 12 0 0 A = 3 3 0 olarak buluruz. Böylece 2 2 4 A 1 = 1 12 12 0 0 3 3 0 2 2 4 olarak buluruz., 26

Ters Matris Özellikleri, 27