KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Transkript

1 KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI HANGİ ADAYI SEÇELİM? PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ ATAKÖY KISIM, BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN REYHAN KAYMAK

2 Proje Adı: HANGİ ADAYI SEÇELİM? Proje Öğrencileri:Nedim Çağatay Proje Danışmanı:Reyhan Kaymak Proje Dalı :Matematik Giriş : Proje konumuzu belirlerken daha çok gündelik yaşamda karşılaşılan zorluklara bir çözüm getirmeye özen gösterdik.insan hayatında önemli bir işe başlangıç yaparken karar verme sürecinde karşılaşılan güçlüklere optimal bir çözüm sunmak istedik.bu nedenle projemize çeşitli sorular düşünerek başladık.bunlardan bir kaçı şöyle idi: Evinizi satmak istiyorsunuz ve bir dizi teklif varken, birini kabul etmeden önce kaç defa değerlendirme yaparsınız? Bilgisayarda satranç oynarken bir hamle yapmadan önce bilgisayar kaç pozisyon düşünür? İşe alımlarda istenilen pozisyona uygun çok fazlakişi var ve en hızlı sürede doğru kararı vermek için gerekli olan ihtimallerin olasılığı nedir? Yöntem: Bu sorular arasından üçüncüyü kendimize araştırma konusu olarak belirledik ve çalışmalarımıza başladık. Problem 1 :Bir iş yerinde bir pozisyon için elemana ihtiyacımız var.bu kişilerin arasından en iyisini seçmek istiyoruz.bunun için nasıl bir seçim uygulamalıyız? (Tek koşulumuz hepsini görebilecek kadar bekleme şansımız yok ve görüşmeye gelenlerin bir daha geri çağırılamayacaktır.) Çözüm: n tane potansiyel işçi adayı ile tanıştığımızı düşünelim. Tanıştıktan sonra aralarında 1 den n e kadar sıralama yaptığımızı farzedelim.en iyisine 1 numara vereceğiz. Öncelikle, görüşmede 3 potansiyel kişi ile tanışacağınızı düşünelim. Görüşmeye hangi sırada gireceklerini bilmiyoruz ve her olası sıralamanın eşit olduğunu düşünelim 3! = 3*2*1 = 6 farklı olası permütasyon vardır: Farzedin ki kuralımız tanıştığın ilk kişiyi seçmek Bu kural olası ilk 2 permütasyonda çalışacaktır. Başka bir deyişle, başarı olasılığınız 2/6 = 1/3 = 33%

3 Eğer kuralımız basitçe ikinciyi seçmek olsaydı, en iyiyi seçme ile aynı olasılığa sahip olacaktı. 1/3. Üçüncüyü seçme amacıyla hareket etseydik birinciyi seçme olasılığımız gene 1/3 olacaktı. Şansımızı artırmak için yeni bir kural bulalım istedik: Bırakın birinci gitsin. Gidenden daha güzel olan ilkini seçelim. Şimdi şansımız ne olacaktır? Eğer 6 farklı olası permütasyon varsa, bunların hangisinde, bu kural en iyi eşi seçmenizi sağlayacaktır? Yukarıda yeralan permütasyonların ilk ikisinde yukarıdaki kural çalışmayacaktır. Fakat, 213, 231 ve 312 olanlarda çalışacaktır. Son olasılık olan 321 de neden çalışmayacağını araştırdık. Bununla beraber, 123 ve 132 durumlarında en iyi seçmede kural başarısız olacaktır. Çünkü, en iyi tercih listenin birincisidir. Kural, son durumda en iyi kaçırmanızıda sağlayacaktır. Çünkü, ilk kişi gittikten sonra, henüz gidenden daha iyi eşi seçmek, bir sonrakini seçmenizi sağlayacaktır. 321 olan son sıralamaya göre, ikinci birinciden daha iyidir. Hatırlayın, ikinciyi gördüğünde, sıralamada 2 nolu olduğunu bilmiyordun. Henüz üçüncü kişiyi görmediğimizden, şu an için tek bildiğimiz ikinci kişinin en iyisi olabileceğidir. Her üçünü de gördükten sonra sıralama yapabilirsiniz. Tanıştığınız sıra ile 3, 2 ve 1. Kural (karar teorisinde durdurma kuralı) Bırakın birinci gitsin. Gidenden daha güzel olan ilkini seçin 213, 231 ve 312 durumlarında başarıyla en iyi potansiyel adayı seçmeyi sağlayacaktır Sonuç olarak, bu kuralı kullanmak : Bırakın birinci gitsin. Gidenden daha güzel olan ilkini seçin 213, 231 ve 312 durumlarında en iyi potansiyel elemanı yarı zamanda başarıyla seçmemizi sağlar. Ve bu kural ile en iyi adayı seçme ihtimali 3/6 = 50% olacaktır. Bu kural ile en iyi elemanı seçme olasılığınız, daha basit olan % 33 başarı sağlayan ikinciyi seçkuralından daha yüksektir. Problem 2: 4 potansiyel eleman ile görüşüleceğini düşünelim. Hepsi ile tanışıldıktan sonra en iyisi 1 olmak üzere 1 den 4 e kadar sıralama yapabiliriz. Her seferinde biri ile tanışmayı düşünelim. Diğer problemdeki koşullar bu problem içinde geçerlidir.

4 Çözüm: 4 potansiyel eleman ile, aşağıda yeraldığı üzere 4! = 24 olası permutasyon mümkündür Düşünelim ki aynı durdurma kuralı kullanıyoruz Bırakın birinci gitsin. Gidenden daha güzel olan ilkini seçin Hangi permütasyonda bu kural en iyi adayı seçmenizi sağlamıştır? Bu kuralın en iyi kişiyi seçmenizi sağlama olasılığı nedir? Sorusuna cevap aradık. Şimdi daha genel durumu değerlendirelim. Düşünelim ki toplam n tane potansiyel elemanla görüşeceğiz.tanıştıktan sonra 1 den n e kadar onları sınıflandırabileceğiz ve 1 en iyisi olacaktır. Onlarla teker teker tanışıyoruz ve bir tanesini gönderirsek, o kişiye tekrar dönemeyeceğiz.eğer bu insanların tüm olası permütasyonları muhtemelen eşitse, hangi prosedür listedekilerin en iyisini seçme şansınızı artıracaktır? Listeden sadece bir kişiyi seçerseniz, toplamda n kişi olduğundan, bu kişinin en iyisi olma şansı 1/n dir. Bu ihtimali artıran bir karar prosedürü gördük: n=3 ve n=4 olan durumlarda, en uygun durdurma kuralı şöyledir: İlk m kişinin geçmesine müsaade edin ve ilk m kişinin herhangi birinden daha iyi olan sonraki kişiyi seçin. Bu metodu kullanarak en iyi kişiyi seçme olasılığını hesaplayabilmek için nasıl başarısız olabileceğini anlamamız gerekir. Bu metodun başarısız olabileceği iki yol vardır: 1. En iyi kişi ilk m kişinin arasındadır En iyi kişi, şu ilk gruptaki m kişilerinin hepsinden iyi olan kişiden sonra gelir. Buna rağmen, bu metod başarılı olacaktır. Eğer, ilk m kişisinin gitmesine izin verildikten sonra, m+1 veya m+2 veya m+3 kişileri gözönünde bulundurulduğunda, n kişisine kadar en iyi kişiyi seçmede başarılı olunacaktır. İlk m kişisinin gittiğini düşünerek m+1 kişisini gözönüne alalım. m+1 kişisinin en iyisi olma olasılığı nedir ve eğer en iyisi idiyse, bu metodun bu kişiyi seçme ihtimali nedir diye sormalıyız. m+1 kişisinin en iyi olma olasılığı 1/n dir ve bu metod kesinlikle bu kişiyi seçecektir (olasılık 1). Çünkü, bu kişi önceki m kişiden açıkça daha iyi olacaktır. Bu nedenle, eğer m+1 kişisi en iyisi ise, bu metodun bu kişiyi seçme olasılığı 1/n dir.

5 Fakat, birinci m kişisi geçtikten sonra en iyi kişi görünmeyebilir. En iyi kişi n kişisine kadar olan m+1 veya m+2 veya m+3 veya olabilir. Dolayısıyla, birinci m kişisi geçtikten sonra, ikinci kişinin en iyi olma olasılığını da ekleyelim. Diğer bir deyişle, birinci m kişisinin gittiğini ve m+2 kişisinin değerlendirildiğini düşünelim. Şimdi soruyoruz, m+2 kişisinin en iyi olma olasılığı nedir, eğer en iyi ise, bu metodun en iyiyi seçebilme olasılığı nedir? m+2 kişisinin en iyisi olma olasılığı 1/n. m+2 kişisinden önce gelen birinci m kişisinden daha iyi birisi varsa bu metot onu seçecektir. Diğer bir deyişle, eğer birinci m+1 kişisi birinci m ile aynı grupta ise süreç başarılı olacaktır. Ve bunun olasılığı m/(m+1). Bu nedenle, listede olmak şartıyla, bu sürecin m+2 kişisini başarıyla seçme olasılığı (1/n)*(m/(m+1)).Buradan bir matematiksel model olarak geliştireceğiz. Kural gereği birinci m atlanmıştır. m+k kişisinin en iyi olma olasılığı ve seçilmesi 1 m m k k = 0, 1, 2, (n m) 1/n bir kişinin en iyi olma olasılığıdır. Bu prosedürün bu kişiyi seçmesi için, ilk m+k kişisinin en iyisi ilk m kişileri arasından olmalıdır. Ve bunun olasılığı m/(m+k).bu bakımdan, bu metodun başarılı olduğuna dair son olasılığı elde etmek için, birbirini dışlayan olayların herbirinin olasılığını ilave etmeliyiz. En iyi kişi (m+1).nci kişi veya (m+2).nci veya (m+3).ncü veya n.nci kişiye kadar. n kişi arasından, ilk m kişisinin gidişinden sonra en iyiyi seçme olasılığı ve bir sonraki kişinin birinci m kişilerinden seçilmesi için n 1 m Pm ( ) i m 1 n i 1 Örneğin, 10 kişi ile tanışacağınızı düşünelim. Eğer ilk 3 kişi giderse, bu prosedürün en iyiyi seçme olasılığı ve ilk 3 ten daha iyiyi seçme olasılığı nedir? P(3).4287 i i 110 i 4 i m için iyi bir değeri bulmak için, ilk m kişi gittikten sonra en iyi kişiyi seçme olasılığı için formül n 1 m Pm ( ) i m 1 n i 1 = n 1 m 1 n i i m m m m 1 m m n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 m n m 1 n m 2 n 2 n 1

6 Toplamı bulmak için, n çok geniş olması halinde, x = m/n, m n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 m n m 1 n m 2 n 2 n 1 n x i m i gibidir. n n 1 x x f ( ti ) t x dt x ln x i m i i m t x Şimdi bu olasılığı maksimize edecek x değerini bulabiliriz. Çünkü, olasılığımız x fonksiyonu -xlnx in tek kritik noktası, x=1/e iken, türevi f (x) = lnx-1 0 olmasıdır. -xlnx in ikinci türevi -2 dir. Negatif değer olduğundan, x=1/e nin kritik noktasının fonksiyonun maksimumu olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla, maksimum olasılık x=1/e iken ortaya çıkar. x = 1/e iken maksimum olasılık oluşur m 1 n Çünkü x iken m nx n dir. e e Sonuç olarak n artarken, en uygun m değeri n/e olur.diğer bir deyişle, kaç kişi ile buluşulacağının bir önemi yoktur. En uygun strateji 1/e kısmın gitmesine izin vermek ve ilk gruptakilerden daha iyi olan birinciyi seçmektir. 1/e kesiri yaklaşık.368 anlamı; uygun strateji ilk % 36.8 lik kısmın birini seçmeden gitmesine izin vermek ve sonrasında % 36.8 lik ilk gruptan daha iyi olan birini seçmek olacaktır. Sonuç: Sonuç olarak, xlnx olasılığa yaklaşım verdiği için, n kişilik tüm gruptan en iyiyi seçmek konusunda prosedür çalışacaktır. X=1/e iken olasılık en büyük olacaktır.yani, n dahada genişlerken, bu prosedürü kullanarak en iyiyi seçme olasılığı 1/e veya % 36.8 e yaklaşmaktadır. Diğer bir deyişle, rastgele tahminde bulunarak, n genişlerken en iyi kişiyi seçme şansı sıfıra yaklaşacaktır. Buna rağmen, bu uygun durdurma prosedürünü kullanarak, en iyi kişiyi seçme olasılığı yaklaşık % 36.8 e yaklaşacaktır. KAYNAKLAR 1) Albert N. Shiryaev,Optimal Stopping Rules 2)F. Thomas Bruss. "Sum the odds to one and stop." Annals of Probability, Vol. 28, ,(2000)