Belirsizlik ve Sigorta Olgusu
2 Belirsizliğin in Olasılık k Dağı ğılımıyla Tanımlanmas mlanması Bazı olayların gerçekleşmesi, olasılık kullanılarak tanımlanabilir. Örneğin bir sınıfta bulunan öğrencilerin boy uzunluklarını belirlediğimizi düşünelim. Daha sonra bu sınıfa katılacak bir öğrencinin boy uzunluğu, olasılıklı olarak söylenebilir. Olasılık k dağı ğılımı, tesadüfi bir değişkenin alacağı bir değerin olasılığını tanımlar.
Örneğin boyu 165 c. Olan bir öğrencinin sınıfa katılma olasılığı 3 %33.3, boyu 175 cm. olanın olasılığı %33.3 biçiminde olasılık dağılımıyla gösterebiliriz. Bunu basit olarak tablolaştıralım: Tablo 6.1. Üç Farklı Boy Uzunluğunun unun Olasılık k Dağı ğılımı Boy Uzunluğu Olasılık 165 cm. ⅓ 175 cm. ⅓ 180 cm. ⅓
4 Bu örneğe göre, beklenen boy uzunluğunu hesaplayalım: Beklenen Değer Beklenen Boy Uzunluğu = π v, 0 π 1, π = 1 i i i i 1 1 1 = (165) + (175) + (180) 3 3 3 = 173.33 Burada π i, i olayının gerçekleşme olasılığı; v i, i olayının gerçekleştiğinde alacağı değerdir.
5 Bu örneği grafik olarak da gösterebiliriz. Şekil 6.1. Kesikli Olasılık Dağılımı Olasılık 1 0.75 0.5 0.25 0 165 175 180 Boy Uzunluğu
6 Olay sayısı sonsuz olarak ifade edildiğinde, yukarıda üç olayın olasılığı için çizdiğimiz kesikli olasılık dağılım grafiği, sürekli biçime dönüşmüş olacaktır. 1 B Şekil 6.2. Olasılık Dağılımı Olasılık A 0 Boy Uzunluğu
Yukarıdaki şekilde mavi dağılımın (A) varyansı, kırmızı 7 dağılımdan (B) büyüktür. ( v x) 2 2 σ = πi i σ >σ 2 2 A B İlerleyen konularda, tesadüfi bir değişkenin varyansının, risk kavramıyla nasıl ilişkilendirilebileceğini göreceğiz.
Belirsizlik Koşullar ulları Altında Karar Verme 8 Geleneksel tüketici teorisinde tüketicinin karar verme sürecini tam bir belirlilik altında gerçekleştirdiğini varsaymıştık. Ancak gerçek dünyada bireyler belirsizliklerle karşı karşıya kalarak iktisadi kararlar verirler. Örneğin bir bireyin farklı risklere sahip iki yatırım karşısında karar verme durumunda olduğunu kabul edelim. Aşağıdaki tablo, her bir yatırımın getirisinin gerçekleşme olasılığını vermektedir.
9 Tablo 6.2. Farklı Bölgelerde Buğday Üretme Girişimi imi Kazanç (YTL) A Yatırımı Geçekle ekleşme Olasılığı ığı Kazanç (YTL) B Yatırımı Geçekle ekleşme Olasılığı ığı 10 0.10 10 0.00 20 0.30 20 0.30 30 0.20 30 0.40 40 0.20 40 0.30 50 0.20 50 0.00
10 Girişimci A ve B yatırımlarının sağlayacağı kazançların belirsizliği altında hangi yatırımı yapacağına karar verecektir. Yukarıdan aşağıya her bir olay sırasıyla şu anlama gelmektedir: Birinci olay kurak hava koşulları; ikinci olay yağışlı hava koşulları; üçüncü olay soğuk hava koşulları; dördüncü olay dondurucu hava koşulları; beşinci olay aşırı yağışlı hava koşullarıdır.
Bu tabloyu, kesikli olasılık dağılım grafikleri yoluyla da aşağıda 11 gösterdik. Şimdi her iki yatırımın beklenen parasal değerini hesaplayalım. AYatırımının Beklenen Parasal Değeri = 0.10(10) + 0.30(20) + 0.20(30) + 0.20(40) + 0.20(50) = 31 YTL BYatırımının Beklenen Parasal Değeri = 0(10) + 0.30(20) + 0.40(30) + 0.30(40) + 0(50) = 30 YTL
Farklı yatırım olanaklarından hangisinin seçileceği, beklenen 12 kazancın parasal değerine bağlıdır. Beklenen parasal değeri en büyük olan yatırım, ekonomik karar birimi tarafından tercih edilecektir. Yukarıdaki beklenen değer hesabına göre, girişimci A yatırımına karar verecektir. Ancak belirsizlik altında bu şekilde karar vermek olanaklı değildir. Bazı durumlarda çelişik sonuçlar elde edilebilir. Bunu iki örnekle görelim.
13 Şekil 6.3. A Yatırımının Kazanç Olasılık Dağılımı 1 Olasılık 0.75 0.5 0.25 0 10 20 30 40 50 Kazanç
14 Şekil 6.4. B Yatırımının Kazanç Olasılık Dağılımı 1 Olasılık 0.75 0.5 0.25 0 10 20 30 40 50 Kazanç
Örnek 1: Sadist Yardımsever 15 Bir hastanın doktordan önemli bir rahatsızlığı olduğunu ve 20000 YTL değerindeki bir operasyon yapılmadığında iki aylık ömrünün kaldığını öğrendiğini varsayalım. Bu hasta operasyon masrafını karşılamak için yakınlarına ulaşamamıştır. Son bir çare olarak, bir sadist yardımsever başvurur. Sadist yardımsever bu hastanın önüne iki kumar seçeneği koyar. Bu seçenekler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
Tablo 6.3. 16 A Kumarı B Kumarı Fiyat (YTL) Olasılık Kazanç (YTL) Fiyat (YTL) Olasılık Kazanç (YTL) 10000 0.50 0 0 0.99 0 15000 0.50 0 20000 0.01 1 Beklenen Parasal Değer: 12500 Beklenen Kazanç: 0 Beklenen Parasal Değer: 200 Beklenen Kazanç: 0
Örneğimizdeki hasta birey kazancını 17 (yararını) maksimize etmeye çalıştığından dolayı, A kumarını tercih edecektir. Ancak burada oluşan bityeniğine dikkat edelim. Birey A yı tercih ederse bir saat içinde ölecek (çünkü operasyon için 20000 YTL gerekli), B yi tercih ederse %1 yaşama olasılığı var. Bu nedenle A tercihinin sağladığı kazancın hiçbir değeri yoktur. B ise bir yaşam umudu sağlamaktadır. Tabii ki böyle bir durumda bireyler B yi tercih edeceklerdir.
Ölümün sağlayacağı yararı 0, yaşamın sağlayacağı yararı 1 ile 18 tanımlarsak, hasta gözünde A ve B kumarlarının beklenen yararlarını şöyle hesaplayabiliriz: AKumarının Beklenen Yararı = 0.50(0) + 0.50(0) = 0 BKumarının Beklenen Yararı = 0.99(0) + 0.01(1) = 0.01
Bireyin amacı beklenen yararı maksimize etmekse, bu durumda 19 B yi tercih edecektir. Bu örnek bize, belirsizlik durumlarında beklenen (parasal) kazancı maksimize etmenin, açık bir çözüm üretemeyebileceğini göstermektedir. Şimdi ikinci örneğe geçelim. Bu örnek St. Petersburg paradoksu olarak anılmaktadır ve çözümü ilk kez Daniel Bernoulli tarafından yapılmıştır.
Örnek 2: St. Petersburg Paradoksu 20 Eşit beklenen parasal getiriye sahip iki farklı kumarla karşı karşıya olan bir bireyi dikkate alalım. A kumarında 100 YTL elde etme şansı %100, 0 YTL elde etme şansı %0; B kumarında 200 YTL elde etme şansı %50, 0 YTL elde etme şansı %0 dır. Bireyin, herhangi bir adil kumarda yer alabilmek için yapacağı ödeme, elde edeceği beklenen kazancına bağlıdır. Örneğin B kumarında yer alabilmek için, 100 YTL ödeme yapacaktır.
Bernoulli, bir yazı tura oyunu yoluyla, bireylerin kazançlarını 21 maksimize edemeyebileceğini göstermiştir. Genel olarak, çok sayıda para atımında yazı ve tura gelme olasılıkları yarı yarıyadır. Parayı ilk tura gelinceye kadar atalım ve sonra oyunu durduralım. Bu atışlardaki ödeme sistemimizde şöyle olsun: Birinci atışta tura gelirse 2 YTL, ikinci atışta gelirse (2) 2 YTL, üçüncü atışta gelirse (2) 3 YTL
22 Tüm yazı-tura atışları birbirinden bağımsızdır. Birinci atışta tura gelme olasılığı ½, ikinci atışta olasılık (½) 2, üçüncü atışta olasılık (½) 3... Buna göre, bu oyunun beklenen getirisini hesaplayalım: 2 3 2 3 1 1 1 1 ( 2) ( 2) ( 2 )... ( 2 ) n =... 2 + + + + + 2 2 2 = 1 + 1 + 1 +... + 1 +... n Bu toplam ıraksaktır.
Bu sonuç, beklenen kazancı maksimize etme amacındaki bir 23 bireyin bu tür bir oyunda yer alabilmek için, sınırsız miktarda ödeme yapması gerektiğini söylemektedir. Ancak gerçek yaşamda, kendisine küçük bir şans veren bir oyun için hiçbir birey sınırsız ödeme yapmaz. Bu nedenle, bireyler beklenen kazancı maksimize etmeyebilirler.
Beklenen Faydanın n Maksimizasyonu: Kardinal Fayda 24 Yukarıda incelediğimiz örnekler, belirsizlik (risk) altında seçim yapan bireylerin, tercihlerini beklenen kazancın maksimizasyonu yerine, beklenen faydanın maksimizasyonuna göre oluşturduklarını göstermiştir. Bu, beklenen fayda hipotezi olarak anılmaktadır. Konuyla ilgili iktisatçılar, risk altında seçim yapan bireylerin, adeta bir (kardinal) fayda ölçeği oluşturarak tercih belirlediklerini düşünmektedirler.
Bu anlamda, bireylerin birer kardinal fayda fonksiyonuna sahip olduklarını düşünerek analiz yapacağız. Ordinal fayda 25 kavramının yerine kardinal faydayı ikame etmemizin nedeni, belirsizlik durumlarında ordinal fayda ölçeğinin zayıf kalmasıdır. Bunu bir örnekle görelim. Bize üç şey arasında bir seçim olanağı sağlanmış olsun: Çikolata (100 birim fayda), elma (70 birim fayda) ve portakal (50 birim fayda). Bu durumda birey fayda maksimizasyonu gereği, çikolatayı tercih edecektir.
Benzer şekilde sayısal faydalar (aynı sırayla) 5, 4 ve 2 olsaydı, 26 tercihimiz yine aynı şekilde olacaktı. Sıralama esaslı bir fayda yaklaşımı yaptığımızda, sıralama bireyin tercihlerini doğru yansıttığı sürece, atfedilen sayıların bir önemi yoktur. Ancak böyle bir durumda birey tercihini açık bir belirlilik altında yapmaktadır. Gerçek dünyada belirsizlik durumlarında bu yaklaşım (ordinal fayda) yetersiz kalacaktır. İktisatçılar bu yaklaşım yerine, kardinal fayda yaklaşımını önermektedirler.
Bunu aynı örneğe devam ederek açıklayalım. Yine yukarıda yaptığımız gibi iki farklı ordinal fayda fonksiyonu düşünelim. 27 Ancak şimdi bireye sunulan seçenek biçimini değiştirelim. Seçeneklerden biri elma, diğeri de yarı yarıya bir şansla çikolata ve portakal olsun. Yani birey ya kesin olarak elmayı seçecek, ya da bir kumar oynayarak daha çok sevdiği çikolata ile daha az sevdiği portakal arasında bir karar verecektir. Şimdi ordinal bir fayda fonksiyonu çerçevesinde, beklenen faydayı maksimize etmeye çalışalım.
Eğer bireyi doğrudan (kesin bilgi sahibi olduğu) elmayı seçerse, faydası 70 birimdir. İkinci seçenek üzerinde (%50- %50 şansla) kumar oynarsa, beklenen faydası ½(100)+½(50)=75 birim olacaktır. Bu durumda birey, ikinci seçeneğin beklenen faydası daha yüksek olduğundan kumar oynamayı tercih edecektir. Şimdi aynı durumu ikinci ordinal fayda fonksiyonu için uygulayalım. doğrudan elmayı seçerse, faydası 4 birim; kumar oynarsa, beklenen faydası ½(5)+½(2)=3.5 birim olacaktır. Bu durumda ise elmayı seçmek rasyonel davranıştır. 28
Bireyin her iki fayda fonksiyonundaki sıralama tercihleri aynı 29 olmasına karşın, çelişik sonucun ortaya çıkışı, bizi belirsizlik durumlarında kardinal fayda fonksiyonlarını kullanmaya zorlamaktadır. Şimdi bireyin, ödülleri (A 1, A 2,, A n ) olan bir kumarla karşı karşıya bulunduğunu ve A 1 i A 2 ye, A 2 yi A 3 e,, A n-1 i A n e tercih ettiğini varsayalım ve bireyin her bir ödüle atayacağı sayısal (kardinal) fayda belirleyelim.
Sayısal (kardinal) faydayı belirlemek için üç örnek ödülü dikkate alalım: A 1,en iyi ödül; A k, orta derecede ödül; A n, en kötü ödül. 30 İlk aşamada A k,ödülüne atanacak sayıyı belirleyelim. Örneğin basit biçimde en kötü ödüle (A n ) 0, en iyi ödüle (A 1 ) 1 değerini verebiliriz. Olasılıklar da sırasıyla %40 ve %60 ise, bu durumda ödülünün beklenen sayısal faydası (U( A k )): ( ) ( 1) ( 1 )( 0) U A = p + p = p k ( ) ( ) = 0.6 1 + 0.4 0 = 0.6
Bu süreci bu şekilde sürdürdüğümüzde, tüm öneriler için fayda 31 sayılarına ulaşmış oluruz. Başlangıçta belirlediğimiz en iyi ödül için 1, en kötü ödül için 0 değerleri tesadüfi seçilmiştir. Bu değerler yerine, örneğin 1000 ve 100 değerleri de alınarak, bu araya düşen diğer fayda sayıları hesaplanabilir. Dolayısıyla ölçeği değiştirmemiz, bireyin kardinal fayda fonksiyonunu etkilememektedir. Örneğin ısı ölçümünde ölçeği Fahrenheit ya da Celcius almamızın ölçüm üzerinde bir önemi yoktur.
Fayda Fonksiyonu ve Risk Altında Davranış 32 Riske Karşı Yansız z Tutum Bazı bireyler riske karşı kayıtsız (yansız) davranabilirler. Şu örneği dikkate alalım. Aşağıdaki şekilde yatay eksende YTL olarak kazançlar, dikey eksende de bu parasal kazancın fayda karşılığı yer almaktadır. Orijinden çıkan doğru (kırmızı), bireyin fayda fonksiyonudur. Doğrusal fayda fonksiyonu nedeniyle, marjinal fayda sabittir.
Şekil 6.5. Riske Karşı Yansızl zlık 33 Fayda Kumarın ve Kesin Tercihin Beklenen Faydası b UYTL ( ) U(0) e U(50) a 0 50 100 U(100) Kazanç (YTL)
Burada olduğu gibi, doğrusal fayda fonksiyonuna sahip birey, 34 riske karşı yansız tutum takınır (risk-neutral). Riske karşı yansız olmak, bireyin kumarlar arasında yapacağı seçimini, elde edeceği beklenen parasal değere dayandırması anlamına gelmektedir. Eğer bir kumarın getirisinin varyansı artarsa, riski de giderek büyür. Örneğin kesin belirlilik altında 50 YTL öneren G 1 kumarı, %50 olasılık altında 100 YTL öneren G 2 kumarından daha az risklidir. Kesin belirli bir seçim, bir kumardan daha az risklidir.
Riske karşı yansız olan birey, belirsizliklerin farkında olmayacak, iki seçeneğin (kumarın) beklenen getirileriyle ilgilenecektir. G 1 ve G 2 kumarları eşit beklenen getiriye sahip olduğundan, birey bu iki seçeneğe karşı yansızdır. Şekil 6.5 de 35 G 2 tercihi e noktasıyla gösterilmiştir. Bu kumarın beklenen faydasını bulurken en iyi durum (b noktası 100 YTL) ile en kötü durumu (a noktası 0 YTL) kullanıyoruz: ( ) ( ) 2 G = (0.50) U 0 YTL + (0.50) U 100YTL = 50YTL G 1 kumarının beklenen faydası, e noktasının yatay eksenden yüksekliğine eşittir. Yani 50 YTL dir.
Riskten Kaçınma Tutumu 36 Bazı bireyler riske karşı kaçınma davranışında olabilirler. Aşağıdaki şekilde (Şekil 6.6.) fayda fonksiyonu konkav biçimde çizilmiştir. Marjinal fayda giderek azalmaktadır. Birey bu durumda risk almaktan kaçınan bir tutum izleyecektir. Artık birey kesin bilinen tercih ile kumar tercihi arasında kayıtsız değildir. Bunu anlayabilmek için bir önceki örneği kullanmayı sürdürelim.
Şekil 6.6. da b noktası yine en yüksek kazanç düzeyini (100 YTL) göstermektedir. Bireyin seçimi (yansızlık örneğindeki gibi) ya kesin bilinenden yana (50 YTL) ya da %50-%50 olasılıklarla en iyi olan (100 YTL) ile en kötü olan (0 YTL) arasında oluşacaktır. Kumarın beklenen faydası, a ile b 37 noktalarının tam ortası, yani e noktasıdır. Ancak fayda fonksiyonumuz artık doğrusal değil, konkav biçimlidir. Bu nedenle, fayda eğrisi (mavi eğri) üzerindeki d noktası, belirli olan seçimin sağlayacağı parasal faydadır.
Şekil 6.6. Riskten Kaçınma 38 Fayda Kesin Bilinen Seçimin Faydası d b UYTL ( ) U ( 50) e Kumarın Beklenen Faydası ( ) (0.50) U(0) + (0.50) U 100 a 0 50 100 Kazanç (YTL)
Belirli seçimin faydası, belirsiz seçimin faydasından büyük olduğundan, birey risk taşıyan belirsiz bir seçimden kaçmayı daha rasyonel bulacaktır. 39
Riski Tercih Etme Tutumu 40 Son olarak, bazı durumlarda bireylerin risk taşıyan seçimleri tercih edebileceği durumu inceleyelim. Bu durum, aşağıdaki Şekil 6.7 ile gösterilmiştir. Fayda fonksiyonu konvekstir. Riskten kaçınma durumunun tersine, burada bireyin belirli seçimde elde edeceği fayda, belirsiz (risk taşıyan) seçime göre daha düşüktür. Bireyin daha yüksek parasal fayda sağlayan riskli seçimi tercih etmesi rasyonel bir davranıştır.
Şekil 6.7. Riski Tercih Etme 41 Fayda Kumarın Beklenen Faydası b UYTL ( ) e d ( 50) a 0 50 100 U Kesin Bilinen Seçimin Faydası Kazanç (YTL)
Bireylerin Sigorta Talepleri: Riskten Kaçınma 42 Riskten Kaçınma tutumuna sahip bir bireyin, 100 YTL değerinde bir eve sahip olduğunu ve ayrıca, evin yanması durumunda, evin bulunduğu arsanın 20 YTL olduğunu kabul edelim. Evin yanma olasılığının da %20 olduğunu (yanmama olasılığı %80) düşünelim. Buna göre bireyin risk taşıyan (kumar) seçeneğini şöyle ifade edebiliriz: G ( 20 YTL, 0.20 ; 100 YTL,0.80)
Örneğimizi aşağıdaki Şekil 6.8. ile gösteriyoruz. Eğer birey hiçbir şey yapmazsa (evini sigorta yaptırmazsa) elde edeceği 43 fayda e e dir. Ancak birey aynı fayda düzeyini (g g), evini sigorta yaptırarak da elde edebilir. Birey yıllık 20 YTL den evini sigortalarsa, evin bedeli olarak 80 YTL yi garanti altına almış olacaktır (belirli seçim). 20 YTL lik bir sigorta primi düzeyinde birey sigorta yaptırıp yaptırmamakta kayıtsızdır. Sigorta bedeli 20 YTL nin altında ise, sigorta yaptırmak (riskten kaçınmak) daha rasyonel bir davranıştır.
Fayda Şekil 6.8. Sigorta ve Riskten Kaçınma 44 80 YTL nin Faydası g e h 15 YTL UYTL ( ) U ( 20) a 0 20 (0.20)(20) + (0.80)(100) Bir Eve Sahip Olmanın Beklenen Faydası 80 84 85 100 g e h Kazanç (YTL)
Örneğin 15 YTL lik bir sigorta primi öderse, elde edeceği belirli 45 fayda 85 YTL eşdeğerindeki h h yüksekliğine eşittir. Böylesi bir sigortalama eylemi, bireyin tercih edebileceği (yani riskten kaçacağı) bir olanak sağlar. Fakat bu tür durumlarda dahi riski tercih eden bireyler açısından ne gibi sonuçların ortaya çıkabileceğine de bakalım. Şekil 6.9. bu durumu göstermektedir. Böylesi bir fayda fonksiyonuna sahip birey için evin %20 olasılıkla yanmasının yol açacağı beklenen kayıp 16 YTL dir.
Şekil 6.9. Sigorta ve Riskin Tercih Edilmesi 46 Fayda e 10 YTL 0 20 84 90 100 e Kazanç (YTL)
Bireyin sigorta yaptırmaya razı olacağı (ya da bir başka ifadeyle, sigorta yaptırmadığında elde ettiği faydayı 47 yakalayabileceği) en yüksek prim 10 YTL dir (e e nin eşdeğer yüksekliği). Bu kumarın sonucunda beklenen kazanç 16 YTL dir. Çünkü evin yanma olasılığı %20 ve kaybedilecek para da 80 YTL dir. Bir önceki örnekte birey riskten kaçma davranışı içindeyken, sigorta primi olarak en çok 20 YTL ödemeye razıydı. Buradaki durumda ise bireyin sigorta için ödeyeceği en yüksek prim 10 YTL dir.
Buna göre, risk almayı tercih eden birey 10 YTL ye sigorta 48 yaptırmakla yaptırmamak arasında kayıtsızdır. Gerçekte ise, bu durumdaki birey 16 YTL lik adil primi ödemekten kaçınarak, sigorta yapmak yolunu seçecektir. Bu tür bir davranış, risk almayı seven bireyden beklenmeyen bir durumdur.
49 Sigortalama Sistemi ve Sigorta Piyasasının Oluşumu Sigortacılık sisteminin (piyasasının) nasıl oluşabildiğini görebil-mek için, iki bireyin (A ve B) yaşadığı ve meyve toplayıcılığıyla geçindiği basit bir tarım bölgesini dikkate alalım. Bu bireyler topladıkları elmanın kilosunu 1 YTL den, çileği de 6 YTL den her sabah satmaktadır. Ayrıca A ve B bireyinin ürünlerinin tamamını %10 olasılıkla tahrip edebilen bir böcek riskinin var olduğunu düşünelim. Eğer A bireyi her gün 8 kilo elma, 2 kilo çilek satarsa günlük 20 YTL kazanacaktır.
Ancak böceklerin, toplanan meyvenin tamamına %10 olasılıkla zarar verebilmesi nedeniyle A bireyinin %90 olasılıkla geliri 20 YTL, %10 olasılıkla da 0 YTL olacaktır. Bu nedenle A bireyinin beklenen kazancı 18 YTL, beklenen kaybı 2 YTL dir. Eğer birey risk almaktan hoşlanmıyorsa, durumu aşağıdaki Şekil 6.10a ile tanımlanacaktır. Birey risk alacak olursa beklenen kazancı 18 50 YTL, beklenen faydası da e e olacaktır. Böceklerden görülecek zarara karşı korunmak için, kendisine önerildiği taktirde 4 YTL ye kadar prim ödemeye razı olacaktır.
Şekil 6.10a. Riskten Kaçınan A Bireyi 51 Fayda U (20) e a 0 16 4 YTL e 18 20 Kazanç (YTL)
Bu noktada temel soru şudur: Bireyleri risklere karşı korumak 52 için sigorta teklifini kim ve neye göre yapacaktır? Bu soruyu yanıtlayabilmek için, risk almaktan hoşlanan ve fayda fonksiyonu Şekil 6.10b de gösterilen bir başka birey (B) dikkate alalım. Bu bireyin meyve satışından elde edeceği günlük geliri 38 YTL dir. Faydası şekilde b b yüksekliğiyle gösterilmiştir.
Şekil 6.10b. Risk Tercih Eden B Bireyi 53 Fayda d b U(38) (18) 10 YTL 0 U d b 18 36 38 (0.10)(18) + (0.90)(38) Kazanç (YTL)
Şimdi B bireyinin A bireyine şöyle bir öneri götürdüğünü 54 düşünelim: Sen bana π kadar bir ödeme yaparsan, ürünün böceklerden dolayı tamamen zarar gördüğünde ben sana 20 YTL ödeme yapacağım; aksi durumda hiçbir ödeme yapmayacağım. Eğer A bireyi bu öneriyi kabul ederse, B için 38 YTL lik günlük gelir kesin olmaktan çıkar. Artık B bireyi üzerine bir risk almıştır: %90 olasılıkla 38+π YTL kadar kazanabileceği bir kumarın içerisinde yer almaktadır.
Böcekler meyvelere zarar vermezse, B bireyi kazanç %10 olasılıkla 18+π YTL kazanacak; zarar verirlerse, B bireyi A bireyine 20 YTL ödeme yapacaktır. Buna göre, B bireyi hangi fiyattan (ya da hangi sigorta priminden, π) A bireyine sigorta hizmeti vermek isteyecektir? Bir an için sigorta bedelini sıfır olduğunu varsayalım. B, A ya sigorta satarsa, kendisinin kesin olan 38 YTL lik gelirini risk altına sokmuş olacaktır. Çünkü %90 olasılıkla 38 YTL yi koruyacak, %10 olasılıkla 20 YTL kaybedecek (meyvelerin zarar görmesi nedeniyle A ya yapacağı ödeme). 55
B bireyi için bu şekildeki bir kumarın beklenen faydası, Şekil 56 6.10b de d d yüksekliğiyle gösterilmiştir. Ancak bu, B bireyinin risk altına girmeme (sigorta satmama) durumunda ortaya çıkacak beklenen faydayı gösteren b b yüksekliğinden daha düşüktür. Bu nedenle B, sıfır risk primi altında A ya sigorta satmak istemeyecek, yani sigorta olgusu ortaya çıkmayacaktır. B nin sigorta satmaya razı olacağı fiyatı (primi) görebilmek için Şekil 6.11 i dikkate alalım. B bireyinin satış yapmadığı nokta b b dir. Şimdi sigorta priminin 1.50 YTL olduğunu varsayalım.
Şekil 6.11. Sigorta Satmaya İstekli Olma 57 Fayda k b 0 10 YTL k b 19.5 38 39.5 Kazanç (YTL) 18 + π 38 + π
Bu durumda, böcekler A bireyinin meyvesine %10 olasılıkla zarar verdiğinde B nin kazancı 19.50 YTL (38 YTL asıl gelir-20 YTL A ya yapılacak sigorta zararı gideri+1.50 YTL prim geliri); 58 meyveler zarar görmediğinde (%90 olasılık), B A ya hiçbir ödeme yapmayacağından kazancı 39.50 YTL (38 YTL asıl gelir+1.50 YTL prim geliri) olacaktır. Bu kumarın beklenen faydası k k yüksekliğidir. k k ile b b yükseklikleri eşit olduğundan, bu prim düzeyinde B, A ya sigorta satıp satmamakta kararsızdır. Bu nedenle 1.50 YTL, B nin sigorta yapmaya razı olacağı en düşük primdir.
Risk Havuzu: Sigorta Şirketlerinin BüyümesiB 59 Yukarıda gördüğümüz gibi, günlük yaşamda belirsizliklerin varlığı sigortanın gerekliliğini ortaya çıkartmakta ve insanların bu belirsizlikler karşısında farklı tutumlar takınması, sigortalamanın kârlılığını belirlemektedir. Bazı bireyler risk almaktan kaçınmazlarken, bazıları ise riskten pek hoşlanmazlar. Yukarıdaki A ve B bireyi örneği bir birey için sigorta olgusunun ortaya çıkışını göstermiştir. Ancak bireyin kendisini (gelirini) güven altına alabilmek için başka yolları da vardır.
Bu yollardan birisi risk havuzu ya da öz-sigortadır. Bu tür 60 sigortayı anlayabilmek için riskten kaçınan birey örneğini yeniden ele alalım. Bunu Şekil 6.12 de görebiliriz. Şekle göre risk almayı sevmeyen birey aynı beklenen kazancı sağlayan iki kumarla karşı karşıyadır. Şekil 6.12a daki birinci kumar %60 olasılıkla 100 YTL, %40 olasılıkla da 50 YTL kazandırmaktadır. Bu kumarın beklenen kazancı 80 YTL dir: (0.60)(100) + (0.40)(50) = 80
Şekil 6.12a. Risk ve Varyans 61 Fayda U ( YTL) 0 50 70 80 100 (0.40)(50) + (0.60)(100) Kazanç (YTL)
62 Kazancın varyansı: (0.60)(100 80) 2 + (0.40)(50 80) 2 = 600 Birey 100 YTL lik varlığını ya %60 olasılıkla aynı düzeyde koruyacak ya da %40 olasılıkla 50 YTL ye düşecektir. Bu koşullar altında birey varlıklarının değer kaybına karşılık 30 YTL ye kadar sigorta primi ödemeye razıdır. Varlıklarının değeri düşerse, sigortacı bireye 50 YTL lik ödeme yapacaktır.
Şimdi de Şekil 6.12b ye bakalım. Bu kumarda bireyin varlığı 63 %40 olasılıkla değerini koruyacak; %33.3 olasılıkla 80 YTL ye ve %26.7 olasılıkla da 50 YTL ye düşecektir. Beklenen kazançlar, bir önceki örnekteki kadardır: Beklenen Kazanç = (0.40)(100) + (0.333)(80) + (0.267)(50) = 80 Buna karşılık varyans daha düşüktür: 2 2 2 2 σ = (0.40)(100 80) + (0.333)(80 80) + (0.267)(50 80) = 400.3
Şekil 6.12b. Risk ve Varyans 64 Fayda c b e U ( YTL) 0 50 70 75 80 100 (0.40)(100) + (0.333)(80) + (0.267)(50) Kazanç (YTL)
Kazançlar eşitken varyansının daha düşük olması, ikinci kumarı 65 daha çekici kılmaktadır. İkinci durumda risk, üç farklı olasılığın bir bileşimidir. Şekil 6.12b deki b noktası, ikinci kumardaki beklenen faydayı göstermektedir. Birinci kumarın beklenen faydası ise e noktasına karşılık gelmektedir. b ile e noktaları arasındaki fark, % 33.3 olasılıkla 80 YTL lik değere düşüş olanağıyla oluşmaktadır.
Bu şekilde bireyin karşısına çok olasılıklı bir durum çıktıkça, 66 beklenen fayda giderek c noktasına yaklaşacaktır. c noktasında varyans sıfırdır. Bu nokta birey kesin olarak varlığının değerinin 80 YTL ye düşeceğini bilmektedir. Buna göre şunu söyleyebiliriz: Risk almayı sevmeyen bireyler, eş kazanç sağlayan kumarlardan varyansı düşük olanı tercih edeceklerdir.
Ayrıca bireyin ikinci kumarda ödeyeceği sigorta primi daha 67 düşük olacaktır. Bu örnekte en çok 25 YTL ödemeye razıdır. Farklı iki kumarı karşılaştırdığımız bu örneklerde kumarlardaki kazançların ortalaması aynı kalmakla beraber (80 YTL), çeşitli olasılıklar karşısında elde edilebilecek kazançların yayılımı giderek artmaktadır. İstatistik diliyle veri setinin ortalaması aynı kalmakta, ancak varyansı düşmektedir de diyebiliriz.
A bireyinin bu durumlar karşısında sigorta yaptırmamaya karar 68 verdiğini, fakat risklerini bir havuzda topladığını (birleştirdiğini) varsayalım. Ayrıca iki tane A bireyi de aralarında şu şekilde sözleşmiş olsunlar: Her ikimiz de üründen zarar gördüğümüzde ya da hiçbir zarar görmediğimizde bu durumlara katlanalım. Ancak yalnızca birimizin ürünü zarar görürse, diğerinin gelirini eşitçe paylaşalım.
Bu sözleşmeyi incelediğimizde, bireylerin sigorta yaptırmaları 69 ile elde edecekleri beklenen kazanç ile sözleşmeden elde edecekleri beklenen kazançların eşit olduğu görülecektir. Her iki bireyin ürününün zarar görme olayları birbirinden bağımsızdır. Bu nedenle, her ikisinin birden zarar görme olasılığı (0.10)(0.10)=0.01; her ikisinin birden zarar görmeme olasılığı (0.90)(0.90)=0.81; yalnızca birinin zarar görme olasılığı da (0.10)(0.90)+(0.10)(0.90)=0.18 dir.
Her ikisi birden zarar görürse, her ikisi de 40 YTL kayba 70 uğrayacak, ortak bir gelir olmayacak; hiç birisi zarar görmezse, her birinin 20 YTL geliri olacak; yalnızca biri zarar görürse, ortak olarak 20 YTL gelirleri olacaktır. Bu durumları dikkate alarak, sözleşmeden kaynaklanan beklenen parasal kaybı bulalım. Beklenen Parasal Kayıp: = (0.81)(0 2) + (0.18)(20 2) + (0.1)(40 2) = 2
Her iki birey de bir risk havuzu oluşturacak sözleşme 71 yapmamış olsalardı beklenen parasal kayıp: = (0.10)(20) + (0.90)(0) = 2 Sözleşme olsa da olmasa da elde edilecek beklenen parasal kayıplar aynıdır. Ancak varyanslara baktığımızda, sözleşmenin daha avantajlı olduğunu görebiliriz.
(( ) ) ( ) 2 2 2 ( ) (( ) ) σ = (0.81) 0 2 2 + (0.18) 20 2 2 + (0.10) 40 2 2 = 18 sözleşmeli 72 σ = + = sözleşmesiz 2 2 (0.10)(20 2) (0.90)(0 2) 36 n sayıda bireyin olduğu bir ekonomide, her biri ortalaması x ve varyansı σ 2 olan bir riskle karşılaştığında, birey başına ortalama kayıp x, varyans da σ 2 /n dir. n (birey sayısı) sonsuza giderken, varyans sıfıra yaklaşır.
Bu sonuca göre, yukarıdaki basit ekonomiyi dikkate almaya 73 devam edersek, sigorta talebinde bulunan birey sayısı yeterince çok olduğunda, sigorta şirketi her yıl oluşacak kayıpları tazmin etmek için 2n kadar ödeme yapacağını bildiğinden (birey başına yani ortalama beklenen kayıp 2 YTL idi), riskini hemen hemen sıfıra yaklaştırabilir. Birey başına sigorta priminin 4 YTL olduğunu düşünürsek, sigorta şirketinin yıllık kârı: n( 4 2) Sigortalama Maliyetleri
Bu koşullar altında çok sayıda şirket sigorta piyasasına 74 gireceğinden, tam rekabetçi piyasa yapısına doğru sigorta primi 2 YTL ye kadar düşer: P = MC = MR = 2 YTL Tam rekabetçi yapıda sigorta şirketlerinin aşırı kârı sıfırdır.