SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel denklemlerini ele alacağız. CAUCHY-EULER DENKLEMİ a n x n dn y dx n + a n x n dn y dx n + + a x dx + a 0y = f(x şeklindeki denklemler Cauchy-Euler denklemi olarak adlandırılır. x = e t dönüşümü diferansiyel denklemi sabit katsayılı hale dönüştürür. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican / 24 CAUCHY-EULER DENKLEMİ x = e t t = ln x dönüşümü yapacağız. Bu dönüşümü yaparsak y fonksiyonu t ye bağlı olur. Bu sebeble y nin x e göre türevleri yerine y nin t ye göre türevleri yazılmalıdır.bu türevleri bulalım. dx 2 = d ( dx x dx 2 = d2 y 2 x 2 + dx = dx = x = d ( dx ( x 2. x + d dx ( x = ( x 2 2 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 2/ 24
CAUCHY-EULER DENKLEMİ Bu türevler denklemde yerine konulursa x in kuvvetleri sadeleşir ve d n y a n n + ã d n y n n + + ã + a 0y = f(e t sabit katsayılı lineer denklem elde edilir. Bu denklem çözülür, bulunan y(t fonsiyonunda t = ln x ters dönüşümü yapılarak sonuca ulaşılır. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 3/ 24 CAUCHY-EULER DENKLEMİ x 2 y + xy 4y = 0 denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Denklemimiz Cauchy-Euler denklemi.x = e t dönüşümü yapacağız. dx 2 = x 2 dx = x ( 2 Yukaridaki türevleri denklemde yerine koyalım. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 4/ 24
CAUCHY-EULER DENKLEMİ sadeleştirmeleri yapalım. x 2 ( x 2 2 + x x 4y = 0 2 + 4y = 0 y 4y = 0 sabit katsayılı denklemimizi elde ederiz. Karakteristik denklemi: r 2 4 = 0, kökler r = 2 ve r 2 = 2 dir. Genel çözümümüz y(t = c e 2t + c 2 e 2t Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 5/ 24 CAUCHY-EULER DENKLEMİ t = ln x ters dönüşümü yapalım. olarak çözümümüzü elde ederiz. y(x = c e 2 ln x 2 ln x + c 2 e y(x = c e ln x2 ln x 2 + c 2 e y(x = c x 2 + c 2 x 2 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 6/ 24
CAUCHY-EULER DENKLEMİ x 3 y 4x 2 y + 8xy 8y = 4 ln x denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Cauchy-Euler olduğu için x = e t dönüşümü yapacağız. dx 2 = x 2 dx = x ( 2 Bu türevleri bir önceki örnekten biliyorduk. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 7/ 24 CAUCHY-EULER DENKLEMİ Şimdi 3. türevi bulalım. d 3 y dx 3 = d ( dx x 2 d 3 y dx 3 = d dx ( x 2 ( 2 d 3 y dx 3 = 2 ( x 3 2 d 3 y dx 3 = x 3 Şimdi yerlerine yazalım. ( 2 + ( d x 2 dx 2 + ( d 3 y x 2 3 x d2 y 2 x ( d 3 y 3 y 3d2 2 + 2 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 8/ 24
CAUCHY-EULER DENKLEMİ x 3 y 4x 2 y + 8xy 8y = 4 ln x x 3 ( d 3 y x 3 3 y 3d2 2 + 2 4x 2 ( x 2 2 +8x 8y = 4 ln et x Düzenlersek d 3 y 3 y 7d2 2 + 4 8y = 4t sabit katsayılı denklemi elde ederiz. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 9/ 24 CAUCHY-EULER DENKLEMİ İlgili homogen denklemi y 7y + 4y 8y = 0 çözelim. Karakteristik denklemimiz r 3 7r 2 + 4r 8 = 0 ve kökleri r =,r 2 = 2 ve r 3 = 4 dir. Genel çözümümüz y h (t = c e t + c 2 e 2t + c 3 e 4t olarak yazılır. Denklemin sağ tarafında 4t var.. derece polinom. Özel çözümümüzü yö(t = At + B olarak seçelim. Özel çözümün türevlerini alalım ve yerine koyalım. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 0/ 24
CAUCHY-EULER DENKLEMİ y ö(t = A Yerlerine yazılırsa y ö(t = 0 y ö (t = 0 4A 8(At + B = 4t Buradan A = 2 ve B = 7 8 bulunur. y(t = c e t + c 2 e 2t + c 3 e 4t 2 t 7 8 t = ln x ters dönüşümü yapılırsa, çözümümüz, olarak bulunur. y(x = c x + c 2 x 2 + c 3 x 4 2 ln x 7 8 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican / 24 LEGENDRE DENKLEMİ LEGENDRE DENKLEMİ c n (ax+b n y (n +c n (ax+b n y n + +c (ax+by +c 0 y = f(x şeklindeki denklemler Legendre denklemi olarak adlandırılır. Bu denklemin çözümü için (ax + b = e t dönüşümü yapılır. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 2/ 24
LEGENDRE DENKLEMİ Cauchy-Euler denkleminde olduğu gibi y nin x e göre türevleri yerine y nin t ye göre türevlerini yazmalıyız. Türevleri bulalım. dx 2 = d ( dx a ax + b dx = dx 2 = d2 y a 2 2 (ax + b 2 + dx = = d dx ( a 2 a ax + b ( a (ax + b 2. ax + b + ( d a dx ax + b a 2 ( = (ax + b 2 2 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 3/ 24 LEGENDRE DENKLEMİ Kolayca görüleceği üzere Cauchy-Euler denkleminin çözümünde olduğu gibi türevler yerine yazıldığında (ax + b nin kuvvetleri sadeleşerek denklemde kalmayacaktır. d n y c n n + c d n y n n + + c + c 0y = f( et b a Sabit katsayılı bir denkleme dönüştü ki bu denklemleri çözmeyi biliyoruz. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 4/ 24
LEGENDRE DENKLEMİ (3x + 2 2 y + 3(3x + 2y 36y = 3x 2 + 4x + denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Denklemimiz Legendre denklemi. (3x + 2 = e t dönüşümü yapacağız. dx = a ax + b = 3 3x + 2 dx 2 = 3 2 ( (3x + 2 2 2 Yukaridaki türevleri denklemde yerine koyalım. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 5/ 24 LEGENDRE DENKLEMİ (3x + 2 2 9 (3x + 2 2 sadeleştirmeleri yapalım. ( 2 3 + 3(3x + 2 3x + 2 3( et 2 3 9 d2 y 2 9 + 9 36y = e2t 3 9 d2 y 2 36y = e2t 3 36y = 2 + 4( et 2 + 3 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 6/ 24
LEGENDRE DENKLEMİ 2 4y = e2t 27 sabit katsayılı denklemimizi elde ederiz. Karakteristik denklemi: r 2 4 = 0, kökler r = 2 ve r 2 = 2 dir. Genel çözümümüz y(t = c e 2t + c 2 e 2t olarak yazarız. y h (t ile e2t 27 fonksiyonlarında e 2t fonksiyonu ortak. Bu nedenle özel çözümümüzü şeklinde seçmeliyiz. yö(t = Ate 2t + B Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 7/ 24 LEGENDRE DENKLEMİ Türevleri alıp yerine koyalım Denklemde yerine yazalım Düzenlediğimizde y ö(t = Ae 2t + 2Ate 2t y ö(t = 4Ae 2t + 4Ate 2t 4Ae 2t + 4Ate 2t 4(Ate 2t + B = e2t 27 4Ae 2t 4B = e2t 27 27 Bu denklemden A = B = 08 bulunur. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 8/ 24
LEGENDRE DENKLEMİ Özel Çözümümüz yö(t = 08 (te2t + olarak bulunur. Genel çözüm ise y g (t = c e 2t + c 2 e 2t + 08 (te2t + t = ln (3x + 2 ters dönüşümü yaparak denklemimizin çözümünü tamamlamış oluruz. y g (x = c e 2 ln (3x+2 +c 2 e 2 ln (3x+2 + 08 (ln (3x + 2e2 ln (3x+2 + y g (x = c (3x+2 2 +c 2 (3x+2 2 + 08 ((3x+22 ln (3x + 2+ Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 9/ 24 x 2 y + xy + y = cos(ln x denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Cauchy-Euler olduğu için x = e t dönüşümü yapacağız. dx 2 = x 2 Bu türevleri bir elde etmiştik. dx = x ( 2 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 20/ 24
Yerlerine yazalım Düzenlersek x 2 ( x 2 2 + x x + y = cos(t 2 + y = cos(t sabit katsayılı denklemi elde ederiz. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 2/ 24 İlgili homogen denklemi y + y = 0 çözelim. Karakteristik denklemimiz r 2 + = 0 ve kökleri r,2 = i dir. Genel çözümümüz y h (t = c cos t + c 2 sin t olarak yazılır. Denklemin sağ tarafında cos(t var. Belirsiz katsayılar metodunu kullanamayız. Parametrelerin değişimi metodunu kullanalım. Yani özel çözümümüzü yö(t = u (t cos t + u 2 (t sin t şeklinde seçip u (t ve u 2 (t yi bulalım. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 22/ 24
u (t ve u 2 (t yi bulacağımız denklemler u cos t + u 2 sin t = 0 u sin t + u 2 cos t = cos t Kramer metodunu kullanırsak 0 sin t olarak bulunur. u = u 2 = cos t cos t cos t 0 sin t cos t = sin t cos t = Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 23/ 24 İntegral alarak bilinmeyen fonksiyonlarımızı buluruz. u (t = ln cos t, u 2 (t = t Böylece özel çözümümüz dir. Genel çözüm ise yö(t = ln cos t. cos t + t sin t y g (t = c cos t + c 2 sin t + ln cos t. cos t + t sin t dir. t = ln x ters dönüşümü yaparak verilen problemin genel çözümü elde edilebilir: y g (x = c cos(ln x+c 2 sin(ln x+ln cos(ln x. cos(ln x+(ln x sin(ln x Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 24/ 24